MATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN JILID 3

JILID 3

SMK

MATEMATIKA

BISNIS DAN

Bandung Arry Sanjoyo, dkk.

Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang

JILID 3

Untuk SMK

Penulis

Ilustrasi Cover : Tim

Ukuran Buku : 17,6 x 25 cm

SAN SANJOYO, Bandung Arry

viii. 212 hlm

Daftar Pustaka : A1-A2

Glosarium : B1-B6 ISBN : 978-602-8320-73-3

MATEMATIKA

BISNIS DAN

m Diterbitkan oleh

Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan

Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional

Tahun 2009

CV. ARYA DUTA

Jl. Revolusi No. 29 Villa Pertiwi Sukamaju Depok Telp. (021) 8761630, 87906446 Fax. (021) 8757836 Diperbanyak oleh:

MANAJEMEN

Matematika Bisnis dan Manajemen Jilid 3 untuk SMK /oleh Bandung Arry, Sri Suprapti, Nur Asyiah, Dian Winda S ---- Jakarta : Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan, Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah, Departemen Pendidikan Nasional, 2008.

KATA SAMBUTAN

karunia Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional, telah melaksanakan kegiatan penulisan buku kejuruan sebagai bentuk dari kegiatan pembelian hak cipta buku teks pelajaran kejuruan bagi siswa SMK. Karena buku-buku pelajaran kejuruan sangat sulit didapatkan di pasaran.

Buku teks pelajaran ini telah melalui proses penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan sebagai buku teks pelajaran untuk SMK dan telah dinyatakan memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 45 Tahun 2008 tanggal 15 Agustus 2008.

Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada seluruh penulis yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional, sehingga dapat digunakan secara luas oleh pendidik dan peserta didik SMK. Buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional tersebut, kami tayangkan lewat internet agar dapat diunduh (download), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualan harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah.

Dengan ditayangkan soft copy ini diharapkan akan lebih memudahkan bagi masyarakat khususnya para pendidik dan peserta didik SMK di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri untuk mengakses dan memanfaatkannya sebagai salah satu sumber belajar.

Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para peserta didik kami ucapkan selamat belajar dan semoga dapat memanfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.

Jakarta, 17 Agustus 2008 Direktur Pembinaan SMK Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT., berkat rahmat dan

KATA PENGANTAR

Matematika merupakan suatu alat untuk berkomunikasi di bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Dengan matematika kita dapat mengungkapkan gejala-gejala alam, sosial, dan teknik dengan suatu ungkapan rumusan matematika yang tidak memuat makna ganda. Bahkan dengan berbantuan matematika kita dapat menyelesaikan permasalahan sosial, ekonomi, manajemen, dan teknik dengan penyelesaian yang akurat dan optimal. Fakta menunjukkan bahwa beberapa pemenang nobel untuk bidang ekonomi atau teknik berasal dari matematikawan.

Oleh karena itu, mempelajari dan menguasai matematika dari usia sekolah dasar maupun lanjut merupakan suatu kebutuhan. Buku ini disusun dengan memperhatikan konsep berfikir matematis dan selalu mengaitkannya dalam kehidupan sehari-hari, khususnya pada permasalahan ekonomi, bisnis, dan manajemen. Pada setiap konsep kecil yang dituangkan dalam suatu sub-bab selalu dikaitkan dengan permasalahan sehari-hari. Juga pada setiap bab diawali dengan kalimat motivasi, pembuka dan perangsang bagi pembaca untuk mengerti dari awal, kira-kira akan dipakai seperti apa dan dimana.

Belajar matematika tidak cukup hanya dengan mengerti konsep saja. Harus disertai dengan banyak latihan olah pikir serupa dengan contoh-contoh yang diberikan. Untuk itu, pada setiap akhir sub bab diberikan banyak soal-soal sebagai latihan dalam menguasai konsep dan meningkatkan ketrampilan olah pikir dan penyelesaian permasalahan.

Buku Matematika SMK Bisnis dan Manajemen ini terdiri dari 11 bab. Bab awal memuat materi dasar dalam matematika, yang akan dipakai untuk materi lain yang ada pada bab sesudahnya. Setiap bab berisi tentang topik kajian matematika yang disajikan lewat orientasi/ilustrasi, teori, beberapa contoh soal mulai dari yang mudah ke soal yang sulit. Sebelum mengerjakan latihan soal-soal pada setiap subbab, didahului dengan rangkuman, dengan tujuan siswa dapat mengingat hal-hal penting dari subbab yang telah dipelajari.

Penulis

Dengan bekal matematika untuk SMK Bisnis dan Manajemen ini, diharapkan lulusan SMK mempunyai bekal yang cukup dalam berfikir secara logis dan sistematis dengan selalu berpijak pada kaidah-kaidah keilmuan matematika dalam menghadapi problema-problema pada dunia kerja. Penulis sangat menyadari bahwa buku ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran untuk perbaikan sangat diharapkan oleh penulis. Suatu penghargaan yang setinggi-tingginya disampaikan kepada semua pihak yang telah mendukung dan memberikan fasilitas dalam penyusunan buku ini. Terutama kepada beliau-beliau yang dengan ikhlas mengarahkan, mengoreksi, memberikan masukan terhadap isi buku ini. Sekali lagi kami menyampaikan perhargaan yang sangat tinggi dan terima kasih yang sedalam-dalamnya. Penulis.

DAFTAR ISI

8. Geometri Bidang ... 8.1 Sudut ... 8.2 Keliling Bangun Datar ...

8.3 Luas Bangun Datar ...

8.4 Transformasi Geometri ...

8.5 Komposisi Transformasi ...

8.6 Penerapan Geometri Bidang ... 9. Peluang ... 9.1 Pengertian Dasar ... 9.2 Kaidah Pencacahan ...

9.3 Permutasi Dan Kombinasi ...

9.4 Peluang Suatu Kejadian ...

8.2.1 Persegi Dan Persegi Panjang ... 8.2.2 Jajaran Genjang, Layang – Layang Dan Trapesium ... 8.2.3 Segitiga ... 8.2.4 Lingkaran ... 8.3.1 Persegi Dan Persegi Panjang ... 8.3.2 Segitiga ... 8.3.3 Jajaran Genjang ... 8.3.4 Layang-Layang ... 8.3.5 Trapesium ... 8.3.6 Lingkaran ... 8.4.1 Translasi ... 8.4.2 Rotasi ... 8.4.3 Refleksi (pencerminan) ... 8.4.4 Dilatasi ... 8.5.1 Komposisi Translasi ... 8.5.2 Komposisi Rotasi ... 8.5.3 Komposisi Refleksi (pencerminan) ... 8.5.4 Komposisi Lebih Dari Dua Transformasi ...

9.2.1 Kaidah Perkalian ... 9.2.2 Kaidah Penjumlahan ... 9.3.1 Notasi Faktorial ... 9.3.2 Permutasi ... 9.3.3 Kombinasi ... 9.4.1 Peluang Komplemen Suatu Kejadian ... 9.4.2 Peluang Gabungan Dua Kejadian ... 9.4.3 Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas ... 9.4.4 Peluang Bersyarat Dan Kejadian Saling Bebas ... 9.4.5 Frekuensi Harapan Suatu Kejadian ...

405 406 416 428 437 454 461 465 466 469 475 497 417 418 419 426 428 429 430 431 433 434 437 442 446 450 455 455 456 458 469 473 475 476 487 502 503 505 506 514 Kata Sambutan ... Kata Pengantar ... Daftar Isi ... iii v vii

10. Statistika ... 10.1 Pengertian Dasar ...

10.2 Penyajian Data ...

10.3 Ukuran Statistika Bagi Data ...

11. Matematika Keuangan ... 11.1 Bunga Tunggal Dan Bunga Majemuk ... 11.2 Diskonto ... 11.3 Bunga Majemuk ... 11.4 Nilai Tunai, Nilai Akhir, Dan Valuta ... 11.5 Rente (rentetan Modal) ... 11.6 Anuitas ... 11.7 Metode Saldo Menurun ...

10.1.1 Pengertian Statistika ... 10.1.2 Pengertian Populasi Dan Sampel ... 10.1.3 Macam-macam Data ... 10.2.1 Penyajian Data Dalam Bentuk Tabel ... 10.2.2 Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram ... 10.2.3 Penyajian Data Dalam Bentuk Grafik ... 10.3.1 Ukuran Pemusatan ... 10.3.2 Ukuran Penyebaran ... 519 519 524 539 565 565 575 577 581 586 597 609 520 520 521 524 530 535 539 547 Daftar Pustaka ... Indeks ... A1 B1

Bab

8

G

E OM E T R I

B

I DA N G

ada bab ini akan dibahas bentuk-bentuk bidang dalam ruang dimensi dua atau yang disebut dengan bidang datar, seperti persegi, persegi panjang, jajaran genjang, layang-layang, trapesium dan lingkaran. Disamping itu juga dibahas tentang keliling serta luasan dari bidang tersebut, yang penerapannya erat kaitannya dengan kegiatan ekonomi (bisnis dan manajemen), terutama yang menyangkut luasan dari bidang. Selain itu, untuk mendukung pembahasan, juga dikenalkan dua besaran sudut yaitu derajat dan radian serta hubungan antara kedua satuan ukuran ini. Bidang matematika yang mencakup bahasan tentan kaitan titik, garis, bangun, dan sejenisnya dinamakan geometri. Ada berbagai macam geometri, namun yang dibahas disini adalah geometri Euclid dan lebih khusus lagi adalah geometri bidang.

8.1

S

Sebelum kita membicarakan tentang sudut, terlebih dahulu kita perhatikan tentang titik (point) dan garis (lines). Titik dan garis merupakan sesuatu yang tidak didefinisikan dalam geometri Euclid. Dengan adanya titik dan garis, dibuat juga beberapa aksioma dan definisi yang membentuk suatu sistem aksioma. Garis disini dimaksudkan adalah garis lurus. Beberapa aksioma yang kita pakai sebagai landasan pembahasan bab ini adalah:

- Hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik. - Dua garis lurus hanya berpotongan di satu titik.

- Melalui suatu titik diluar suatu garis lurus, hanya ada satu garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut.

Pembahasan berikutnya selalu berpijak pada kaidah di atas. Misalkan kita menggambar dua garis lurus OX dan OPyang berpotongan di titik O, seperti terlihat pada Gambar 8.1.1. Garis lurus OX dan OP membentuk sudut di titik O, yang dinamakan sudut O dan dilambangkan dengan ∠XOP atau dapat juga ditulis ∠POX, sedangkan garis OXdan garis OP dinamakan sisi sudut dari sudut XOP.

Gambar 8.1.1 Garis OX dan garis OP membentuk ∠ XOP

udut

Sering kali, suatu sudut dibentuk dari memutar garis dari posisi awal OX menuju posisi akhir OP, dengan titik O sebagai pusat perputaran. Garis OX disebut sisi awal sudut dan garis OP disebut sisi akhir sudut. Untuk mengukur ∠ XOP digunakan aturan berlawanan dengan arah jarum jam yang putar kanan. Sudut bernilai positip jika arah putar ke kiri dan bernilai negatif jika arah putar ke kanan. Seperti sudut pada Gambar 8.1.2 (a) dan (c) adalah sudut positif, sedang sudut pada Gambar 8.1.2 (b) adalah sudut negatif.

Gambar 8.1.2 Sudut positif dan sudut negatif

Ada dua ukuran sudut yaitu derajat dan radian. Lihat Gambar 8.1.2 (a), jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan pusat putaran O sebanyak satu kali putaran (sisi akhir OP berimpit kembali dengan sisi awal OX), maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah

360𝑜_{. Ukuran satu derajat (}o

) adalah suatu ukuran sudut pusat lingkaran yang diperoleh dari membagi keliling busur lingkaran dengan 360. Sebagai ilustrasi lihat Gambar 8.1.3.

Gambar 8.1.3 Ukuran sudut dalam derajat Beberapa ukuran beberapa sudut istimewa disajikan berikut ini.

1. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan pusat putaran O sebanyak setengah putaran (sisi akhir OP membentuk garis lurus dengan sisi awal OX), maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah 180𝑜. Seperti yang terlihat pada Gambar 8.1.4 (a).

2. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan pusat putaran O sebanyak seperempat putaran (sisi akhir OP membentuk garis tegak lurus dengan sisi awal OX), maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah 90𝑜. Seperti yang terlihat pada Gambar 8.1.4 (b).

3. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan pusat putaran O sebanyak seperdelapan putaran, maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah 45𝑜. Seperti yang terlihat pada Gambar 8.1.4 (c).

Gambar 8.1.4 Ukuran sudut dalam derajat

4. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kanan dengan pusat putaran O sebanyak seperdelapan putaran, maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah −45𝑜. Seperti yang terlihat pada Gambar 8.1.4 (f).

Ukuran sudut yang kurang dari 90𝑜, dinamakan sudut lancip. Ukuran sudut sama dengan 900 dinamakan sudut siku-siku. Dua garis yang berpotongan dan membentuk sudut 900 dikatakan saling tegak lurus. Ukuran sudut lebih dari 900 dinamakan sudut tumpul.

Ada ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat, yaitu menit dan detik, dengan 1 drajat (0) = 60 menit („) dan 1 menit („) = 60 detik (“).

Radian dan Hubungannya dengan Derajat

Dua macam satuan yang biasa digunakan untuk menentukan ukuran sudut yaitu radian dan derajad. Apabila kita menggunakan ukuran derajat, sudut yang dibentuk oleh satu putaran garis/sisi berukuran 3600. Dalam ukuran radian, sudut yang dibentuk oleh satu putaran garis besarnya adalah 2π radian. Misal kita buat sebuah lingkaran dengan pusat Odan jari-jari rseperti terlihat pada Gambar 8.1.5.

Gambar 8.1.5 Ukuran sudut radian

Misal XP sebuah busur pada lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran r. Besar sudut pusat XOP yang menghadap busur XP adalah satu radian. Keliling lingkaran sama dengan 2



r (nilai

14 , 3



 ) dan besar sudut satu putaran adalah 2



radian. Besar sudut pusat lingkaran dengan satu putaran adalah 3600.

Jadi diperoleh

0 360

Persamaan tersebut adalah persamaan dasar antara radian dan derajat. Oleh karena itu :

" 45 ' 17 57 180 1 0 0  



radian radian radian 0,01745 180 10 



 CONTOH 8.1.1

Berapa besar sudut dalam radian jika diketahui besar sudut dalam derajat adalah 450 ?

Jawab.

Karena radian 0,01745radian

180

10 



 ,

Maka radian radian 0,78525radian

4 180

45

450 









CONTOH 8.1.2

Berapa besar sudut dalam derajat jika diketahui dalam besar sudut dalam radian adalah 1,25 radian ?

Penyelesaian: Karena 1 180 57017'45" 0  



radian ,

Maka 1,25 1,25 180 71037'11" 0   



radian CONTOH 8.1.3

Nyatakan besar sudut



3 2 dalam derajat ! Penyelesaian: Karena 1



radian1800, maka 1800 1200 3 2 3 2   



CONTOH 8.1.4

Nyatakan besar sudut 540 dalam bentuk 0  radian Penyelesaian:

Karena 1



radian1800,

maka



radian 3



radian

180 540

540 ₀

0

0   

Sudut – sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis

1. Perhatikan gambar perpotongan dua garis pada Gambar 8.1.6. Jika dua garis berpotongan, maka jumlah an sudut – sudut yang bersebelahan adalah 180o, atau 𝛼 + 𝛽 = 180𝑜.

Gambar 8.1.6 Jumlahan sudut yang bersebelahan

2. Perhatikan gambar perpotongan dua garis pada Gambar 8.1.7. Jika dua garis berpotongan, maka sudut – sudut yang bertolak belakang adalah sama, atau

𝛼 = 𝛼′ dan 𝛽 = 𝛽′

Gambar 8.1.7 Sudut yang bertolak belakang

3. Perhatikan gambar perpotongan satu garis dengan dua garis yang sejajar pada Gambar 8.1.8.

Jika sebuah garis memotong sepasang garis yang paralel sebagaimana pada Gambar 8.1.8, maka:

- 𝜙1, 𝜃1, 𝛼2, 𝛽2 merupakan sudut – sudut dalam (interior) - 𝜙2, 𝜃2, 𝛼1, 𝛽1 merupakan sudut – sudut luar (exterior) - Sudut-sudut yang berseberangan adalah sama, atau

𝜃₁= 𝛼₂, dan 𝜙1= 𝛽2.

𝛼₁= 𝛼₂, 𝛽1= 𝛽2, 𝜙1= 𝜙2, dan 𝜃1= 𝜃2.

Gambar 8.1.8 Sudut – sudut dalam, luar, bersesuaian, dan berseberangan.

CONTOH 8.1.5

Tentukan besar sudut 𝛼, 𝛽, dan 𝛾 pada gambar berikut ini.

Penyelesaian:

- Karena sudut 𝛼 bertolak belakang dengan sudut 30o, maka

𝛼 = 30𝑜_.

- Karena sudut 𝛽 beseberangan dengan sudut 30o_{, maka}

𝛽 + 30𝑜 _{= 180}𝑜_{, atau 𝛽 = 180}𝑜 _{− 30}𝑜 _{= 150}𝑜

- Karena sudut 𝛾 bertolak belakang dengan sudut 𝛽, maka



RANGKUMAN

 Untuk mengukur besarnya sudut digunakan aturan berlawanan dengan arah jarum jam yang putar kanan. Sudut bernilai positip jika arah putar sudut ke kiri dan bernilai negatif jika arah putar sudut ke kanan. Besar sudut dinyatakan dalam derajat (o) atau radian.

 Hubungan antara radian dan derajat adalah

" 45 ' 17 57 180 1 0 0  



radian

 Jika dua garis berpotongan, maka:

- jumlahan sudut – sudut yang bersebelahan adalah 180o, atau 𝛼 + 𝛽 = 180𝑜.

- sudut – sudut yang bertolak belakang adalah sama.

S

S

S

O

O

O

A

A

A

L

L

L

L

L

L

A

A

A

T

T

T

I

I

I

H

H

H

A

A

A

N

N

N

8

8

8

-

-

-

1

1

1

1. Konversikan besaran sudut dalam derajat ke dalam radian a. 320 45‟ c. 480 15‟ 30”

b. 1280 21‟ 35” d. 4500 45‟ 45”

2. Konversikan besaran sudut dalam radian ke dalam derajat a. 6,28 radian c. 9 radian

b. 0,314 radian d. 11 radian 3. Ubahlah ke dalam satuan



radian

a. 7200 c. 3150

b. 4500 d. 4050

4. Ubahlah ke dalam satuan derajat a.



6 5 c.



4 11 b.



4 3 d.



3 7 5. Ubahlah ke dalam satuan



radian

a. - 900 b. -60o

c. - 300 d. -1800

6. Tentukan besar sudut A, B, dan C pada gambar berikut ini, jika besarnya sudut D adalah

a. 400 b. 60o

c.



_/6 radian d.



_/10 radian

8.2

Keliling Bangun Datar

Keliling suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjang sisi-sisinya. Juga dikatakan bahwa keliling suatu bangun datar adalah jarak yang ditempuh bila suatu bangun dikitari melalui sisinya dan sampai kembali ke tempat semula.

8.2.1

Persegi dan Persegi Panjang

Bangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segi empat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dan mempunyai ukuran panjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus dari persegi panjang yaitu ukuran panjang dan lebar adalah sama. Seperti terlihat pada Gambar 8.2.1.

Gambar 8.2.1 Bangun persegi panjang dan persegi

Keliling dari persegi adalah jarak yang ditempuh jika mengitari sisi-sisinya dan kembali pada titik awal.

Untuk persegi panjang, kelilingnya (K) adalah dua kali panjang (p) ditambah dua kali lebar (l) dan dinyatakan dengan :

𝐾 = 2𝑝 + 2𝑙 = 2(𝑝 + 𝑙)

Untuk persegi, karena panjang sisi-sisiya sama (s) maka keliling persegi dinyatakan dengan :

𝐾 = 2𝑠 + 2𝑠 = 4𝑠

Jumlahan semua sudut dalam persegi panjang atau persegiemat adalah 360o.

CONTOH 8.2.1

Hitung keliling persegi panjang dengan panjang 20 satuan dan lebar 15 satuan !

Penyelesaian:

Keliling persegi panjang tersebut adalah:

𝐾 = 2 𝑝 + 𝑙 = 2 20 + 15 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 = 70 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛

CONTOH 8.2.2

Hitung keliling persegi dengan panjang sisi-sisinya 20 satuan !

Penyelesaian:

Keliling persegi tersebut adalah:

𝐾 = 4𝑠 = 4 × 20 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 = 80 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛

8.2.2

Jajaran Genjang, Layang

–

Layang dan

T

Bentuk-bentuk segi empat yang lain adalah: Jajaran genjang, Layang-layang dan Trapesium. Jajaran genjang mempunyai dua pasang sisi yang saling sejajar, layang-layang dua pasang sisinya sama panjang sedangkan trapesium hanya memiliki sepasang sisi yang sejajar. Bentuk bangun datar ini diperlihatkan pada Gambar 8.2.2.

Gambar 8.2.3 Bangun datar Jajaran Genjang, Layang-Layang dan Trapesium

Keliling dari bangun segi empat ini dengan menghitung jarak yang ditempuh, jika mengitari bangun segi empat ini dan kembali ke titik asal. Dengan demikian keliling untuk masing masing bangun segi empat ini adalah :

 Jajaran genjang : K 2



pl



 Layang-layang : K 2



pl



 Trapesium : Kklmn

8.2.3

S

Segitiga (triangle) dibentuk dari tiga titik (yang tidak segaris) yang dihubungkan dengan tiga segmen garis yang melalui tiga titik tersebut. Gambar 8.2.3 merupakan gambar bentuk umum segitiga. Titik – titik dalam segitiga tersebut adalah A, B, dan C. Karena itu, segitiganya dinamakan segitiga ABC atau ditulis dengan ∆ ABC. Segmen garis yang menghubungkan titik-titik tersebut dinamakan sisi dari segitiga.

Pada titik A ada ∠BAC atau singkatnya ∠A, besarnya ∠A adalah α. Sisi segitiga yang berada didepan ∠A adalah segmen garis BC dengan panjang a. Pada titik B ada ∠𝐴BC atau singkatnya ∠B, besarnya ∠B adalah β. Sisi segitiga yang berada didepan ∠B adalah segmen garis AC dengan panjang b. Pada titik C ada ∠BCA atau singkatnya ∠C, besarnya

∠C adalah γ. Sisi segitiga yang berada didepan ∠C adalah segmen garis AB dengan panjang c.

Gambar 8.2.3 Segitiga ABC

Jika pada Gambar 8.2.3 segmen garis AB dianggap sebagai alas segitiga ABC, maka tinggi dari segitiga ABC adalah t.

Keliling segitiga (K) adalah jumlahan dari ketiga sisinya dan tulis sebagai berikut.

𝐾 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

Sifat sudut dalam segitiga

Dalam segitiga ABC pada Gambar 8.2.3, jumlahan sudut – sudut dalam segitiga adalah 180o atau ditulis

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180𝑜

Hal ini dapat diperlihatkan berikut ini. Pandang segitiga ABC seperti tampak dibawah ini. Garis BE sejajar dengan garis AC.

- Karena bersesuaian, besarnya ∠CAB sama dengan ∠DBE.

- Karena berseberangan, besarnya ∠ACB sama dengan ∠CBE. Diperoleh

∠𝐴BC + ∠CBE + ∠DBE = 180o

⇒ 𝛽 + 𝛾 + 𝛼 = 180𝑜

Jenis segitiga

Ada tiga jenis segitiga, yaitu:

 Segitiga siku-siku adalah suatu segitiga dengan salah satu sudutnya siku-siku (90o atau π/2), seperti tampak pada gambar dibawah ini.

Jika dipunyai segitiga siku-siku seperti tampak pada gambar di atas, maka:

i. 𝛼 + 𝛽 = 90𝑜

ii. berlaku hukum pythagoras, 𝑎2+ 𝑏2= 𝑐2 iii. didefinisikan beberapa fungsi trigonometri:

- sin 𝛼 =𝑎_𝑐 - cos 𝛼 =𝑏_𝑐 - tan 𝛼 =𝑎 𝑏 = sin 𝛼 cos 𝛼

Dari definisi tentang fungsi trigonometri di atas, berikut ini dibuat tabel nilai sin 𝛼, cos 𝛼, dan tg 𝛼 untuk sudut-sudut α yang istimewa. Definisi fungsi trigonometri ini, akan dipakai pada akhir bab. 𝛼 0o 30o 45o 60o 90o -30o -45o -60o -90o sin 𝛼 0 1 2 2₂ 3₂ 1 ₋1 2 − 2₂ − 3₂ −1 cos 𝛼 1 ₃ 2 2 2 1 2 0 ₃ 2 2 2 1 2 0 tan 𝛼 0 ₃ 3 1 ₃ − 3 3 −1 _{− 3}

 Segitiga sama kaki (isosceles triangle) adalah suatu segitiga dengan dua sisinya sama panjang, seperti tampak pada gambar dibawah ini.

Jika dipunyai segitiga sama kaki seperti tampak pada gambar di atas, maka:

i. a = b, ii. 𝛼 = 𝛽,

iii. garis ketinggian segitiga CDmemotong segmen garis alas AB di tengah-tengah, atau panjang AD = panjang DB, iv. keliling segitiga 𝐾 = 2𝑎 + 𝑐

v. tinggi t dapat ditentukan sebagai berikut.

𝑡 = 𝑎2₋ 𝑐

2

2

 Segitiga sama sisi ketiga sisinya sama panjang

Jika dipunyai segitiga sama kaki seperti tampak pada gambar di atas, maka:

i. a = b = c

ii. 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 60𝑜

iii. garis ketinggian segitiga CDmemotong segmen garis alas AB di tengah-tengah, atau panjang AD = panjang DB. iv. keliling segitiga 𝐾 = 3𝑎

𝑡 = 𝑎2₋ 𝑎 2 2 =𝑎 3 2 CONTOH 8.2.3

Misal dipunyai segitiga seperti tampak pada gambar berikut ini.

Tentukan besarnya sudut α !

Penyelesaian:

Jumlahan sudut – sudut dalam segitiga adalah 180o, atau

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180𝑜

⇒ 𝛼 + 53𝑜 _{+ 25}𝑜 _{= 180}𝑜

⇒ 𝛼 = 180𝑜 _{− 53}𝑜 _{− 25}𝑜 _{= 102}𝑜

CONTOH 8.2.4

Suatu segitiga ABC dengan panjang sisi masing – masing adalah a = 45 cm, b = 37 cm, dan c = 57 cm.

Peny elesaian:

Keliling segitiga adalah

𝐾 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 45𝑐𝑚 + 37𝑐𝑚 + 57𝑐𝑚 = 139𝑐𝑚

CONTOH 8.2.5

Suatu penggaris berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi yang diketahui seperti tampak pada gambar berikut ini.

Tentukan keliling dari penggaris tersebut !

Penyelesaian:

Sisi miring (hypotenuse) belum diketahui, dapat dicari dengan menggunakan rumus pythagoras.

𝑐 = 𝑎2_{+ 𝑏}2_{= 4}2_{+ 3}2_{= 25 = 5} Jadi keliling dari penggaris tersebut adalah

8.2.4

L

Bentuk-bentuk benda yang berupa lingkaran sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan bentuk roda kendaraan, jam tangan yang bulat, medali, uang logam merupakan contoh benda-benda yang berbentuk lingkaran. Bentuk lingkaran diperoleh dengan menentukan tempat kedudukan atau himpunan semua titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik (Gambar 8.2.4). Titik tetap (xo,yo) tersebut

dikatakan pusat lingkaran dan jarak r tersebut dikatakan jari-jari lingkaran.

Gambar 8.2.4 Lingkaran

Keliling sebuah lingkaran sama dengan dua kali



dikalikan dengan jari-jarinya, atau ditulis :

r K 2

ingkaran



RANGKUMAN

 Keliling suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjang sisi-sisinya, dapat juga dikatakan bahwa keliling suatu bangun datar adalah jarak yang ditempuh bila suatu bangun dikitari sampai kembali ke tempat semula.

 Keliling untuk persegi panjang : K 2p2l 2



pl



 Keliling Persegi : K 2s2s4s  Keliling Jajaran genjang : K 2



pl



 Keliling Segitiga : K abc  Keliling Layang-layang : K 2



pl



 Keliling Trapesium : Kklmn  _{Keliling Lingkaran :} K 2r

S

S

S

O

O

O

A

A

A

L

L

L

L

L

L

A

A

A

T

T

T

I

I

I

H

H

H

A

A

A

N

N

N

8

8

8

-

-

-

2

2

2

1. Tentukan keliling dari bangun datar dibawah ini:

a. Persegi Panjang dengan panjang = 6 cm, lebar = 3 cm b. Persegi dengan sisi = 4 cm

c. Jajajaran genjang panjang = 12 cm, lebar = 8 cm d. Lingkaran dengan jari-jari = 5 cm

2. Sebuah jendela berbentuk persegi panjang dengan panjang = 2,4 m dan lebar 1,8 m. Diatas jendela diberi lengkungan setengah lingkaran.

a. Tentukan keliling jendela

b. Jika harga bahan Rp 42.500,-/m dan ongkos pembuatan jendela Rp 55.000,-. Tentukan harga jendela tersebut.

3. Sebuah pagar berbentuk seperti gambar di bawah ini, bagian atas pagar diberi hiasan segi tiga sama sisi.

Jika harga bahan Rp 35.000,-/m, ongkos pembuatan Rp 225.000,- tentukan harga pagar.

4. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan panjang 15 m dan lebar 10 m, keliling taman diberi pagar seperti pada soal 3. Berapa beaya yang dibutukhan untuk memberi pagar taman tersebut.

8.3

Luas Bangun Datar

8.3.1

P

P

P

Bangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segi empat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dimana mempunyai ukuran panjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus dari persegi panjang yaitu ukuran panjang dan lebar adalah sama. Seperti terlihat pada Gambar 8.1.2. Luas dari persegi panjang adalah banyaknya besaran turunan yang dapat menutupi permukaan persegi panjang. Kalau panjang dari persegi panjang adalah psatuan dan lebar

0,5 m

5 m 3 m

dari persegi panjang adalah l satuan, maka luas persegi panjang tersebut adalah:

l p L 

Sedangkan luas dari persegi adalah sisi (s) dikalikan dengan sisi (s) dan dinyatakan dengan: 2 s s s L   CONTOH 8.3.1

Tentukan luas dari persegi panjang dengan panjang 8 cm & lebar 4 cm

Penyelesaian: 2 32 4 8cm cm cm l p L     CONTOH 8.3.2

Tentukan luas dari persegi dengan panjang sisi 4 m

Jawab 2 16 4 4m m m s s L    

8.3.2

S

Perhatikan Gambar 8.3.1. Terlihat pada gambar bahwa Luas segi tiga ABC sama dengan ½ luas persegi panjang ADCF ditambah ½ luas persegi panjang DBFC maka luas segi tiga ABC sama dengan ½ luas persegi panjang ADCE dan DBFC. Sehingga luas segitiga dapat dirumuskan sebagai berikut :

Gambar 8.3.1 Segi tiga siku-siku ( ) ( ) 2 1 CD AB L  

Jika panjang alas (AB) segi tiga ABC adalah a dan Panjang dari garis tinggi CD adalah t, maka luas segitiga ABC dapat ditulis:

t a L   2 1 CONTOH 8.3.3

Tentukan luas segitiga yang panjang alasnya 8 cm dan tinggi 4 cm Jawab 2 16 4 8 2 1 2 1 _{a t cm cm cm} L      

8.3.3

J

G

Untuk mendapatkan luas jajaran genjang perhatikan Gambar 8.3.2. Buat garis tinggi dari sepasang sisi yang sejajar. Potong bentuk segitiga BFD (sebelah kanan), kemudian geser ke sebelah kiri sampai

menempel diatas segitiga AEC, akan membentuk bangun menjadi persegi panjang. Misalkan panjang alas jajaran genjang diketahui a dan tingginya t.

Gambar 8.3.2 Jajaran genjang dan persegi panjang yang dibentuk dari potongan segitiga dari jajaran genjang.

Jadi luas jajajaran genjang dinyatakan dengan:

t a L  CONTOH 8.3.4

Tentukan luas jajaran genjang yang panjang alas 8 cm dan tinggi 4 cm.

Penyelesaian: 2 32 4 8cm cm cm t a L    

8.3.4

L

Luas layang-layang dicari dengan membuat garis diagonal-diagonalnya, kemudian memotong salah satu diagonalnya. Dari potongan ini terdapat dua segitiga yang panjang alas sama dengan diagonal dan tinggi dari

kedua segitiga sama dengan panjang diagonal yang lain seperti terlihat pada Gambar 8.3.3.

Gambar 8.3.3 Layang-layang dipotong menjadi dua segitiga

Luas segitiga BCD (potongan atas) adalah 𝐿△𝐵𝐶𝐷 =1₂𝑙 × 𝑝2 Luas segitiga ABC (potongan bawah) adalah 𝐿△𝐴𝐵𝐶 =1₂𝑙 × 𝑝1 Luas layang-layang: 𝐿_{△𝐵𝐶𝐷}+ 𝐿_{△𝐴𝐵𝐶} =1 2𝑙 × 𝑝2+ 1 2𝑙 × 𝑝1= 1 2𝑙 𝑝1+ 𝑝2 = 1 2𝑙 × 𝑝 Jadi luas layang-layang:

𝐿_{𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔 −𝑙𝑎𝑦𝑎 𝑛𝑔} =1

2𝑙 × 𝑝

CONTOH 8.3.5

Tentukan luas layang-layang yang panjang diagonalnya 10 cm dan tinggi 6 cm.

Penyelesaian:

𝐿𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔 −𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔 =1₂𝑙 × 𝑝 =1₂6 × 10 = 30cm2.

8.3.5

T

Perhatikan Gambar 8.3.4. Penghitungan luas trapesium dengan membuat dua garis tinggi dari alas trapesium, bidang dipotong mengikuti garis tinggi, dengan demikian ada dua bidang datar berbentuk segitiga dan satu berbentuk persegi panjang.

Gambar 8.3.4 Trapesium dan Tiga Potongan Luas trapesium adalah jumlahan dari L1 + L2 + L1, dengan

L1 = ct 2 1 L2 = bt L3 = dt 2 1

rapesium

trap

L

= ct 2 1 +

 

bt + dt 2 1 =       _{ }  c b d t 2 1 2 1 =       _{   }  c b d c d t 2 1 2 1 , panjang acbd =





      _{ }  a c d t 2 1 , panjang cdab

L

trap = t



ab



2 1 CONTOH 8.3.6

Tentukan luas trapesium dengan tinggi 4 cm, alas 6 cm dan 5 cm. Jawab trap

L

= t



ab



2 1 = 4



6 5



22 2 2 1 cm    

8.3.6

L

Bentuk-bentuk benda yang berupa lingkaran sering anda jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan bentuk roda kendaraan, jam tangan yang bulat, medali, uang logam merupakan contoh benda-benda yang berbentuk lingkaran. Bentuk Lingkaran diperoleh dengan menentukan tempat kedudukan atau himpunan semua titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik (Gambar 8.2.4). Titik tetap (xo,yo) tersebut

dikatakan Pusat lingkaran dan jarak r tersebut dikatakan jari-jari lingkaran.

Gambar 8.3.5 Lingkaran

Luas sebuah lingkaran sama dengan



dikalikan dengan kuadrat jari-jarinya, atau ditulis :

L



r2

CONTOH 8.3.7

Tentukan luas lingkaran dengan jari-jari 4 cm. Jawab

 

2 2 2

16

4

cm

r

L

















RANGKUMAN

 Luas dari bidang datar adalah banyaknya besaran turunan yang dapat menutupi permukaan bidang datar tersebut.

 Luas untuk persegi panjang : L pl

 Luas Persegi : 2

s s s L  

 Luas Jajaran genjang : Lat

 Luas Layang-layang : _{1 2}

2

1 _{d d}

L  

 Luas Trapesium :

L

trap= t



ab



2 1  _{Luas Lingkaran :} 2 r L



S

S

S

O

O

O

A

A

A

L

L

L

L

L

L

A

A

A

T

T

T

I

I

I

H

H

H

A

A

A

N

N

N

8

8

8

-

-

-

2

2

2

1. Tentukan luas dari bangun datar dibawah ini: a. Persegi dengan sisi 3 cm

b. Persegi panjang dengan panjang 5 cm, lebar 2 cm c. Segi tiga dengan alas 8 cm dan tinggi 7 cm d. Lingkaran dengan jari-jari 6 cm

2. Tentukan luas tanah pada gambar dibawah ini

3. Paving dengan ukuran 4 x 8 cm digunakan untuk menutup halaman sekolah yang berukuran 8 x 10 m

a. Berapa banyak paving yang dibutuhkan

b. Jika harga paving Rp 2.500,-/buah berapa harga paving seluruhnya.

c. Ongkos pemasangan paving Rp 25.000,-/m2 Berapa beaya yang dibutuhkan

d. Agar lebih bagus digunakan paving merah sebanyak 12 m2 dengan harga Rp 2750,-/buah, berapa harga paving seluruhnya 4. Sebuah teras dari cor berbentuk persegi panjang dan diatasnya

diberi setengah lingkaran seperti gambar dibawah, dengan ketebalan 5 cm tiap meter persegi membutuhkan semen 6 kg, harga semen yang berisi 50 kg Rp 48.000,-

a. Berapa luas teras

b. Berapa kg semen yang dibutuhkan c. Berapa biaya untuk membeli semen

8.4

T

Transformasi geometri adalah pemindahan obyek bidang datar dari tempat asal ketempat yang lain. Terdapat empat bentuk transformasi geometri yaitu:

 Translasi (pergeseran)  Rotasi (putaran)  Refleksi (pencerminan)

 Dilatasi (Perbesaran atau perkecilan)

8.4.1

T

Translasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk memindah-kan suatu obyek pada bidang datar dengan jarak dan arah tertentu.

ransformasi Geometri

Panjang jarak dan arah pada translasi dinyatakan oleh vektor ABatau pasangan berurutan

_











b

a

.

Suatu translasi dari

R

2(ruang dimensi dua) ke

R

2didefinisikan oleh pemetaan:

2 2

:R R

T 

Titik P

 

x,y ditranslasikan oleh

_













b

a

T

artinya titik P

 

x,y dipetakan ke titik P'



x',y'



sehingga berlaku hubungan: b y y a x x     ' '

Hubungan ini mengandung pengertian:

1. Jika a0maka arah pergeseran kekanan dan jika a0 arah pergeseran kekiri.

2. Jika b0maka arah pergeseran keatas dan jika b0 arah pergeseran kebawah.

Gambar 8.5.1 Translasi Titik P

 

x,y ke P'



x',y'



CONTOH 8.4.1

Tentukan bayangan titik P



2,5



danQ



3,1



oleh translasi

_











3

2

T

Jawab Untuk titik P: P



2,5



 P'



22,53



P'



4,2



Untuk titik Q: Q



3,1



Q'



32,13



P'



1,4



CONTOH 8.4.2

Tentukan hasil translasi dari persamaan parabola yx2oleh translasi













3

1

T

, Gambarkan grafik sebelum dan sesudah translasi.

Penyelesaian:

y x -1 2 x y 1 2 2   x x y

 

'

2

'

4

'



x

2



x



y

1 ' 1 ' x xx  x 3 ' 3 ' y y  y  y

Substitusikan persamaan translasi ke persamaan parabola didapat: 2 x y 





2

1

'

3

'





x



y



y

'



 

x

'

2



2

x

'



1



3



y

'



 

x

'

2



2

x

'



4

Grafik parabola asal dan hasil translasi diperlihatkan pada gambar 8.5.2

Gambar 8.5.2 Grafik Parabola dan hasil Translasi

Pertama kita gambarkan grafik yx2, grafik ini digeser ke-kiri sejauh satu satuan (gambar garis putus-putus), kemudian dilanjutkan digeser ke-atas sejauh tiga satuan (gambar garis tebal).

CONTOH 8.4.3

Bayangan titik



a2b,ab



oleh translasi

_











b

a

adalah titik

 

8,1

Tentukan bayangan titik



2b,a1



oleh translasi yang sama.

Jawab.

Bentuk translasi sebagai berikut:













































1

8

2

b

a

b

a

b

a

8 2    b a a  2a2b8 …….. …….. (1) 1   b b a  a2b1 ……….. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat a3 dan b1, Oleh krena itu titik



2b,a1



=



2,4



.

Bayangan titik



2,4



oleh translasi













1 3 adalah:

























































3

1

1

3

4

2

y

x

Jadi, bayangan titik



2,4



oleh tranlasi

_











b

a

=













1 3 adalah

 

1,3

8.4.2

Rotasi

Rotasi adalah bentuk transformasi geometri untuk memindahkan obyek dengan cara pemutaran. Untuk melakukan rotasi diperlukan titik pusat, besar sudut dan arah sudut rotasi. Arah putaran sudut positif ber-lawanan dengan jarum jam, sebaliknya untuk arah sudut yang negatif putaran searah dengan jarum jam. Gambar 8.5.3 memperlihatkan bangun segitiga dirotasikan dengan pusat titik O

 

0,0 , sudut putar sebesar



searah jarum jam.

Gambar 8.5.3 Segitiga dirotasi pusat O sebesar



searah jarum jam Misalkan titik P

 

x,y diputar dengan titik pusat O

 

0,0 dengan sudut putar sebesar



berlawanan arah jarum jam, untuk mendapatkan titik hasil rotasi yaitu titik P'



x',y'



perhatikan Gambar 8.5.4.

y

O







O x

y

' y x ' x r r

 

x y P ,



', '



' x y P

OP = OP‟ = r, XOP



, POP'



cos r x , yrsin

































sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos ' y x r r r r x        





































cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin ' y x x y r r r r y           Jadi,   sin cos ' x y x     cos sin ' x y y  

Dalam bentuk matriks persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai berikut:









































y

x

y

x









cos

sin

sin

cos

'

'

Bentuk matriks

_





















cos

sin

sin

cos

CONTOH 8.4.4

Diberikan titik-titikA

 

2,4 , B



3,5



dan C



0,3



diputar dengan sudut seperempat putaran berlawanan arah jarum jam, pusat sumbu sumbu putar O. Tentukan bayangannya !.

Jawab.

Persamaan rotasi dengan  900dengan pusat sumbu O adalah:

                                                0 3 2 3 5 4 3 5 4 0 3 2 0 1 1 0 3 5 4 0 3 2 90 cos 90 sin 90 sin 90 cos ' ' 0 0 0 0 y x Jadi,



4,2



'  A ,

B

'





5

,



3



dan C'

 

3,0

Sekarang kita bahas jika titik pusat putar bukan O

 

0,0 , misal P

 

a,b

. Penyelesaian masalah ini sama dengan mentranslasikan O

 

0,0 ke titik P

 

a,b , sehingga didapat persamaan:





cos







sin



' a x a y b x    





sin







cos



' b x a y b y    

atau dalam bentuk matriks:

















































b

y

a

x

b

y

a

x









cos

sin

sin

cos

'

'

CONTOH 8.4.5

Tentukan bayangan dari persamaan parabola yx2 diputar dengan sudut putar sebesar _{90 berlawanan arah jarum jam, titik pusat} 0

 

0 , 2 Jawab.

Pusat rotasi

 

2,0 , besar sudut putar 90 berlawanan arah jarum jam, 0 persamaan rotasi:





0





0 90 sin 0 90 cos 2 2 '  x  y x





0





0 90 cos 0 90 sin 2 0 '  x  y y  x'2



x2

  

0 y 1



2

  

1 0 0 ' x y y      x'2y 2 ' x y



y2x' 2 '  y x

Substitusikan ke persamaan parabola yx2 didapat persamaan bayangan:



 



2

2

'

'

2



x



y



atau

 

'

4

'

2

'





y

2



y



x

Jadi bayangan dari persamaan parabola yx2yang diputar dengan sudut putar sebesar _{90 berlawanan arah jarum jam, titik pusat} 0

 

0 , 2

l

A

' C  ' B ' A C

B

_{ }   

y

x



x y



P' ,

 

x y P ,



x y



P"  ,

8.4.3

R

(P

)

Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri yang memindahkan obyek menjadi bayangan seperti di depan cermin. Misal suatu segitiga dicerminkan terhadap garis

l

, seperti pada Gambar 8.5.5.

Gambar 8.5.5 Segitiga ABC dicerminkan terhadap l

Pencerminan titik terhadap sumbu cermin,jarak titik asal ke sumbu cermin sama dengan jarak titik bayangan ke sumbu cermin.

Pada koordinat Kartesius, titik P

 

x,y dicerminkan terhadap sumbu x dan sumbu y hasil dari pencerminan diperlihatkan pada Gambar 8.5.6.

Gambar 8.5.6 Pencerminan P

 

x,y terhadap sumbu koordinat

efleksi encerminan

TitikP

 

x,y dicerminkan terhadap sumbu x menghasikan P'



x,y



, bentuk persamaan hasil pencerminan ini adalah:

y x x x x'  '1 0 y x y y y'  '0 1

Dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks:









































y

x

y

x

1

0

0

1

'

'

Matriks

_













1

0

0

1

disebut matriks pencerminan terhadap sumbu x.

Dengan cara yang sama dapat dicari bentuk-bentuk matriks pencerminan pada sumbu-sumbu cermin yang lain, untuk memudahkan mempelajari pencerminan bentuk-bentuk matriks pencerminan ditulis dalam tabel 8.5.1

Tabel 8.5.1

Matriks Transformasi Pencerminan Transformasi

Bentuk Matriks Pemetaan Pencerminan terhadap sumbu x



_











1

0

0

1

  

x,y  x,y



Pencerminan terhadap sumbu y



_









1

0

0

1

  

x,y  x,y



Pencerminan terhadap Pusat sumbu O

 

0,0



_













1

0

0

1

  

x,y  x,y



Pencerminan terhadap garis

y



x



_









0

1

1

0

_{   }

x y y x,  , Pencerminan terhadap garis

y





x



_













0

1

1

0

  

x,y  y,x



Selanjutnya, pengembangan pencerminan dengan mengganti sumbu cerminnya. Hasil pencerminan terhadap beberapa sumbu cermin adalah sebagai berikut:

 Sumbu cermin garis xh

 

x y

P , hasil pencerminan (bayangan) adalah: P'



2hx,y



 Sumbu cermin garis y k

 

x y

P , hasil pencerminan (bayangan) adalah: P'



x,2ky



 Sumbu cermin garis

y



mx

, bentuk matriks pencerminan:























1

2

2

1

1

1

2 2 2

m

m

m

m

m

M

_{y mx} CONTOH 8.4.6

Diberikan titik-titikA

 

2,4 , B



3,5



dan C



0,3



.

Tentukan bayangannya jika jika dicerminkan terhadap garis

y



x

Jawab.

Matriks pencerminan terhadap garis

y



x

adalah:

_











0

1

1

0

Persamaan matriks untuk titik-titik A

 

2,4 , B



3,5



dan C



0,3















'

'

y

x

=

_











0

1

1

0















3

5

4

0

3

2

=

_













3

0

2

3

5

4

CONTOH 8.4.7

Tentukan bayangan titik



3,7



jika dicerminkan terhadap garis 0

3 2xy  Jawab.

Ubah persamaan garis 2xy30menjadi y2x3.

Garis y2x3 diperoleh dari garis y 2x ditranslasi oleh

_











3

0

T

Bayangan



3,7



dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Translasikan titik



3,7



dengan

_











3

0

T

diperoleh:



3,4



2. Tentukan matriks pencerminan garis y2x























1

2

2

.

2

2

.

2

2

1

1

2

1

2 2 2 2x y

M

=

_











3

4

4

3

5

1

3. Cerminkan titik



3,4



terhadap garis y2x dengan menggunakan matriks pada 2. diperoleh:













y

x

=

_











3

4

4

3

5

1













4

3

=

_











0

5



   

x,y  5,0

4. Translasikan titik

 

5,0 dengan

_











3

0

T

diperoleh

 

5,3

' x

y

' y " y x _x"



", "



" x y P

y

x



', '



' x y P O

 

x y P ,

8.4.4

D

Dilatasi adalah bentuk transformasi geometri yang memperbesar atau memperkecil obyek tanpa mengubah bentuk obyek tersebut. Untuk melakukan dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor pengali atau skala. Jika skala > 1 maka bentuk obyek diperbesar, sebaliknya jika skal < 1 maka obyek diperkecil.

Perhatikan Gambar 8.5.7, suatu titik P

 

x,y dilakukan dilatasi dengan pusat O

 

0,0 dengan skala a.

Gambar 8.5.7 Dilatasi titik P

 

x,y

1 

a menghasikan P'



x',y'



, a1menghasikan P"



x",y"



Persamaan dilatasi dengan pusat O

 

0,0 dan k skala dinyatakan dalam bentuk: x k x' y k y'

Persamaan matriksnya adalah:

ilatsi













'

'

y

x

=

_











k

k

0

0













y

x

Matriks

_











k

k

0

0

disebut matriks dilatasiD

 

O,k

Untuk dilatasi dengan pusat P

 

a,b dengan skala k dan ditulis

 

P k

D , bentuk persamaannya adalah:



x a



k a x'  



y b



k b y'  

Persamaan dalam bentuk matriks adalah:













'

'

y

x

=

_











b

a

+

_











k

k

0

0

















b

y

a

x

CONTOH 8.4.8

Tentukan bayangan titik

 

6,8 oleh dilatasi: a. D

 

O,2 b.     2 1 , O D Jawab

a. Titik

 

6,8 dilatasi D

 

O,2 , gunakan persaman matriks dilatasi didapat:













'

'

y

x

=

_











2

0

0

2













8

6

=

_











16

12

b. Titik

 

6,8 dilatasi     2 1 , O

D , gunakan persaman matriks

dilatasi didapat:













'

'

y

x

=





















2

1

0

0

2

1













8

6

=

_











4

3

Jadi, hasil dilatasi

 

3,4 CONTOH 8.4.9

Tentukan bayangan dari persegi ABCD dengan titik sudut A

 

2,2 ,



2,2



B , C



2,2



dan D



2,2



jika dilakukan dilatasi dengan pusat titik C dengan skala 2

Jawab.

Bentuk dilatasi adalah: D

 

C,2

Persamaan matriks dilatasi untuk titik-titik:A

 

2,2 , B



2,2



,



2,2



C dan D



2,2



adalah:













'

'

y

x

=

_















2

2

+

_











2

0

0

2





































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

_















2

2

+

_











2

0

0

2













0

0

4

4

4

0

0

4

=

_



















2

2

6

6

6

2

2

6

Titik-titik hasil dilatasi: A'

 

6,6 , B'



2,6



, C'



2,2



dan



6, 2



' 



RANGKUMAN

 Transformasi geometri adalah pemindahan obyek bidang datar dari tempat asal ketempat yang lain

 Terdapat empat bentuk transformasi geometri yaitu : Translasi (pergeseran), Rotasi (putaran), Refleksi (pencerminan) dan Dilatasi (Perbesaran atau perkecilan).

 Translasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk memindah-kan suatu obyek pada bidang datar dengan jarak dan arah tertentu.

 Rotasi adalah bentuk transformasi geometri untuk memindahkan obyek dengan cara pemutaran. Untuk melakukan rotasi diperlukan titik pusat, besar sudut dan arah sudut rotasi.

 Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri yang memindahkan obyek menjadi bayangan seperti di depan cermin.

 Dilatasi adalah bentuk transformasi geometri yang memperbesar atau memperkecil obyek tanpa mengubah bentuk obyek tersebut. Untuk melakukan dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor pengali atau skala.

S

S

S

O

O

O

A

A

A

L

L

L

L

L

L

A

A

A

T

T

T

I

I

I

H

H

H

A

A

A

N

N

N

8

8

8

-

-

-

5

5

5

1. Diberikan koordinat titik segi tiga (0,0), (2,0) dan (2,3). Tentukan koordinat titik segi tiga jika dikenakan transformasi:

a. Translasi:

_













4

1

T