BAB III
ESTIMASI MODEL PROBIT TERURUT
3.1 Pendahuluan
Model penurunan kondisi jembatan diestimasi dengan model probit terurut. Estimasi terhadap parameter model probit terurut yaitu koefisien model
i
β dan threshold γij dilakukan dengan metode maksimum likelihood dengan melibatkan peluang.
Setelah parameter dari model probit terurut didapat, dilakukan beberapa tahap pengujian untuk mendapatkan model yang paling sesuai dan representatif. Pengujian ini meliputi pengujian normalitas error yang menjadi asumsi awal dalam model probit terurut. Selain itu, pengujian signifikansi koefisien juga dilakukan untuk mendapatkan model dengan koefisien yang mempunyai pengaruh yang signifikan.
Pada Sub bab 2.8 sebelumnya, telah dibahas mengenai model probit terurut sebagai model penurunan kondisi jembatan. Selanjutnya pada bab ini akan dibahas mengenai estimasi model probit terurut penurunan kondisi jembatan. Estimasi ini meliputi estimasi koefisien koefisien βi dan threshold γij yang melibatkan peluang dengan metode maksimum likelihood. Selain itu juga dibahas mengenai uji signifikansi koefisien βi secara simultan dan individual untuk menghasilkan model yang paling sesuai.
3.2 Estimasi Koefisien Model Probit Terurut
Bentuk persamaan model probit terurut seperti yang sudah dinyatakan pada persamaan (2.21) dan (2.22) yaitu:
logUin =βi'Xn +εin
dan Zin = jika j γij ≤Uin <γi(j+1) untuk j = ,..,0 m−i
ij i
i
i γ γ γ
dimana
Uin = laten penurunan kondisi untuk fasilitas n dalam state i βi’ = koefisien persamaan yang akan diestimasi
Xn = variabel paling berpengaruh dari fasilitas n εin = error, εi : N(0,1)
Zin = perubahan kondisi pada fasilitas n γij = threshold
i, j = nilai kondisi
m = nilai kondisi terendah
Dari persamaan-persamaan di atas, terdapat koefisien yang belum diketahui yaitu threshold γij,i = 0,1,...,m, dan j = 0,1, ...,m-i. Koefisien ini akan
diestimasi bersamaan dengan estimasi koefisien β yang juga belum diketahui. Dengan melakukan substitusi persamaan (2.21) pada persamaan (2.22) di bagian threshold, akan didapat persamaan sebagai berikut:
;
j
Zin = jika log(γij)≤βi'Xn +εin <log(γi(j+1)), j= ,...,0 m−i (3.1) Selanjutnya, dengan mengurangkan persamaan (3.1) di bagian threshold dengan
n i'X
β akan didapat persamaan (3.2) di bawah ini, yaitu ;
j
Zin = jikalog(γij)−βi'Xn ≤εin <log(γi(j+1))−βi'Xn, j=0,...,i (3.2) Diasumsikan bahwa error εin berdistribusi Normal baku, dilambangkan
εin~N(0,1). Hal ini mengakibatkan εin mempunyai fungsi distribusi kumulatif
Normal yang diberi lambang Φ(εin). Peluang transisi dari nilai kondisi i ke nilai
kondisi i+j untuk sebuah fasilitas selama periode inspeksi adalah peluang dimana perubahan dalam state kondisi, Zin, sama dengan j. Peluang ini sama dengan luas
daerah di bawah kurva distribusi kumulatif Φ(εin) yang dibatasi oleh threshold X
i ij '
logγ −β dan threshold logγi(j+1) −βi'Xn (Madanat, 1995). Hal ini dinyatakan dalam persamaan (3.3) sebagai berikut:
( 1)
( in ) (log ij i' n in log i j i' n)
p Z = j = p γ −β X ≤ε < γ + −β X ; (3.3)
untuk j = ,...,0 m−i
); ' (log ) ' (log ) (Zin j i(j 1) i Xn ij i Xn p = =Φ γ + −β −Φ γ −β (3.4) untuk j = ,...,0 m−i
Misalkan log γij = δij, maka didapat persamaan peluang yaitu:
); ' ( ) ' ( ) (Zin j i(j 1) i Xn ij i Xn p = =Φ δ + −β −Φδ −β untuk j= ,...,0 m−i (3.5) Ilustrasinya adalah sebagai berikut :
Gambar 3.1 Peluang probit dibatasi dengan threshold
Setelah mendapatkan persamaan (3.6) di atas, akan dilakukan estimasi terhadap nilai koefisien koefisien βi dan threshold γi0,γi1,...,γi(m−i). Dengan
langkah-langkah metode estimasi maksimum likelihood (MLE) akan dicari nilai estimasi dari koefisien β dan threshold γi0,γi1,...,γi(i−1) secara simultan. Metode estimasi ini dipilih karena sifatnya yang konsisten, berdistribusi normal asimtotik dan efisien. Selain itu juga dapat memberikan variansi asimtotik terkecil di bawah semua estimator asimtotik normal.
Fungsi likelihood dari model probit terurut untuk nilai kondisi i adalah sebagai berikut :
∏ ∏
= − − = = = Ni n i m j d in i nj j Z p L 1 1 0 ) ( (3.6) dimanaLi = fungsi likelihood dari model probit terurut untuk state kondisi i Zin = perubahan kondisi pada fasilitas n
Ni = total jembatan yang berada pada nilai kondisi i
dnj = variabel dummy , dnj = 1 jika Zin =j dan dnj = 0 jika Zin ≠ j.
0 1 m-i-1 m-i
…
Persamaan log likelihood dari persamaan (3.6) di atas adalah : 1 0 *i N m ilog{ ( in )} ( in ) n j L − p Z j I Z j = = =
∑∑
= = (3.7)dimana (I Zin = j) 1 jika= Zin = jdan (I Zin) 0 jika= Zin ≠ . j
Persamaan (3.7) ekivalen dengan persamaan (3.8) di bawah ini :
* ( 1) 1 0 log { ( ) ( )} ( ) N m i i i j i in ij i in in n j L − δ + β X δ βX I Z j = = =
∑∑
Φ − − Φ − = (3.8)Untuk memperoleh nilai estimasi dari setiap koefisien βi dan nilai
threshold, dilakukan metode maksimum likelihood dengan memaksimumkan
fungsi (3.8) di atas dengan membuat turunannya terhadap βi dan δij sama dengan
nol, yaitu * 0 i i L β ∂ = ∂ dan * 0 i ij L δ ∂ = ∂ (3.9)
Secara matematis, pemaksimuman fungsi log likelihood adalah sebagai berikut:
( 1) 1 0 ( 1) ( ) ( ) * ( ) 0 ( ) ( ) N m i i j i in ij i in i in in n j i i j i in ij i in X X L X I Z j X X φ δ β φ δ β β φ δ β φ δ β − + = = + − − + − ∂ = = = ∂
∑ ∑
− − − (3.10) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 0 ( ) ( ) N i j i in in n ij i j i in ij i in i j i in in i j i in ij i in X Li I Z j X X X I Z j X X φ δ β δ φ δ β φ δ β φ δ β φ δ β φ δ β + = + + + ⎛ − ∂ = = ⎜⎜ ∂ ⎝ − − − − − = + = − − −∑
(3.11)dimana φ ε( ) adalah fungsi distribusi Normal, merupakan turunan dari fungsi distribusi kumulatif Normal Φ( )ε .
Untuk model probit terurut, metode Newton yang dimodifikasi adalah metode yang paling tepat untuk mengestimasi koefisien koefisien βi dan threshold. Dengan metode tersebut, koefisien yang diestimasi dicari dengan
mengikuti gradien. Beberapa iterasi dilakukan sehingga didapat koefisien yang paling sesuai.
Untuk memudahkan perhitungan, perlu dilakukan penentuan constrain awal untuk threshold. Constrain awal yang biasa digunakan adalah δ =0 seperti yang digunakan dalam program LIMDEP (Garson, 1998).
3.3 Pengujian Normalitas Error
Untuk model probit terurut yang didapat melalui hasil estimasi, perlu dilakukan suatu pengujian untuk melihat kesesuaiannya dengan asumsi awal digunakan. Asumsi awal yang diuji yaitu bahwa error berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi tertentu, dinotasikan εin ~ N(µ,σ2).
Nilai error didapat dari persamaan (3.3) dan (3.4) sebagai berikut:
( 1) ( in ) (log ij i' n in log i j i' n) p Z = j = p γ −β X ≤ε < γ + −β X ( 1) ( in ) (log i j i' n) (log ij i' n) p Z = j = Φ γ + −β X − Φ γ −β X .
Sehingga untuk masing–masing jembatan, error dihitung dengan langkah– langkah sebagai berikut:
a. Mengalikan estimasi koefisien dengan variabelnya masing–masing (βiXn).
b. Kurangkan threshold dengan βiXn, kemudian hitung nilai cdf normal-nya.
c. Hitung peluang untuk masing–masing selisih perubahan kondisinya. d. Error didapat dari titik yang dihasilkan oleh peluang di atas.
Uji normalitas dilakukan dengan pendekatan grafis, yaitu normal
probability plot. Dasar pengambilan keputusan dilakukan dengan melihat
penyebaran data (titik) pada sumbu diagonal dari grafik yaitu:
a. Jika data menyebar acak di sekitar garis diagonal dan mengikuti arah garis diagonal, maka model secara deskriptif memenuhi asumsi normalitas. b. Jika data menyebar jauh dari garis diagonal atau tidak mengikuti arah garis
diagonal, maka model secara desksriptif tidak memenuhi asumsi normalitas.
3.4 Pengujian Signifikansi Koefisien Model Probit Terurut
Setelah didapat hasil estimasi, tahap pengujian selanjutnya adalah menguji signifikansi koefisien model. Hal ini dilakukan untuk menganalisa besarnya pengaruh dari setiap variabel independen terhadap variabel dependen didalam model yang dihasilkan. Pengujian dilakukan terhadap setiap koefisien yang dihasilkan baik secara simultan (bersama-sama) maupun secara individual (sendiri-sendiri).
Dalam pengujian secara simultan (bersama-sama) akan ditunjukkan apakah semua variabel independen yang dimasukkan dalam model mempunyai pengaruh secara bersama-sama terhadap variabel dependen. Dari hasil pengujian, diharapkan didapat model yang paling signifikan. Jika pengujian signifikansi koefisien secara simultan menghasilkan kesimpulan bahwa model signifikan, maka semua variabel independen yang dimasukkan dalam model mempunyai pengaruh secara bersama-sama terhadap variabel dependen. Model ini dapat digunakan sebagai model penurunan kondisi jembatan. Namun jika dari pengujian signifikansi koefisien secara simultan dihasilkan kesimpulan bahwa model tidak signifikan, maka perlu dilakukan pengkajian ulang terhadap variabel independen yang dimasukkan dalam model.
Dalam pengujian signifikansi koefisien secara individual akan ditunjukkan signifikansi masing-masing variabel independen secara individual terhadap variabel dependen. Jika pengujian signifikansi koefisien secara individual menghasilkan kesimpulan bahwa koefisien signifikan, maka variabel independen memberikan pengaruh yang signifikan dalam model. Namun jika pengujian signifikansi koefisien secara individual menghasilkan kesimpulan bahwa koefisien tidak signifikan, maka variabel independen tidak memberikan pengaruh yang signifikan dalam model. Variabel tersebut dapat dikeluarkan dari model.
Dalam penentuan parameter model digunakan estimasi dengan metode
maksimum likelihood. Sehingga dalam pengujian signifikansi koefisien digunakan
prosedur pengujian yang sering digunakan dalam estimasi maksimum likelihood. Pengujian secara simultan dilakukan dengan likelihood ratio test sedangkan pengujian secara individual dilakukan dengan Wald test (Greene, 1993).
Prosedur pengujian signifikansi koefisien model probit terurut yang dilakukan adalah sebagai berikut:
a. Pengujian secara simultan dengan likelihood ratio test
Hipotesis untuk pengujian secara simultan adalah sebagai berikut:
0: 1 2 ... k 0
H β =β = =β = (3.12)
1: i 0, 1, 2, ,
dimana k = banyaknya koefisien.
Hipotesis nol (H0) di atas memiliki arti bahwa semua variabel
independen bukan merupakan penjelas yang signifikan terhadap variabel
dependen. Sedangkan hipotesis alternatifnya (H1) memiliki arti bahwa
semua variabel independen secara simultan merupakan penjelas yang signifikan terhadap variabel dependen.
Statistik uji yang digunakan dalam likelihood ratio test menurut Agresti (1996) adalah sebagai berikut:
2 1 0 2(log log ) i G = L − L (3.14) dimana 2 i
G = statistik uji likelihood ratio test
0
L = maksimum likelihood untuk model nol
1
L . = maksimum likelihood untuk model penuh.
Uji ini mengikuti distribusi Chi-square (χ2) dengan derajat kebebasan (df)= k. Nilai χ2 tabel sebagai titik kritis didapat dengan tingkat signifikansi α dan derajat kebebasan k, dengan k adalah jumlah variabel.
Pengambilan keputusan untuk likelihood ratio test didasarkan pada hal berikut, yaitu :
Tolak H0 jika Gi2 > χ2 tabel atau jika p-value [Gi2 model> χ2 tabel] >α.
Terima H0 jika Gi2 < χ2 tabel atau jika p-value [Gi2 model> χ2 tabel]< α.
b. Pengujian secara individual dengan uji Wald
Hipotesis untuk pengujian secara individual adalah sebagai berikut:
H0 : βi=0 (3.15)
H1 : βi≠0 (3.16)
dimana i = 1, 2, ..., k dan k = banyaknya koefisien/ parameter.
Hipotesis nol (H0) di atas memiliki arti bahwa suatu variabel
independen tidak memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel dependen. Jika nilai koefisien suatu variabel independen sama dengan nol,
maka variabel independen tersebut dianggap tidak memiliki pengaruh yang signifikan. Hipotesis alternatifnya (H1) menyatakan bahwa suatu
variabel independen memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel
dependen. Jika nilai koefisien suatu variabel independen tidak sama
dengan nol, maka variabel independen tersebut dianggap tidak memiliki pengaruh yang signifikan.
Statistik uji yang digunakan dalam uji Wald menurut Greene (1993) adalah sebagai berikut :
W = z2 = 2 ) ˆ ( | 0 ˆ | ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − β β s (3.17) = ) ˆ ( ) 0 ˆ ( 2 β β Var − (3.18) dimana W = statistik Wald
z = statistik normal standar βˆ = koefisien model
s(βˆ ) = asimtotik standar error Var (βˆ ) = variansi.
Uji ini mengikuti distribusi Chi kuadrat (χ2) dengan derajat kebebasan (df) 1, yang merupakan distribusi dari z2. Nilai χ2 tabel sebagai titik kritis didapat dengan tingkat signifikansi α dan derajat kebebasan k=1.
Pengambilan keputusan untuk Wald test didasarkan pada hal berikut, yaitu :
Tolak H0 jika W> χ2 tabel atau jika p-value variabelmodel > α Terima H0 jika W < χ2 tabel atau jika p-value variabel model> α
Tingkat signifikansi α menyatakan peluang menolak H0 padahal H0 benar. Tingkat signifikansi α dapat juga berarti risiko maksimal yang dapat ditolerir untuk menolak sesuatu yang telah diberikan. Tingkat signifikansi α=5% berarti dalam 100 kali pengambilan keputusan, 5 kali salah karena menolak sesuatu yang benar. Diharapkan tingkat signifikansi kecil agar tingkat kesalahan semakin kecil.
Dalam melakukan uji signifikansi koefisien, tingkat signifikansi ditentukan tergantung masalah. Dalam kasus ini, berkaitan dengan penurunan kondisi jembatan.
3.5 Perhitungan Peluang Transisi Nilai Kondisi
Setelah didapat model dengan nilai estimasi dari parameter βi dan threshold, maka peluang transisi untuk setiap nilai kondisi dapat dicari. Peluang
transisi ini menyatakan besarnya peluang terjadinya penurunan kondisi jembatan dari satu kondisi ke kondisi lain pada waktu tertentu.
Peluang transisi untuk semua perubahan nilai kondisi i pada jembatan dihitung sebagai berikut :
) ' ˆ ˆ ( 1 ) , | ( ˆ . . . ) ' ˆ ˆ ( ) ' ˆ ˆ ( ) , | 2 ( ˆ ) ' ˆ ˆ ( ) ' ˆ ˆ ( ) , | 1 ( ˆ ) ' ˆ ˆ ( ) , | 0 ( ˆ ) 2 ( 1 2 0 1 0 n i m i n n i i n i i n n i i n i i n n i i n X F i X i m j p X F X F i X j p X F X F i X j p X F i X j p β γ β γ β γ β γ β γ β γ − − = − = − − − = = − − − = = − = = − (3.19)
dimana pˆ ( j=i | Xn,i ) = peluang transisi perubahan nilai kondisi dari nilai kondisi i ke nilai kondisi (i+j).
Untuk tujuan pengambilan keputusan pemeliharaan dan rehabilitasi dimana metode optimasi digunakan, rata-rata peluang transisi dibutuhkan. Penghitungan rata-rata peluang transisi ini dilakukan dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:
∑
= = x x N n n x N ij p j X i N p 1 ); , | ( ˆ 1 ˆ j= ,....,0 m−i (3.20) dimana x N j ipˆ ( +1) = rata-rata peluang transisi )
, | (
ˆ j X i
p n = peluang transisi perubahan nilai kondisi dari nilai kondisi i ke nilai kondisi (i+j) pada suatu kelompok nilai kondisi
Xn = vektor variabel bebas jembatan
Nx = jumlah fasilitas pada suatu kelompok nilai kondisi G = jumlah kelompok.
Dari hasil perhitungan dengan persamaan di atas maka akan diperoleh matriks peluang transisi untuk semua perubahan nilai kondisi sebagai berikut:
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 0 ˆ ˆ 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 45 44 35 34 33 25 24 23 22 15 14 13 12 11 05 04 03 02 01 00 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p P (3.21) dimana x ij
pˆ = peluang transisi perubahan nilai kondisi dari nilai kondisi i ke nilai kondisi (i+j ).
3.6 Penentuan Model Penurunan Kondisi Jembatan
Langkah–langkah dalam menentukan model penurunan kondisi jembatan dengan model probit terurut adalah sebagai berikut:
Gambar 3.2 Bagan aliran langkah penentuan model penurunan kondisi jembatan dengan model probit terurut
DATA JEMBATAN Data Nilai Kondisi Jembatan Æ Data Perubahan Nilai Kondisi Jembatan Data Panjang Bentang Jembatan Data Lebar Jembatan
Data Umur Jembatan Data AADT
Pembagian kelompok berdasarkan data nilai kondisi awal jembatan
PENGOLAHAN LIMDEP Estimasi parameter dengan MLE Estimasi koefisien β
Estimasi threshold δ atau γ
UJI NORMALITAS ERROR MODEL PROBIT TERURUT
UJI SIGNIFIKANSI Likelihood ratio test Wald test signifikan belum signifikan Ordered probit MODEL PENURUNAN KONDISI JEMBATAN
