RevistaColombianadeEstadistica v33n1

Revista

Colombiana

de Estad´ıstica

Volumen 33. N´

umero 1 - junio - 2010

ISSN 0120 - 1751

Departamento de Estad´ıstica

Universidad Nacional de Colombia

Revista Colombiana de Estad´ıstica

http://www.estadistica.unal.edu.co/revista

http://www.matematicas.unal.edu.co/revcoles

http://www.emis.de/journals/RCE/

revcoles fcbog@unal.edu.co

Indexada en: Scopus, Science Citation Index Expanded (SCIE), Web of Science (WoS),

SciELO Colombia, Current Index to Statistics, Mathematical Reviews (MathSci),

Zentralblatt F¨

ur Mathematik, Redalyc, Latindex, Publindex (A1)

Editor

Beatriz Piedad Urdinola, Ph.D.

Universidad Nacional de Colombia, Bogot´

a, Colombia

Comit´

e Editorial

Jos´

e Alberto Vargas, Ph.D.

Campo El´ıas Pardo, Ph.D.(c)

Universidad Nacional de Colombia, Bogot´

a, Colombia

Jorge Eduardo Ortiz, Ph.D.

Universidad Santo Tom´

as, Bogot´

a, Colombia

Juan Carlos Salazar, Ph.D.

Universidad Nacional de Colombia, Medell´ın, Colombia

M´

onica B´

ecue, Ph.D.

Universitat Polit`

ecnica de Catalunya, Barcelona, Espa˜

na

Adriana P´

erez, Ph.D.

The University of Texas, Texas, USA

Mar´ıa Elsa Correal, Ph.D.

Universidad de los Andes, Bogot´

a, Colombia

Luis Alberto Escobar, Ph.D.

Louisiana State University, Baton Rouge, USA

Camilo E. Tovar, Ph.D.

Bank of International Settlemens, Mexico, Mexico DF

Comit´

e Cient´

ıfico

Fabio Humberto Nieto, Ph.D.

Luis Alberto L´

opez, Ph.D.

Leonardo Trujillo Oyola, Ph.D.

Universidad Nacional de Colombia, Bogot´

a, Colombia

Sergio Ya˜

nez, M.Sc.

Universidad Nacional de Colombia, Medell´ın, Colombia

Francisco Javier D´ıaz, Ph.D.

The University of Kansas, Kansas, USA

Enrico Colosimo, Ph.D.

Universidade Federal de Mina Gerais, Belo Horizonte, Brazil

Rafael Eduardo Borges, M.Sc.

Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela

Julio da Motta Singer, Ph.D.

Universidade de S˜

ao Paulo, S˜

ao Paulo, Brazil

Edgar Acu˜

na, Ph.D.

Ra´

ul Machiavelli, Ph.D.

Universidad de Puerto Rico, Mayag¨

uez, Puerto Rico

Raydonal Ospina Mart´ınez, Ph.D.

Universidade Federal de Pernambuco, Pernambuco, Brasil

La

Revista Colombiana de Estad´

ıstica

es una publicaci´

on semestral del Departamento de

Estad´ıstica de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogot´

a, orientada a difundir

conoci-mientos, resultados, aplicaciones e historia de la estad´ıstica. La Revista contempla tambi´

en la

publicaci´

on de trabajos sobre la ense˜

nanza de la estad´ıstica.

Se invita a los editores de publicaciones peri´

odicas similares a establecer convenios de canje

o intercambio.

Direcci´

on Postal:

Revista Colombiana de Estad´

ıstica

c

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Departamento de Estad´ıstica

Carrera 30 No. 45-03

Bogot´

a – Colombia

Tel: 57-1-3165000 ext. 13231

Fax: 57-1-3165327

Adquisiciones:

Punto de venta, Facultad de Ciencias, Bogot´

a.

Suscripciones:

revcoles fcbog@unal.edu.co

Solicitud de art´

ıculos:

Se pueden solicitar al Editor por correo f´ısico o

electr´

onico; los m´

as recientes se pueden obtener

en formato PDF desde la p´

agina Web.

Edici´

on en L

A

TEX: Patricia Ch´

avez R.

Revista Colombiana de Estad´ıstica

Bogot´

a

Vol. 33

N

o

1

ISSN 0120 - 1751

COLOMBIA junio-2010 P´

ags. 1-166

Contenido

Himanshu Pandey & Jai Kishun

A Probability Model for the Child Mortality in a Family

. . . .1-11

Rafael Alfonso Mel´

endez, Jaime Antonio Castillo & Carlos Jes´

us Jim´

enez

Distribuci´

on de probabilidad que involucra algunas funciones hipergeom´etricas

generalizadas

. . . 13-24

Santiago Gall´

on & Karoll G´

omez

Nonparametric Time Series Analysis of the Conditional Mean and Volatility

Functions for the COP/USD Exchange Rate Returns

. . . 25-41

Javier Casta˜

neda & Bart Gerritse

Appraisal of Several Methods to Model Time to Multiple Events per Subject:

Modelling Time to Hospitalizations and Death

. . . 43-61

Hanwen Zhang, Hugo Andr´

es Guti´

errez Rojas & Edilberto Cepeda

Cuervo

Confidence and Credibility Intervals for the Difference of Two Proportions

63-88

Juan Camilo Sosa & Luis Guillermo D´ıaz

Estimaci´

on de las componentes de un modelo de coeficientes din´

amicos mediante

las ecuaciones de estimaci´

on generalizadas

. . . 89-109

Luis Alfonso Mu˜

noz & Jorge Humberto Mayorga

Bondad de ajuste empleando la funci´

on generadora de momentos

. . . 111-125

´

Alvaro Mauricio Montenegro D´ıaz & Edilberto Cepeda Cuervo

Synthesizing the Ability in Multidimensional Item Response Theory

Models

. . . 127-147

Ram´

on Giraldo Henao & Jimmy Corzo Salamanca

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F

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Revista Colombiana de Estadística

Junio 2010, volumen 33, no. 1, pp. 13 a 24

Distribución de probabilidad que involucra algunas

funciones hipergeométricas generalizadas

Probability Distributions Involving on Generalized Hypergeometric

Functions

Rafael Alfonso Meléndez

a

, Jaime Antonio Castillo

b

,

Carlos Jesús Jiménez

c

Centro de Investigaciones, Grupo de Investigación GIMA, Universidad de la

Guajira, Riohacha, Colombia

Resumen

Se define una nueva función de probabilidad que involucra algunas

fun-ciones hipergeométricas generalizadas; se encontraron algunas propiedades y

casos especiales como la gamma y la exponencial. Se establecieron algunas

funciones básicas asociadas a la nueva distribución de probabilidad, como

la media, momentos, función característica, y se obtienen representaciones

gráficas para esta nueva función de probabilidad.

Palabras clave

:

función de densidad de probabilidad, función

hipergeomé-trica generalizada, función generadora de momento, función característica.

Abstract

We define a new function of probability that involves some generalized

hypergeometric functions, we found some properties and special cases such

as gamma and exponential. We establish some basic functions associated

with the new probability distribution like mean, the moments, characteristic

function and several graphic representations are obtained for this new

fun-ction of probability.

Key words

:

Probability function, Generalized hypergeometric functions,

The moments, Characteristic function.

a

Profesor asociado. E-mail: melendez24@hotmail.com

b

Profesor titular. E-mail: jacas68@yahoo.es

c

Profesor asociado. E-mail: carlosj114@gmail.com

14

Rafael Alfonso Meléndez, Jaime Antonio Castillo & Carlos Jesús Jiménez

1. Introducción

Muchas funciones especiales de matemáticas aplicadas pueden expresarse en

términos de funciones hipergeométricas, las cuales son clases importantes de

fun-ciones especiales. La función hipergeométrica y sus generalizafun-ciones han sido

usa-das en varios problemas de la estadística (Lebedev 1965, Nakhi & Kalla 2005),

particularmente en el estudio de nuevas funciones de densidad de probabilidad

ge-neralizadas y sus propiedades estadísticas, las cuales tienen diversas aplicaciones

no solo en la teoría de confiabilidad, sino también en algunos problemas asociados

con tasas demográficas, biomedicina, datos de tráfico y fallas de equipos

electró-nicos (Virchenko et al. 2001). Consideremos el problema de resolver la ecuación

diferencial lineal

z

(1

−

z

)

u

′′

+ [

γ

−

(

α

+

β

+ 1)

z

]

u

′

−

αβu

= 0

(1)

donde

z

es una variable compleja, y

γ

,

α

,

β

son parámetros que pueden tomar valores

reales o complejos. Reduciendo (1) a la forma estándar dividiendo por el coeficiente

u

′

, obtenemos una ecuación cuyos coeficientes son funciones analíticas de

z

en el

dominio

0

<

|

z

|

<

1

. Esto sigue de la teoría general de ecuaciones diferenciales

lineales, donde (1) tiene una solución particular (Virchenko et al. 2001).

u

=

z

s

∞

X

k=0

c

k

z

k

donde

c

0

6

= 0

,

s

es número convenientemente escogido, y así la serie de potencia

converge en

|

z

|

<

1

.

Para valores de

γ

6

= 0

,

−

1

,

−

2

, . . .

, una solución particular está dada por

u

=

F

(

α, β

;

γ

;

z

) =

∞

X

k=0

(

α

)

k

(

β

)

k

(

γ

)

k

z

k

k

!

que se conoce como la serie hipergeométrica de Gauss.

A continuación veremos algunas distribuciones de probabilidad establecidas

re-cientemente por diferentes autores. Good (1953) introdujo la siguiente distribución

gaussiana inversa

g

(

t

) =

1

A

(

α, a, b

)

t

α

−

1

e

−

at

−

b/t

a, b, t >

0;

−∞

< α <

∞

donde

A

(

α, a, b

) =

Z

∞

0

t

α

−

1

e

−

at

−

b/t

dt

−

1

esta distribución gaussiana inversa se plantea como la función de densidad de

pri-mer paso de tiempo con movimiento browniano con derivada positiva (Jorgensen

1982). Tales modelos han sido usados por Hoem (1976) y Jorgensen (1982) en la

teoría de confiabilidad y teoría de tasas demográficas; este último estudió varias

Distribución de probabilidad generalizada

15

aplicaciones de la distribución anterior, asociadas con daños de equipos de aire

acondicionados y datos de tráfico. En Lebedev (1965) y Mathais (1993) se

presen-tan otras aplicaciones de las funciones especiales a la teoría de confiabilidad. En

un trabajo reciente, Agarwal & Kalla (1996) desarrollaron una nueva distribución

tipo gamma generalizada, con función de densidad:

f

(

x

) =

βα

m/β

Γ

λ

(

m/β, n

)

x

m

−

1

αx

β

+

n

−

λ

e

−

αx

β

,

α, m, n <

0

donde

Γ

λ

(

m, n

) =

Z

∞

0

x

m

−

1

e

−

x

(

x

+

n

)

−

λ

dx,

m >

0

siendo esta la función gamma generalizada de Kobayashi (1991), la cual es

esen-cialmente una función hipergeométrica confluente de segunda clase (Agarwal &

Kalla 1996). Motivados por sus resultados, Agarwal & Kalla (1996) y Ghitany

(1998) obtienen algunas propiedades adicionales para esta distribución.

Reciente-mente, Al-Musallam & Kalla (1998), Al-Saqabi et al. (2002),Virchenko et al. (2001)

y Virchenko (1999) definieron y desarrollaron algunas funciones

hipergeométricas-τ

y confluente-

τ

que son generalizaciones de las funciones hipergeométricas de

Gauss y funciones hipergeométricas confluentes Kummer.

El presente trabajo tiene como objeto definir una nueva función de densidad

generalizada a partir de algunas funciones hipergeométricas generalizadas; para

esto se hará uso de las representaciones integrales y en serie doble; a partir de

esta función de densidad

f

(

x

)

se encuentran algunas propiedades que permiten

caracterizarla, como la función generadora de momento, los momentos, la función

característica, la función tasa de riesgo y algunos casos especiales. Se muestran

algunas figuras las cuales corresponden a la simulación de esta nueva función de

densidad para diferentes valores de los parámetros.

Galué et al. (2005) definen algunas generalizaciones que involucran a cuatro

series de Appell definidas por Humbert (1920), introducen dos nuevos parámetros

τ

y

τ

′

y definen sus representaciones en serie e integrales. A partir de estas se

ob-tienen nuevas distribuciones de probabilidad que involucran estas generalizaciones.

Con esta nueva función de densidad generalizada se encuentran casos especiales

como una generalización con menos parámetros, la gamma y la exponencial, los

momentos y sus casos particulares como el valor esperado y la varianza, la función

generadora de momento, función característica, la función tasa de riesgo.

2. Generalización de algunas funciones

hipergeométricas de dos variables

La generalización de las funciones hipergeométricas de dos variables está

aso-ciada con la generalización de la función hipergeométrica de Gauss propuesta por

Virchenko (1999), quien la introdujo de la siguiente forma:

2

R

1

τ

(

z

)

≡

2

R

1

(

a, b

;

c

;

τ

;

z

) =

Γ(

c

)

Γ(

a

)Γ(

b

)

∞

X

k=0

Γ(

a

+

k

)Γ(

b

+

τ k

)

Γ(

c

+

τ k

)

z

k

k

!

(2)

16

Rafael Alfonso Meléndez, Jaime Antonio Castillo & Carlos Jesús Jiménez

τ >

0

,

|

z

|

<

1

, c

6

= 0

,

−

1

,

−

2

, . . .

Esta función tiene la siguiente representación integral:

2

R

1

(

a, b

;

c

;

τ

;

z

) =

Γ(

c

)

Γ(

a

)Γ(

c

−

b

)

1

Z

0

t

b

−

1

(1

−

t

)

c

−

b

−

1

(1

−

zt

τ

)

−

a

dt

(3)

τ >

0

,

ℜ

(

c

)

>

ℜ

(

b

)

>

0

Para

τ

= 1

,

2

R

1

(

a, b

;

c

;

τ

;

z

) =

2

F

1

(

a, b

;

c

;

z

)

donde

2

F

1

es la función hipergeométrica de Gauss. Similarmente la función

hiper-geométrica confluente se define como

Φ

τ

= Φ

τ

(

a

;

b

;

c

) =

Γ(

c

)

Γ(

a

)

∞

X

k=0

Γ(

a

+

k

)

Γ(

c

+

τ k

)

z

k

k

!

(4)

τ >

0

,

|

z

|

<

1

, c

6

= 0

,

−

1

,

−

2

, . . .

Anteriormente se presentaron algunas generalizaciones de funciones

hipergeo-métricas de dos variables donde se introduce el parámetro

τ

y a continuación se

relacionan unas generalizaciones que involucran algunas funciones de Humbert.

2.1. Generalización de algunas funciones de Humbert

Siete formas confluentes de las cuatro series de Appell fueron definidas por

Humbert (1920), denotadas por:

Φ

1

,

Φ

2

,

Φ

3

,

Ψ

1

,

Ψ

2

,

Ξ

1

,

Ξ

2

.

Recientemente Galué et al. (2005) consideraron una extensión de las funciones

de Humbert

Ψ

1

,

Ψ

2

,

Ξ

1

y

Ξ

2

introduciendo parámetros adicionales

τ, τ

′

, y

estable-cieron sus representaciones en serie e integral.

Las generalizaciones

τ

de las funciones confluentes de dos variables

Ξ

1

y

Ξ

2

pueden expresarse en términos de la función

2

R

1

(

a, b

;

c

;

τ

;

w

)

en la forma siguiente:

Ξ

τ,τ

1

′

(

a, a

′

, b

;

c

;

w, z

) =

Γ(

c

)

Γ(

a

)Γ(

a

′

)

∞

X

k,l=0

Γ(

a

+

τ k

)Γ(

a

′

+

τ

′

l

)

Γ(

c

+

τ k

+

τ

′

l

)

w

k

k

!

z

l

l

!

(5)

Ξ

τ,τ

1

′

(

a, a

′

, b

;

c

;

w, z

) =

Γ(

c

)

Γ(

a

′

)

∞

X

l=0

Γ(

a

′

+

τ

′

l

)

Γ(

c

+

τ

′

l

)

2

R

1

(

b, a

;

c

+

τ

′

l

;

τ

;

w

)

z

l

l

!

(6)

τ, τ

′

>

₀

,

|

w

|

<

1

, c

+

τ

′

l

6

= 0

,

−

1

,

−

2

, . . .

Ξ

τ

2

(

a, b

;

c

;

w, z

) =

Γ(

c

)

Γ(

a

)

∞

X

k,l=0

Γ(

a

+

τ k

)(

b

)

k

Γ(

c

+

τ k

+

l

)

w

k

k

!

z

l

l

!

(7)

Distribución de probabilidad generalizada

17

Ξ

τ

2

(

a, b

;

c

;

w, z

) =

∞

X

l=0

1

(

c

)

l

2

R

1

(

b, a

;

c

+

l

;

τ, w

)

z

l

l

!

(8)

τ >

0

,

|

w

|

<

1

, c

6

= 0

,

−

1

,

−

2

, . . .

donde

(

c

)

n

denota el símbolo de Pochhammer

(

c

)

n

= Γ(

c

+

n

)

/

Γ(

c

)

.

2.2. Funciones de Bessel

A continuación se define la función de Bessel modificada de primera clase

I

υ

(

z

) =

∞

X

k=0

(

z/

2)

υ+2k

Γ(

k

+ 1)Γ(

k

+

υ

+ 1)

,

|

z

|

<

∞

,

|

arg

z

|

< π

(9)

A continuación se muestra una representación integral definida por Galué para

la función

Ξ

2

y algunas propiedades, las cuales permitirán encontrar la nueva

distribución de probabilidad generalizada y sus propiedades.

2.3. Representación integral

Galué et al. (2005) presentó además la representación integral para la

genera-lización

τ

de la función de Humbert

Ξ

2

, de la siguiente forma:

Z

∞

0

x

α

−

1

e

−

px

Ξ

τ

2

(

a, b

;

c

;

w, xz

)

dx

=

Γ(

α

)

p

α

Ξ

τ,1

1

a, α, b

;

c

;

w,

z

p

(10)

τ,

Re

p,

Re

α,

Re(

p

−

z

)

>

0

,

|

w

|

<

1

Algunas propiedades.

Galué et al. (2005) establecieron también algunas

pro-piedades para las extensiones de Humbert de la siguiente manera:

Ξ

τ,τ

1

′

(

a, a

′

, b

;

c

;

w,

0) =

2

R

1

(

b, a

;

c

;

τ

;

w

);

|

w

|

<

1

(11)

Ξ

τ

2

(

a, b

;

c

;

w,

0) =

2

R

1

(

b, a

;

c

;

τ

;

w

);

|

w

|

<

1

(12)

Ξ

τ,τ

1

′

(

a, a

′

, b

;

c

; 0

, z

) =

1

Φ

τ

′

1

(

a

′

;

c

;

z

)

(13)

Ξ

τ

2

(

a, b

;

c

; 0

, z

) = Γ(

c

)

z

−

(c

−

1)/2

I

c

−

1

(2

√

z

)

(14)

18

Rafael Alfonso Meléndez, Jaime Antonio Castillo & Carlos Jesús Jiménez

2.4. Función gamma incompleta y gamma generalizada

Una nueva función gamma generalizada puede considerarse utilizando

Ξ

τ

2

defi-nida en (7), de la siguiente manera:

τ

Γ(

α, p

;

a, b

;

c

;

w, x

) =

Z

∞

0

t

α

−

1

e

−

pt

Ξ

τ

2

(

a, b

;

c

;

w, tz

)

dt

(15)

τ

∈

R

, τ,

Re

p,

Re

α,

Re(

p

−

z

)

>

₀

Definimos la siguiente función gamma generalizada incompleta

τ

w

Γ

0

(

α, p

;

a, b

;

c

;

w, x

) =

Z

w

0

t

α

−

1

e

−

pt

Ξ

τ

2

(

a, b

;

c

;

w, tz

)

dt

(16)

τ,

Re

p,

Re

α,

Re(

p

−

z

)

>

0

La función gamma incompleta generalizada complementaria se define como

τ

∞

Γ

w

(

α, p

;

a, b

;

c

;

w, x

) =

Z

∞

w

t

α

−

1

e

−

pt

Ξ

τ

2

(

a, b

;

c

;

w, tz

)

dt

(17)

τ,

Re

p,

Re

α,

Re(

p

−

z

)

>

0

3. Una función de densidad de probabilidad

generalizada

En esta sección usaremos