matematika III Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1)

Materi Kuliah

Matematika III

Fungsi Dua Peubah atau Lebih

2. Hitung

Dengan menggunakan teorema substitusi 1. Hitung

Dengan menggunakan teorema substitusi

Sekedar mengingat kembali

Sekedar mengingat kembali

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI

1.

Pendahuluan

2.

Fungsi Dua Peubah Bebas

3.

Turunan Parsial

4.

Maksimum dan Minimum

5.

Kalkulus Vektor

6.

Integral Lipat

Pendahuluan

Banyak fungsi yang bergantung pada peubah lebih dari satu buah.

Sebuah bidang yang panjangnya x dan lebarnya y memiliki luas yang bergantung pada x dan y, yaitu

L = f(x,y) = xy

Posisi sebuah partikel yang bergerak parabola dapat diungkapkan dalam bentuk r = f(x,y)

dengan x = jarak horizontal

Sebuah Parabola

dengan titik puncak

(a,b) memiliki persamaan baku :

Dengan F(a+p,b) menyatakan

koordinat titik fokus parabola



y  b



2 4p(x  a)

Sebuah Ellips

dengan pusat (a,b)

dengan jari-jari

tegak d dan jari-jari horisontal c

memiliki persamaan baku:

Sebuah Hiperbola dengan pusat (a,b)

dengan gradien asimtot –d/c

Jenis-jenis permukaan dimensi tiga

Elipsoida

Persamaan baku Elipsoida dengan pusat

(0,0,0) adalah:

Jejak pada bidang xy, xz, dan yz berupa

Hiperboloida lembar satu

Persamaan baku Hiperboloida lembar satu dengan pusat (0,0,0) adalah:

Jejak pada bidang xy adalah elips,

Parabola Elips

Persamaan baku Parabola Elips dengan pusat (0,0,0) adalah:

Jejak pada bidang xy adalah titik tetapi perpotongan bidang sejajar xy dengan

permukaan adalah elips. Jejak pada bidang

xz dan yz adalah parabol

Hiperboloida lembar dua

Persamaan baku Hiperboloida lembar dua dengan pusat (0,0,0) adalah:

Jejak pada bidang xy dan xz adalah

hiperbol, sedangkan pada bidang yang sejajar yz dengan permukaan akan

membentuk elips

Paraboloid Hiperbol

Persamaan baku Paraboloid hiperbola dengan pusat (0,0,0) adalah:

Jejak pada bidang xy berupa sepasang

garis yang saling berpotongan tetapi jejak bidang yang sejajar xy adalah hiperbol. Jejak pada bidang xz dan yz adalah

Kerucut Elips

Persamaan baku Kerucut Elips dengan pusat (0,0,0) adalah:

Fungsi dua peubah memetakan setiap pasangan bilangan real terurut (x,y) R2 dalam daerah D ke sebuah bilangan real z 

R (z = f(x,y) dalam daerah R).

x dan y disebut peubah (variabel) bebas

z disebut peubah (variabel) tak bebas

Contoh:

Daerah definisi/Domain dari fungsi f, dinotasikan D_f adalah kumpulan

semua pasangan (x,y) sehingga f(x,y)

terdefinisi (mempunyai nilai





Daerah Nilai/Range dari fungsi f,

R_f = {z Rz = f(x,y), (x,y) D_f}

Jika tentukan a. f(1,2)

b. f(0,0)

c. Tentukan daerah asal fungsi tersebut





xy x

y y

x

f ,  

Penyelesaian

a.

b. F(0,0) tidak terdefinisi karena penyebutnya nol (x = 0)

c. Daerah asal fungsi adalah

 

1.2 4 1

2 2

,

1   

f











x

y

x

x

y

R



D

_f



,



0

,

,



Menentukan domain:

CONTOH : Mencari daerah asal fungsi

Tentukanlah daerah asal dari fungsi

.

• _Penyelesaian

• _{Daerah asal dari f adalah}

semua (x,y) sedemikian

sehingga dan titik (2,0) tidak termasuk.

• _{Dari ketaksamaan}

CONTOH : Mencari daerah asal fungsi

Tentukanlah daerah asal dari fungsi

• _Penyelesaian

Grafik fungsi dua peubah z = f(x,y)

merupakan suatu permukaan di ruang.

Cara pertama : f(x, y) digambarkan sebagai permukaan ruang dari z = f(x, y). Permukaan ruang (grafik dari f) didefinisikan sebagai himpunan

semua titik (x, y, z) dalam ruang untuk setiap (x, y) dalam domain f.

Cara menggambarkan grafik fungsi dua peubah

Cara kedua: f(x, y) digambarkan sebagai kurva ketinggian. Kurva ketinggian didefinisikan sebagai himpunan titik (x, y)

Contoh 2 : Sketsa grafik fungsi

Sketsalah grafik dari

Penyelesaian :

Cari titik-titik potong bidang

terhadap sumbu-sumbu koordinat Cartesius seperti berikut :

Titik potong bidang dengan sumbu x, y dan z adalah :

Contoh 3 : Sketsa grafik fungsi

Sketsalah grafik dari

.

Penyelesaian

Mula-mula gambar grafik ketika x=0

(atau y=0) yaitu grafik persamaan .

Berikutnya gambar kurva untuk nilai z

tetap yang berbeda-beda, misalnya

Contoh 3(Lanjutan)

• _{Bila diperhatikan kedua grafik ini,}

Contoh 4 : Sketsa grafik fungsi

• _{Sketsalah grafik dari} .

.

Penyelesaian

Grafik ini ekivalen dengan grafik

persamaan di atas bidang

z = 0

Gambar dulu grafik ketika x = 0 (atau

y = 0) yaitu grafik persamaan

Gambar kurva untuk nilai z tetap yang

Contoh 4 (lanjutan)

• _{Grafik persamaan f}

Tentukan daerah asal dari

Skets daerah asal tersebut pada koordinat bidang.



_{x, y}



_{16 x}2 _y2

f   

Penyelesaian

terdefinisi jika

atau dengan demikian, Daerah asalnya adalah



_{x, y}



_{16 x}2 _y2

f   

0 16  x2  y2 











x y x y x y R



D  , 2  2 16, , 

16

2 2 _{ y }

x

Gambarkan grafik fungsi dari

Perpotongan grafik dengan :



_{x, y}



_{4 x}2 _y2

f   



_x

_,

_y



₄

_x

2

_y

2

f

z









a. bidang xoy (z = 0) adalah lingkaran berpusat di (0, 0)

berjari-jari 2

b. bidang xoz (y = 0) adalah parabol c. bidang yoz (x = 0) adalah parabol

4

2

2 _{ y }

x

2

4 x

z  

2

4 y

Gambarkan grafik 36 9 2 4 2

Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh

bentuk

Persamaan terakhir adalah elipsoida.

Kurva ketinggian Untuk permukaan z = f(x, y), himpunan titik di bidang yang memenuhi f(x, y) = k, k konstanta, dinamakan kurva ketinggian.

Kurva ketinggian untuk permukaan F(x,y,z) = 0 adalah himpunan titik di bidang yang memenuhi F(x,y,k) = 0, k konstanta

Jejak permukaan z = x2 – 4y2 dengan bidang koordinat:

a. Dengan bidang xoy: sepasang garis x =  2y

b. Dengan bidang yoz: parabol z = – 4y2 c. Dengan bidang xoz: parabol z = x2

d. Dengan bidang sejajar xoy: hiperbol x2– 4y2 = k

Gambarkan permukaan dari f(x,y) = x2 – 4y2 dengan mencari jejaknya dengan bidang koordinat dan gambarkan kurva

Kurva ketinggian adalah proyeksi pada bidang xy dari kurva (permukaan) yang dibentuk dari perpotongan bidang mendatar z = k dengan permukaan f(x,y).

Himpunan dari kurva ketinggian disebut peta kontur.

Kurva ketinggian dari beberapa jenis permukaan yang telah dibahas sebelumnya akan berupa irisan kerucut.

Kurva Ketinggian dan Peta Kontur

Kurva ketinggian dari permukaan z = 2x – y2 adalah 2x – y2 = k,

Cara Menggambar Kurva Ketinggian/Peta Kontur

1. Diberikan sebuah permukaan z = f(x, y)

2. Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k hasil irisan berupa sebuah kurva di ruang

3. Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy

4. Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari z = f(x, y)

dengan ketinggian k

Kerucut Elips Kurva ketinggian pada kerucut elips ini berbentuk elips karena untuk z = k persamaan konik yang

didapat adalah:

Merupakan persamaan baku elips

 

Hiperboloid lembar dua Kurva

ketinggian pada hiperboloid lembar dua ini berbentuk hiperbola karena untuk

z = k persamaan konik yang didapat adalah:

Merupakan persamaan baku hiperbol

Paraboloid Hiperbol Kurva ketinggian pada paraboloid hiperbol berbentuk hiperbola

pada sumbu x dan y karena untuk z = k

persamaan konik yang didapat adalah: untuk k > 0, atau

untuk k < 0, atau

Merupakan hiperbola pada sumbu x dan y

Contoh

Berupa apakah kurva ketinggian dari

untuk z = 1

Penyelesaian

Dengan substitusi nilai z = 1 ke dalam persamaan diperoleh

Atau dapat dituliskan dalam bentuk baku

Contoh

Berupa apakah kurva ketinggian dari untuk z = 3

Penyelesaian

Dengan substitusi nilai z = 3 ke dalam persamaan diperoleh

Kurva ketinggian dari permukaan z = x2 – 4y2 adalah x2– 4y2 = k,

k adalah konstanta. Himpunan kurva ini berbentuk hiperbol

memotong sumbu x untuk k > 0, sepasang garis untuk k = 0 dan hiperbol memotong sumbu y untuk k < 0

Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x,y,z) dengan satu bilangan real u dan

dinotasikan u = f(x,y,z).

Contoh :

a. u = f(x,y,z) = x2 + y2 + z2

b. v = g(x,y,z) = x – y2

c. Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z) = z – x2 – y2

Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan. Peta konturnya dapat digambarkan dan berbentuk permukaan

f(x,y,z) = k

Gambarkan peta kontur dari

T(x,y,z) = z – x2 – y2

Persamaan kurva ketinggiannya

z – x2 – y2 = k

z = x2 + y2 – k