• Tidak ada hasil yang ditemukan

III. PEMBAHASAN. Untuk transaksi dengan arah x y z x, maka tiap kurs dapat didefinisikan sebagai berikut:

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "III. PEMBAHASAN. Untuk transaksi dengan arah x y z x, maka tiap kurs dapat didefinisikan sebagai berikut:"

Copied!
11
0
0

Teks penuh

(1)

III. PEMBAHASAN

3.1 Model Makroskopis dari Arbitrase

Triangular

Model makroskopis menggunakan data aktual kurs yang diambil dari www.oanda.com

untuk tiga mata uang, yaitu IDR, JPY dan USD, dalam kurun waktu dari Januari sampai Maret 2007 kecuali hari libur. Data-data tersebut akan dianalisis untuk mengetahui apakah dari tiga mata uang tersebut memungkinkan terjadinya kesempatan arbitrase triangular atau arbitrase 3-poin. Lampiran 1 menunjukkan fluktuasi dari masing-masing kurs.

3.1.1 Keberadaan Kesempatan Arbitrase

Triangular

Arbitrase triangular adalah kegiatan

finansial yang ingin mengambil keuntungan dari tiga kurs di pasar dunia. Prosedur transaksinya adalah sebagai berikut: pedagang menukar 1 unit mata uang pertama (misalkan

x ) untuk sejumlah mata uang kedua

(misalkan y ), menukar sejumlah mata uang kedua ( )y untuk sejumlah mata uang ketiga (misalkan z ), dan menukarkan kembali sejumlah mata uang ketiga ( )z dengan mata uang pertama ( )x pada saat t , dengan z merupakan ‘base currency’ atau mata uang dasar yang menjadi patokan dalam pertukaran. Umumnya USD merupakan ‘base currency’

dalam pertukaran mata uang. Jika pedagang dapat memperoleh keuntungan melalui transaksi tiga kurs maka dalam pasar tersebut terjadi kesempatan arbitrase triangular. Kesempatan arbitrase triangular terjadi dalam waktu yang singkat dan akan segera hilang dikarenakan banyak pedagang lain yang ingin membuat transaksi yang sama. Untuk memenuhi syarat kesempatan arbitrase

triangular didefinisikan syarat berikut: 3 1 ( ) i( ) 1 i t r t = =

> μ (10) dengan ( )r ti menyatakan kurs transaksi ke- i

pada saat t .

Syarat di atas dinamakan sebagai hasil kurs. Jika hasil kurs μ lebih besar dari unit awal mata uang pertama yang digunakan maka pedagang memperoleh keuntungan dan hal ini menandakan terjadinya kesempatan arbitrase triangular di pasar valuta asing. Arbitrase triangular melibatkan tiga

kurs mata uang dengan salah satu dari mata

uang tersebut merupakan ‘base currency’ maka pertukarannya memiliki dua kemungkinan aliran kurs, yang salah satunya akan lebih menguntungkan (akibat adanya kesempatan arbitrase). Arah aliran kurs yang pertama berdasarkan transaksi dengan arah

x→ → → dan yang kedua berdasarkan y z x

transaksi yang mempunyai arah

x→ → → . z y x

Untuk transaksi dengan arah

x→ → → , maka tiap kurs dapat y z x

didefinisikan sebagai berikut:

1 2 3 ( ) ( | ) 1 ( ) ( | ) 1 ( ) . (11) ( | ) a b a r t S y x r t S y z r t S z x = = =

Sedangkan untuk transaksi dengan arah

x→ → → , maka tiap kurs didefinisikan z y x

sebagai berikut: 1 2 3 1 ( ) ( | ) 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ). (12) a a b r t S x z r t S z y r t S x y = = =

Diasumsikan bahwa seorang arbitran dapat bertransaksi dengan segera pada harga bid dan

ask. Oleh karenanya digunakan harga pada

waktu yang sama untuk menghitung hasil kurs.

Berdasarkan hubungan antara nilai bid dan

ask pada Persamaan (1) dan (2) maka hasil

kurs μ dapat memiliki dua bentuk lain, didefinisikan sebagai berikut:

3 * * 1 ( ) i ( ). i t r t μ = =

(13)

Transaksi dengan arah x→ → → y z x

memiliki nilai * ( ) i r t sebagai berikut: * 1 * 2 * 3 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) , (14) b a b r t S x y r t S z y r t S x z = = =

dan transaksi dengan arah x→ → → z y x

memiliki nilai *

( ) i

(2)

* 1 * 2 * 3 ( ) ( | ) ( ) ( | ) 1 ( ) . (15) ( | ) b b a r t S z x r t S y z r t S y x = = =

Transaksi arbitrase μ memiliki transaksi * pertukaran yang berlawanan dengan transaksi arbitrase μ . Maksud berlawanan di sini adalah berbeda dalam pemakaian kurs bid

atau ask.

Bentuk keduanya adalah:

3 ** ** 1 ( ) i ( ) i t r t μ = =

. (16)

Untuk bentuk kedua, transaksi dengan arah

x→ → → memiliki nilai y z x ri**( )t sebagai berikut: ** 1 ** 2 ** 3 1 ( ) ( | ) 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) , (17) b b b r t S x y r t S y z r t S x z = = =

dan transaksi dengan arah x→ → → z y x

memiliki nilai ri**( )t sebagai berikut:

** 1 ** 2 ** 3 ( ) ( | ) ( ) ( | ) 1 ( ) . (18) ( | ) b b b r t S z x r t S y z r t S y x = = =

Transaksi arbitrase μ yang didefinisikan **

di atas mengambil asumsi bahwa akan lebih menguntungkan jika menggunakan nilai bid untuk transaksi terakhir karena di awal telah dinyatakan bahwa nilai bid selalu lebih kecil dari pada nilai ask.

Sama halnya dengan transaksi μ dan μ , * **

1

μ > unit mata uang pertama yang dipertukarkan menunjukkan adanya kesempatan arbitrase. Kesempatan itu akan segera hilang karena banyak transaksi lain yang sama sehingga membuat μ konvergen **

ke nilai rata-rata atau keseimbangannya. Hasil kurs μ diasumsikan menyebar * normal sehingga diperoleh fungsi kepekatan peluang dari hasil kurs. Hubungan antara hasil kurs dan fungsi kepekatan peluangnya dapat dilihat dalam Gambar 1, dengan daerah di bawah kurva yang lebih besar dari 1 menyatakan terjadinya kesempatan arbitrase.

HASILKURS PD F H A S IL K U R S 1.0012 1.0010 1.0008 1.0006 1.0004 1.0002 1.0000 0.9998 1000 800 600 400 200 0

Gambar 1.a Hasil Kurs μ**( )t arah transaksi IDR→JPY→USD→IDR dengan mean 1.000313 dan standar deviasi 0.000382.

HASILKURS PD F H A S IL K U R S 1.000004 1.000003 1.000002 1.000001 1.000000 0.999999 0.999998 0.999997 0.999996 175000 150000 125000 100000 75000 50000

Gambar 1.b Hasil Kurs μ**( )t arah transaksi IDR→USD→JPY→IDR dengan mean 0.9999999 dan standar deviasi 0.0000023.

Didefinisikan logaritma hasil kurs ( )v t

sebagai berikut: 3 3 ** ** 1 1 ( ) ln i ( ) ln i ( ) i i v t r t r t = = =

=

(19)

dengan ri**( )t menyatakan bentuk kedua dari kurs transaksi ke- i pada saat t .Keberadaan dari kesempatan arbitrase triangular dipenuhi

apabila logaritma hasil kurs yang didefinisikan di atas memiliki nilai yang tak negatif.

Logaritma hasil kurs ( )v t diasumsikan menyebar normal sehingga diperoleh fungsi kepekatan peluang dari logaritma hasil kurs. Hubungan antara logaritma hasil kurs dengan fungsi kepekatan peluangnya dapat dilihat dalam Gambar 2, dengan daerah di bawah kurva yang tak negatif menyatakan terjadinya kesempatan arbitrase.

(3)

LOG HASIL KURS PD F L OG H A S IL K U R S 0.0012 0.0009 0.0006 0.0003 0.0000 1000 800 600 400 200 0

Gambar 2.a Logaritma Hasil Kurs arah transaksi IDR→JPY→USD→IDR dengan mean 0.000313 dan standar deviasi 0.000382.

LOG HASIL KURS

P D F LO G H A S IL K U R S 0.00 0004 0.00 0003 0.00 0002 0.00 0001 0.00 0000 -0.000 001 -0.000 002 -0.000 003 -0.000 004 175000 150000 125000 100000 75000 50000

Gambar 2.b Logaritma Hasil Kurs arah transaksi IDR→USD→JPY→IDR dengan mean -0.0000001 dan standar deviasi 0.0000023.

Dalam karya ilmiah ini perhitungan untuk hasil kurs dan logaritma hasil kurs yang dipakai adalah bentuk kedua karena dalam tulisan ini lebih memfokuskan pada harga pembelian dealer dari tiap transaksi. Lampiran 2 dan Lampiran 3 menyajikan perhitungan hasil kurs dan logaritma hasil kurs.

3.1.2 Model Makroskopis

Adanya kesempatan arbitrase triangular

dalam pasar mempengaruhi fluktuasi harga. Fluktuasi yang terjadi dapat dikonstruksi dengan suatu model waktu perubahan kurs asing. Model ini menggunakan data untuk menjelaskan fluktuasi yang terjadi secara kuantitatif, bukan sekedar kualitatif. Model ini disebut dengan model makroskopis.

3.1.2.1 Persamaan Dasar Waktu Perubahan Logaritma Hasil Kurs

Didefinisikan persamaan dasar waktu perubahan logaritma dari tiap kurs sebagai berikut:

(

)

** ** lnri (t+ Δ =t) lnri ( )t +f ti( )+g v t( ) (20) dengan t

Δ : perubahan waktu yang mengontrol skala waktu dari model; Δ = karena t 1 data yang dipakai adalah data harian, i

f : kebebasan fluktuasi dari transaksi ke- i yang memenuhi sebaran levy terpotong (truncated levy distribution),

g : fungsi interaksi dari logaritma hasil kurs.

Transaksi arbitrase triangular membuat

logaritma hasil kurs v menuju ke rata-rata ε sehingga dapat didefinisikan fungsi interaksi sebagai aproksimasi linear sebagai berikut:

(

)

( ) g v = −k v−ε (21) sehingga 0 jika ( ) 0 jika v g v v ε ε < > ⎧ ⎨> < ⎩ dengan

k : konstanta positif yang menentukan

kekuatan interaksi dari logaritma hasil kurs per satuan waktu,

ε : rata-rata dari v .

Persamaan waktu perubahan logaritma dari tiap kurs yang diberikan oleh Persamaan (20) dapat digunakan untuk membentuk persamaan waktu perubahan logaritma hasil kurs, yaitu dengan menjumlahkan Persamaan (20) dan menyubstitusi Persamaan (21) sehingga didapat rumusan sebagai berikut:

(

)

( ) (1 3 ) ( ) ( ) v t+ Δ − = −t ε k v t −ε +F t (22) dengan 3 1 ( ) i( ) i F t f t = =

. Bukti:

Untuk mendapatkan persamaan dasar waktu perubahan logaritma hasil kurs, dapat diperoleh dengan menjumlahkan persamaan waktu perubahan logaritma dari tiap kurs saat transaksi ke- i sebagai berikut:

3 ** 1 ( ) ln i ( ) i v t t r t t = + Δ =

+ Δ ** ** ** 1 2 3 lnr (t t) lnr (t t) lnr (t t) = + Δ + + Δ + + Δ

(

)

** 1 1 = ln⎡ r ( )t +f t( )+g v t( ) ⎤

(

)

** 2 2 + ln⎡ r ( )t +f t( )+g v t( ) ⎤

(

)

** 3 3 + ln⎡ r ( )t +f t( )+g v t( ) ⎤

(

)

3 3 ** 1 1 = ln i ( ) i( ) 3 ( ) i i r t f t g v t = = + +

(

)

(

)

= ( )v t +F t( ) 3+ −k v t( )−ε = ( ) 3 ( ) 3v tkv t + kε+F t( )

(

)(

)

= 1 3− k v t( )−ε + +ε F t( )

(4)

sehingga terbukti bahwa:

(

)(

)

( ) 1 3 ( ) ( )

v t+ Δ − = −t ε k v t −ε +F t

3.1.2.2 Penduga Parameter

Persamaan (20) bergantung pada parameter fi dan k . Dalam bagian ini akan diduga besarnya masing-masing parameter tersebut. Penduga parameter untuk kekuatan interaksi k berhubungan dengan v , yang dinyatakan sebagai berikut:

(

) ( )

( )

2 2 2 1 3 : ( ) . k c t v t t v t v t − = Δ + Δ − = − ε ε (23)

Dengan menggunakan persamaan di atas, dapat diduga (k Δ dari data berkala sebagai t) fungsi dari perubahan waktu tΔ , yaitu sebagai berikut:

(

) ( )

( )

2 2 2 1 ( ) 1 3 v t t v t k t v t+ Δ ⎞ ⎜ ⎟ Δ = ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ε ε (24) dengan ( )

v t+ Δ diperoleh dari data real berkala t

dengan Δ adalah 1 hari karena data yang t

digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data harian dari kurs.

Dari perhitungan dengan menggunakan Persamaan (24) maka nilai (k Δ diperoleh t) yaitu sebesar 0.29 untuk transaksi pertukaran dengan arah IDR→JPY→USD→IDR dan sebesar 0.41 untuk transaksi pertukaran dengan arah IDR→USD→JPY→IDR. Apabila nilai dari selisih logaritma hasil kurs dengan rata-rata logaritma hasil kurs adalah positif maka fungsi interaksi dari logaritma hasil kurs untuk (1)k =0.29 akan lebih kuat dibandingkan dengan (1)k =0.41. Sebaliknya, jika nilai dari selisih logaritma hasil kurs dengan rata-rata logaritma hasil kurs adalah negatif maka fungsi interaksi dari logaritma hasil kurs untuk (1)k =0.29 akan lebih lemah dibandingkan dengan (1)k =0.41.

Kebebasan fluktuasi dari transaksi ke- i (fi

)

memenuhi sebaran levy terpotong (truncated levy distribution). Sebaran levy terpotong diperoleh dari suatu sebaran levy yang menggambarkan distribusi data keuangan yang selalu memiliki variansi yang berhingga (Situngkir & Surya, 2003d). Adapun fungsi karakteristik dari sebaran levy stabil adalah sebagai berikut:

exp | | 1 ( ) tan ; (0, 2] /{1} 2 ( ) ( ; , , , ) [ ] 2 exp | | 1 ( ) ln | | ; 1 (25) itX L L t i sign t i t t P t E e t i sign t t i t ⎧ ⎧ ⎛ ⎞⎞+ ⎪ ⎨ ⎜ ⎜⎟ ⎬ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭ = = = ⎨ ⎧ ⎛ ⎞ ⎫ ⎪ + = ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ α α πα γ β δ α ϕ α β γ δ γ β δ α π dengan i

β : parameter skewness yang menggambarkan keasimetrikan suatu

sebaran dari transaksi ke- i ; β ∈ −

[

1,1

]

dan β = menyatakan sebaran 0 simetrik,

α : indeks kestabilan/indeks ekor/tail eksponen /karakteristik eksponen yang menyatakan nilai di saat ekor dari sebaran meruncing; α ∈

(

0, 2

]

, asumsikan 0.5α = untuk suatu fungsi karakteristik levy (Nolan, 2005),

γ : parameter skala yang menyatakan panjang atau lebar suatu sebaran; γ>0 dan asumsikan 1γ = ,

δ : parameter lokasi yang menyatakan perubahan posisi dari suatu sebaran; asumsikan 0δ = ,

t : parameter yang menyatakan nilai kurs saat transaksi ke- i ,

( )

sign t : menyatakan nilai signifikan,

dinyatakan sebagai:

( )

1 jika t0 jika t 00 1 jika t 0. sign t > ⎧ ⎪ =⎨ = ⎪− < ⎩

Suatu sebaran levy stabil dari data

pengamatan akan konvergen ke suatu sebaran normal (Mandelbrot, 1963). Hal tersebut sesuai dengan data hasil kurs yang telah dibahas sebelumnya yang menyatakan bahwa hasil kurs konvergen ke nilai

(5)

keseimbangannya sehingga dari suatu sebaran

levy stabil dihasilkan suatu sebaran levy

terpotong (truncated levy distribution).

Didefinisikan fungsi karakteristik dari sebaran

levy terpotong dengan l menyatakan

koefisien truncation atau koefisien pemotongan, besarnya mendekati nol karena diharapkan pemotongan dari suatu sebaran

levy sekecil mungkin mendekati sebaran levy

stabil sebagai berikut:

(

)

(

2 2

)

2

; , , , ( ) exp cos arctan (26)

cos 2 T T t P t l t t l l l ⎧ ⎫ ⎪ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎞⎪ ⎪ ⎪ = = ⎨− ⎜ + ⎜ ⎜ ⎟⎟− ⎟⎬ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ α α α γ α γ δ ϕ α πα

Lampiran 4 menyajikan perhitungan k dan i

f yang didekati oleh ϕT( )t . Gambar berikut menyatakan persamaan waktu perubahan logaritma hasil kurs ( )v t dari model makroskopis dengan menggunakan data aktual kurs. v(t+1) p d f v (t+ 1 ) 0.11010 0.11005 0.11000 0.10995 0.10990 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

Gambar 3.a Persamaan Waktu Perubahan dari Logaritma Hasil kurs untuk transaksi IDR→JPY→USD→IDR dengan mean 0.10996 dan standar deviasi 0.0000496.

v(t+1) P D F v (t+ 1 ) 1.000060 1.000055 1.000050 1.000045 1.000040 0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50

Gambar 3.b Persamaan Waktu Perubahan dari Logaritma Hasil kurs untuk transaksi IDR→USD→JPY→IDR dengan mean 1.0001 dan standar deviasi 0.00000521.

3.2 Model Mikroskopis dari Arbitrase

Triangular

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas lebih lanjut model mikroskopis dari transaksi

arbitrase triangular. Model mikroskopis

adalah model yang menggambarkan interaksi di antara dealer dan lebih memfokuskan pada

dinamika dari tiap dealer dalam pasar valuta

asing. Untuk itu diperkenalkan model Sato

dan Takayasu.

3.2.1 Model Sato dan Takayasu

Asumsi dasar dari model Sato dan Takayasu adalah dealer ingin membeli mata

uang saat harga rendah kemudian menjualnya kembali dengan harga tinggi pada waktu t di pasar valuta asing. Jika dealer membeli mata

uang saat harga rendah maka dealer

menetapkan batas harga maksimum pembelian yang dapat dijangkau olehnya. Hal ini berarti bahwa dealer akan membeli mata

uang di bawah harga maksimum yang ditetapkannya. Sebaliknya, jika dealer

menjual mata uang saat harga tinggi maka

dealer menetapkan batas harga minimum

penjualan yang dapat dia berikan. Hal ini berarti bahwa dealer berusaha untuk menjual

mata uang di atas harga minimum yang ditetapkannya. Asumsi di atas menginginkan adanya kesempatan arbitrase dalam transaksi yang terjadi.

Persamaan model ini dengan model makroskopis adalah menginginkan adanya kesempatan arbitrase dalam transaksi perdagangan. Dalam model makroskopis kesempatan arbitrase triangular dipenuhi apabila logaritma hasil kurs tak negatif. Adapun kesempatan arbitrase dalam model

Sato dan Takayasu dipenuhi apabila harga

penjualan saat t lebih besar dari harga pembelian saat t .

Dalam model Sato dan Takayasu

didefinisikan komponen-komponen dalam pasar sebagai berikut:

(6)

( ) i

B t : harga penawaran dealer pada transaksi

ke- i untuk membeli pada waktu t (nilai bid),

( ) i

S t : harga penawaran dealer pada transaksi

ke- i untuk menjual pada waktu t (nilai

ask),

( ) ( )

i i

A=S tB t : selisih harga jual dan harga beli dealer pada transaksi ke- i saat t .

Dalam model ini, jual-beli mata uang dalam model Sato dan Takayasu dilihat dari

sudut pandang dealer, sehingga asumsi di atas

dapat diperluas yaitu dealer bertujuan untuk

minimisasi harga pembeliannya (atau harga penjualan customer). Maksud minimisasi di

sini adalah penentuan batas harga maksimum pembelian yang akan menjadi patokan dealer

untuk membeli di bawah harga maksimum yang telah ditetapkan. Di sisi lain bertujuan untuk maksimisasi harga penjualannya (atau harga pembelian customer). Maksud maksimisasi di sini adalah penentuan batas harga minimum penjualan yang akan menjadi patokan dealer untuk menjual di atas harga

minimum yang telah ditetapkan. Hal tersebut menyebabkan selisih harga jual dan harga beli

dealer diharapkan positif

(

A=S ti( )−B ti( )>0

)

.

Dengan asumsi di atas, dapat didefinisikan mekanisme pembentukan harga di pasar yang didasarkan pada harga maksimum pembelian dan harga minimum penjualan dealer. Kondisi untuk terjadinya perdagangan diberikan oleh pertidaksamaan berikut: L t( )=maks

{

B ti( )

}

−min

{

S ti( )

}

≥ (27) 0 atau

{

}

{

}

( ) maks i( ) min i( ) v t = B tB t ≥ (28) A dengan

{

}

maks B ti( ) : harga pembelian maksimum

dealer saat transaksi ke- i pada waktu t ,

{

}

min S ti( ) : harga penjualan minimum dari

dealer saat transaksi ke- i pada waktu t ,

{

}

min B ti( ) : harga pembelian minimum dari

dealer saat transaksi ke- i pada waktu t .

Dalam model makroskopis, transaksi dengan arah x→ → → memiliki y z x

{

}

maks B ti( ) yang sesuai dengan

** 3 ( )

r t

sedangkan min

{

S ti( )

}

sesuai dengan

** 1 ( )

r t .

Dalam transaksi tersebut memungkinkan untuk terjadi arbitrase di dalam pasar. Misalkan transaksi dengan arah

x→ → → terjadi di pasar X . y z x

Dalam model makroskopis, transaksi dengan arah x→ → → memiliki z y x

{

}

maks B ti( ) yang sesuai dengan

** 3 ( )

r t

sedangkan min

{

S ti( )

}

sesuai dengan

** 1 ( )

r t .

Dalam transaksi tersebut memungkinkan untuk terjadi arbitrase di dalam pasar. Misalkan transaksi dengan arah

x→ → → terjadi di pasar Y . z y x

Harga pasar ( )P t didefinisikan sebagai

nilai tengah dari maks

{

B ti( )

}

dan

{

}

min S ti( ) ketika perdagangan terjadi. Harga pasar P t( ) mempertahankan nilai terdahulu ketika tidak terjadi perdagangan. Harga pasar

( )

P t didefinisikan sebagai berikut: maks{ ( )} min{ ( )} ; ( ) 0 ( ) 2 ( 1) ; ( ) 0 (29) i i B t S t L t P t P t L t + ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ < ⎩ atau maks{ ( )} min{ ( )} ; ( ) ( ) 2 ( 1) ; ( ) . (30) i i B t B t v t A P t P t v t A + ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ < ⎩ Mekanisme pembentukan harga di atas mempengaruhi karakteristik pergerakan

dealer sehingga algoritma dealer memiliki

dua bentuk, yaitu sebagai berikut: Kasus 1 (Tidak Terjadi Perdagangan)

Jika Persamaan (27) atau (28) tidak dipenuhi, yaitu maks

{

B ti( )

}

−min

{

S ti( )

}

< 0 atau maks

{

B ti( )

}

−min

{

B ti( )

}

< maka A harga pembelian pada waktu t+ dapat 1 didefinisikan sebagai berikut:

( 1) ( ) ( ) ( ) i i i B t+ =B t +a t + Δc P t (31) dengan ( ) i

a t : karakteristik pergerakan dealer pada

transaksi ke- i yaitu menjadi penjual atau pembeli pada waktu t ,

( )

P t

Δ : selisih harga pada waktu t dan harga

perdagangan sebelumnya (ΔP t( )=P t( )−P t( − ), 1)

c : konstanta yang menentukan respon

dealer dari perubahan harga pasar; c> . 0

Dealer mengikuti Persamaan (31), sehingga dealer menurunkan harga

{

}

min S ti( ) dengan cara menurunkan harga pembelian

{

B ti( )

}

, di lain pihak dealer lain meningkatkan harga maks

{

B ti( )

}

dengan cara meningkatkan harga penjualan

{

S ti( )

}

(7)

Kasus 1

d1 d2

Kasus 2

d1 d2

sampai bisa kembali menjual dan membeli mata uang. Dalam kasus ini, harga hanya mengubah posisi relatif dealer dengan

karakteristik pergerakan dealer mempunyai

dua bentuk sebagai berikut:

+1 jika sebagai pembeli ( )

-1 jika sebagai penjual . i dealer a t dealer ⎧ = ⎨ ⎩ (32) Catatan:

Bagian c PΔ tidak bergantung pada transaksi ke- i yang dilakukan oleh dealer. Oleh karenanya, c PΔ tidak mengubah posisi relatif dari dealer tapi mengubah keseluruhan posisi dealer.

Kasus 2 (Terjadi Perdagangan)

Jika Persamaan (27) atau (28) dipenuhi, yaitu maks

{

B ti( )

}

−min

{

S ti( )

}

≥ atau 0

{

}

{

}

maks B ti( ) −min B ti( ) ≥ maka harga A diperbaharui mengikuti Persamaan (29) atau (30), yaitu sebagai berikut:

{

}

{

}

maks ( ) min ( ) ( ) 2 i i B t S t P t = + atau

{

}

{

}

maks ( ) (min ( ) ) ( ) 2 i i B t B t A P t = + +

dengan karakteristik pergerakan dealer

pada waktu t+ didefinisikan sebagai 1 berikut:

-1 jika pembeli ( )

( 1) +1 jika penjual

( ) jika tidak sebagai pembeli maupun penjual. (33)

i i i dealer a t a t dealer a t dealer ⎧ = ⎨ ⎪ + = ⎨ ⎩ ⎪ ⎩

Berikut merupakan skema dari transaksi model Sato dan Takayasu:

Keterangan: : menyatakan min

{

S ti( )

}

: menyatakan S ti( ) : menyatakan maks

{

B ti( )

}

: menyatakan B ti( ) di : dealer ke- i ; i=1, 2

3.2.2 Interaksi Dua Sistem dari Model Sato dan Takayasu

Dalam bagian ini, akan dibahas model mikroskopis yang disajikan dalam model Sato

dan Takayasu. Sekumpulan dealer dari model

Sato dan Takayasu membentuk suatu sistem

yang dikenal dengan pasar. Dalam model ini, hanya melibatkan dua pasar (misalkan pasar

X dan Y ) untuk transaksi triangularnya

karena mengambil asumsi bahwa satu dari tiga pasar merupakan pasar ternormalkan.

Mekanisme pembentukan harga di pasar

X dan Y berdasarkan pada harga maksimum pembelian dan harga minimum penjualan

dealer di pasar X atau Y . Kondisi untuk

terjadinya suatu perdagangan mengikuti Persamaan (27) dan (28) dalam model Sato

dan Takayasu, yaitu sebagai berikut:

{

,

}

{

,

}

( ) maks i z( ) min i z( ) 0 L t = B tS t ≥ (34) atau

{

,

}

{

,

}

( ) maks i z( ) min i z( ) v t = B tB t ≥ (35) A untuk z=X atau Y dengan

{

,

}

maks Bi z( )t : menyatakan harga pembelian maksimum dari dealer dalam transaksi

ke-i di pasar X atau Y ,

{

,

}

min Si z( )t : menyatakan harga penjualan minimum dari dealer dalam transaksi ke- i

di pasar X atau Y ,

{

,

}

min Bi z( )t : menyatakan harga pembelian minimum dari dealer dalam transaksi ke- i

di pasar X atau Y .

Harga pasar P tz( ) didefinisikan oleh nilai tengah dari maks

{

Bi z, ( )t

}

dan min

{

Si z, ( )t

}

ketika perdagangan terjadi. Harga pasar P t z( ) mengikuti Persamaan (29) atau (30), yang didefinisikan sebagai berikut:

, , maks{ ( )} min{ ( )} ( ) 2 ( 1) (36) i z i z z z B t S t P t P t + ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ atau , , maks{ ( )} (min{ ( )} ) ( ) 2 ( 1). (37) i z i z z z B t B t A P t P t + + ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪

Jika Persamaan (34) atau (35) tidak dipenuhi maka harga pembelian pada waktu

1

t+ mengikuti Persamaan (31) yang

didefinisikan sebagai berikut:

, ( 1) , ( ) , ( ) ( )

i X i X i X X

(8)

dan

, ( 1) , ( ) , ( ) ( )

i Y i Y i Y Y

B t+ =B t +a t + Δc P t . (39)

Dalam model ini, harga akan lebih berfluktuasi apabila tercipta transaksi baru di luar transaksi di dalam pasar masing-masing (X dan Y ) misalkan transaksi antar X dan Y

sehingga membuat sistem lebih berinteraksi. Adanya harga yang berfluktuasi memungkinkan terjadinya transaksi arbitrase. Transaksi arbitrase bisa terjadi jika kondisi berikut dapat dipenuhi:

, , ( ) maks{ ( )} (min{ ( )} ) 0 X i X i Y v t = B tB t +A ≥ ...(40) atau , , ( ) maks{ ( )} (min{ ( )} ) 0 Y i Y i X v t = B tB t +A ≥ …(41) Kondisi arbitrase vX( )t ≥ dan ( ) 00 v tY ≥ berhubungan dengan arbitrase ( )v t ≥ di 0 pasar aktual.

Dari model Sato dan Takayasu, pasar X dan Y memiliki maksimum pembelian dan minimum penjualan sehingga memungkinkan adanya kesempatan arbitrase di antara pasar

X dan pasar Y . Kesempatan arbitrase di

pasar X atau pasar Y memenuhi Persamaan (40) atau Persamaan (41). Adapun sebaran dari arbitrase di pasar X dan arbitrase di pasar Y yang mengikuti logaritma hasil kurs pada data aktual diberikan sebagai berikut: 1. Transaksi Arbitrase di Pasar X

Transaksi arbitrase di pasar X memuat transaksi dengan arah pertukaran

x→ → → . y z x maks

{

Bi X, ( )t

}

bersesuaian

dengan transaksi pertukaran secara langsung dari z ke x yang diberikan oleh **

3

lnr ( )t . Di

pasar Y tidak terdapat transaksi langsung dari

z ke x dalam transaksi pertukaran arah

x→ → → sehingga dibutuhkan z y x

perantara y. min

{

Si Y, ( )t

}

dengan arah

transaksi pertukaran dari z ke x melalui y

diberikan oleh ** **

2 3

lnr ( ) lnt + r ( )t . Lampiran 5.1 menyajikan perhitungan dari kondisi arbitrase di pasar X .

Gambar berikut memperlihatkan kesempatan arbitrase di pasar X . Nilai

( ) 0 X

v t < menyatakan kesempatan arbitrase

yang negatif di pasar X artinya diperoleh keuntungan yang negatif dari pertukaran di antara pasar X dan Y sehingga

memungkinkan untuk tidak melakukan transaksi pertukaran antar pasar karena transaksi merugikan. vX(t) p d f v X (t) -0.00100 -0.00125 -0.00150 -0.00175 -0.00200 -0.00225 -0.00250 -0.00275 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

Gambar 4.a Kesempatan arbitrase di pasar X

2. Transaksi Arbitrase di Pasar Y

Transaksi arbitrase di pasar Y memuat

transaksi dengan arah pertukaran

x→ → → . z y x maks

{

Bi Y, ( )t

}

bersesuaian

dengan transaksi pertukaran secara langsung dari y ke x yang diberikan oleh **

3

lnr ( )t . Di pasar X tidak terdapat transaksi langsung dari y ke x dalam transaksi pertukaran arah

x→ → → sehingga dibutuhkan y z x

perantara z. min

{

Si X, ( )t

}

dengan arah

transaksi pertukaran dari y ke x melalui z

diberikan oleh ** **

2 3

lnr ( ) lnt + r ( )t . Lampiran 5.2 menyajikan perhitungan dari kondisi arbitrase di pasar Y .

Gambar berikut memperlihatkan adanya kesempatan arbitrase di pasar Y . Nilai

( ) 0 Y

v t ≥ menyatakan kesempatan arbitrase

yang tak negatif di pasar Y artinya diperoleh keuntungan dari pertukaran di antara pasar

dan

X Y sehingga memungkinkan untuk

melakukan transaksi pertukaran antar pasar karena transaksi menguntungkan.

vY(t) p d f v Y (t) 0.00275 0.00250 0.00225 0.00200 0.00175 0.00150 0.00125 0.00100 600 500 400 300 200 100 0

Gambar 4.b Kesempatan arbitrase di Pasar

(9)

d1 d2 d1 d2

d1 d2 d1 d2

Prosedur simulasi dari model mikroskopis adalah sebagai berikut:

1. Sediakan dua sistem dari model Sato

dan Takayasu, misalkan pasar X dan

Y.

2. Periksa Persamaan (34) atau (35) dan perbaharui harga dengan Persamaan (36) atau (37). Jika Persamaan (34) atau (35) dipenuhi, lanjutkan ke langkah 4, dan jika sebaliknya maka lanjutkan ke langkah 3.

3. Periksa kondisi transaksi arbitrase, yaitu Persamaan (40) dan (41). Jika Persamaan (40) dipenuhi, perbaharui harga P tX( ) untuk maks

{

Bi X, ( )t

}

dan

harga ( )P tY untuk min

{

Bi Y, ( )t

}

+ . A

Jika Persamaan (41) dipenuhi, perbaharui harga ( )P tX untuk

{

,

}

min Bi X( )t + dan harga ( )A P tY untuk maks

{

Bi Y, ( )t

}

. Jika kedua kondisi

dipenuhi, maka pilih salah satu dari (40) dan (41) yang memiliki peluang 50% dan selesaikan transaksi arbitrasenya. Jika transaksi arbitrase ada, lanjutkan ke langkah 4, jika sebaliknya maka lanjutkan ke langkah 5.

4. Hitung selisih antara harga baru dan harga terdahulu, yaitu sebagai berikut: ΔP tX( )=P tX( )−P tX( − 1) dan

ΔP tY( )=P tY( )−P tY( − . 1) Kemudian loncat langkah 5 dan teruskan ke langkah 6.

5. Jika Persamaan (34) atau (35), (40) dan (41) tidak dipenuhi maka pertahankan harga terdahulu, yakni

( ) ( 1)

X X

P t =P t− dan ( )P tY =P tY( − . 1) 6. Ubah harga penawaran dealer untuk

membeli mengikuti Persamaan (38) dan (39) .

7. Ubah karakteristik pergerakan dealer dari pembeli atau penjual menjadi

penjual atau pembeli mengikuti Persamaan (33).

8. Ulangi langkah (2) sampai (7).

Adapun gambaran skematis dari interaksi di antara pasar X dan Y dalam model mikroskopis adalah sebagai berikut:

Kasus 1 (Tidak Terjadi Perdagangan Intra Pasar Maupun Antar Pasar)

Persamaan (34) atau (35), (40) dan (41) tidak dipenuhi sehingga dealer yang bertindak

sebagai pembeli membuat harga meningkat karena pembelian terkait dengan permintaan. Hal sebaliknya untuk dealer yang bertindak

sebagai penjual.

X

P PY

Kasus 2 (Terjadi Perdagangan Intra Pasar (dalam pasar X ))

Dealer dalam pasar X memenuhi

Persamaan (34) atau (35). Hal tersebut menyatakan terjadinya transaksi intra pasar sehingga harga dalam pasar X (P tX( )) diperbaharui mengikuti Persamaan (36) atau (37). Dealer mengubah karakteristik

pergerakannya mengikuti Persamaan (33). Sedangkan untuk dealer dalam pasar Y sama

seperti pada kasus 1.

X

P PY

Kasus 3 (Terjadi Perdagangan Antar Pasar)

Penjual di pasar X dan pembeli di pasar

Y memenuhi Persamaan (40) dan (41). Hal tersebut menyatakan terjadinya transaksi arbitrase di antara pasar X dan Y . Perubahan harga yang terjadi membuat dealer mengubah

karakteristik pergerakannya mengikuti Persamaan (33).

X Y

(10)

d1 d2 d1 d2

X

P P Y

Gambar 5 memperlihatkan skema interaksi di antara pasar X dan Y yang merupakan rangkuman dari tiga kasus di atas.

3.3 Hubungan Kekuatan Interaksi dari Model Makroskopis Dengan Model Mikroskopis

Dalam bagian ini, akan dibahas hubungan di antara model makroskopis dan model mikroskopis melalui kekuatan interaksi k . Kekuatan interaksi k dalam model makroskopis dinyatakan dalam Persamaan (24) sedangkan untuk model mikroskopis didefinisikan kekuatan interaksi

mikro

k yang berhubungan dengan kekuatan interaksi k model makroskopis yaitu sebagai berikut:

(

) ( )

( )

2 mikro 2 2 1 1 . (42) 2 z z z z z v t t v t k v t ⎛ + Δ − ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ε ε

Dari Persamaan (24) dan (42) diperoleh hubungan antara kekuatan interaksi k dengan kmikro yaitu sebagai berikut:

mikro 2 3 k= k dan mikro 3 2 k = k. (43) Terlihat bahwa kmikro lebih besar dari pada

k . Hal ini menyatakan bahwa kekuatan

interaksi di antara dealer sangat besar

pengaruhnya terhadap nilai dari logaritma hasil kurs.

Dalam model makroskopis, kekuatan interaksi k bergantung pada perubahan

waktu Δ . t kmikro juga bergantung pada

perubahan waktu yang diikutinya. Perubahan waktu dari model Sato dan

Takayasu diberikan oleh kombinasi

parameter-parameter berikut: 3A n

Nα (44)

dengan n menyatakan interval di antara dua perdagangan yang berurutan.

Invers dari Persamaan (45) menghasilkan persamaan berikut: 1 3 N f n A α = (46)

dengan f menyatakan frekuensi perdagangan yang terjadi. Nilai f digunakan untuk mengukur interaksi di antara pasar X dan Y . Dengan itu maka frekuensi perdagangan menyatakan kekuatan interaksi kmikro. Frekuensi

perdagangan yang terjadi di antara pasar X dan Y berbanding lurus dengan banyaknya

dealer serta karakteristik pergerakan dealer.

(11)

Pilih

Gambar 5 Skema Simulasi Interaksi di Antara Pasar X dan Y Sediakan 2 sistem,

pasar X dan Y

Periksa terjadi perdagangan atau tidak Terjadi perdagangan

saat t

Tidak terjadi perdagangan saat t

Perbaharui harga mengikuti Persamaan (36) atau (37) Periksa kondisi arbitrase mengikuti Persamaan (40) atau (41) Tidak terjadi arbitrase saat t Terjadi arbitrase saat t Harga saat t : ( ) ( 1) X X P t =P t− ( ) ( 1) Y Y P t =P t

Selisih harga saat t : ( ) 0 X P t Δ = ( ) 0 Y P t Δ = Arbitrase di pasar X ( Y ) mengikuti Persamaan (40) ((41))

Arbitrase di pasar X dan

Y mengikuti Persamaan (40) dan (41)

Ubah harga menjadi:

, ( ) maks{ ( )} X i X P t = B t (P tX( )=min{Bi X, ( )}t + ) A , ( ) min{ ( )}+ Y i Y P t = B t A (P tY( )=maks{Bi Y, ( )}t )

Selisih harga saat t : ( ) ( ) ( 1) X X X P t P t P t Δ = − − ( ) ( ) ( 1) Y Y Y P t P t P t Δ = − −

Saat t+ dealer (penjual) memiliki sedikit aset sehingga dealer meningkatkan 1 harga pembelian saat t+ mengikuti Persamaan (38) atau (39) 1

Dealer mengubah karakteristik pergerakannya mengikuti Persamaan (33)

Pilih Persamaan (40) atau (41) yang memiliki peluang

Gambar

Gambar 1.a Hasil Kurs  μ ** ( ) t  arah transaksi  IDR → JPY → USD → IDR  dengan mean  1.000313 dan standar deviasi 0.000382
Gambar 2.a Logaritma Hasil Kurs arah  transaksi  IDR → JPY → USD → IDR dengan mean 0.000313 dan standar deviasi  0.000382
Gambar 3.a Persamaan Waktu Perubahan  dari Logaritma Hasil kurs untuk transaksi  IDR → JPY → USD → IDR  dengan mean  0.10996  dan standar deviasi  0.0000496
Gambar berikut memperlihatkan  kesempatan arbitrase di pasar  X . Nilai
+2

Referensi

Dokumen terkait

Bayi Paus Beluga berwarna gelap seperti lautan Arktik yang biru kelam, sehingga aman dari pemangsa. Saat dewasa warnanya putih sebagai alat penyamaran di tempat tinggalnya

Faktor Eksternal.. 63 kelemahan besar, maka perusahaan akan berusaha untuk mampu mengatasi dan mengubah menjadi sebuah peluang. a.) Memanfaatkan pengalaman petani dalam

10/POKJA.D3.A3/INTEGRASI/V/2017 tanggal 5 Mei 2017 maka dengan ini diumumkan Peringkat Teknis Penyedia Jasa untuk pekerjaan tersebut di atas sebagai berikut

Oleh karena remaja merupakan kelompok yang potensial berperan secara aktif sebagai kader penyuluh deteksi kanker serviks maka tujuan kegiatan pengabdian ini adalah untuk

Kawasan Perdagangan Bebas Indonesia adalah sebuah kawasan perdagangan dan pelabuhan yang berada dalam wilayah Indonesia yang diperlakukan kebijakan melalui penghapusan atas rejim

Perbandingan kedua gelombang sinus pada gambar grafik tersebut menunjukkan bahwa, dengan menggunakan neuro-fuzzy sebagai pengendali tegangan IBBSF, tegangan keluaran

Pusat Kesenian Ludruk Di Surabaya adalah suatu tempat ataupun sarana dimana suatu bentuk nilai keindahan dari kesenian Ludruk yang berasal dari ekspresi manusia

Kemampuan komunikasi, pengetahuan, dan wawasan yang luas serta bekerja secara tim sangat membantu seorang desainer game yang berperan dalam menjembatani antara dunia