DETERMINAN
Definisi Permutasi
Misalkan S = {1, 2, …, n} adlh himp.bil. bulat dari 1 sampai n, dgn urutan naik. Urutan kembali elemen – elemen S, j1,j2,
…,jn, disebut Permutasi dari S.
Notasi : Sn adalah himp.semua permutasi dari S
Ilustrasi
Misal S = {1, 2, 3, 4}, maka 4231 adalah
permutasi dari S. Ini merupakan fungsi f : S S
dengan
f(1) = 4 f(2) = 2 f (3) = 3
f(4) = 1
Contoh
S1 hanya mempunyai 1! permutasi dari
himp.{1}, yaitu 1.
S2 mempunyai 2! permutasi dari himp.
{1, 2}, yaitu 12 dan 21.
S3 mempunyai 3! permutasi dari himp.
{1, 2, 3}, yaitu 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Istilah
Permutasi j1j2…jn dari himp. S = {1, 2, …, n} dikatakan punya inversi jika bilangan yg lebih besar terletak sebelum bilangan yg lebih kecil.
Permutasi genap / ganjil : jika total jumlah inversi adalah genap / ganjil.
Contoh : 4132 permutasi genap
Definisi Determinan
Misal A = [aij] berukuran n x n.
Determinan dari A, ditulis det(A) atau , didefinisikan sebagai :
det(A) =
dengan j1j2…jn adalah semua permutasi dari S = {1, 2, …, n}. Tanda + atau – bergantung pada jenis permutasi genap atau ganjil.
A
n
nj
j
j
a
a
a
2 1
2
1
Contoh
A
= [
a
11]
S
1hanya mempunyai 1
permutasi, yaitu 1, dan mrp permutasi
genap. Jadi det(A) = a
11
untuk memperoleh det(
A
), maka
tulis dahulu :
a
1-a
2-dan
a
1-a
2-
22
21
12
11
a
a
a
a
Selanjutnya…
Isilah
- dengan semua permutasi dari
S
2: 12 dan 21.
Krn 12 permutasi genap maka
a
11a
22bertanda +, dan krn 21 permutasi
ganjil maka
a
12a
21bertanda -. Jadi
determinan dari
A
:
Dapat disimpulkan :
Jika maka
det(A) = a11a22 – a12a21
Contoh :
SIFAT - SIFAT
DETERMINAN
Sifat 1det(At) = det(A)
Contoh :
det(A) = 7 det(At) = 7
Sifat 2
Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan dua baris sebarang, maka
Contoh
Diberikan matriks
Sifat 3
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, maka
det(B) = k.det(A) Contoh:
Diberikan matriks dgn det(A) = 12
Sifat 4
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real sebarang kemudian menambahkannya ke baris (kolom) lain, maka
det(B) = det(A)
Contoh :
Sifat 5
Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom) yang elemen – elemennya sama, maka determinannya adalah nol.
Contoh
Matriks mpy determinan nol.
Sifat 6
Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom) dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol.
1 1
1
3 2
0
1 1
1
Sifat 7
Jika matriks A=[aij], 1 i n, 1 j n,
adalah matriks segitiga atas (bawah) maka
det(A) = a
11.a
22. … .a
nnContoh :
Diberikan matriks maka det(A) = 1.(-2).2 = -4
2 0
0
1 2
0
3 2
1
Sifat 8
Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka
det(AB) = det(A).det(B)
Sifat 9
Jika matriks A invertible, maka
det(
A
-1) =
)
det(
1
Latihan Soal
1. Hitunglah determinan dari matriks berikut :
a. b.
2. Buktikan bahwa det(k.A) = kndet(A), dengan k
bil. real dan A matriks ukuran n x n. k=2 (utk
matriks no 1a) 3. Buktikan :
