Vektor Matematika.pdf

VEKTOR 

Vektor adalah sesuatu yang mempunyai besaran atau panjang dan arah. Vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen – segmen garis terarah atau panah – panah di ruang-2 atau ruang-3 dengan arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dari vektor dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point).

Suatu vektor dinyatakan dengan huruf kecil tebal misalnya a,k,v,w dan x. Bila membahas vektor maka bilangan menyatakan skalar.Semua skalar merupakan bilangan real dan dinyatakan dengan huruf kecil biasa misalnya a,k,v,w dan x. Sebagai contoh dalam gambar 1 , titik awal vektor v adalah A dan titik terminalnya adalah B, maka dapat

dituliskan   AB v B v A

Vektor – vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekuivalen.

Vektor – vektor dianggap sama walaupun vektor – vektor tersebut diletakkan pada kedudukan yang berbeda – beda. Jika v dan w ekuivalen maka dituliskan vw.

Definisi : Jika v dan w adalah sebarang dua vektor maka jumlah v + w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut : Tempatkanlah vektor w sehingga titik awalnya berimpit dengan titik terminal v. Vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik awal v terhadap titik terminal w. 

w w

v v+w v v+w v w+v

w

Definisi : Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, pengurangan w dari v didefinisikan sebagai v – w = v + (-w).

Untuk mendapatkan selisih v – w tanpa menggambarkan –w maka tempatkanlah v dan w sehingga titik awalnya berimpit; vektor dari titik terminal w ke titik terminal v adalah vektor v-w.

v-w v v v-w

-w w w

Definisi : Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan riil taknol (skalar),maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan yang arahnya sama seperti arah v jika k 0 dan berlawanan dengan arah v jika k0. Kita definisikan kv0 jika k 0atau v0.

Perhatikan bahwa vektor

 

1v mempunyai panjang yang sama seperti v tetapi diarahkan berlawanan.Jadi tak lain dari negatif v yaitu :

 

1vv.

NORMA DAN ILMU HITUNG VEKTO

Teorema : Jika u,v dan w adalah vektor – vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k serta l adalah skalar maka berlaku hubungan berikut ini :

a. u + v = v + u b. (u + v)+ w = u +(v + w) c. u + 0 = 0 + u = u d. u + (-u) = 0 e. k(lu) = (kl)u f. k(u + v) = ku + kv g. (k+l)u = ku + lu h. 1u = u

Panjang sebuah vektor v sering dinamakan norma v dan dinyatakan dengan v . Dari teorema Phytagoras diperoleh bahwa norma vektor v



v1, v2



di ruang-2 adalah

2 2 2 1 v v v  

Misalkan v



v₁,v₂,v₃



adalah vektor di ruang-3. Dengan menggunakan penerapan teorema Pythagoras maka akan diperoleh :

   

2 2 2 RP OR v  

     

2 3 2 2 2 1 2 2 2 v v v RP OS OQ      

Dengan demikian diperoleh 32 2 2 2 1 v v v v   

Jika P₁



x₁,y₁,z₁



dan P₂



x₂,y₂,z₂



adalah dua titik di ruang-3, maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah norma vektor P1P2. Karena P1P2 



x2 x1,y2 y1,z2 z1



 



maka d 



x₂ x₁

 

2  y₂ y₁

 

2  z₂ z₁



2

 

Demikian juga jika P₁



x₁, y₁



dan P₂



x₂, y₂



adalah titik – titik di ruang-2 maka jarak diantara kedua titik tersebut diberikan oleh d 



x x

 

2  y y



2

 

Definisi : Jika u dan v adalah vektor – vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan  adalah sudut diantara u dan v maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u ∙ v didefinisikan sebagai berikut :

     0 cos v u v u jika jika 0 0   u u dan dan 0 0   v v

HASIL KALI SILANG

Definisi : Jika u (u₁,u₂,u₃) dan v



v₁,v₂,v₃



adalah vektor di ruang-3 maka hasil kali silang uv adalah vektor yang didefinisikan oleh :



u2v3 u3v2,u3v1 u1v3,u1v2 u2v1



v

u    

Atau dalam notasi determinan _

        2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 , , v v u u v v u u v v u u v u

Teorema : Jika u,v dan w adalah sebarang vektor di ruang-3 dan k adalah sebarang skalar maka : a. u  v = - (v  u) b. u  (v + w) = (u  v) + (u  w) c. (u + v)  w = (u  w) + (v  w) d. k(u  v) = (ku)  v = u  (kv) e. u  0 = 0  u = 0 f. u  u = 0

RUANG VEKTOR 

Definisi : Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n bilangan riil



a₁,a₂,...,a_n



. Himpunan semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n

Definisi : Jika u



u₁,u₂,...,u_n



dan v



v₁,v₂,...,v_n



adalah sebarang vektor pada R , n maka hasil kali dalam euclidis (Euclidean inner product) uv kita definisikan dengan

 

n nv u v u v u v u  _{1 1} _{2 2}...

Norma Euclidis (panjang Euclidis) vektor u



u₁,u₂,...,u_n



pada R adalah n

 

2 2 2 2 1 2 1 ... un u u u u u       .

 

Jarak Euclidis di antara titik u



u1,u2,...,un



dan titik v



v1,v2,...,vn



pada n R didefinisikan oleh

 



 

2 2



2





2 2 1 1 ... ,v u v u v u v un vn u d         

 

Vektor vektor yang mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama disebut ekivalen. Jika v dan w ekivalen, maka kita menuliskann V = W.

Dua buah vektor dikatakan sama, jika panjang dan arahnya sama, Jadi vektor tidak tergantung kepada letaknya, tetapi tergantung pada panjang dan arahnya.

OPERASI OPERASI PADA VEKTOR

1. PENJUMLAHAN VEKTOR

Misal penjumlahan vektor V dan W kita mengenal 2 metode :

a. METODE JAJARAN GENJANG

- w

V

Vektor hasil (resultan) didapat dari diagonal jajaan genjang yang dibentuk oleh V serta W setelah titik awal ditempatkan berimpit.

b. METODE SEGITIGA

Resultant diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor (misal W) pada titik ujung vektor yang lainnya, maka resultant adalah vektor bertitik awal V, dan bertitik ujung dititik W.

V + W

W W

V V V+W

2. PERKALIAN SKALAR

Jika K suatu skalar bilangan riil dan V suatu vektor maka perkalian skalar KV menghasilkan suatu vektor yang panjangnya IKI kali panjang V, dan arahnya sama dengan arah V bila K positif atau berlawanan dengan V bila K negative. Bila K = 0 maka KV = 0, disebut vektor nol yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnnya berhimpit. Contoh : (1). V = (1, -2) dan W = (7,6) Maka v + w = (1,-2) +(7,6) = (8,4) dan 4 V =4(1, -2) = (4, -8) Karena V – W = V + - (W), Maka V – W = = V + (- W) = (1 – 7, -2 -6) = (- 6, -8) (2). V = (1, -3, 2) dan W = (4, 2, 1) Maka V +W = (1,--3, 2) + (4, 2, 1) = (5, 2, 3) Dan 2 V = 2 (1 , -3, 2) = (2, -6, 4) Maka V – W = V + (- W) = (-3, -5, 1)

RUANG BERDIMENSI SATU (R1)

Setiap bilangan riil dapat diawali oleh sebuah titik pada suatu garis lurus, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang berdimensi 1, ditulis R1 misal pilih O sebagai titik awal susunan koordinat dan suatu titik E dimana panjang OE = 1 Satuan

R P O E

Titik O mewakili bilangan nol, Titik E mewakili bilangan satu.

RUANG BERDIMENSI DUA (R2)

Setiap bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata, yang membuat susunan koordinat di dalam ruang berdimensi dua, ditulis R2 Masing masing garis disebut sumbu koordinat.

O E C

RUANG BERDIMENSI TIGA (R3)

Setiap triple bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik didalam ruang berdimensi tiga ditulis R3 dengan membentuk suatu susunan koordinat yaitu mengambil 3 garis lurus.(tidak sebidang ) yang berpotongan di titik awal O .

VEKTOR DI DALAM RN

Perhatikan susunan koordinat yang tegak lurus (Orthogonal) disebut pula susunan koordinat courtesian di R2.Suatu vektor disebut satuan bila panjangnya = 1

Y2

E2

o E1 X1

e1 = OE1 yang titik awalnya O (0,0) dan titik ujungnya E1 (1,0), e2 = OE2 yang titik

awalnya O (0,0) dan titik ujungnya E2 (0,1)

ditulis e1 = 1e1 + Oe2 e2 = O e1 + 1e2

Disingkat menjadi e1 = ( 1, O) e2 = ( O, 1)

Vektor a yang titik awalnya O (0,0) dan titik ujungnya titik A (a1, a2), Vektor a disebut Vektor posisi (radius vektor) dari titik A.

MATRIKS 

1.1 Definisi

Suatu matriks adalah himpunan bilangan – bilangan y menurut bentuk empat persegi panjang dan ditempatkan di dalam tanda ( ) atau [ ] seperti :

A =                   mn 3 m 2 m 1 m n 2 23 22 21 n 1 13 12 11 a a a a a a a a a a a a            atau                  mn m m m n n a a a a a a a a a a a a A              3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 11

a sampai a_mn disebut elemen – elemen dari matriks dan dinyatakan elemen umum a _ij dimana i dan j merupakan indeks dengan i indeks yang pertama berjalan dari 1 sampai m dan j indeks yang kedua berjalan dari 1 sampai n. Suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar A atau

 

a_ij .

1.2 Pengertian Baris dan Kolom

Elemen – elemen yang disusun dengan arah mendatar seperti a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃  a_1n disebut baris sedangkan elemen – elemen yang disusun dengan arah vertikal disebut kolom seperti : a 11

a 21 a ₃₁  am1

Susunan elemen – elemen : a 11 a 12 a 13  a1n disebut baris pertama. Susunan elemen – elemen a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃  a_2n disebut baris kedua dan seterusnya. Terlihat bahwa untuk baris pertama indeks pertama dari a selalu sama dengan 1. Dengan demikian _ij i1. Indeks pertama dari baris kedua selalu sama dengan 2. Dengan demikian i2 dan

Susunan elemen – elemen a disebut kolom pertama 11 a 21

a ₃₁  am1

Susunan elemen – elemen a disebut kolom kedua ₁₂ a ₂₂

a 32  a_m2

Terlihat bahwa untuk kolom pertama indeks kedua dari a selalu sama dengan 1 dan untuk _ij kolom kedua indeks yang kedua selalu sama dengan 2. Dengan demikian maka indeks yang kedua dari a selalu menunjukkan kolom, misal a_ij 23 artinya elemen a berada pada

baris 2 dan kolom 3.

1.3 Type Dari Suatu Matriks

Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks bertipe mn (dibaca m kali n). Matriks yang banyaknya baris dan kolom sama disebut matriks bujur sangkar (square matrix). Suatu matriks bujur sangkar yang mempunyai n baris dan n kolom disebut matriks ber ” order” n. Suatu matiks yang hanya mempunyai 1 baris saja seperti:

B = [ b1 b2  bn],

disebut dengan vektor baris atau matriks baris. Sedang dengan order kolom n = 1, disebut

matriks kolom atau vector kolom dengan bentuk : C =

                  m 3 2 1 c c c c  Macam-Macam Matriks : 

           0 0 0 0 0 0 0 0 0 A

b) Matriks bujur sangkar (MBS) adalah sebuah matriks dimana m = n (banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom).

Contoh : misal matriks 33, adalah:

A =           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

Diagonal yang terdiri dari a11, a22, dan a33 adalah diagonal utama matriks.

MBS banyak digunakan pada penyelesaian sistem persamaan linier, dalam sistem ini jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak diketahui (kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.

c) Matriks diagonal adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen kecuali diagonal utama adalah 0, dan berbentuk:

A =             44 33 22 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a a a a

d) Matriks saklar, adalah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama besar tetapi bukan nol atau satu.

e) Matriks identitas, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 atau dapat juga disebut matriks satuan, seperti bentuk berikut  ini:     0 0 1 0 0 0 0 1

f) Matriks segitiga atas (MSA), adalah matriks yang semua elemen dibawah diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:

A =             44 34 33 24 23 22 14 13 12 11 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a

g) Matriks segitiga bawah (MSB), adalah matriks yang semua elemen diatas diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:

A =             44 43 42 41 33 32 31 22 21 11 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a

h) Matriks simetris, bila aij = aji, misalnya matriks simetris 33:

A =           8 7 2 7 3 1 2 1 5

i) Matriks simetris diagonal nol, bila aij = -aji, misalnya matriks simetris 33

yang semua unsur diagonalnya aji = 0.

A =              0 7 2 7 0 1 2 1 0

j) Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0, kecuali pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya sebagai berikut:

A =             44 43 34 33 32 23 22 21 12 11 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a

k) Matriks transpose, adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya AT).

Untuk matriks: A =                   mn 3 m 2 m 1 m n 2 23 22 21 n 1 13 12 11 a a a a a a a a a a a a            ,

maka transposenya (AT) adalah AT =

                  mn n 3 n 2 n 1 2 m 32 22 12 1 m 31 21 11 a a a a a a a a a a a a           

Hukum – hukum yang berlaku : a.



AB



T  AT BT

b.

 

AT T  A

 

c.



kA



T kAT dengan k = scalar d.

 

AB T BTAT

l) Matriks ortogonal adalah matrik bujur sangkar yang memenuhi aturan: [A]T . [A] = [A] [A]T = [I]

Aljabar Matriks

MBS dapat dikenakan suatu operator matematika seperti penjumlahan, pengalian, dan pengurangan.

a) Kesamaan dua matriks 

Contoh :            7 2 3 6 4 5 1 3 2 A            7 2 3 6 4 5 1 3 2 B            7 2 6 6 8 5 0 8 4 C

Dari contoh di atas diperoleh bahwa AB, AC,BC b) Penjumlahan dan pengurangan matriks

Definisi : Bila A = [aij] dan B = [bij] merupakan dua matriks dengan dimensi

mn, maka untuk operasi penjumlahan atau pengurangan (A  B) dari kedua matriks tersebut, adalah sama dengan matriks C = [cij]

dengan dimensi mn, dimana setiap elemen matriks C adalah jumlah (selisih) dari elemen-elemen yang berkaitan dari A dan B.

C = A  B = [aij bij] = [cij] Contoh : Jika A = _      4 1 0 3 2 1 dan B = _      1 2 5 0 3 2 Maka: A + B = _             5 4 2 1 ) 1 ( 0 0 3 3 2 2 1 = _      1 3 9 3 5 3 A  B = _             5 4 2 1 ) 1 ( 0 0 3 3 2 2 1 = _          1 1 1 3 1 1 A + B + A = _      4 1 0 3 2 1 + _      1 2 5 0 3 2 + _      4 1 0 3 2 1 = _      1 4 13 6 7 4

c) Perkalian Matriks dengan Skalar

Definisi : Hasil perkalian scalar k dengan matriks A dinyatakan sebagai kA

yaitu matriks yang didapat dari A dengan jalan mengalikan setiap elemen dari A dengan k.

Bentuk umumnya :            33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A            33 32 31 23 22 21 13 12 11 ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA

Contoh :         5 4 2 1 A

 

           5 3 4 3 2 3 1 3 3A         15 12 6 3 d) Perkalian matriks 

Definisi : Bila A

 

a_ij suatu matriks bertipe / berordo



mp



dan matriks

 

bij

 

B suatu matriks bertipe



pn



maka perkalian matriks A dan B didefinisikan sebagai suatu matriks C bertipe



mn



dengan elemen – elemen C yang sama dengan jumlah perkalian elemen – _ij elemen di baris ke-i dari A dengan elemen – elemen di kolom ke-j dari B. Contoh soal: Jika A = _       3 4 2 2 dan g = 5, maka C = gA = 5 _       3 4 2 2 = _       15 20 10 10

Perkalian dua matriks A dan B dapat dilakukan bila cacah kolom A sama dengan cacah baris B, dan kedua matriks disebut dengan conformable.

Perkalian suatu matriks 1m, yaitu A = [ a11 a12  a1m] dengan matriks m1

yaitu: B =                   1 m 31 21 11 b b b b 

adalah sebuah matriks C berukuran 11, yang berbentuk:

[a11 a12  a1m]                   1 m 31 21 11 b b b b  = [a11b11 + a12b21 +  + a1mbm1]

Operasi perkalian adalah baris dengan kolom, tiap elemen dari baris dikalikan dengan elemen dari kolom dan kemudian dijumlahkan.

Contoh soal: [2 3 4]            3 2 1 = [2(1) + 3(2) + 4(3)] = [2 + (6) + 12] = [8]

Perkalian antara matriks mp, yaitu A = [aij] dan matriks pn, yaitu B = [bij]

adalah matriks mn, yaitu C = [cij] dengan nilai cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj =   p 1 k aikbkj.

Dimana untuk i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n

Contoh soal: A = _      1 3 2 4 1 2 , B =             1 4 3 1 2 1 dan X =           3 2 1 x x x AB = _                    ) 1 ( 2 ) 3 ( 3 ) 2 ( 1 ) 4 ( 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( 1 ) 1 ( 4 ) 3 ( 1 ) 2 ( 2 ) 4 ( 4 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 = _      5 4 3 17 BA =                             2 ) 1 ( ) 4 ( 4 ) 3 )( 1 ( ) 1 ( 4 ) 1 )( 1 ( ) 2 ( 4 ) 2 ( 3 ) 4 ( 1 ) 3 ( 3 ) 1 ( 1 ) 1 ( 3 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ( 1 =            14 1 9 2 8 5 8 7 0 AX = _      1 3 2 4 1 2           3 2 1 x x x = _           3 2 1 3 2 1 2 3 4 2 x x x x x x

Beberapa hukum yang berlaku dalam aljabar matriks : a. A1A

b. AB A

 

B c.



AB



C A



BC



d. A0 A e. A

 

A 0 f. ABBA g. k



AB



kAkB h.



k₁k₂



Ak₁Ak₂A i.



k1k2



Ak1



k2A



j. 1A A dan 0A0

DETERMINAN

Definisi. Suatu fungsi determinan dinyatakan sebagai det. Suatu determinan dari A yang diberi notasi det

 

A atau A adalah kumpulan elemen – elemen yang tersusun menurut  baris dan kolom sehingga berbentuk bujur sangkar yang mempunyai nilai sama dengan jumlah semua perkalian elementer dengan memperhatikan tanda.

Bentuk Umum : 21 12 22 11 22 21 12 11 a a a a a a a a A    Contoh : 10 4 3 1 2 1 4 3 2        A Sifat-sifat determinan

a) Apabila semua unsur dalam suatu baris (kolom) det

 

A 0maka det

 

A 0 Contoh :

 

0 0 0 5 3 2 1 4 2 det A   = 0

 

2 0 5 1 0 3 4 0 2 det A  = 0

b) Apabila semua unsur suatu baris (kolom) dari det

 

A dikalikan dengan scalar k sehingga menjadi B maka Bkdet

 

A

Contoh :

 

2 4 3 1 8 3 5 4 1 3 2 det A        

Baris pertama dalam matiks A dikalikan dengan 3 menjadi :

 

6 4 9 1 24 9 15 4 1 9 6 det B         = 3det

 

A

c) Apabila det

 

B diperoleh dari determina(A) dengan cara menukar letak sembarang dua baris (kolom) maka det

 

B det

 

A

 

3 2

1 1

det A  = 1 → ditukar baris

 

 

1 1 3 2 det A  = –1 → ditukar kolom

 

2 3 1 1 det A  = –1

 

d) Apabila unsur – unsur dua baris (kolom) dari det

 

A adalah identik maka

 

0 det A  .

 

6 5 3 4 2 1 4 2 1 det A  = 0

 

6 4 4 5 2 2 3 1 1 det A  = 0

 

Ada 2 baris yang sama Ada 2 kolom yang sama

e) Apabila unsur – unsur suatu baris (kolom) dari determinan A sebanding dengan unsur- unsur baris (kolom) yang lain maka det

 

A 0

 

0 4 3 4 3 det A  

 

0 2 1 1 4 2 6 2 1 3 det            

 

B  Baris kedua diperoleh dari elemen baris pertama dikali dengan 2.

f) Apabila det

 

B diperoleh dari det

 

A dengan menambahkan unsur – unsur pada baris (kolom) B dengan k kali unsur – unsur baris (kolom) A maka

 

 

 

B det

 

A det  Contoh :

 

4 8 4 3 2 det _        A

Perhitungan nilai determinan a) Metode Sarrus 

D = 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a D = (a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32) – (a13 . a22 . a31) – (a11 . a23 . a32) – (a12 . a21 . a33) Contoh soal: [A] = 1 4 2 1 3 1 4 2 1    → → 1 4 2 1 3 1 4 2 1    2 1 1  4 3 2  = (1.(– 3).1) + (2.1.(– 2)) + ((– 4).1.4) – ((– 4).(– 3).(–2)) – (1.1.4) – (2.1.1) = (– 3) + (– 4) + (– 16) + 24 – 4 – 2 = – 5.

b) Metode minor (ekspansi)

Jika di dalam suatu determinan tingkat atau orde n, elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j diambil (dihapus) terdapat suatu determinan tingkat (m–1), simbol yang ditulis Mij.

Contoh soal: 1). A =                  2 0 3 1 1 1 5 3 1 4 4 2 0 3 2 1 → → Minor (M23) =              2 3 1 1 5 3 0 2 1 → → Minor (M41) =             1 1 5 1 4 4 0 3 2 2). D = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

Harga determinannya adalah:

D = [(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)] –

= [a11(a22 . a33 – a23 . a32)] – [a12 (a21 . a33 – a23 . a31)] + [a13 (a21 . a32 – a22 . a31)] = a11 33 32 23 22 a a a a – a12 33 31 23 21 a a a a + a13 32 31 22 21 a a a a = (a11 . M11) – (a12 . M12) + (a13 . M13) Invers Matriks

Invers dari matriks A

 

ajk bertipe



nn



dinyatakan sebagai

 

1



A dan merupakan matriks bertipe



nn



juga dengan sifat bahwa : AA1  A1AI dengan I adalah matriks identitas yang bertipe



nn



. Suatu matriks A yang mempunyai inverse maka disebut matriks non singular dan jika tidak mempunyai inverse maka disebut matriks singular.

Contoh :

1) Menggunakan determinan, hitung [A]-1 bila [A]=

            2 1 2 1 1 4 6 2 3 Penyelesaian:

Nilai determinan A = |A| = –17.

Dengan algoritma [A]-1 = A

1

adj [A]

A11 (baris 1 dan kolom 1 ditutup) = (+1)       2 1 1 1 = –3 A12 = (–1)       2 2 1 4 = 10, A13 = (+1)       1 2 1 4 = 2, A21 = (–1)         2 1 6 2 = 2 A22 = (+1)       2 2 6 3 = –18, A23 = (–1)        1 2 2 3 = –7, A31 = (+1)       1 1 6 2 = – 8 A32 = (–1)       1 4 6 3 = 21, A33 = (+1)        1 4 2 3 = 11

→ → [A]T =               11 7 2 21 18 10 8 2 3 [A]-1 = A 1

adj [A] → → [A]-1 = 17 1               11 7 2 21 18 10 8 2 3 → → =             17 11 17 7 17 1 17 21 17 18 17 10 17 8 17 2 12 3

Metode Invers Matriks Persamaan umum: a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1 a21 x1+ a22 x2 +  + a2n xn = b2 : : an1 x1 + an2 x2 +  + ann xn = bn

dapat ditulis dalam bentuk matriks, menjadi sebagai berikut:

                                           n 2 1 n 2 1 nn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11 b b b x x x a a a a a a a a a         atau AX = B

dengan: A adalah matriks koefisien nn.

X adalah kolom vektor n1 dari bilangan tak diketahui. B adalah kolom vektor n1 dari konstanta.

Nilai pada vektor kolom X dapat dicari dengan cara mengalikan kedua ruas persamaan dengan matriks inversi, yaitu A1AX = A1B, karena A1A = I, maka nilai-nilai dari elemen X = A1B,

Contoh soal:

Diketahui suatu persamaan, yaitu: 2x + y = 4

2x + 3y = 8

Maka persamaan diatas dapat ditulis = _

     3 2 1 2 + _      y x = _      8 4 → A + X = B → X = A B A X B

Untuk nilai A = _      3 2 1 2 → [A]-1 = A 1 adj [A] = 4 1         2 2 1 3 =           2 1 2 1 4 1 4 3 Sehingga nilai _      y x

dapat dicari yaitu:

          2 1 2 1 4 1 4 3       8 4 = _      2 1 ,

Jadi nilai x = 1 dan y = 2.

PENGGUNAAN DETERMINAN DALAM SISTEM PERSAMAAN LINEAR Perhatikan sistem persamaan linear berikut ini :

1 1 1x b y c a   (1) 2 2 2x b y c a   (2)

Apabila persamaan

 

1 dikalikan b dan persamaan ₂

 

2 dikalikan b maka akan diperoleh: ₁







       1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 b c b c x b a b a b c y b b x b a b c y b b x b a        x b a b a b c b c b a b a b c b c x 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1

Dengan cara yang sama diperoleh :

       y b a b a c a c a b a b a c a c a y 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1