METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH ORDE DUA PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARABOLIK

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH ORDE DUA PADA PERSAMAAN

DIFERENSIAL PARABOLIK

ADOMIAN DECOMPOSITION METHOD TO SOLVE PROBLEMS AT THE SECOND ORDER PARABOLIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

Muh. Kaprawi, Jeffry Kusuma, Suarga

Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

Alamat Korespondensi:

Muh. Kaprawi

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin

Makassar,

HP: 082345672560

ABSTRAK

Penerapan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan diferensial parabolik, yang merupakan review sekaligus perbaikan beberapa kekeliruan yang terdapat dalam artikel Javidi dan Golbabai yang berjudul Adomian Decomposition Method for Approximating the Solution of Parabolic Equations. Penelitian ini bertujuan menyelesaikan numerik persamaan diferensial parabolik dengan menggunakan metode dekomposisi adomian dan penerapan numerik persamaan diferensial parabolik dengan menggunakan metode dekomposisi adomian pada program Matlab. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode dekomposisi adomian. Dari beberapa metode pada numerik, metode dekomposisi adomian memberikan solusi nilai galat atau nilai eror yang cukup akurat pada persamaan parabolik dan membandingkannya dengan Metode FTCS (Forward-Difference). Hasil penelitian menunjukkan bahwa dari perbandingan Metode Dekomposisi Adomian dan FTCS dari contoh persamaan diferesial parabolik, menunjukkan bahwa metode dekomposisi adomian membuktikan sebuah pendekatan yang sangat akurat.

Kata kunci: metode dekomposisi Adomian, persamaan parabolic, metode FTCS.

ABSTRACT

Application of Adomian decomposition method to solve a parabolic differential equation which is a review as well as fix of some errors contained in the article of Javidi and Golbabai entitled Adomian decomposition method for approximating the Solution of Parabolic Equation. This research aimed to finish parabolic differential equations numerically using the method of decomposition adomian and Application of parabolic differential equations numerically using the method of decomposition adomian at the Matlab program. The method used in this study is, adomian decomposition method. Of some of the numerical methods, the decomposition method provides a solution adomian error value or an error that reasonably accurate values on the parabolic equation and compare it with FTCS Method (Forward – Difference). The results of the comparison showed that the Adomian Decomposition Method and FTCS of examples differential parabolic equation, shows that the decomposition method adomian provided highly accurate approach.

PENDAHULUAN

Pandanglah persamaan diferensial parsial linier orde dua berikut

𝐴𝑢𝑥𝑥 + 𝐵𝑢𝑥𝑡 + 𝐶𝑢𝑡𝑡 + 𝐷𝑢𝑥 + 𝐸𝑢𝑡 + 𝐹𝑢 + 𝐺 = 0 (1.1) Dengan 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹dan 𝐺 adalah fungsi bernilai real dalam 𝑥 dan 𝑡 pada domain yang ditetapkan dan 𝐴2_{+ 𝐵}2_{+ 𝐶}2 _{≠ 0. Persamaan (1) dikatakan persamaandiferensial parabolik} apabila 𝐵2− 4𝐴𝐶 = 0. Ault, J.C dkk. (1992). Salah satu persamaan parabolik yang banyak didiskusikan adalah dengan bentuksebagai berikut :

𝜕𝑢 𝜕𝑡 =

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑁(𝑢) + 𝑔(𝑥, 𝑡)(𝑥, 𝑡) ∈ [𝑎, 𝑏]x[0, 𝑡) (1.2)

Dengan syarat awal

𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥, 0) (1.3) Soeharjo (1996), metode dekomposisi Adomian merupakan metode yang dikembangkan oleh George Adomian dan merupakan metode yang termasuk model semi-analytical. Metode dekomposisi Adomian merupakan metode yang digunakan untuk memperoleh solusi dari persamaan linier maupun non linier bahkan yang memiliki orde besar sekalipun. Baiduri (2010), pendekatan yang diberikan dari metode dekomposisi Adomian bersifat rekursif. Metode ini memberikan solusi dari pendekatan near-field dimana mencerminkan pendekatan near-field cukup akurat dalam daerah hasil. Menurut Braun M (2010), penerapan dari metode dekomposisi Adomian tidak hanya digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah persamaan turunan, namun juga telah diterapkan dalam beberapa bidang dalam bidang ilmu dan teknologi yang berkembang saat ini.

Cheng Wu, dkk. (2010), memperkenalkan Adomian decomposition method and non-analytical solutions of fractional differential equations. Penelitian Cheng Wu, memperlihatkan proses dari algoritma metode ADM yang sangat relevan dan mudah dipahami. Metode ADM memiliki solusi eror yang sangat baik bila dibandingkan dengan metode yang lain.

Cheniguel A. (2011). Solving Heat equation by the adomian decomposition method. Penelitian Cheniguel menerapkan metode ADM pada persamaan heat, persamaan heat termasuk pada persamaan parabolik. Dari penelitian Biazard (2009), memperlihatkan model dari metode ADM yang menerapkan pada persamaan parabolik. Dari hasil yang diberikan metode ADM memiliki nilai eror yang sangat akurat.

Biazard J, dkk. (2009). Memperkenalkan An approximation to the solution of parabolic equation by Adomian decomposition method and comparing the result with Crank-Nicolson method. Biazar and Z. Ayati memperlihatkan Pemodelan matematika dalam ilmu

terapan pada persamaan parabola. Jadi solusi dari persamaan tersebut adalah dari antar dua metode tersebut. Solusi numerik seperti pendekatan beda hingga membutuhkan ukuran besar dari perhitungan. Metode dekomposisi Adomian yang membutuhkan perhitungan yang kurang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial parabola dan hasilnya akandibandingkan dengan hasil metode FTCS.

Bhadauria R. (2012). Memperkenalkan Solution Of Reaction–Diffusion Equation By Adomian Decomposition Method. Rahul Bhadauria memperlihatkan proses kerja Metode dekomposisi adomian dalam menyelesaikan persamaan reaksi-diffusi. Dalam karya Rahul Bhadauria memperlihatkan contoh persamaan reaksi-diffusi non linier dan linier.

Rochdi J. (2013). Memperkenalkan Adomian Decomposition Method for Solving Nonlinier Heat Equation with Exponential Nonlnearity. Dalam tulisan Rochdi Jebari, metode dekomposisi adomian diterapkan untuk persamaan panas non-linier dengan nonlinier eksponensial. Metode ini diuji untuk beberapa contoh. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa metode ini efisien dan akurat. Penelitian ini menunjukkan juga, kecepatan dari kekonvergenan pada metode dekomposisi Adomian.

Javidi, M. dkk. (2011). Penelitian beliau mengenai Adomian decomposition Method for approximating the solution of the parabolic equation. Penelitian ini menunjukan aplikasi metode ADM pada persamaan panas satu dimensi. Metode ADM memiliki nilai akurasi eror yang sangat signifikan pada persamaan parabolik, hiperbolik, dan lain-lain. Javidi memperlihatkan galat eror yang sangat akurat.

Benito J.J. (2010). Memperlihatkan Solving parabolic and hyperbolic equations by the generalized finite difference method . Dalam karya Benito J.J memperlihatkan penyelesaian masalah parabolik dan hiperbolik menggunakan metode beda hingga. Benito J.J menunjukan contoh penyelsaian kasus 1 dimensi, 2 dimensi , dan 3 dimensi.

Fadei J. (2011). Application of laplace–Adomian decomposition method on linear and nonlinear system PDEs. Penelitian ini menjelaskan metode ADM pada aplikasi laplace, dimana pada metode ADM, bentuk metode ADM memeprlihatkan bentuk laplace untuk menghasilkan solusi eksak dan numerik.

Ghoreishe, dkk. (2010). Memperlihatkan Adomian Decomposition Method (ADM) for Nonlinier Wave-like Equations with Variable Coefficient memperlihatkan penyelesaian masalah parabolik dan hiperbolik menggunakan metode beda hingga dan metode dekomposisi adomian, dan menunjukan metode dekomposisi adomian memiliki akurasi yang sangat baik.

Gokhan, dkk. (2013). Memperlihatkan decomposition method for heat conduction in an Annular finof hyperbolic profile with temperature dependent Thermal conductivity. Jurnal

tersebut memperlihatkan kondisi kestabilan metode dekomposisi yang diterapkan ke hiperbolik.

Dari beberapa hasil penelitian sebelumnya menunjukkan bahwa metode dekomposisi adomian sangat akurat dalam memperoleh nilai galat eror, baik dalam bentuk dua dimensi maupun tiga dimensi. Penelitian ini bertujuan memperlihatkan perbandingan metode dekomposisi adomian dan metode FTCS ( Forward Time Central Space ) dari bentuk nilai galat eror dari kedua masing-masing metode.

BAHAN DAN METODE

Secara umum desain penelitian yang dilakukan adalah: Mendefenisikan sebuah fungsi dari persamaan diferensial parabolik ( , ) ₂ ( , ), 0 x , t 0

2 2          t x t u y x t u _ dan syarat awal u(x,0) f(x) 0x serta syarat batas u(0,t)u(,t)0, t0. Jika fungsi dari persamaan diferensial parabolik bersifat linear, maka lanjut ke langkah 3 dan jika fungsi dari persamaan diferensial parabolik bersifat nonlinear maka diterapkan polynomial adomian

 

 





 







 



 







 





 



. , ! 3 , ! 2 , , 0 3 0 3 3 1 0 2 0 2 2 1 0 0 3 3 0 2 0 2 2 1 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0                      u N du d u u N du d u u u N du d u A u N du d u u N du d u A u N du d u A u N A

Kemudian menjumlahkan An untuk n sama dengan nol sampai takhingga

 





 

_{ }

0 0 0 0 ! u N n u u A u N n n n n n





           

selanjutnya membetuk deretan u_nyang diperoleh secara rekursif

, 0 1 0 1 1 0 0







             n n n n n n u L g L R u L A u setelah terbentuknya



 0 n n

u maka diperoleh deretan un, dengan perluasan deret Taylor





0

n n

u

diperoleh solusi eksak. Mencari solusi aproksimasi atau solusi numerik dengan menggunakan deret potong

 



_

M_

 

n n M x t u x t u 0 , , , dengan

   

x t u x t u_M M , , lim   .

Terakhir mencari nilai galat atau nilai eror dari selisih solusi eksak dan solusi numerik. Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode dekomposisi Adomian. Penelitian ini merupakan penelitian kajian pustaka.

HASIL

Pandang persamaan

 



u x,t



g

 

x,t ,

 

2.1

F 

dengan F merupakan operator diferensial nonlinear yang memuat bentuk linear dan nonlinear, g(x,t) adalah fungsi yang diketahui dan u(x,t) adalah fungsi yang akan ditentukan. Metode dekomposisi Adomian menguraikan bagian nonlinear F menjadi F LRN dengan L adalah operator linear yang mempunyai invers, R adalah operator linear lainnya dan N adalah bentuk nonlinear. Jadi persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi

 

2.2 , Nu Ru g Lu  

selanjutnya, dengan menerapkan L-1 pada kedua ruas persamaan (2.2), maka

 

2.3 . 1 1 1 1 Nu L Ru L g L Lu L      

Untuk masalah nilai awal berorde n, operator L didefinisikan sebagai integral lipat-n dari 0 1 ke t dengan





_n n dt d L.  . , sehingga



.



. . 0 0 0 1 dt dtdt L 

  

t t t  Jika L operator orde satu atau

dt d L , maka 



 t dt Lu Lu L 0 1

   

0.

 

2.4 1 u t u Lu L  

Substitusikan persamaan (2.4) ke persamaan (2.3), diperoleh 𝑢 = 𝑢(0) + 𝐿−1_{𝐺 − 𝐿}−1_{𝑅𝑢 − 𝐿}−1_𝑁𝑢.

Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan solusi u berbentuk ,

0



   n un u sedangkan suku nonlinear Nu dinyatakan dalam suatu polinomial khusus yaitu



, , ,



, 0 0 1



   n An u u un





, 0,1,2,

 

2.5 ! 1 , , , 0 0 1 0                    



u n N d d n u u u A A i i i n n n n n   

dengan adalah suatu parameter. Untuk memudahkan perhitungan, An dapat disajikan dalam

bentuk rekursif berikut :

 

 





 







 



 







 





 



. , ! 3 , ! 2 , , 0 3 0 3 3 1 0 2 0 2 2 1 0 0 3 3 0 2 0 2 2 1 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0                      u N du d u u N du d u u u N du d u A u N du d u u N du d u A u N du d u A u N A

Jadi dengan menjumlahkan An untuk n sama dengan nol sampai tak hingga, setelah

penyederhanaan didapat

 





 

_{ }

_{ }

6 . 2 ! 0 0 0 0 u N n u u A u N n n n n n





           

yang tidak lain adalah perluasan Taylor dari N(u) di sekitar uo. Selanjutnya, dengan

mensubsitusikan 



_ 0 n un u dan , 0



   n An

Nu ke persamaan (2.5), maka diperoleh

 

2.7 . 0 1 0 1 1 0 0







             n n n n n n u L g L R u L A u

Dari persamaan (2.7), komponen un(x,t) dapat ditentukan dengan relasi rekursif berikut :

 

2.8 , 2 , 1 , 0 , 1 1 1        L Ru L A n u_{n n n}

akan tetapi dalam penerapannya nilai dari u

 

x t

n 0 n ,





 tidak dapat ditentukan secara eksak.

Oleh karena itu digunakan solusi aproksimasi dengan menggunakan deret terpotong

 



_

M_

 

n n M x t u x t u 0 , , dengan lim_Mu_M

   

x,t u x,t .

Sebagai penerapannya, beberapa kasus yang deselesaikan dengan metode dekomposisi adomian. Kasus pertama yaitu menyelesaikan persamaan parabolik berikut denga metode dekomposisi Adomian

 

,

 

0,1 [0,1], (3.1) , 2 2 2            t x e e x u t u u u

Penyelesaian: Dari persamaan (3.1) diketahui 

 

u eue2u, g

 

x,t 0, dan

  

x



ln

x



2



f

. Dengan menerapkan polinomial (2.5) Adomian ke bentuk nonlinear



 

u

diperoleh

 

0 20 0 0 u u e e u A     

 



0



0 1 1 u du d u A  



0 0



2 1 2 u u e e u     

 





2



 

0



0 2 2 1 0 0 2 2 ! 2 du u d u u du d u A _         





0 0 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 u u e u u e u u          _{ } 

 







 



3



 

0



0 3 3 1 0 2 0 2 2 1 0 0 3 3 ! 3 du u d u u du d u u u du d u A _            0 0 3 2 1 3 2 1 3 1 2 1 3 3 4 2 4 6 1 u u e u u u u e u u u u         _{ }       _{  }  karena

g

 

x

,

t



0

menjadi

   

, ,0

 

, . (3.2) 0 1 0 1 0               







        n n t n n xx t n n x t u x L L u x t L A u

Selanjutnya, un pada (3.2) dapat diperoleh secara rekursif sebagai berikut:

  

,0 ln 2



0 u x  x u



0 0



1 1 L u A u  _t _xx  2  x t



1 1



1 2 L u A u  _{t xx} 





2 2 2 2    x t



2 2



1 3 L u A u  _t _xx 





3 3 2 3   x t sehingga diperoleh u

 

x,t u0u1u2u3

 















 







             n n n x n t x t x t x t x t x u 2 1 2 3 2 2 2 2 ln , 1 3 3 2 2 atau

 

x,t ln



x 2 t



(3.3)

u   

persamaan (3.3) adalah solusi yang memenuhi persamaan (3.1). Eror atau selisih antara solusi numerik dengan solusi eksak untuk kasus 1 menggunakan deret terpotong dengan 5 suku.

Kasus kedua yaitu menyelesaikan persamaan parabolik berikut dengan metode dekomposisi Adomian ) 4 . 3 ( t 0 1 0 , 0 2 2          x x u t u

dengan syarat awal u(x,0)sin(



x) 0x1

dengan syarat batas u(0,t)u(1,t)0 0t.

Penyelesaian :



( , )



) 0 , ( 1 0 u x L g x t u t   

 

0 ) sin(  1  x Lt  sin( x



)



 

t 0 0 ) sin( x



 1 1  Lt u



L_xx(u₀)



1  L_{t }        ) ( ₀ 2 2 u x 1  Lt





2 ) sin(x  



_







t x 0 2 ) sin(  dt



sin(x)2t



 1 2  Lt u



L_xx(u₁)



1  L_{t }        ) ( ₁ 2 2 u x 1  Lt



x t



4 ) sin(  



_

t



 x t



0 4 ) sin(  dt 2 4 ) sin( 2 1 t x    1 3  L_t u



L_xx(u₂)



1  Lt         ) ( 2 2 2 u x 1  L_t       6 2 ) sin( 6 1 t x  



_

      t t x 0 2 6 ) sin( 6 1 _{ } dt 3 6 ) sin( 6 1 t x    

dengan cara yang sama, maka diperoleh

4 8 4 sin( ) 24 1 t x u    5 10 5 sin( ) 120 1 t x u   

sampai u_n, maka diperoleh u( tx, )

... ) , (x t u₀u₁u₂u₃u₄u₅ u 5 10 4 8 3 6 2 4 ) sin( 120 1 ) sin( 24 1 ) sin( 6 1 ) sin( 2 1 ) sin( ) , (x t x x t x t x t x t u                     _{    }  ... 120 1 24 1 6 1 2 1 1 ) sin( ) , (x t x 4t2 6t3 8t4 10t5 u            _{    }  ... ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 1 ) sin( ) , (x t x 4t2 6t3 8t4 10t5 u                          ! ) 1 ( ... ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 1 ) sin( ) , ( 2 5 10 4 8 3 6 2 4 n t t t t t x t x u n n n













t x t x u( , )sin(



) e2

 

3.5 e ) sin( ) , (x t x 2t u 





persamaan (3.5) adalah solusi yang memenuhi persamaan (3.4). Eror atau selisih antara solusi numerik dengan solusi eksak untuk kasus ke dua menggunakan deret terpotong dengan 50 suku.

Kasus ke tiga yaitu menyelesaikan persamaan parabolik berikut dengan metode dekomposisi Adomian ) 6 . 3 ( 3 t 0 , 0 , 2 2          _ x x u t u

dengan syarat awal u(x,0)sin(x)

dengan syarat batas u(0,t)u(



,t)0.

Penyelesaian : ( ,0)



( , )



1 0 u x L g x t u   _t

 

0 ) sin(  1  x Lt  sin(x)



 

t 0 0 ) sin(x  1 1  Lt u



L_xx(u₀)



1  Lt         )) (sin( 2 2 x x 1  Lt



sin(x)





_







t x 0 ) sin( dt



sin(x)t



 1 2  L_t u



L_xx(u₁)



1  Lt          ) ) sin( ( 2 2 t x x 1  Lt



sin(x)t





_

t



x t



0 ) sin( dt

2 ) ( sin 2 1 t x  1 3  Lt u



L_xx(u₂)



1  Lt         ) ) ( sin 2 1 ( 2 2 2 t x x 1  Lt       2 ) ( sin 2 1 t x



_

      t t x 0 2 ) ( sin 2 1 dt 3 ) ( sin 6 1 t x  

dengan cara yang sama, maka diperoleh

4 4 sin( ) 24 1 t x u  5 5 sin( ) 120 1 t x u 

sampai u_n, maka diperoleh u( tx, )

... ) , (x t u₀u₁u₂u₃u₄u₅ u ... ) ( sin 120 1 ) ( sin 24 1 ) ( sin 6 1 ) ( sin 2 1 ) sin( ) ( sin ) , (x t  x  x t x t2  x t3  x t4  x t5  u       _{     }  ... 120 1 24 1 6 1 2 1 1 ) ( sin ) , (x t x t t2 t3 t4 t5 u       _{     }  ... ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 1 ) ( sin ) , (x t x t t2 t3 t4 t5 u                      ! ) 1 ( ... ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 1 ) ( sin ) , ( 2 3 4 5 n t t t t t t x t x u n n t x t x u( , )sin( ) e

 

3.7 e ) ( sin ) , (_{x t x} t u  

persamaan (3.7) adalah solusi yang memenuhi persamaan (3.6). Eror atau selisih antara solusi numerik dengan solusi eksak untuk kasus ke tiga menggunakan deret terpotong dengan 14 suku.

PEMBAHASAN

Pada kasus pertama, perbandingan metode ADM dengan metode FTCS memperlihatkan nilai galat eror masing-masing. Pada saat 𝑥 = 0 sampai 1 dan 𝑡 = 0.01 dari kedua metode ADM dan FTCS memperoleh galat eror sangat signifikan dimana metode ADM memperoleh galat eror sebesar 8 sedangkan metode FTCS memperoleh eror sebesar 4. Dari kasus dua dan tiga menunjukan hasil yang sama dari kasus pertama. Hal ini memperlihatkan bahwa metode dekomposisi adomian memeliki tingkat akurasi galat eror yang sangat baik bila dibandingkan dengan metode FTCS (Forward Time Central Space). Pada penelitian Biazar J, dkk. (2006). Mempelihatkan perbandingan metode ADM dan Crank–Nicolson, dimana pada saat 𝑥 = 0 sampai 1 dan 𝑡 = 0.01 menunjukan metode ADM memiliki nilai akurasi galat eror yang sangat baik bila dibandingkan dengan metode FTCS, begitupun dengan penelitian Javidi, M. dkk. (2011). Memperlihatkan bentuk proses kinerja dari metode ADM, Javidi menunjukan proses ADM yang sangat sederhana tetapi memiliki galat eror yang sangat baik.

KESIMPULAN DAN SARAN

Bentuk penyelesaian numerik masalah persamaan diferensial parabolik orde dua menggunakan metode dekomposisi Adomian yaitu Pandanglah persamaan parabolik

) , ( ) ( 2 2 t x g u x u t u _{ }     

dengan syarat awal, u(x,0) f(x,0) kemudian nyatakan operator





t Lt    . . dan





₂ 2 . . x L_xx    dengan L_t







t



dt 0 1 . . , sehingga persamaan ) , ( ) ( 2 2 t x g u x u t u _{ }      menjadi

   

u g x,t , (3.1) u L u L_t  _xx  

selanjutnya dengan menerapkan L_t1 pada kedua ruas persamaan (54/3.1), maka diperoleh

   

x,t u x,0 L1L u L1

 

u L1g

 

x,t. (3.2) u   _{t xx}  _t   _t

Sekarang nyatakan solusi u , ke dalam deret takhingga

 

x t

 

,

 

, , (3.3) 0



   n n x t u t x u

dan bentuk nonlinear 

 

u dalam bentuk deret takhingga dari polinomial Adomian yaitu

 



, , ,



. (3.4) 0 1 0



    n n n u u u A u 

Bila disubsitusikan persamaan (3.3) dan (3.4) ke dalam persamaan (3.2), diperoleh solusi untuk u , dengan bentuk

 

x t

   

, ,0

 

, 1

 

, . (3.5) 0 1 0 0 1 t x g L A L t x u L L x u t x u _t n n t n n n xx t n          _              







Adapun saran untuk penelitian kali ini yaitu pertama bagaimana membandingkan penyelesaian persamaan diferensial parabolik dan hiperbolik menggunakan metode dekomposisi Adomian. Kedua menguji kestabilan metode dekomposisi adomian dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial.

DAFTAR PUSTAKA

Ault, J.C dkk. (1992). PersamaanDiferensial. Jakarta: Erlangga Baiduri. (2010). Persamaan Diferential. Bandung: Alfa Beta.

Benito J.J. (2010). Solving parabolic and hyperbolic equations by the generalized finite difference method.Journal of Computational and Applied Mathematics, 9(1): 208-217. Bhadauria R. (2012). Solution Of Reaction–Diffusion Equation By Adomian

Decomposition Method. Journal Engineering Science dan Technology 4 (6): 650-661. Biazar J, dkk. (2009). An approximation to the solution ofparabolic equation by

Adomian decomposition method and comparing the resultwith Crank-Nicolson method. International Mathematical Forum, 39(1): 1925-1933

Braun M. (1993).Differential Equation and Their Aplication. New York: Springer

Cheng Wu, Guo. (2010). Adomian decomposition method and non-analytical Solutions of fractional differential equations. Journal Phys, 56(7): 873-880.

Cheniguel, A. (2011). Solving Heat Equation by the Adomian Decomposition Method. Journal Applied Mathematical Sciences, 1(6): 145-149.

Fadei J. (2011). Application of laplace – Adomian decomposition method on linear and nonlinear system PDEs. Journal applied Mathematical Sciences, 5(27): 1307 – 1315. Ghoreishe, dkk. (2010). Adomian Decomposition Method (ADM) for Nonlinier

Wave-like Equations with Variable Coefficient. Journal Applied Mathematical Sciences, 49(4): 2431 – 2444.

Gokhan, dkk. (2013). Adomian decomposition method for heat conduction in an Annular fin of hyperbolic profile with temperature dependentThermal conductivity. Journal of Thermal Science and Technology, 33(1): 69-77.

Javidi, M. dkk. (2011). Adomian Decomposition Method for Approximating The

Solution of The Parabolic Equations. Applied Mathematical Sciences, 15(1): 219-225. Rochdi Jebari.(2013) Adomian Decomposition Method for Solving Nonlinear Heat Equation with Exponential Nonlinearity. Journal of Math Analysis, 7(15): 725 – 734.