a. Static Portfolio Analysis: Markowitz (1959) b. Dynamic Portfolio Analysis c. Contingent Claims Analysis: Black and Scholes (1973), Merton (1973)

(1)

1. Pendahuluan

Dalam pasar keuangan, beberapa instrument financial yang perlu dikenali: a. Stock (Equitis, Securities, Shares)

b. Bonds : Corporate, Municipal, Government (Long Term Borrowing)

c. Corporate paper, Certificates of Deposit, Treasury Bills (Short Term Borrowing)

d. Commodity futures, currency futures, options (derivative securities), (Contingent Claims/Contract: Kontrak/Pengakuan bersyarat)

Setiap instrument diperdagangkan dalam pasar (Market) yang terdiri dari Buyer (pembeli) dan Seller (penjual). Setelah terjadi transaksi , surat kontrak dapat digunakan oleh pemiliknya (holder) dan hak yang diklaim harus dilaksanakan oleh perusahaan yang mengeluarkan surat tersebut (writer). Pasar dunia (Global Market) yang utama ada di Tokyo, London, New York, Hong Kong, Zurich, Frankfurt, Paris dan Toronto.

Kegunaan dari instrument finansial adalah: a. Primer : investasi, mengumpulkan modal

b. Sekunder: Spekulation, Arbitrage, Hedging, Debt Swaps Model Matematika dalam finance adalah :

a. Static Portfolio Analysis: Markowitz (1959) b. Dynamic Portfolio Analysis

c. Contingent Claims Analysis: Black and Scholes (1973), Merton (1973)

Pada kuliah ini, model yang akan dibahas adalah model Contingent Claims Analysis dari Black Scholes. Sebelumnya akan dibahas pemodelan pergerakan harga saham yang diasumsikan mengikuti suatu distribusi statistik tertentu. Asumsi ini berdasarkan pengamatan dari data lapangan.

Dengan menggunakan distribusi statistik,return harian dipandang sebagai variabel acak:

𝑋𝑋 ≔ 𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑆𝑆𝑡𝑡−1

𝑆𝑆𝑡𝑡

≈

𝑆𝑆𝑡𝑡−1−𝑆𝑆𝑡𝑡

(2)

(3)

Histogram menunjukkan fungsi kepadatan peluang fx(x), terhadap suatu variable acak X. Fungsi tersebut

dapat berbentuk diskrit atau kontinu, bersesuaian dengan variabel randomnya. Contoh beberapa distribusi:

1. Binomial, diskrit pada {0,1,…,n},

0 < 𝑝𝑝 = 1 − 𝑞𝑞 < 1. 𝑓𝑓(x) = n 𝑝𝑝

𝑘𝑘_𝑞𝑞𝑙𝑙−𝑘𝑘_{jika 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘, 𝑘𝑘 = 0,1, … , 𝑙𝑙}

k

0 lainnya 2. Poisson, diskrit pada {0,1,…,n}, λ>0

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒

−𝜆𝜆_𝜆𝜆𝑘𝑘

𝑘𝑘! 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑘𝑘𝑗𝑗 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘, 𝑘𝑘 = 0,1, … , 𝑙𝑙 0 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑗𝑗𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑗𝑗

3. Exponensial Negatif, kontinu absolut pada [β,∞), dengan α>0. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝛼𝛼𝑒𝑒_{0 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑗𝑗𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑗𝑗}−𝛼𝛼(𝑥𝑥−𝛽𝛽) 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑘𝑘𝑗𝑗 𝛽𝛽 ≤ 𝑥𝑥 ≤ ∞

(4)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 �2𝜑𝜑𝜑𝜑𝑒𝑒

−(𝑥𝑥−𝜇𝜇)_2𝜑𝜑22

Simbol N(μ,σ²) digunakan untuk menunjukkan suatu distribusi normal dengan parameter μ dan σ.

Fungsi distribusi dari suatu variabel acak 𝑋𝑋 diberikan

𝐹𝐹𝑋𝑋(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃{𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥} = � 𝑓𝑓𝑋𝑋 ∞

𝑥𝑥 (𝜉𝜉)𝑑𝑑𝜉𝜉,

jika X kontinu. Sedangkan untuk 𝑋𝑋 diskrit, fungsi distribusinya adalah: 𝐹𝐹𝑋𝑋(𝑥𝑥) = � 𝑓𝑓𝑋𝑋

𝑥𝑥𝑗𝑗≤𝑥𝑥

(𝑥𝑥𝑗𝑗)

Pada bentuk kontinu, fungsi distribusi diberikan oleh daerah di atas fungsi kepadatan peluang sampai dengan 𝑥𝑥.

Mean atau Ekspektasi dari suatu variabel acak didefinisikan sebagai berikut 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = � 𝑥𝑥𝑓𝑓𝑋𝑋(

∞

−∞ 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

jika 𝑋𝑋 kontinu dan

𝐸𝐸(𝑋𝑋) = � 𝑥𝑥𝑗𝑗𝑓𝑓𝑋𝑋 𝑥𝑥𝑗𝑗≤𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑗𝑗) jika 𝑋𝑋 diskrit. Contoh: 1. Binomial : 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 𝑙𝑙𝑝𝑝.

(5)

2. Poisson : 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = ∑∞ 𝑘𝑘𝑒𝑒−𝜆𝜆_𝑘𝑘!𝜆𝜆𝑘𝑘 = 𝜆𝜆.

𝑘𝑘=0

3. Exponensial negatif: 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼⁻¹ 4. Normal : 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 𝜇𝜇.

Pengukuran dari kecenderungan central (pusat) dari variable acaknya oleh mean, median dan modus. Pada distribusi normal, mean, median dan modus sama. Kecuali pada skewed.

Untuk mengukur sebaran, didefinisikan variansi dari suatu variabel acak. 𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑋𝑋 = 𝐸𝐸(𝑋𝑋 − 𝐸𝐸(𝑋𝑋))2_{= 𝐸𝐸(𝑋𝑋}2_{) − (𝐸𝐸(𝑋𝑋))}2

Standard deviasi, atau dalam istilah finance disebut volatility, diberikan oleh 𝜑𝜑𝑋𝑋 = √𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑋𝑋

Karena ekspektasi adalah linier, 𝐸𝐸(𝛼𝛼𝑋𝑋 + 𝛽𝛽𝛽𝛽) = 𝛼𝛼𝑋𝑋 + 𝛽𝛽𝛽𝛽, maka 𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣(𝛼𝛼𝑋𝑋) = 𝛼𝛼²𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑋𝑋

𝜑𝜑𝛼𝛼𝑋𝑋 = 𝛼𝛼𝜑𝜑𝑋𝑋

Risiko dari pasar saham dapat diperkirakan dengan menggunakan distribusi. Misal suatu saham bernilai 50 dollar. Jika historical volatility dari returnnya adalah 1.181 % berlaku untuk 24 jam ke depan, maka dengan kepercayaan 90% return ini tidak akan melebihi ±1.937% atau antara 49.98063 dollar dan 50.01937 dollar.

2. Distribusi Normal

Variabel random 𝛽𝛽 disebut suatu variabel random lognormal dengan parameter 𝜇𝜇 dan 𝜑𝜑 jika 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝛽𝛽) adalah variabel random berdistribusi normal dengan mean 𝜇𝜇 dan variansi 𝜑𝜑². Jadi 𝛽𝛽 adalah lognormal bila dapat ditulis sebagai

𝛽𝛽 = 𝑒𝑒𝑋𝑋

di mana 𝑋𝑋 adalah variabel random Normal.

𝐸𝐸[𝛽𝛽] = 𝑒𝑒(𝜇𝜇+𝜑𝜑2)/2 𝑉𝑉𝑗𝑗𝑣𝑣(𝛽𝛽) = 𝑒𝑒2𝜇𝜇+2𝜑𝜑2 − 𝑒𝑒2𝜇𝜇+𝜑𝜑2 = 𝑒𝑒2𝜇𝜇+𝜑𝜑2 (𝑒𝑒𝜑𝜑²_{− 1)} Contoh:

Misalkan 𝑆𝑆(𝑙𝑙) adalah harga suatu security pada akhir dari n minggu tambahan, 𝑙𝑙 ≥ 1. Asumsikan bahwa

𝑆𝑆(𝑙𝑙)

𝑆𝑆(𝑙𝑙−1)untuk 𝑙𝑙 ≥ 1 saling bebas dan terdistribusi lognormal independent,identically distributed). Misalkan

(6)

1. harga securitynya naik minggu depan?

2. harga security naik berturut-turut dalam tiga minggu? 3. harga pada akhir minggu kedua lebih tinggi dari sekarang?

3. Teorema Limit Pusat

Theorem 2 Misalkan 𝑋𝑋₁, 𝑋𝑋₂, … adalah variabel random yang independent,

terdistribusi indentik yang masing-masing memiliki mean 𝜇𝜇 dan variansi tak nol 𝜑𝜑².

Misalkan 𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑋𝑋₁ + ⋯ + 𝑋𝑋𝑙𝑙

,

maka

lim

𝑙𝑙→∞

𝑃𝑃(

𝑆𝑆

𝑙𝑙

− 𝑙𝑙𝜇𝜇

𝜑𝜑√𝑙𝑙

≤ 𝑥𝑥) = 𝛷𝛷(𝑥𝑥)

dimana 𝛷𝛷(𝑥𝑥) adalah peluang dari suatu variabel random normal standard lebih

kecil dari x.

Contoh 3 Misalkan sebuah koin dilempar sebanyak 100 kali. Berapa peluang

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Misalkan 𝑆𝑆(𝑙𝑙) adalah harga dari security pada saat y waktu sekarang,

dengan waktu awal adalah 0. Kumpulan harga 𝑆𝑆(𝑙𝑙), 0 ≤ 𝑙𝑙 <

∞

_,

mengikuti gerak Brown geometrik (Geometric Brownian Motion) dengan

parameter drift 𝜇𝜇 dan volatility (peremeter ketidakstabilan) 𝜑𝜑, untuk

semua nilai taknegatif 𝑙𝑙 dan 𝑡𝑡, jika variabel random

(

𝑆𝑆(𝑡𝑡 + 𝑙𝑙)

𝑆𝑆(𝑙𝑙) )

saling bebas dari semua harga sampai waktu 𝑙𝑙. Dan juga, jika

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(

𝑆𝑆(𝑡𝑡 + 𝑙𝑙)

_{𝑆𝑆(𝑙𝑙) )}

adalah variabel random normal dengan mean 𝜇𝜇𝑡𝑡 dan variansi 𝑡𝑡𝜑𝜑².

Saling bebas?

Jika 𝑠𝑠

0

adalah nilai awalnya maka

𝐸𝐸[𝑆𝑆(𝑡𝑡)] = 𝑠𝑠₀𝑒𝑒

𝑡𝑡(𝜇𝜇+𝜑𝜑²/2)

_.

5. GBM sebagai Suatu Limit dari Model yang Lebih Sederhana

Misalkan Δ adalah penambahan kecil dari waktu. Setiap perubahan waktu Δ, harga

security

akan naik atau turun

, yaitu naik sejauh

u

dengan peluang

p

dan turun

sejauh

d

dengan peluang

1 − 𝑝𝑝

.

𝑢𝑢 = 𝑒𝑒

𝜑𝜑√𝛥𝛥

_{, 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒}

−𝜑𝜑√𝛥𝛥

𝑝𝑝 = (

1 _{2)(1 +}

𝜇𝜇

_{𝜑𝜑 √𝛥𝛥)}

Bagaimana jika Δ terus mengecil? Harga akan lebih sering berubah, walaupun

faktor 𝑢𝑢 dan 𝑑𝑑 makin dekat dengan 1. Hal ini menunjukkan bahwa kumpulan harga

(12)

ini menjadi GBM. Sebaliknya, GBM dapat diaproksimasi oleh model di atas, yang

lebih sederhana

Akan ditunjukkan bahwa model di atas akan menjadi GBM jika Δ mengecil terus.

Misal 𝛽𝛽

𝑗𝑗

adalah variabel random dengan

𝛽𝛽

𝑗𝑗

=

1 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑗𝑗𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑗𝑗𝑗𝑗𝑡𝑡 𝑗𝑗Δ

_{0 𝑡𝑡𝑢𝑢𝑣𝑣𝑢𝑢𝑙𝑙}

Frekuensi harga naik selama waktu 𝑙𝑙 ∶ ∑

𝑙𝑙𝑗𝑗=1

𝛽𝛽

𝑗𝑗

Frekuensi harga turun: 𝑙𝑙 − ∑

𝑙𝑙𝑗𝑗=1

𝛽𝛽

𝑗𝑗

. Harga sampai ke 𝑙𝑙 adalah (Binomial)

𝑆𝑆(𝑙𝑙𝛥𝛥) = 𝑆𝑆(0)𝑢𝑢

∑

𝑙𝑙𝑗𝑗=1

𝛽𝛽

𝑗𝑗

𝑑𝑑

𝑙𝑙−∑

𝑙𝑙𝑗𝑗=1

𝛽𝛽

𝑗𝑗

𝑆𝑆(𝑙𝑙𝛥𝛥) = 𝑑𝑑ⁿ𝑆𝑆(0)(

𝑢𝑢

_𝑑𝑑)

∑𝑙𝑙𝑗𝑗=1𝛽𝛽𝑗𝑗

Jika 𝑙𝑙 = 𝑡𝑡/𝛥𝛥

𝑆𝑆(𝑡𝑡)

𝑆𝑆(0) = 𝑑𝑑

𝑡𝑡/𝛥𝛥

𝑆𝑆(0)

𝑢𝑢

𝑑𝑑

∑𝑡𝑡/𝛥𝛥𝑗𝑗=1𝛽𝛽𝑗𝑗

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �

_{𝑆𝑆(0)� =}

𝑆𝑆(𝑡𝑡)

_{𝛥𝛥 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙}

𝑡𝑡

(𝑑𝑑) + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑢𝑢

_𝑑𝑑

∑ 𝛽𝛽𝑗𝑗 𝑡𝑡 𝛥𝛥 𝑗𝑗=1

=

−𝑡𝑡𝜑𝜑

√𝛥𝛥

+ 2𝜑𝜑√𝛥𝛥 �

𝛽𝛽

𝑗𝑗 𝑡𝑡 𝛥𝛥 𝑗𝑗=1

Jika 𝛥𝛥 → 0, ∑

𝛽𝛽

𝑗𝑗 𝑡𝑡 𝛥𝛥

𝑗𝑗=1

semakin banyak, sehingga distribusi 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �

_𝑆𝑆(0)𝑆𝑆(𝑡𝑡)

� 𝑑𝑑apat

diaproksimasi oleh kurva normal. Maka didapat

𝐸𝐸[𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �

_{𝑆𝑆(0)�] =}

𝑆𝑆(𝑡𝑡)

−𝑡𝑡𝜑𝜑

√𝛥𝛥

+ 2𝜑𝜑√𝛥𝛥

�

𝐸𝐸(𝛽𝛽

𝑗𝑗

)

𝑡𝑡 𝛥𝛥 𝑗𝑗=1

=

−𝑡𝑡𝜑𝜑

√𝛥𝛥

+ 2𝜑𝜑√𝛥𝛥

𝑡𝑡

𝛥𝛥 𝑝𝑝

=

−𝑡𝑡𝜑𝜑

√𝛥𝛥

+

𝑡𝑡𝜑𝜑

√𝛥𝛥

(1 +

𝜇𝜇

𝜑𝜑 √𝛥𝛥)

= 𝜇𝜇𝑡𝑡

𝑉𝑉𝑗𝑗𝑣𝑣(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �

𝑆𝑆(𝑡𝑡)

𝑆𝑆(0)�) = 4𝜑𝜑²𝛥𝛥

� 𝑉𝑉𝑗𝑗𝑣𝑣 𝛽𝛽

𝑗𝑗 𝑡𝑡/𝛥𝛥 𝑗𝑗=1

(13)