Model Waktu Eksekusi dari Logaritma Poisson untuk Mengukur Keandalan Software

Model Waktu Eksekusi dari Logaritma Poisson untuk Mengukur Keandalan Software

R.Fenny Syafariani, .S.Si, M.Stat Dosen Tetap Program Studi Sistem Informasi

Universitas Komputer Indonesia

Abstrak

Model keandalan (reliability) dari sebuah software baru dibangun dengan cara memprediksi rata-rata kegagalan dari software lama , dimana prediksi tersebut dilakukan supaya lebih baik dan lebih sederhana dalam hal validitas prediktifnya. Model ini hanya memasukkan waktu eksekusi dan komponen-komponennya.

Kata kunci :reliability , software , forecasting , probabilitas I. Pendahuluan

Keandalan dari suatu

software didefinisikan sebagai

peluang operasi bebas kegagalan (failure free operation) dari sebuah program

komputer dimana didalamnya terdapat lingkungan dan waktu yang spesifik / yang telah ditetapkan.Sebuah kegagalan merupakan suatu permulaan dari operasi program menuju kebutuhan-kebutuhan program yang ingin dicapai. Model keandalan dari suatu software memberikan suatu bentuk umum, di pan dan g dar i sudut proses aca k yang menj el askan ke ga ga l an -ke ga gal an, u nt uk men ggol on gkan

kean dal an sof t ware at au kua nt i t as yan g ber ka i t an sebagai fun gsi dar i

ke ga gal an -ke ga gal an yan g di al a mi at au w akt u ekse kusi . Para me t er -para met er f ungsi i ni t er gant un g pada a kt i vi t as perbai kan dan si fat -s i fat yan g mun gki n ada dari suat u sof t ware at au proses pen ge mban gan nya . Model bar u i ni merupa kan hasi l dari suat u usaha unt uk mene mu kan m odel seder hana dal a m val i d i t as predi kt i f yan g t i nggi , model t ersebut di dasarkan pada model w akt u ekse kusi Musa.

Har us di ket ahui j uga bahwa ke ga gal an i t u dapat di a mat i dar i d asar model n ya da n bu kan p ada kesal ahan at au c acat ko de; t i da kl ah pr a kt i s

men ghi t un g kesal a han -kesal ahan hi n gga w akt u ekse kusi n ya men j adi sangat besar .K ar ena j uml ah ke ga gal an yang t erj adi pada wa k t u yang t i dak t erbat as ad al ah bergant u n g pada sej arah kh usus pel a ksa n aan sebuah pro gr a m, ma ka i ni di pandan g san gat bai k sebagai var i abel a cak (j uml ah kesal ahan yang

dapat di anggap

det er mi ni st i s) .

II.Model K omponen Wakt u E ksekusi

Sebuah model kean dal an sof t ware d apat di def i ni si kan ke da l am sudut pr oses a cak

{M(τ),τ0} yang

menunj ukkan j uml a h ke ga gal an yan g di al a mi oleh waktu eksekusi τ. Pr oses pen ghi t un gan t ersebut di t et apkan den gan di st r i busi dar i M(τ), termasuk fungsi ni l ai rat a -r at a

µ( τ) = E[M( τ) ] (1) at au fun gsi i nt ensi t as dari ke ga gal an

λ(τ) = (2)

Pada ba gi an i ni di asu msi kan u nt uk ko mpon en wa kt u e kse kusi dari model yan g a kan di aj ukan.

2.1Asum si - asum si Asu msi -as u msi

beri kut i ni a kan di buat unt uk menet ap kan ko mpon en wa kt u e kse kusi model :

Asumsi 1: Ti da k ada

ke ga gal an yan g di ket ahui pada wa kt u

τ = 0, misalnya M(0) = 0 den gan ke mun gki nan sat u.

Asumsi 2: Int ens i t as

ke ga gal an a kan ber kur ang secara eks ponen si al den gan j u ml ah yang di per ki r a kan dar i ke ga gal an ya n g di al a mi . J i ka ki t a menunj ukkan den gan 0 dan  u nt uk

masi n g -masi n g i nt ens i t as ke ga gal an per t a ma dan t i ngkat pen guran gan p ada i nt ensi t as ke ga gal an yang di nor mal kan per ke ga gal an, m aka asu msi n ya dapat di t ul i s sebagai

( τ) = λ0. (3)

Harus di j el askan bahwa ban ya k m odel mendal i l kan

pen gur an gan -pen guran gan yan g sa ma pada i nt ens i t as ke ga gal an sel a ma mas i ng -masi n g ke ga gal an di al a mi

dan perbai kan

di usaha kan. Pada m odel i ni , per bai kan ke ga ga l an -ke ga gal an awal men gur an gi i nt ens i t as ke ga gal an l ebi h dari ke ga gal an -ke ga gal an

ke mudi an, sep er t i di ekspresi kan ol eh Asu msi 2. Ini men yel esai kan t uj uan yan g sa ma unt u k m odel di fer ensi al , t et api j el as merupa kan se buah m odel yan g ber beda. It u di hubun gkan secar a l ebi h er at denga n model de -eut rophi cat i on geo me t ri k yan g di ke mu ka kan ol eh

Mor anda, di mana t i n gkat baha ya dari i nt erval ke ga gal an ber kurang den gan cara geo met r i k. Model Poi sson l o gari t ma dapat di pandan g seb agai ver si t erus -me nerus dari model geo met ri k. Perbedaan ant ara dua model t ersebut di j el askan pada Ga mbar 1 .

Ga mbar 1. Int ensi t as K ega gal an mel awan j uml a h ke ga gal an -ke ga gal an yang di al a mi unt u k mod el l ogar i t ma

Asumsi 3: Unt u k i nt er val wa kt u

yan g pende k , pel uang mendapat kan sat u kega gal an at au l e bi h dari sat u kega gal an

sel a ma ( adal ah

masi n g -masi n g ( )∆ + o(∆ ) dan o(∆ ), di ma na

sebagai ∆ 0.

2.2 Deri vasi dari K uan ti t as -kuanti t as Model Pent i ng 2.2.1 Fungsi Ni l ai R at a- ra t a dan F ungsi I nt ensi t as K egagal an

Terl ebi h dul u guna k an asu msi 1 dan 2 unt uk mendapat kan bent u k -bent u k f ungsi o nal unt u k fun gsi ni l ai r at a -r at a dan f un gsi i nt ensi t as ke ga gal an.

J i ka ki t a men ggant i ( 2) menj adi (3), ki t a men dapat ka n per sa maan di ferensi a l :

0. ( 4)

At au

= 0 ( 5)

Den gan me mper hat i ka n bahwa ( 6)

ki t a per ol eh dari (5)

Den gan men ggabun gkan (7) , men ghasi l kan

di ma na C adal ah ko nst ant a i nt egr asi . K ar ena ( 0) = 0 dar i Asu msi 1, ki t a perol e h C = 1 . K ar ena i t u, dar i (8) ki t a per ol eh fun gsi ni l ai rat a -r at a sebagai

yan g meru pa kan fu n gs i l ogari t ma dar i .

La gi pul a, dari defi ni si -defi ni si yan g di beri kan pada ( 2) ki t a perol eh fungsi i nt ensi t as ke ga gal an s ebagai merupa kan f un gsi l i ni er t erbal i k dar i

.

2.2.2 K egagal an

-kegagal an ya ng

Di al am i

K ega gal an -ke ga gal an yan g di al ami ol eh w a kt u ,

M( ), adal ah j uml a h r ando mi sasi . Den gan men ggu na kan asu msi -asu msi 1 dan 3, dapat di bukt i ka n denga n mudah bah wa ke mu n gki na n a M( ) me mi l i ki ni l ai m

di t ent ukan ol eh

Ini mer upa kan di st ri busi Poi sson den ga n r at a -r a t a dan var i ans ( ), yan g di j elaskan pada (9).

An ggapl ah bah wa ke ga gal an -ke ga gal an me t el ah di a mat i sel a ma (0 , e). K arena proses Poi sson { M( ) , 0} me mi l i ki t a mb ahan -t a mbahan i ndependen, di st r i busi bersyarat M( ) yan g me mper l i hat kan M( e) = me

unt uk > e adal ah di st ri busi

j uml ah ke ga gal an sel a ma ( e, ) ,

2.2.3 Wakt u K egagal a n dan Wakt u A nt a ra K egagal an - kegag al an E kspresi -e ks pr esi yan g di per ol eh pada Ba gi an 2.2.2 akan di guna kan pa da b agi an i ni unt uk menel i t i per i l aku dar i kua nt i t as -kuant i t as acak sebagai wa kt u -wa kt u ke ga gal an dan i nt er va l -i nt er val wa kt u ant ara k ega gal an -ke ga gal an unt u k model . K uant i t as -kuant i t as i ni aka n me mba nt u dal a m hal me mpr e di ksi wa kt u yan g di per gu na kann ya unt uk men gal a mi sej u ml ah kega gal an t er t ent u dan ke mun gki nan oper asi bebas kega g al an sel a ma sej u ml ah wa kt u t ert ent u ( mi sal nya keandal an) .

Mi sal kan Ti’( i = 1 ,2,. ..) menj adi vari abel ac ak yan g menunj ukkan i nt erval ke ga gal an ke i dan mendef i ni si kan Ti( i = 1,2,.. .) sebagai vari abel ac ak yan g menunj ukkan wa kt u unt u k ke ga gal an ke i , mi sal n ya,

di mana T0 = 0.

Perhat i kan bah wa per i st i wa -peri st i wa E1: Ada

set i dak - t i daknya kegagal an

-kegagal an i yang di al ami ol eh wakt u , dan E2: Wakt u unt uk kegagal an ke i adal a h set i dak -t i daknya , adal ah e k ui val en,

mi sal n ya,

K arena i t u , c.d.f . dari Ti dap at di per ol eh dari ( 11) da n (14) sebagai

Perhat i kan ba hwa i ni merupa kan di st r i bus i wakt u unt uk men ghi l angka n ke ga gal an -ke ga gal an i

pert a ma.

De mi ki an p ul a, dari (1 2) dan (14) c. d.f. bers yar at dari Ti me mper l i hat kan M( e) = me, di

mana i >me, di perol eh sebagai

2.2.4 Keandal an d an

Ti ngkat Bah aya

K eandal an ber syarat dari Ti pada wa kt u ke ga gal an t er akhi r Ti - 1 = i - 1 dapat di perol eh, men ggu na kan (16), se bagai

Perhat i kan bah wa i st i l ah kedua dari ( 17) adal ah j uml ah pel uan g Poi sson kecu al i unt uk i st i l ah per t ama . K arena i t u, di per ol eh

Lebi h l anj ut , men ggan t i (9) menj adi ( 18) men ghasi l kan

Ol eh kar ena i t u, keandal an unt uk model ber gant un g pada wa kt u ke ga gal an t era khi r i - 1.

J i ka di a mbi l der i vat i ve negat i f (18) ber kenaa n den gan i, ma ka di perol eh f ungsi densi t as bersyar at ( cd f) dari i, yai t u,

dan kar ena i t u, t i n gka t baha ya di per l i hat kan ol eh

Perhat i kan bah wa t i ngkat baha ya unt u k mo de l adal ah sa ma sepert i fungsi i nt ensi t as ke ga gal an. Le bi h l anj ut , men ggant i ( 1) menj adi (21) men ghasi l kan

III.Est i masi Maxi m um Li kel i hood d ari pa ramet er -parameternya

Pada bagi an i ni a kan men ge mban gka n met ode

Maxi mum Li kel i hoo d unt u k

me mper ki ra ka n p ar a met er -par a met er yan g bel u m di ket ahui 0dan . Di si ni a kan

di a mbi l sebuah pe nde kat an yan g me mper ki ra kan produ k  = 0 den gan men gguna kan

f ungsi densi t as ber sa ma ber syar at seba gai f un gsi

Li kel i hood . K emu di an

di t ent ukan dari fun gsi ni l ai r at a -r at a.Dapat d i bukt i kan den gan mudah bahwa pende kat an sebel u mn ya ada l ah ekui val en de n gan met ode est i masi ma ksi mu m L i kel i hood ber dasarka n fun gsi densi t as ber sa ma t a k bersyar at . Pende kat an t ersebut men yederhana kan pr oses est i masi (han ya sat u par a met er yan g di l i bat kan) dan karena i t u menj adi l ebi h efi si en dal a m per hi t unga nn ya .

Di pert i mban gka n p ul a ada dua j eni s dat a kega gal an; i nt erval -i nt er val kega gal an ( Ba gi an 3. 1) at au j uml ah -j uml ah ke ga gal an per i nt erval ( Ba gi an 3.2).

3.1. Esti m asi Berdasarka n Int erval - i nterval K eg agal an

An ggapl ah bah wa est i masi di l aku kan pa da wa kt u yan g di t et ap kan e. K emudi an,

j uml ah ke ga gal an yan g di al a mi pada ( 0, e) aka n menj adi

var i abel aca k. Dal a m hal i ni , dapat men gguna kan fun gsi densi t as ber sama bersyarat sebagai fun gsi Li kel i hood .

Den gan me nga n ggap ke ga gal an -ke ga gal an m t el ah di a mat i dari wa kt u e ksekusi e

dan dengan me mp erhat i kan bahwa Tm + 1 adal ah be rgant un g han ya pada Tm kar en a { Ti,i = 1,2,.. .} me mbent u k pr oses Poi sson, ma ka di per ol eh fungsi densi t as bersa ma dari { T1, ...,

T-m} ya n g ber ga nt un g p ada M( e)

= me se ba gai

Di mana f ( 1,... , m)

menunj ukkan fun gsi densi t as bersa ma t a k bers ya rat dari {T1, ... Tm} .

Den gan men gguna k an ( 20),di per ol eh fun gsi densi t as bersa ma t a k ber s yarat sebagai

Ol eh kar ena i t u, j i ka men ggant i (11) , (24) dan (25) menj adi (23) , ma ka di per ol eh f ungsi densi t as ber sa ma ber syar at seba gai

Bi sa di l i hat bahwa (26) adal ah ber l aku unt u k set i a p pr oses Poi sson l ai nn ya. J uga, bi sa di l i hat bahwa apabi l a f ungsi densi t as bersa ma dari vari abe l -var i abel aca k T1,.. ., Tm

me mi l i ki bent u k (26) , var i abel -var i abel aca kn ya adal ah st at i st i k urut an dar i p.d.f . ( ) /( e). Den gan kat a l ai n,

wa kt u -wa kt u ke ga gal an yan g di urut kan secar a aca k adal ah i .i .d.( i ndependen i den t i k) dari p.d.f . di at as .

Unt u k model ya ng di ke mu ka ka n dapat men ggant i ( 9) dan (1) menj adi (26):

yan g da pat di gu na kan sebagai f ungsi Li kel i hood unt u k me mper ki ra ka n para mat er ( =0) .

Est i masi / per ki r aan t ent ang  da pat d i t emu kan den gan me ma ksi mal kan l o g

-Li kel i hood ( l ogar i t ma

Li kel i hood ), yai t u,

Den gan men ga mbi l de r i vat i f L ber kenaa n den gan  dan menet ap kann ya sa ma denga n nol , ma ka di perol eh

K ar ena persamaan di at as adal ah nonl i ni er , ma ka t i da k dapat mene mu ka n sol usi

anal i t i s t et api har us me mper ol ehn ya secara nu me r i s.

Perhat i kan bah wa (2 9) t i dak me mber i kan est i masi -est i masi 0 d an  secara

t er pi sah. Unt u k

me mper ol ehn ya gun a kan ko ndi si bahwa kega gal an -ke ga gal an m t el ah di amat i ol eh wa kt u e. K arena i t u, fun gsi

ni l ai rat a -rat a pada e dapat

di pi l i h sebagai m, i al ah,

Den gan men ggant i (9) menj adi ( 30), ma ka di perol eh

Ol eh karena i t u, est i masi dapat di t e mu kan den ga n men ggant i me nj adi (31) sebagai

K arena = 0 , di per ol eh

Met ode est i masi pa da bagi an i ni da pat d i t erapkan pada kasus t ersebut apabi l a est i masi di buat pad a wa kt u ke ga gal an ke m dengan menet ap kan e = m.

3.2 Esti m asi Ber dasarka n Jum l ah K egagal a n per Int erval

An ggapl ah bah wa i nt erval pen ga mat an (0, xp] di bagi menj adi seku mpul an subi nt er val t erpi s ah p

( 0,x1],( x1,x2], .. ., ( xp - 1,xp] dan

j uml ah ke ga gal an pad a masi n g -masi n g subi nt er val di cat at . Mi sal kan yl( l = 1,2,.. ., p) menj adi j uml ah k ega gal an -ke ga gal an pada ( 0, xl]. Guna kan

f ungsi densi t as ber sa m a

ber syar at unt u k

men ge mban gka n met ode ma ksi mu m Li kel i hoo d unt u k est i masi para met er -par a met er 0 dan  yan g t i da k di ket ahui

dar i dat a yan g t er sedi a

y1,y2,... , yp.

Fun gsi densi t as ber sama dar i Yl’s dapat diperoleh

sebagai beri kut , den gan me mper hat i ka n bah wa Yl’s

me mbe nt u k proses Poi sson:

di ma na x0 = 0, y0 = 0, dan

Pr {M(0)=0} = 1. Den gan men ggant i (12) menj adi (34) men ghasi l kan

di mana yl men unj ukkan

j uml ah ke ga gal an pada ( xl - 1,xl] , mi s al n ya,

Fun gsi densi t as bersa ma yan g ber gant un g pa da M ( xp) dapat di p erol eh seba ga i

K ar ena i t u, dengan men ggant i ( 11) dan (35) dan dengan me mper hat i ka n dari (36) bahwa

di per ol eh

Unt u k model ya ng di ke mu ka ka n dapat di gant i (9) menj adi (39):

yan g da pat di gu na kan sebagai f ungsi Li kel i hood unt u k me mper ki r a ka n para met er ( =0) .

Est i masi men genai  dapat di perol eh denga n me ma ksi mal kan l ogari t ma

Li kel i hood , mi sal n ya,

di mana (38) t el ah d i t erapkan pada i st i l ah t er akhi r. Den gan men ga mbi l deri va t i f L

berkenaa n den gan  dan menet ap kann ya sa ma denga n nol , ma ka di dapat kan

Den gan men gguna k an pende kat an yan g sa m a sepert i di gun a kan pa da Ba g i an 3.1, est i masi -est i masi  dan 0

unt uk me mperl i hat ka n dapat di t emu kan seba gai

dan

Dapat di bu kt i ka n dengan mudah bah wa pende kat an di at as adal ah ekui val e n den gan met ode M axi mu m L i kel i hood berdasar ka n fun gsi densi t as bersa ma t a k ber s yarat .

[ 1] Deepa k Pen gori a, Saur abh K u mar, “ A St udy o n

S of t ware R el i abi l i t y Engi neeri ng Prese nt Paradi g ms and I t s Fut ure Consi derat i ons ”, I SSRE ,

2 009.

[ 2] J .D.Musa, K .O ku mot o, ” A

Logari t hmi c Poi ss on Execut i on Ti me Mo del f or S of t ware R el i abi l i t y Measure ment ”, IE EE,

1984, hal . 230 -238 . [ 3] .D.Musa,

K.Okumoto,”Application of

Basi c and Logari t h mi c Poi sson Execut i o n Ti me Model s i n Sof t ware

Reliability Measurement”,

AT &T Bel l Labor at ori es, 2005.

[ 4] Mi chael R.L yu , “ Sof t w are

Reliability Engineering”.

[ 5] Pan kaj J al ot e, Br enda Murph y, Mari o Ga r zi a, Ben Er r ez, “ Measuri ng

Rel i abi l i t y of Sof t ware Product s” , IEE E, 2003.

[ 6] Parvi n der Si n gh Sandh u, A mi t K a mra , Har i Si ngh, “ A Recursi ve Met hod f or

Rel i abi l i t y Comp ut at i on of Moran da’s G eomet ri c S of t ware R el i abi l i t y M odel ”, PWA SET , 2007.