6
Pada bab ini akan dibahas beberapa tinjauan mengenai teori yang diperlukan dalam pembahasan bab-bab selanjutnya antara lain tentang kontrak berjangka komoditas, model pergerakan harga komoditas, rantai Markov, simulasi Standard Monte Carlo, dan metode Markov Chain Monte Carlo dengan penggunaan algoritma hit-and-run sampler.
2.1 Kontrak Berjangka Komoditas
Terdapat dua jenis kontrak berjangka yang berlaku di Indonesia, yaitu kontrak berjangka (futures contract) dan kontrak penyerahan kemudian (forward contract). Kontrak berjangka (futures contract) adalah perjanjian untuk membeli
atau menjual aset pada periode waktu tertentu pada masa yang akan datang dengan kepastian harga yang telah disepakati sebelumnya (Hull, 2002, p. 1).
Begitu pula dengan kontrak berjangka (forward contract), Hull (2002) menyatakan kontrak penyerahan kemudian (forward contract) hampir sama dengan kontrak futures pada perjanjian untuk membeli atau menjual aset pada waktu tertentu pada masa yang akan datang dengan harga tertentu. Namun yang membedakan adalah kontrak futures diperdagangkan pada lantai bursa yang sudah terorganisasi dan bersifat baku, sedangkan kontrak forward diperdagangkan pada pasar di luar bursa (over-the-counter market).
Pada awalnya bursa berjangka digunakan untuk mempertemukan kebutuhan antara petani dengan pedagang. Ketidakpastian harga panen merupakan alasan utama didirikannya bursa berjangka. Bursa berjangka merupakan alternatif pasar yang dapat dimanfaatkan untuk mengubah tingkat risiko suatu aktiva pada saat diperoleh suatu informasi baru (Hull, 2002, p. 2).
Harga kontrak berjangka secara matematis saling terkait dengan harga tunai komoditas induk yang dijadikan sebagai objek dalam kontrak (Siahaan, 2008, p.
165). Arbitrase (arbitrage) merupakan jembatan yang menghubungkan jurang pemisah antara kedua pasar untuk mencegah harga kontrak berjangka menjauh dari nilai teoritis relatif dengan harga tunai komoditas yang dijadikan sebagai aktiva induk (underlying asset). Misalkan pengarbitrase (arbitrager) membeli satu kontrak komoditas di pasar tunai pada harga tertentu ( ) dan melakukan transaksi di kontrak berjangka serta menjualnya pada suatu harga tertentu ( ) sepanjang umur kontrak (selama kontrak belum jatuh tempo) dengan adalah risk free rate. Definisikan harga kontrak pada waktu dan harga komoditas pada waktu . Hubungan antara kontrak berjangka ( ) dan harga komoditas induk ( ) adalah
. (2.1)
Jika diperoleh maka arbitrager akan menjual kontrak berjangka (sort the futures) dan membeli komoditas induk. Namun jika diperoleh maka arbitrager akan membeli kontrak berjangka dan menjual komoditas induk (Hull, 2009, p. 103).
Kondisi lain mengakibatkan arbitrager harus memiliki/menahan komoditas yang dibeli di pasar tunai sepanjang kontrak belum jatuh tempo. Hal ini dilakukan agar arbitrager benar-benar tidak memiliki risiko, tetapi hal ini akan mengandung biaya sebab secara fisik komoditas harus disimpan dan diasuransikan jangan sampai hilang (Siahaan, 2008, p. 178). Misalkan biaya penyimpanan (biaya gudang) dan biaya asuransi komoditas dari nilai komoditas. Dalam kondisi seperti ini, nilai dari futures contract adalah
. (2.2)
2.2 Model Pergerakan Harga Komoditas
Model pergerakan harga komoditas mengikuti bentuk persamaan diferensial stokastik. Pergerakan harga komoditas dikatakan memenuhi proses stokastik karena nilainya berubah terhadap waktu dengan pola yang tidak terduga. Proses Markov merupakan salah satu jenis proses stokastik yang hanya menggunakan nilai sekarang dari variabel yang relevan untuk memprediksi masa depan (Hull, 2009, p. 259).
Misalkan adalah harga komoditas pada saat dan merupakan ekspektasi tingkat pengembalian (return) harga komoditas per satuan waktu yang dinyatakan dalam desimal, maka besar return yang diharapkan dari harga komoditas sebesar , artinya untuk selang waktu yang cukup kecil , ekspektasi kenaikan harga komoditas S adalah . Jika volatilitas harga komoditas selalu nol, maka model pergerakan harga komoditas adalah
. (2.3)
Untuk , maka persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi
atau
. (2.4)
Jika persamaan (2.4) diintegralkan pada interval [0,T], diperoleh
(2.5)
dengan dan adalah harga saham pada waktu dan .
Pada keadaan sebenarnya, volatilitas akan muncul pada pergerakan harga komoditas. Dalam jangka waktu yang pendek , diasumsikan perubahan tingkat pengembalian adalah sama, terlepas dari seberapa besar harga komoditasnya.
Akibatnya, dapat diasumsikan bahwa standar deviasi perubahan harga komoditas pada selang waktu haruslah proporsional dengan harga komoditas. Dengan demikian model persamaan (2.3) dengan adanya volatilitas dapat diubah menjadi
(2.6)
atau dapat ditulis
(2.7)
dengan adalah ekspektasi tingkat pengembalian per satuan waktu, mempresentasikan volatilitas harga saham, dan Z adalah proses Wiener (Hull, 2009, p. 265).
Secara umum, variabel Z mengalami proses Wiener jika memiliki dua sifat berikut (Hull, 2009, p. 261):
1. Perubahan sepanjang periode yang kecil adalah √ dengan adalah bilangan acak yang berdistribusi normal standar.
2. Nilai pada waktu bersifat independen.
Sehingga persamaan (2.5) untuk dapat ditulis sebagai
√ . (2.8)
Menggunakan lemma Ito (Hull, 2009, p. 269) dari persamaan (2.7) akan diperoleh
( ) . (2.9)
Persamaan (2.9) akan menghasilkan solusi model yang disebut dengan model geometric brownian motion untuk harga komoditas berjangka,
( ) √ (2.10)
dengan adalah harga komoditas pada saat mendatang .
2.3 Rantai Markov
Model rantai Markov dikembangkan oleh seorang ahli Rusia A.A. Markov pada tahun 1896. Analisis Markov menghasilkan suatu informasi probabilistik yang dapat digunakan untuk membantu pembuatan keputusan. Jadi, analisis ini bukan merupakan suatu teknik optimisasi melainkan suatu teknik deskriptif.
Analisis Markov merupakan bentuk khusus dari model probabilistik yang lebih umum dikenal sebagai proses stokastik (stochastic process).
Konsep dasar analisis Markov adalah apabila diketahui proses berada dalam suatu keadaan tertentu, maka peluang berkembangnya proses pada masa mendatang hanya tergantung pada keadaan saat ini. Dengan kata lain rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian dengan peluang bersyarat kejadian yang akan datang tergantung pada kejadian sekarang.
Suatu proses stokastik { } dikatakan memiliki sifat Markov (Markov property), apabila untuk sebarang dan , distribusi bersyarat
diketahui sama dengan distribusi bersyarat bila diketahui saja. Sebuah proses yang memiliki sifat Markov disebut juga proses Markov. Jika ruang state dari proses Markov dapat dihitung, maka proses Markov dapat disebut juga rantai Markov (Bhattacharya & Waymire, 1990). Dengan kata lain,
| | (2.11) Peluang bersyarat | disebut peluang transisi untuk rantai Markov. Ketika peluang transisi tidak terikat oleh variabel waktu, dapat dikatakan bahwa rantai Markov memiliki peluang transisi stasioner (Karlin &
Taylor , 1975).
Kernel transisi adalah fungsi peluang | yang memenuhi untuk sebarang , untuk setiap anggota dari ruang state yang diberikan, terdapat anggota dari ruang state yang diberikan sedemikian sehingga
| | (2.12)
(Gilks, et. al., 1996).
Beberapa sifat yang dimiliki rantai Markov:
1. Irreducible, suatu rantai Markov dikatakan irreducible jika semua state dapat dihubungkan satu sama lain dan dikatakan reducible jika sebaliknya terdapat state yang tidak dapat dihubungkan satu sama lain.
2. Periodic, suatu kondisi ketika periode dari suatu state lebih dari satu. Jika periode suatu state sama dengan satu, maka disebut aperiodic.
3. Recurrent, suatu state dikatakan recurrent jika dan hanya jika, peluang untuk mulai dari state kembali ke state setelah waktu yang berhingga adalah satu. State yang tidak recurrent disebut transient.
4. Positive recurrent, suatu state dikatakan positive recurrent apabila diketahui rata-rata langkah yang diperlukan untuk kembali ke state adalah kurang dari tak berhingga banyaknya.
5. Absorbing, state dikatakan absorbing jika dan hanya jika dan
dengan .
6. Ergodic, suatu rantai Markov dikatakan ergodic jika irreducible, aperiodic dan positive recurrent.
2.4 Barisan Bilangan Acak
Banyak kejadian yang ditemui dalam masalah finansial mengikuti sifat dari barisan bilangan acak. Misalkan { } adalah barisan variabel acak yang independen dan berdistribusi identik jika semua variabel memiliki kesamaan fungsi probabilitas dan setiap jumlah variabel membentuk sebuah vektor acak yang independen diperoleh
∑
dan
∑
Ketika jumlah percobaan yang dilakukan menjadi sangat besar, frekuensi relatif akan berkumpul pada fungsi probabilitas peristiwa yang terjadi. Hubungan ini dapat ditunjukkan dengan hukum bilangan besar. Hukum Bilangan Besar menggambarkan stabilitas dari peubah-peubah acak dalam jumlah besar. Dalam Hukum Bilangan Besar dinyatakan bahwa jika diberikan suatu sampel acak dari suatu sebaran dengan mean dan variansnya terbatas, maka rata-rata sampel akan mendekati rata-rata populasi.
Hukum bilangan besar menjelaskan tentang jenis kekonvergenen yang lemah dengan menyatakan bahwa rataan sampel akan konvergen dalam peluang.
Ketidaksamaan Chebyshev merupakan salah satu cara untuk membuktikan kekonvergenan yang lemah. Misalkan variabel acak dengan nilai harapan dan nilai varians , untuk setiap bilangan positif k diperoleh
| | atau
| |
Misalkan menyatakan nilai mean dan menyatakan nilai varians, sehingga
dapat didefinisikan sebagai
√ [∑
]
Teorema limit pusat menyatakan bahwa ketika mendekati tak terhingga, variabel acak konvergen pada arah distribusi Gauss dengan nilai rata-rata nol dan varians unit.
2.5 Simulasi Monte Carlo
Simulasi Monte Carlo merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengevaluasi suatu model deterministik yang melibatkan bilangan acak sebagai salah satu input. Metode ini sering digunakan jika model yang digunakan cukup kompleks, nonlinear atau melibatkan lebih dari sepasang parameter tidak pasti.
Suatu model memerlukan parameter input dan beberapa persamaan yang digunakan untuk menghasilkan output (atau variabel respon). Jika parameter input berupa bilangan acak digunakan, hal ini dapat mengubah suatu model deterministik menjadi model stokastik. Model deterministik merupakan suatu model pendekatan yang diketahui dengan pasti sedangkan model stokastik tidak diketahui secara pasti (Rubinstein & Kroese, 2008, p. 82).
Simulasi Monte Carlo adalah metode untuk menganalisis ketidakpastian yang bertujuan untuk menentukan bagaimana variasi acak atau galat dapat mempengaruhi sensitivitas, kinerja atau reliabilitas dari sistem yang sedang dimodelkan. Simulasi Monte Carlo digolongkan sebagai metode pengambilan sampel karena input dibangkitkan secara acak dari suatu distribusi probabilitas
untuk proses sampling dari suatu populasi nyata. Oleh karena itu, suatu model harus memilih suatu distribusi input yang paling mendekati data yang dimiliki (Rubinstein & Kroese, 2008, p. 84).
Misalkan adalah data dari suatu percobaan simulasi yang bersifat independen dan berdistribusi identik dengan suatu fungsi densitas peluang . Data diperoleh dengan menjalankan simulasi sebanyak kali yang independen untuk menghasilkan output pada langkah ke- . Misalkan akan ditentukan nilai harapan
[ ] (2.13)
dengan berdistribusi yang dapat ditulis dengan notasi . Estimator yang tidak bias untuk adalah rataan sampel dari himpunan { } sebagai berikut
̂ ∑
(2.14)
Metode Monte Carlo merupakan sebuah metode untuk menghasilkan sampel yang saling bebas, dan berdistribusi identik. Perhitungan harga dilakukan berdasarkan harga komoditas sebelumnya, perhitungan harga juga dapat dilakukan berdasarkan harga saham awal . Untuk melakukan perhitungan harga komoditas dilakukan dengan model geometric brownian motion
((
) √ )
. (2.15)
Model pada simulasi Monte Carlo menyatakan bahwa harga komoditas saat ini dipengaruhi oleh harga saham sebelumnya. Apabila waktu pergerakan
harga komoditas dipartisi menjadi N buah ( ), untuk mendapatkan harga pada waktu T diperlukan perhitungan harga komoditas sebanyak N buah.
2.6 Metode Markov Chain Monte Carlo
Markov Chain Monte Carlo (MCMC) adalah metode untuk membangkitkan peubah-peubah acak yang didasarkan pada rantai Markov. Untuk sebarang titik awal, rantai Markov akan konvergen ke suatu distribusi invarian (Andrieu, et. al., 2003). Misalnya akan dijabarkan yang sangat sulit untuk dilakukan pengambilan sampelnya, oleh karena itu diperlukan teknik pengambilan sampel dengan menggunakan metode MCMC. Dalam hal ini MCMC adalah metode yang dapat digunakan untuk memenuhi tujuan pengambilan sampel yang diperlukan. Gagasan utamanya adalah untuk membangun rantai Markov { } sehingga
(2.16)
Rantai Markov didefinisikan oleh nilai keadaan awal dan kernel transisi | | . Kernel transisi digunakan sebagai pembaruan masing-masing subvektor secara bergantian dari distribusi bersyarat dan diberikan semua subvektor lainnya. Ketika peluang transisi tidak terikat oleh variabel waktu, dapat dikatakan rantai Markov memiliki peluang transisi stasioner. Distribusi stasioner bernilai tunggal jika rantainya ergodic. Berdasarkan hal tersebut diperoleh
∑ |
(2.17)
dengan merupakan ruang state dari distribusi sampel. Persamaan (2.17) dapat ditulis sebagai suatu sistem persamaan linear yang terdiri dari buah persamaan:
{
| | | | | |
(2.18)
dengan | | yang merupakan banyaknya anggota ruang state . Sistem persamaan (2.18) terdiri atas sejumlah total persamaan dan peluang transisi ( | ) ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅. Dengan demikian untuk suatu ruang state yang tak berhingga maka akan diperoleh juga kernel transisi yang tak berhingga. Oleh karena kernel transisi merupakan suatu fungsi dengan daerah asal ruang state yang tak berhingga. Hal ini berarti memenuhi pernyataan bahwa , sehingga diperoleh distribusi stasioner dari rantai Markov adalah . (Landauskas & Valakevicius, 2011, p. 245)
Metode MCMC merupakan sebuah alat untuk menghasilkan sampel yang tidak saling bebas. Hal ini sesuai dengan sifat data finansial yang merupakan suatu kelompok data tertentu yang terdiri dari urutan kejadian yang saling dependent. Pertimbangkan harga saham lintasan digunakan dalam penentuan harga kontrak.
({ } √ ∑
) (2.19)
dengan , , dan yang diperoleh dari rantai Markov sebagai sampel Monte Carlo. Dalam hal ini, adalah
parameter yang diberikan untuk menentukan nilai dari sebuah harga komoditas dengan menggunakan metode MCMC.
2.7 Algoritma Hit-and-Run Sampler
Algoritma hit-and-run sampler yang dipelopori oleh R. L. Smith adalah salah satu teknik pengambilan sampel MCMC pertama dalam kategori pengambilan sampel baris. Langkah-langkah yang dilakukan untuk membangkitkan sampel dengan menggunakan algoritma hit-and-run sampler (Kroese, et. al., 2011) adalah sebagai berikut:
1. Diberikan kondisi awal dan t = 1.
2. Bangkitkan bilangan acak menurut distribusi seragam pada unit hypersphere dimensi . Dengan kata lain, bilangan acak yang dihasilkan
adalah:
(‖ ‖
‖ ‖) dengan ‖ ‖ √
3. Bangkitkan dari densitas proposal (proposal density) | yang memenuhi kondisi keseimbangan sebagai berikut:
(‖ ‖|
‖ ‖ ) (‖ ‖|
‖ ‖ )
Densitas proposal yang memenuhi kondisi keseimbangan dapat dikatakan sebagai proposal yang layak, sehingga pada iterasi diperoleh
{ } 4. Ambil dan misalkan
{
dengan merupakan peluang penerimaan (acceptance probability)
{ | ||
| || } (2.20) nilai untuk dan untuk .
5. Jika kriteria konvergensi | | terpenuhi, maka algoritma selesai. Jika tidak, maka naikkan dan ulangi dari langkah 2.
