PENGGUNAAN METODE LYAPUNOV
UNTUK MENGUJI KESTABILAN SISTEM
LINIER
SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA
OLEH :
OKTAVIA LOVE LINA BP. 1010431015
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS
PADANG
Suatu titik x∗
dikatakan titik tetap dari sistem ˙x=Ax jika Ax∗
=0. Jika titik tetap dari sistem ˙x = Ax adalah stabil maka sistem ˙x = Ax dikatakan stabil. Dalam skripsi ini dikaji tentang penggunaan metode Lyapunov dalam menguji kestabilan sistem linier. Metode Lyapunov menggunakan suatu fungsi diferensiabel dan kontinu V : Rn
→ R yang dapat dinyatakan sebagai fungsi jarak diperumum dari titik tetap x∗
= 0. Sifat kestabilan disimpulkan dari sifat V(x) dan turunan V(x) terhadap waktu.
ABSTRACT
A pointx∗
is called a fix point of ˙x=Axifx∗
=0. If the fix point of ˙x=Ax is stable, then the system of ˙x=Axis called stable. In this project will be stu-died the use of the Lyapunov’s method to test the stability of the linear systems. Lyapunov”s method uses a continuous differentiable function V : Rn
→ R, that may be viewed as generalized distance function from the fix point x∗
= 0. The stability properties are then determined byV(x) and the time derrivative ofV(x).
Keywords : Lyapunov’s method, the stability of system, fix point.
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Diberikan suatu sistem linier sebagai berikut :
˙
x(t) =Ax(t), x(0) =x0, (1.1.1)
dimana x∈Rn
menyatakan keadaan, t∈R+ menyatakan waktu dan A∈R n×n
.
Salah satu kajian utama dalam sistem linier adalah kajian tentang
kesta-bilan dari titik tetap sistem tersebut. Suatu titik x∗
dikatakan titik tetap dari
sistem (1.1.1) jika Ax∗
= 0. Secara sederhana, titik tetap x∗
dari sistem (1.1.1)
dikatakan stabil jika kurva solusi (trayektori) yang berawal dari x0 yang pada
mulanya dekat dengan titik tetap tersebut, maka dengan berlalunya waktu kurva
solusi tersebut tetap dekat dengan titik tetap tersebut. Jika titik tetap dari
sis-tem (1.1.1) adalah stabil maka sissis-tem (1.1.1) dikatakan stabil. Ada berbagai tipe
kestabilan yang dikenal dalam sistem linier, misalnya kestabilan asimtotik,
kesta-bilan eksponensial, dan lainnya. Dalam skripsi ini akan dikaji masalah kestakesta-bilan
dan kestabilan eksponensial sistem linier (1.1.1) dengan menggunakan metode
1.2
Perumusan Masalah
Dalam skripsi ini akan dikaji bagaimana menggunakan metode Lyapunov
dalam menentukan kestabilan dan kestabilan eksponensial dari sistem linier (1.1.1).
1.3
Pembatasan Masalah
Untuk memudahkan pembahasan, maka dalam skripsi ini permasalahan
dibatasi untuk matriks A yang non singular, yakni det(A)6= 0.
1.4
Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana metode Lyapunov
digunakan dalam menguji kestabilan sistem linier.
1.5
Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan pada skripsi ini terdiri atas empat bab. Bab I
Pen-dahuluan berisikan latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah,
tujuan penulisan, dan sistematika penulisan. Bab II Landasan Teori membahas
teori matriks, norm suatu vektor, dan kestabilan sistem linier. Selanjutnya pada
Bab III Pembahasan dijelaskan tentang penggunaan metode Lyapunov untuk
me-nguji kestabilan sistem linier. Terakhir pada Bab IV disajikan kesimpulan dan
saran.
