240
APLIKASI GENERALISASI TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA
KETUNGGALAN SOLUSI MASALAH NILAI BATAS PERIODIK
Septianto Mawardikha
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya Email: mawardikha@gmail.com
Abstrak. Dalam artikel ini dipelajari masalah nilai batas periodik dengan suatu fungsi kontinu. Ketunggalan solusi dari
masalah tersebut dibuktikan dengan mengaplikasikan teorema titik tetap dalam ruang metrik terurut parsial. Teorema yang dimaksud adalah generalisasi dari teorema titik tetap Banach. Kondisi pemetaan kontraktif yang digunakan diganti dengan suatu fungsi yang ekuivalen.
Kata kunci: Masalah nilai bata s periodik, Pemetaan kontraktif, Teorema titik tetap.
1. PENDAHULUAN
Teorema titik tetap merupakan salah satu konsep Matematika yang terus berkembang. Teori ini pertama kali dicetuskan oleh Stefan Banach (1892-1945) pada tahun 1922 yang dikenal sebagai Teorema titik tetap Banach. Teorema tersebut menjamin keberadaan dan keunikan suatu titik tetap untuk pemetaan ruang metrik ke dirinya sendiri dan memberikan metode untuk menemukan titik tetap tersebut. Pada tahun 1973, Geraghty membahas teorema kontraksi Banach yang diperumum dengan mengganti kondisi kekonvergenan barisan Cauchy dari iterasi kontraktif pada ruang metrik lengkap dengan kondisi fungsional yang ekuivalen (Geraghty, 1973). Pada tahun 2009, mengacu pada hasil pekerjaan Geraghty, Amini-Harandi dan Emami membahas ketunggalan titik tetap untuk pemetaan kontraksi yang diperumun pada ruang metrik lengkap yang terurut parsial. Serta mengaplikasikannya untuk mencari solusi tunggal pada persamaan diferensial biasa (Harjani dan Sadarangi, 2009).
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Teorema 1. Misalkan adalah keluarga fungsi [ [ yang memenuhi kondisi
mengakibatkan .
Misalkan ruang metrik lengkap dan Jika terdapat sedemikian sehingga untuk setiap berlaku
( ) ( )
maka mempunyai titik tetap yang tunggal.
(Khamsi dan Kirk, 2001) Teorema 2. Misalkan adalah himpunan terurut parsial dan anggap terdapat sebuah metrik di dalam sedemikian sehingga adalah ruang metrik lengkap. Misalkan adalah fungsi naik sedemikian sehingga terdapat elemen Anggap terdapat sedemikian sehingga
( ) ( )
untuk setiap dengan Misalkan: a. kontinu, atau
b. memenuhi kondisi jika barisan naik di maka , untuk setiap
Selain itu, untuk setiap terdapat yang dapat di-comparable dengan dan Maka memiliki titik tetap yang tunggal.
(Harjani dan Sadarangi, 2009)
Bukti: Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa memiliki titik tetap. Dimisalkan
. Karena dan adalah fungsi naik, kita peroleh
241
242
{ [ ]
(1)
di mana dan adalah fungsi kontinu. Jika terdapat sedemikian sehingga untuk dengan berlaku
[ ]
di mana maka solusi bawah untuk (1) memberikan ketunggalan solusi dari (1).
(Harjani dan Sadarangi, 2009) Bukti: Persamaan (1) ekuivalen dengan persamaan integral
∫ [ ]
dengan {
Didefinisikan dengan
∫ [ ]
Perhatikan, jika adalah titik tetap dari , maka adalah solusi dari (1). Sekarang akan dicek apakah kondisi di atas memenuhi kondisi pada Teorema 3,
1. Diketahui himpunan terurut parsial jika didefinisikan relasi di ,
jika dan hanya jika untuk setiap 2. ruang metrik lengkap dengan | | . Pemetaan naik, dengan hipotesis, untuk
∫ [ ] ∫ [ ]
Selain itu, untuk
| |
∫ ( )
Karena naik dan maka ( ) ( ) diperoleh
∫ ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
Maka, untuk
( )
Misalkan solusi bawah untuk persamaan (1) dan akan dibuktikan
( )
Kedua ruas digandakan dengan diperoleh
( ) [ ]
atau
∫ [ ]
∫ [ ]
Maka diperoleh
∫
[ ( ) ] ∫
243
∫ [ ( ) ]
Dengan kata lain, Maka, berdasarkan Teorema 3, memiliki titik tetap yang tunggal.
Contoh. Diberikan [ [ yang didefinisikan dengan
untuk setiap [ √ ]. Diberikan suatu persamaan diferensial
{ [ √ ]
(√ ) (2)
dan ambil ⁄ sedemikian sehingga untuk setiap dengan berlaku
[ ]
Maka berdasarkan Teorema 3, eksistensi solusi bawah untuk (2) menjamin ketunggalan solusi dari (2).
3. KESIMPULAN
Generalisasi titik tetap Banach yang diperkenalkan Geraghty juga berlaku pada suatu ruang metrik lengkap yang juga merupakan ruang terurut parsial. Teorema generalisasi titik tetap Banach pada ruang terurut parsial dapat diaplikasikan pada suatu permasalahan nilai batas pada persamaan diferensial (1). Teorema tersebut menyatakan bahwa eksistensi solusi bawah untuk persamaan (1) menjamin ketunggalan solusi untuk persamaan (1).
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Sa’adatul Fitri, Abdul Rouf Alghofari, dan Mohamad Muslikh atas segala saran, bimbingan, dan kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Geraghty, M.A., (1973), On Contractive Mappings, Proceeding of The American Mathematical Society, 40, hal. 604-608.
Harjani, J. dan Sadarangi, K., (2009), Fixed Point Theorems For Weakly Contractive Mappings in Partially Ordered Sets, Nonlinear Analysis, 71, hal. 3402-3410.
