Bab II Fungsi Kompleks
Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z ≡ z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel kompleks f(z) juga merupakan fungsi x dan y.
w ≡ f(z) = u(x,y) + i v(x,y) (2.1)
Secara geometri nilai-nilai w dapat digambarkan dalam bidang yang analog dengan bidang Argand, dengan bagian realnya u dan bagian imajiner v. Fungsinya sendiri agak sulit digambarkan, karena sekarang masing-masing salib sumbu juga fungsi dari variabel lain, dalam hal ini adalah x dan y. Untuk mengatasi kesulitan ini, secara umum dikatakan terjadi transformasi dari bidang kompleks z ke bidang kompleks w, sehingga fungsi f(z) kemudian digambarkan sebagai hubungan korespondensi satu-satu antara titik-titik di bidang z den- gan titik-titik di bidang w.
w1 = f(z1) adalah nilai fungsi f di titik z1, atau citra z1 di bidang w. Oleh karena kurva dan bidang merupakan kumpulan dari titik- titik, transformasi oleh fungsi kompleks akan mengubah baik bentuk maupun ukurannya.
Sebagai contoh adalah fungsi w = z2. Setiap titik di kuadran I bidang z akan dipetakan ke kuadran I dan II bidang w. Hal ini dapat dipahami dengan menerapkan dalil de Moivre (1.15), pengkuadratan akan melipatduakan argumen setiap bilangan kompleks di bidang z.
Memang, modulusnya juga menjadi kuadrat harga semula, tetapi dalam kasus transformasi seluruh kuadran I di bidang z ke bidang w, perubahan modulus tidak ada artinya.
Seperti pengalaman menghitung logaritma bilangan kompleks pada persamaan x
iy iv
u
bidang z bidang w
•
•
θ 2θ
z1
w1
f(z)=z2
nilai utamanya (argumen θ = 2π kemudian disebut sebagai garis cabang).
Syarat kontinyuitas dan diferensiabilitas fungsi kompleks analog dengan fungsi real, jadi tak perlu lagi dibahas di sini, cukup diingat apa-apa yang telah dipelajari di kalkulus dasar. Di samping dua aspek di atas, fungsi variabel kompleks masih memiliki satu aspek penting lagi, yang disebut sebagai analitisitas. Sebuah fungsi kompleks f(z) = u+iv dikatakan analitik di dalam dan pada suatu daerah ℜ di sekitar titik z = z0 jika dipe- nuhi :
• f(z) kontinyu dan diferensiabel di dalam dan pada ℜ
• berlaku persamaan Cauchy-Riemann
Persamaan Cauchy-Riemann
Untuk z = x + iy dan w = u + iv , maka dengan menggunakan aturan rantai diferensial parsial :
dw dz
w x
u x i v
= ∂ = + x
∂
∂
∂
∂
∂ (2.2)
= −i w = − y
v y i u
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂ (2.3)
karena : ∂z/∂x = 1 ∂z/∂y = i sehingga berlaku hubungan :
∂
∂
∂
∂ u x
v
= y (2.4a)
∂
∂
∂
∂ v x
u
= − y (2.4b)
u dan v kemudian dikatakan sebagai fungsi-fungsi harmonik konjugat satu terhadap yang
lain, karena masing-masing memenuhi persamaan Laplace.
Tugas 2-1
Tunjukkan bahwa f(z) = z* bukan fungsi analitik !
Arti lain dari kenyataan persamaan Cauchy-Riemann ini adalah bahwa fungsi u dan v hadir secara bersama-sama, tidak saling bebas, sehingga bila u diketahui, otomatis v dapat dicari, dan sebaliknya. Misalnya fungsi u diketahui, untuk mencari v dapat digunakan persamaan (2.4a) :
v = ∂
∂ u
xdy h x
∫
y + ( )kemudian disubstitusikan masuk ke persamaan (2.4b), maka penyamaan antar suku di ruas kiri dan kanan akan menghasilkan fungsi h(x).
Analitisitas
Fungsi f(z) analitik di titik z0 jika f(z) memiliki derivatif di sekitar z0. z0 kemudian disebut titik regular. Syarat agar f(z) analitik di suatu daerah, selain f(z) berhingga dan dif- erensiabel, persamaan Cauchy-Riemann harus berlaku di daerah itu.
Titik singular (singularitas) adalah titik dimana f(z) gagal bersifat analitik. Ada beberapa macam singularitas, yang terpenting adalah :
1. Kutub (pole)
Titik z0 disebut kutub berorde n bila : lim
z→z0
(z−z0)n f(z) = c ≠ 0
Bila n = 1, kutubnya dikatakan kutub sederhana.
Bila sebuah fungsi f(z) gagal analitik di titik z = z0, tetapi bersifat analitik di sekitar z0, Tugas 2-2
Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) tunjukkanlah bahwa u dan v memenuhi persamaan Laplace :
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2 2
2 2
2 2
2
0 2 0
u x
u y
v x
v
+ = dan + y =
terhadap kutub dapat dilakukan dengan membuat lingkaran kecil di sekitar kutub z0
yang tak mengandung singularitas yang lain.
Ada kutub-kutub yang tidak terisolasi, seperti yang dimiliki oleh fungsi ln z, seluruh ti- tik pada sumbu real negatif menjadi kutub-kutubnya.
2. Titik cabang
Titik cabang adalah sebuah titik terhadap mana pembatasan range (cabang) utama dila- kukan. Titik cabang dikatakan berorde n bila fungsinya bercabang n+1 di permukaan Riemann.
Contoh : w = (z-a)1/3
memiliki titik cabang berorde 2 di z = a, karena fungsinya bercabang 3, artinya untuk kembali ke harga w yang sama argumen z perlu diputar terhadap z = a sebanyak 3 kali.
Fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik
Sebagaimana telah dibahas pada bab yang lalu fungsi trigonometri amat erat hub- ungannya dengan bilangan kompleks, yakni melalui cara penulisan bilangan kompleks den- gan bentuk polar. Lihat persamaan (1.7) dan (1.10).
Apa yang terjadi jika sudut-sudut dalam fungsi trigonometri diganti dengan sudut imajiner?
Untuk menjawabnya, dapat digunakan persamaan (1.10) : cos iz = e e
z
z + z
=
−
2 cosh (2.5a)
sin iz = ie e
i z
z − z
− =
2 sinh (2.5b)
Fungsi yang ada di ruas paling kanan pada persamaan (2.5) di atas adalah fungsi hiperbolik yang watak-wataknya hampir sama dengan fungsi trigonometri.
Tugas 2-3
Tunjukkan dan perhatikan kemiripannya dengan fungsi trigonometri :
• cosh2 z−sinh2z =1
• sinh 2z = 2 sinh z cosh z
Turunan fungsi kompleks
Semua fungsi yang analitik pasti dapat diturunkan (diferensiabel), tetapi tidak ber- laku sebaliknya, bahwa fungsi yang diferensiabel menunjukkan analitisitas. Definisi turunan fungsi kompleks sama seperti turunan pada fungsi real :
dw/dz = df/dz = lim
∆z→0
f(z z) f(z) z +∆ −
∆ (2.6)
Jika fungsi w(z) dituliskan dalam bentuk w(x,y), maka untuk mencari turunannya dapat di- manfaatkan persamaan (2.2) dan (2.3) :
dw dz
w
x i w
= ∂ = − y
∂
∂
∂
yang tentu saja hasilnya juga masih dalam variabel x dan y.
Persamaan Milne-Thomson :
Persamaan berikut memberikan cara yang praktis untuk mencari turunan fungsi w(z) dalam variabel z. Bila fungsi w(z) = u(x,y) + i v(x,y) maka turunan fungsi itu :
dw dz
u
x i u
y y
x z
y x z
= = −
= =
=
∂
∂
∂
∂
0 0 (2.7)
Keuntungan dari persamaan (2.7) adalah jika u(x,y) saja yang diketahui, itu sudah cukup untuk menghitung turunannya. Bentuk lain dari persamaan ini, yakni jika v(x,y) saja yang diketahui, dapat anda cari sendiri melalui substitusi persamaan Cauchy-Riemann ke dalam persamaan (2.7).
Penerapan persamaan Milne-Thomson yang terpenting adalah untuk mencari bentuk w(z) Tugas 2-4
Carilah turunan dari fungsi hiperbolik :
• cosh z
• sinh z
Aplikasi pada teori medan
Fungsi-fungsi harmonik konjugat u(x,y) dan v(x,y) pada fungsi kompleks w = u + iv dapat dipakai untuk menggambarkan gejala fisis, yakni secara berturut-turut mewakili garis ekipotensial dan fluks aliran pada sebuah medan aliran dua dimensi. Fungsi w disebut medan kompleks aliran itu.
Sifat geometri u(x,y) dan v(x,y) adalah saling tegak lurus satu sama lain, jadi mereka dapat bertukar peran sebagai garis ekipotensial atau sebagai fluks aliran. Aliran selalu bergerak dari potensial tinggi ke potensial rendah menembus tegak lurus bidang- bidang ekipotensial. Dalam matematika vektor 3 dimensi arah fluks aliran dikatakan berla- wanan arah dengan arah gradien bidang ekipotensial. Bidang kompleks hanyalah bidang dua dimensi, sehingga tinjauan medan hanya dilakukan pada satu penampang lintangnya saja. Tetapi pada medan-medan yang konstan, misalnya pada elektrostatika, pemetaan garis ekipotensial dan fluks pada penampang dua dimensi sudah cukup memadai dan penting.
SOAL
1. Selidiki analitisitas fungsi kompleks berikut : a. f(z) = z2 + iz -1
b. f(z) = 2 2 z i
z i
− + c. f(z) =sin 2z
z
2. Tentukan f(z) dalam z bila
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan : a. u = y3 - 3x2y
b. v = 4xy - x3 + 3xy2 c. u = ln (x2+y2) d. v = 2y + x2 - y2 e. u = 2
2 2 2
xy
x y
( + )
3. Selidiki di mana kutubnya dan berapa ordenya : a. f(z) = z
z z
+
− +
2
1 2 1
( ) ( )
b. f(z) = sin z z2 c. f(z) = z z
z z
2 2
3
2 2
− + + d. f(z) = ( )
( )
z i
z z
+
− + 3
2 5
5
2 2
4. Buktikan identitas berikut : a. tan−1z = 1
2 1 1 i
iz ln +iz
−
b. sin−1z = -i ln [iz + 1−z2 ]
a. Sketsakan garis ekipotensial dan fluks alirannya di bidang kompleks z ! b. Nyatakan medan kompleks ini dalam z !
c. Bagaimana garis ekipotensial dan fluksnya di bidang w ?
