Limn= akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A

28  12 

Loading.... (view fulltext now)

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

1

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

LIMIT

4.1. FUNGSI LIMIT Definisi 4.1.1

R

A⊆ Titik cR adalah titik limit dari A, jika untuk setiap δ >0 ada paling sedikit satu titik di xA,xc sedemikian sehingga xc <

δ

.

Definisi diatas dapat disimpulkan dengan cara lain :

Titik c adalah suatu titik limit di A, jika untuk setiap persekitaran- dari c atau

V , memuat paling sedikit satu titik dalam A yang berbeda dengan

(2)

2

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

(⇐) Jika ada barisan (an) dalam A dan xc,∀nN sedemikian hingga

( )

a c

Lim n = akan ditunjukkan bahwa c adalah titik limit dari A

(an) dalam A dan an c maka (an) dalam A berbeda {c}, dan lim (an) = c,

artinya untuk sembarang

δ

>0,∃KN, sehingga jika nK

( )

δ

, maka

( )

c

an

δ

. Dengan kata lain, terdapat persekitaran- dari c,

δ

( )

c yang

memuat titik-titik an, ∀nK

( )

δ

,anA dan an c. Jadi, c merupakan titik

limit dari A.

DEFINISI LIMIT 4.1.4. Definisi

R A f R

A⊆ , : → , dan c merupakan titik limit dari A. Bilangan real L merupakan

limit dari f di c, jika > 0 ada > 0 sedemikian hingga untuk sembarang xA

dan 0< xc <

δ

maka f

( )

xL <

ε

Catatan :

a. Pengambilan nilai bergantung pada pengambilan , sehingga

kadang-kadang ditulis dengan ( ).

b. Ketaksamaan 0< xc adalah ekuivalen dapat dikatakan xc

Jika L merupakan limit f di c, maka dikatakan f konvergen ke L di c, dan

ditulis :

) (x f Lim L

c x

= atau L Lim f

c x

=

dikatakan f(x) menuju L untuk x menuju c

Teorema 4.1.5

Jika f :AR, dan c titik limit dari A, maka f hanya mempunyai satu limit di c. Bukti :

(3)

3

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Pilih > 0, sehingga

L1 merupakan limit f di c maka ada

δ

1

(

ε

2

)

>0 dan 0< xc <

δ

1

(

δ

2

)

maka

( )

xL1 <

ε

2

f

L2 mer upakan limit f di c maka ada

δ

2

(

ε

2

)

>0 dan 0< xc <

δ

2

(

δ

2

)

maka

( )

xL2 <

ε

2

f

Ambil

δ

=min

{

δ

1

(

ε

2

) (

,

δ

2

ε

2

)

}

maka jika xA dan 0< xc <

δ

, dengan ketaksamaan segitiga didapatkan :

ε

ε

ε

+ =

< − +

− ≤

2 1 ( ) ( ) 2 2 2

1 L L f x f x L

L

Karena > 0 dapat disimpulkan bahwa : L1 – L2 = 0 jadi L1 = L2

Definisi limit dapat dideskripsikan dalam bentuk persekitaran karena

( ) (

δ

δ

)

{

δ

}

δ c = cc+ = xR xc<

V , ;

Ketaksamaan segitiga 0< xc <

δ

adalah ekuivalen dikatakan bahwa x c dan x berbeda ke persekitaran V(c) dari c. sama dengan ketaksamaan f

( )

xL1 <

ε

|

(4)

4

(5)

5

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

(6)

6

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Dimana x2−c2 =(xc)(x+c) Jika xc<1. Pergunakan teorema ketidaksamaan diperoleh :

1

dan harus ditunjukkan nilainya lebih kecil dari .

Hal tersebut akan dipenuhi jika xc <

ε

(

2c+1

)

x dan mengakibatkan (*) valid, dan diperoleh

(7)

7

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Ambil sebarang ε > 0, pilih min 9 , 1 ε

Jadi, x2 +2x−15 ≤ x+5 x−3

ε ε δ

≤ ≤ ≤

5 . 5 5

Jadi terbukti

Kriteria Barisan Untuk Limit 4.1.8 Teorema (Kriteria Barisan)

R A

f : → , dan c merupakan titik limit dari A maka :

(i) Lim f x L

c

x→ ( )=

(ii) Untuk setiap barisan (xn) dalam A yang konvergen ke c, sedemikian hingga

N n c

xn ≠ ,∀ ∈ , maka barisan

(

f

( )

xn

)

konvergen ke L

Bukti :

(i) (ii). Anggap f mempunyai limit L di c, serta (xn) merupakan barisan dalam A dengan lim(xn)=c xnc,∀nN. Kita harus menunjukkan bahwa barisan

( )

(

f xn

)

konvergen ke L. f mempunyai limit L di c, (menurut definisi 4.1.4), jika diambil sembarang > 0 akan terdapat > 0, sehingga jika xA memenuhi

δ

< − < x c

0 , maka f

( )

x memenuhi f(x)−L<

ε

. c

xn)=

lim( , artinya untuk sembarang

δ

>0,∃K

( )

δ

N, sehingga untuk nK(

δ

) berlaku xnc Tetapi setiap xn memenuhi f(x)−L <

ε

. Jadi, jika nK(

δ

) maka berlaku nK(

δ

) artinya barisan

(

f

( )

xn

)

konvergen ke L.

(8)

8

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Andaikan Lim f x L c

x→ ( )≠ maka akan ada persekitaran- 0 dari L, Vε0(L) sehingga

untuk setiap persekitaran- dari c, Vε0(c) yang diambil, terdapat paling sedikit satu nilai , ( )

0 c

V A

x

δ

∈ ∩ ε dengan , ( ) ( )

0 L

V x f c

Vδ ≠ ≠ ε . Oleh karena itu, ∀nN , persekitaran-(1/n) dari c, memuat bilangan xn, sedemikian hingga

n c

xn 1

0< − < dan xA Tetapi, f(xn)−L

ε

0, ∀nN.

Dengan demikian dapat disimpulkan, terdapat barisan (xn) termuat dalam A

{ }

c konvergen ke c, tetapi barisan

(

f

( )

xn

)

tidak konvergen ke L.

Jadi, dengan mengambil (i) tidak benar diperoleh (ii) tidak benar, sesuai sifat kontra positif, maka (ii) (i) bernilai benar.

Dari beberapa teorema di atas maka tampak bahwa beberapa sifat dasar limit fungsi dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat kekonvergensian barisan. Contoh : Jika (xn) merupakan sembarang barisan yang konvergen ke suatu bilangan c, maka (xn2) konvergen ke c2. Oleh karena itu, dengan menggunakan Kriteria Barisan, fungsi h(x)=x2

mempunyai limit : Limh(x) c2 c

x→ =

Kriteria Divergensi

Berikut akan ditunjukkan (i) suatu bilangan tertentu bukan merupakan limit dari suatu fungsi pada suatu titik, atau (ii) suatu fungsi tidak mempunyai limit pada suatu titik.

4.1.9 Kriteria Divergensi R

A f R

A⊆ , : → dan c merupakan titik limit dari A.

(9)

9

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

b. Fungsi f tidak mempunyai limit di c, jika dan hanya jika ada barisan (xn) dalam A, xnc,∀nN, sehingga barisan (xn) konvergen ke c, tetapi

(

f

( )

xn

)

tidak konvergen di R.

Contoh : 1.

( )

x

x Lim 1

0

→ tidak ada di R.

Bukti :

Jika diambil barisan (xn) dengan xn = 1/n untuk nN, maka lim (xn) = 0, tetapi (xn) = 1/(1/n) = n, dan barisan

(

ϕ

( )

xn

) ( )

= n merupakan barisan yang tidak konvergen karena tidak terbatas Oleh karena itu menurut teorema 4.1.9 (b) disimpulkan bahwa

( )

x

x Lim 1

0

→ tidak ada di R.

2. sgn( )

0 x

Lim

x→ tidak ada.

Bukti :

Fungsi signum didefinisikan sebagai berikut :

< −

= > +

=

0 1

0 0

0 1

) sgn(

x untuk

x untuk

x untuk

x

Ingat bahwa sgn(x)=x x untuk x≠0 (lihat gambar 4.1.2). Akan ditunjukkan bahwa sgn tidak mempunyai limit di x = 0. Karena akan

ditunjukkan sgn( )

0 x

Lim

x→ tidak ada, maka harus ditunjukkan ada barisan (xn)

dan lLim sgn(x)=0, tetapi

(

sgn(x)

)

tidak konvergen.

(10)

10

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Ambil xn =

( )

−1n n untuk nN, maka lim(xn)=0 dan

( )

n

x) 1

sgn( = −

untuk nN

Lihat contoh 3.4.6(a) bahwa sgn(x)tidak konvergen. Jadi, sgn( )

0 x

Lim

x→ tidak

ada.

3.

( )

x

x

Lim 1

0 sin

→ tidak ada di R.

Bukti :

Jika g(x)=sin(1n), untuk x≠0. (lihat gambar 4.1.3) Akan ditunjukkan bahwa g(x) tidak mempunyai limit di c = 0, dengan menetapkan dua barisan (xn) dan (yn), dimana xn 0 dan yn 0, ∀nN sedemikian hingga

0 )

lim(xn = dan lim(yn)=0 tetapi lim(g(xn))=0≠lim(g(yn)) hal itu

menunjukkan bahwa Lim g

x→0 tidak ada.

Fungsi g(xn)=sin

( )(

1 x x≠0

)

Ingat : sint =0 jika t =nπ , dan sint=+1jika t=12

π

+2n

π

untuk nZ

Ambil xn=1n

π

nN, maka lim(xn)=0 dan g(xn)=sinn

π

=0 ∀nN,

sehingga lim

(

g

( )

xn

)

=0 Ambil yn π 2nπ

1

2 1 +

(11)

11

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

dang(y )=sin

(

21

π

+2n

π

)

=1

nnN sehingga lim

(

g

( )

yn

)

=1 maka

( )

x x

Lim 1

0 sin

→ tidak ada di R.

4.2 TEOREMA LIMIT 4.2.1 Definisi

Diberikan AR, f :AR, dan diberikan cR titik limit dari A. Kita

katakan bahwa f terbatas pada persekitaran cjika terdapat persekitaran δ ,Vδ(c)

dan konstanta M >0 seperti yang kita miliki f(x)≤Muntuk semua

) (c V A

x∈ ∩ δ .

4.2.2 Teorema

Jika AR dan f :ARmempunyai sebuah limit di cR, maka f

terbatas pada suatu persekitaran pada c

Bukti :

Jika L f

c x

=lim

: , maka untuk e=1, terdapat δ >0 sedemikian hingga jika

δ < − < x c

0 , kemudian f(x) <1 ( oleh corollary 2.2.4(a)),

1 )

( )

(xLf xL <

f

Karena itu, jika xAVδ

( )

c,xc, maka f

( )

xL +1. Jika cA, kita ambil M = L+1, sementara jika cA kita ambil M :=sup

{

f

( )

c , L+1

}

. Maka

bila ada xAVδ

( )

c , kemudian f

( )

xM. Ini menunjukkan bahwa f terbatas

pada suatu persekitaran pada c.

Berikut akan diberikan definisi, penjumlahan, selisih, perkalian dan pembagian

dari fungsi, seperti halnya dalam barisan.

(12)

12

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Diberikan AR, f dan gfungsi yang terdefinisi pada A ke R. Didefinisikan

jumlah f + g, selisih fgdan perkalian fg pada A ke Rdengan fungsi

(

f +g

)( )

x = f

( )

x +g

( )

x

(

fg

)( )

x = f

( )

xg

( )

x

( )( )

fg x = f

( ) ( )

x g x

untuk semuaxA. Selanjutnya jika bRdidefinisikan perkalian bf dengan

fungsi

( )( )

bf x =bf

( )

x untuk semua xA.

Akhirnya, jika h

( )

x ≠0 untuk xA, kita definisikan pembagi f /h dengan

fungsi

( )

( )

( )

x h

x f x h

f

= untuk semua xA

4.2.4 Teorema

Diberikan AR, diberikan f dan g merupakan fungsi pada A ke R, dan

diberikan cR tertimbun dari A. Lebih lanjut diberikan bR.

a. Jika f L

c

x→ =

lim dan g M

c

x→ =

lim , maka :

(

f g

)

L M c

x→ + = +

lim ,

(

f g

)

L M

c

x→ − = −

lim

( )

fg LM c

x→ =

lim

( )

bf bL

c

x→ =

lim

b. Jika h:AR, jika h

( )

x ≠0untuk semua xA, dan jika lim = ≠0

ch H

x ,

maka

H L h

f

c

x→ =

lim

Bukti :

Salah satu bukti teorema ini persis sama dengan teorema 3.2.3. Alternatif , dapat

(13)

13

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

biarkan

( )

xn menjadi urutan apapun di A sehingga xncuntuk nN, dan

Di sisi lain, definisi 4.2.3 menyiratkan bahwa

( )( )

fg xn = f

( ) ( )

xn g xn untuk nN

Oleh karena itu aplikasi dari teorema 3.2.3 hasilnya

( )( )

(

fg xn

)

lim

(

f

( ) ( )

xn g xn

)

lim =

=

[

lim

(

f

( )

xn

)

]

[

lim

(

g

( )

xn

)

]

=LM

Bagian lain dari teorema ini terbukti dengan cara yang sama. Kita meninggalkan

rincian untuk pembaca.

Komentar

dibuat. Jika diasumsikan ini tidak dipenuhi, maka limit

( )

menggunakan teorema 4.2.4 b untuk mengevaluasinya.

2. Diberikan AR, dan f1,f2,...fndengan fungsi A ke R, dan diberikan c

Maka berikut teorema 4.2.4 oleh argumen induksi bahwa

(14)

14

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Khususnya, kami menyimpulkan bahwa jika L f

c

Ikuti dari teorema4.2.4 bahwa

(

1

)(

4

)

(

lim

(

1

)

)

(

lim

(

4

)

)

(15)

15

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

(

)

Catatan bahwa limit dengan penyebut (i.e lim

(

2 1

)

5

2 + =

x

x ) tidak sama dengan

0, maka teorema 4.2.b berlaku.

4. meskipun tidak ada definisinya.

(16)

16

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Tentu saja lim1 1

ϕ

tidak terbatas dipersekitaran x=0

6. Jika padalah sebuah fungsi polynominal, maka limp(x) p(c)

c

x→ =

Biarkan pmenjadi fungsi polynominal diR maka

0

teorema 4.2.4 dan fakta bahwa k k

c

x→ = untuk setiap fungsi polynominal p

(17)

17

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

)

untuk menyimpulkan bahwa

)

Hasil berikutnya adalah analog langsung dari teorema 3.2.6

4.2.6 Teorema

(18)

18

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

4.2.7 Teorema Squeeze

Diberikan AR, f,g,h:AR, dan cR titik limit di A. Jika

Berdasarkan dari teorema 4.2.7 squeeze bahwa lim 2 0

(19)

19

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

( )

c x c

4.3 Beberapa Tambahan Konsep Limit 4.3.1 Definisi

Maka pernyataan berikut adalah ekuivalen :

(20)

20

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Diberikan AR, f :AR dan diberikan cR merupakan titik limit dari

Kita telah melihat contoh 4.1.10(b) bahwa sgn tidak mempunyai limit di 0.

Jelas bahwa limsgn( ) 1

mempunyai limit di 0.

(b). Diberikan 2

1

)

(x e

(21)

21

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Gambar 4.3.1 grafik 2

1

)

(x e

g = untuk x≠0

Kami pertama menunjukkan gtidak mempunyai sebuah limit kanan

berhingga di c=0 karena tidak dibatasi pada setiap persekitaran kanan

) , 0

( δ di 0. kita wajib memanfaatkan ketidaksamaan (1) t

e t < <

0 untuk

0

> t

Yang akan dibuktikan kemudian (lihat collary 8.3.3). mengikuti dari (1)

bahwa jika x>0, kemudian 0<1 x<e1x. Maka jika kita mengambil

n

xn = 1 , kemudian g(xn)>n untuk semua nN. Maka dari itu x

x e

1

0

lim+

tidak terdapat di R.

Namun, lim 1 0

0− =

x

x e

. Memang jika x<0 dan kita ambil

x

t=−1 di (1)

kita mendapatkan e x

x 1

1

0<− < − . Ketika x<0, ini berarti 0<e1x <x

untuk semua x<0. Mengikuti dari ketidaksamaan bahwa lim 1 0

0 =

x x

e .

LIMIT TAK HINGGA 4.3.5 Definisi

Diberikan AR dan f :AR dan diberikan cR titik limit di A.

(22)

22

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

∞ =

c f x

lim

Jika untuk setiap α∈R terdapat δ =δ(α)>0 sehingga untuk semua xA

dengan 0< xc <

δ

, maka f(x)>α

(ii) Kita katakan bahwa f cenderung −∞sebagai xc, dan ditulis

−∞ =

c f x

lim

Jika untuk setiap β ∈R terdapat δ =δ(β)>0 sehingga untuk semua xA

dengan 0< xc <

δ

, maka f(x)< β

Interpretasi geometri limit di tak hingga:

+∞ =

∞ → ( )

lim f x

x limx→∞ f(x)=−∞

+∞ =

∞ → ( )

lim f x

(23)

23

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

4.3.6 Contoh

(a). =∞

→ )

1 (

lim 2

0 x

x

Jika α >0 diberikan

α

δ = 1 maka bila ada 0< x <

δ

, maka x2 < 1

α

sehingga 1 2 >α

x .

4.3.7 Teorema

Ambil AR dan ambil f,g:AR. dan ambil cR menjadi titik limit dari A.

diduga f(x)≤g(x) untuk xA,xc:

1. Jika =∞

f

Lim c

x maka Limxc g =∞

2. Jika =−∞

g

Lim c x

maka =−∞

f

Lim c x

Bukti :

a. Jika =∞

f

Lim c

x dan α∈R diberikan, maka ada ( ) > 0 sedemikian

sehingga jika 0< xc

( )

α dan xA maka f(x)>a. tetapi karena

) ( ) (x g x

f ≤ untuk semua xA, xc, berarti jika 0< xc

( )

α dan

A

x∈ maka g

( )

x >

α

. Terbukti =∞

g

(24)

24

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

4.3.8. Definisi

Ambil AR dan f :AR Jika cR adalah titik limit dari himpunan

(

c

) {

x

A

x

c

}

A

,

=

,

>

maka dikatakan f cenderung ke

seperti xc+dan

ditulis

∞ =

f

Lim c

x (masing-masing Limxc f =−∞)

Jika untuk setiap α∈R ada

δ

=

δ

( )

α

>

0

sedemikian sehingga untuk semua

A

x∈ dengan 0< xc<δ maka f(x)>

α

(masing-masing f(x)<

α

)

Contoh :

1. Ambil

g

( )

x

=

1

x

untuk x≠0. Kita mempunyai catatan dari contoh 4.3.6(b)

bahwa Limg

x→0 tidak ada. Contoh ini menunjukkan : ∞

=

+ →0 (1/x) Lim

x dan Limx→0−(1/x)=−∞

2. Lihat contoh 4.3.4(b) bahwa fungsi g(x)=e1x untuk x≠0 adalah tidak terbatas di interval

(

0

,

δ

)

. Limit kanan dari e1x seperti x→0+ tidak ada

definisi, karena 1 x<e1x untuk x>0 Maka =−∞ +

x e Lim

x

1

0 dari definisi 4.3.8.

INFINITI LIMIT 4.3.10. Definisi

Ambil AR dan f :AR. Jika cR. ada (a, ) ⊆ A untuk semua a ∈ R.

dikatakan bahwa LR adalah limit dari f seperti x→∞ dan ditulis

L f Lim

x→∞ = atau Limx→∞ f

( )

x = L

Jika diberikan ε >0 maka ada

K

=

K

( )

ε

>

a

sedemikian sehingga untuk x>K

(25)

25

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

4.3.11 Teorema

Ambil AR dan f :AR. Jika cR. ada

(

a

,

)

A

untuk semua aR.

maka pernyataan dibawah ini ekuivalen :

1. Lim f L

x→∞ =

2. Untuk barisan

( )

xn di

A

(

a

,

)

sedemikian sehingga limit

(

a

,

)

,

barisan (f(xn)) konvergen ke L.

Contoh :

1. Ambil

g

(

x

)

=

1

x

untuk x≠0

Jawab :

Ditunjukkan Lim

(

x

)

Lim

(

x

)

x

x→∞ 1/ =0= →−∞1/ lihat 4.3.4

2. Ambil f(x)=1 x2 untuk x≠0

Ditunjukkan bahwaLim

(

1/x2

)

0 Lim

(

1/x2

)

x

x→∞ = = →−∞ (lihat 4.3.3). Jika x≥1

maka 0≤1 x2 ≤1x. dari bagian (1) terbukti bahwa

(

1/ 2

)

=0

x

Lim x

4.3.13 Definisi

Ambil AR dan f :AR. Jika cR. ada

(

a

,

)

A

untuk semua aA.

dikatakan bahwa f cenderung ke

seperti x→∞ dan ditulis

∞ =

∞ → f

Lim

x (masing-masing xLim→−∞ f =∞)

Jika diberikan α∈R maka ada

K

=

K

( )

ε

>

a

sedemikian sehingga untuk x>K

maka f(x)>

α

.

4.3.14 Teorema

Ambil AR dan f :AR. Jika cR. ada

(

a

,

)

A

untuk semua aA.

(26)

26

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

(27)

27

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Karena n ganjil maka n=2k+1 dengan k =0,1,...

dan gunakan teorema 4.3.15 karena

+

sedemikian sehingga n

(28)

28

Analisis Real, 2011 Malalina (20102512008) – Febrina Bidasari (20102512018) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, R.G, dan Sherbert, D.E., 1994. Introduction To Real Analysis, Third Edition. New York:John Wiley & Sons.

Figur

Gambar 4.3.1 grafik
Gambar 4 3 1 grafik . View in document p.21

Referensi

Memperbarui...