SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN BIDANG KEAHLIAN TEKNIK MESIN
PROGRAM KEAHLIAN TEKNIK PEMESINAN
MELAKUKAN PERHITUNGAN MATEMATIS
BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN BIDANG KEAHLIAN TEKNIK MESIN
PROGRAM KEAHLIAN TEKNIK PEMESINAN
MELAKUKAN PERHITUNGAN MATEMATIS
PENYUSUN
TIM FAKULTAS TEKNIK
KATA PENGANTAR
Matematika adalah Ratu dan Pelayan Sains (E.T. Bell), maka peserta diklat di tingkat SMK yang berhubungan langsung dengan sains dan teknik sangat mutlak harus mempelajari matematika. Modul matematika berisi uraian singkat dan soal yang sangat mudah dipahami oleh peserta diklat. Setiap kegiatan belajar diawali dengan penjelasan singkat. Setelah itu dengan beberapa contoh dan soal tugas diharapkan peserta diklat dapat memahami lebih mendalam uraian materi yang dibahas.
Peserta diklat diharapkan aktif belajar sendiri dengan tuntunan modul ini. Peran guru adalah membantu peserta diklat yang kurang dapat memahami uraian materi maupun tugas, sehingga proses belajar berjalan lancar. Peserta diklat diharapkan mempelajari modul ini dari awal hingga akhir, dan mengerjakan semua tugas (tugas sebaiknya jangan dikerjakan sebagian saja).
Guru sebagai nara sumber utuk pemelajaran modul ini diharapkan menambah wawasan dengan membaca buku-buku dalam daftar pustaka, dan buku penunjang lainnya. Dengan demikian peserta diklat yang bisa dengan cepat menyelesaikan belajarnya dapat diberikan soal pengayaan.
Tugas yang diberikan pada modul ini telah diusahakan sebagian besar berhubungan langsung dengan bidang keahlian para peserta diklat. Sebagian besar soal diambil dari buku Technical Mathematics for the Metal Trade karangan Siegbert Hollger.
Yogyakarta, Desember 2004 Penyusun,
Tim Fakultas Teknik
DAFTAR ISI
Halaman
SAMPUL ... i
HALAMAN FRANCIS ... ii
KATA PENGANTAR... iii
DAFTAR ISI ... iv
PETA KEDUDUKAN MODUL... vii
GLOSSARIUM... viii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. DESKRIPSI... 1
B. PRASYARAT ... 1
C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL ... 2
1. Bagi Peserta Diklat... 2
2. Bagi Guru ... 3
D. TUJUAN AKHIR ... 4
E. KOMPETENSI ... 5
F. CEK KEMAMPUAN ... 7
BAB II PEMELAJARAN... 8
A. RENCANA BELAJAR PESERTA DIKLAT ... 8
B. KEGIATAN BELAJAR... 9
1. Kegiatan Belajar 1 Rasio Trigonometri... 9
a. Tujuan Kegiatan ... 9
b. Uraian Materi ... 9
c. Rangkuman... 11
d. Tugas... 13
e. Tes Formatif... 21
f. Kunci Jawaban Tes Formatif ... 21
3. Kegiatan Belajar 3 Transposisi Persamaan ... 21
a. Tujuan Kegiatan ... 21
b. Uraian Materi ... 22
c. Rangkuman... 23
d. Tugas... 24
e. Tes Formatif... 26
f. Kunci Jawaban Tes Formatif ... 27
4. Kegiatan Belajar 4 Sifat-sifat geometri untuk sudut, segitiga dan segitiga... 29 a. Tujuan Kegiatan ... 29 b. Uraian Materi ... 29 c. Rangkuman... 30 d. Tugas... 30 e. Tes Formatif... 31
f. Kunci Jawaban Tes Formatif ... 32
5. Kegiatan Belajar 5 Bidang dan volume menurut Aturan Guldin (Guldin’s Rule) ... 33 a. Tujuan Kegiatan ... 33 b. Uraian Materi ... 33 c. Rangkuman... 34 d. Tugas... 35 e. Tes Formatif... 36
f. Kunci Jawaban Tes Formatif ... 37
BAB III EVALUASI... 38
A. PERTANYAAN... 38
B. KUNCI JAWABAN... 40
C. KRITERIA KELULUSAN ... 40
BAB IV PENUTUP... 41
M7.5A M1.2FA M1.3FA M1.3FA M1.4FA M12.3A M18.1A M9.2A M2.5C11 A M7.24A M2.7C10 M7.32A M7.28A M2.8C10 M7.15A M7.8A M7.7A M7.6A M7.10A M7.16A M7.11A M7.21A M7.18A
PETA KEDUDUKAN MODUL
A. DIAGRAM PENCAPAIAN KOMPETENSI
Diagram ini menunjukan tahapan atau tata urutan kompetensi yang diajarkan dan dilatihkan kepada peserta didik dalam kurun waktu yang dibutuhkan serta kemungkinan multi exit-multi entry yang dapat diterapkan.
Keterangan:
M7.28A Mengoperasikan mesin NC/CNC (dasar) M7.32A Menggunakan mesin untuk operasi dasar M7.5A Bekerja dengan mesin umum
M7.6A Melakukan Pekerjaan dengan mesin bubut M7.7A Melakukan pekerjaan dengan mesin frais M7.8A Melakukan pekerjaan dengan mesin gerinda
M7.15A Mengeset mesin dan program mesin NC/CNC (dasar) M7.10A Menggerinda pahat dan alat potong
M7.11A Mengefrais (kompleks) M7.21A Membubut (kompleks)
M7.16A Mengeset dan mengedit program mesin NC/CNC M7.18A Memprogram mesin NC/CNC (dasar)
B. KEDUDUKAN MODUL
Untuk mempelajari modul ini peserta diklat harus sudah mempelajari Melakukan perhitungan-dasar (M2.7C10) dan Melakukan perhitungan-lanjut (M2.8C10).
GLOSSARIUM
Rasio : perbandingan
Adjacent : sisi segitiga yang berdekatan dengan sudut Hypotenuse : sisi miring
BAB I
PENDAHULUAN
A. DESKRIPSIModul Melakukan Perhitungan Matematis (M2. 13 C 5) dibuat untuk membantu peserta diklat dalam melaksanakan belajar berdasarkan Kurikulum 2004. Modul ini bekaitan dengan dua modul sebelumnya yaitu Melakukan perhitungan dasar dan Melakukan perhitungan lanjut (modul dengan kode M). Ruang lingkup modul ini sesuai dengan GBPP meliputi Rasio trigonometri; Aplikasi sinus dan cosinus; Aljabar sederhana; Sifat-sifat geometri untuk sudut, segitiga dan lingkaran; dan Bidang dan Volume.
Setelah menyelesaikan modul ini peserta diklat diharapkan memiliki kompetensi melakukan perhitungan matematis yang meliputi :
? Menunjukkan penghitungan yang menyangkut keenam rasio trigonometri
? Mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal
? Menunjukkan/ melakukan operasi aljabar yang sederhana
? Menggunakan prinsip-prinsip geometri dalam menyelesaikan soal
? Mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks
B. PRASYARAT
Untuk mempelajari modul ini sebaiknya peserta diklat sudah menguasai dua buah kompetensi yaitu: Melakukan perhitungan dasar dan Melakukan perhitungan lanjut.
C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL
1. Bagi Peserta diklat
a. Langkah-langkah belajar yang harus ditempuh oleh peserta diklat adalah :
? Membaca petunjuk penggunaan modul
? Mencoba mengerjakan soal pada Sub bab F (Cek kemampuan), apabila telah bisa menyelesaikan soal-soal tersebut (minimal 70% benar), peserta diklat dipersilahkan langsung mengerjakan tes formatif.
? Apabila cek kemampuan tidak bisa mengerjakan, peserta diklat mempelajari modul ini dari awal sampai akhir mulai Kegiatan belajar 1.
? Setiap Kegiatan belajar dilakukan dengan cara membaca penjelasan singkat setiap sub kompetensi, memahami penjelasan tersebut (bisa meminta pertolongan guru apabila belum jelas), kemudian mengerjakan soal latihan.
? Soal tugas sebaiknya dikerjakan semua, apabila waktu di sekolah tidak mencukupi maka dikerjakan di rumah sebagai tugas.
? Setelah selesai mengerjakan soal tugas hasilnya dilaporkan pada guru untuk dinilai.
? Apabila nilai yang diperoleh belum 70, maka peserta diklat harus mengulang mempelajari kegiatan belajar yang sama sampai nilai yang diperoleh minimal 70.
? Setelah kegiatan belajar 1 selesai dilanjutkan dengan kegiatan belajar selanjutnya dengan langkah-langkah seperti yang telah dijelaskan di atas.
? Peran guru dalam mempelajari modul adalah sebagai nara sumber, yaitu orang yang menguasai kompetensi yang selalu siap ditanyai oleh peserta diklat dalam mempelajari kompetensi tertentu.
b. Perlengkapan yang harus dipersiapkan
Setiap peserta diklat dalam mempelajari modul sebaiknya menggunakan perlengkapan : ballpoint, pencil, karet penghapus, buku tulis, kertas buram, dan kalkulator.
2. Peran Guru Antara Lain
a. Membantu peserta diklat dalam merencanakan proses belajar
b. Membimbing peserta diklat melalui menjelaskan materi yang dirasa sulit dan menjelaskan tugas yang dijelaskan dalam tahap belajar c. Membantu peserta diklat dalam memahami konsep dan praktek
baru dan menjawab pertanyaan peserta diklat mengenai proses belajar peserta diklat
d. Membantu peserta diklat untuk menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar
e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan
f. Merencanakan seorang ahli/pendamping guru dari tempat kerja untuk membantu jika diperlukan
g. Merencanakan proses penilaian dan menyiapkan perangkatnya h. Melaksanakan penilaian
i. Menjelaskan kepada peserta diklat tentang sikap, pengetahuan dan ketrampilan dari suatu kompetensi yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pemelajaran selanjutnya.
D. TUJUAN AKHIR
1. Kinerja yang diharapkan: Peserta diklat mampu melakukan perhitungan matematis secara mandiri.
2. Kriteria keberhasilan: Peserta diklat dikatakan telah menguasai kompetensi apabila telah mampu mengerjakan semua soal latihan, dan sol tes formatif, dan evaluasi sumatif dengan nilai minimal 70.
3. Kondisi atau variabel yang diberikan: Kompetensi melakukan perhitungan matematis ini diharapkan dapat diselesaikan peserta diklat dalam waktu 160 jam pelajaran (@ 45 menit).
E. KOMPETENSI
KOMPETENSI : Melakukan perhitungan matematis
KODE : M2. 13 C 5
DURASI PEMELAJARAN : 160 Jam @ 45 menit
A B C D E F G
LEVEL KOMPETENSI KUNCI
2 1 1 1 1 1 - KONDISI KINERJA 1. Sumber Informasi : ? Kode standar ? Buku-buku pedoman 2. Kegiatan :
? Menunjukkan penghitungan yang menyangkut keenam rasio trigonometri ? Mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal ? Menunjukkan operasi aljabar yang sederhana
? Menggunakan prinsip-prinsip geometri dalam menyelesaikan soal ? Mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks
MATERI POKOK PEMELAJARAN SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR
SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN 1. Menunjukkan penghitungan
yang menyangkut ke-enam rasio trigonometri
? Kalkulasi untuk
menyelesaikan soal yang berkaitan dengan segitiga siku-siku, dengan mengguna-kan
perbanding-an yang sesuai dapat ditunjuk-kan.
? Rasio
trigonome-tri ? Rasio trigono-metri ? Memahami cara meng-hitung dengan menggu-nakan rasio trigonome-tri
2. Mengaplikasikan aturan sin dan cosin dalam pe-nyelesaian soal
? Kalkulasi yang ditunjukkan pada bukan segitiga siku-siku yang memanfaatkan aturan sin dan cosin dapat diaplikasikan.
? Aplikasi sinus dan
cosinus ? Hati-hati mengidentifi-kasi bentuk segitiga apakah siku-siku atau bukan
? Memahami cara meng-aplikasikan sinus dan cosinus dalam menyele-saikan soal
MATERI POKOK PEMELAJARAN SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR
SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN 3. Menunjukkan operasi aljabar
yang sederhana ? Transposisi rumus sederhana untuk memisahkan variabel yang diminta, yang menyang-kut penambahan, pengurang-an, perkalipengurang-an, pembagian dapat ditunjukkan. ? Rumus dibuat untuk
menye-lesaikan soal yang menyang-kut bentuk atau konsep sederhana. ? Persamaan sederhana yang
menyangkut satu nilai yang tidak diketahui dapat dihitung.
? Rumus sederhana pada aljabar ? Rumus
penyelesaian bentuk soal dan konsep yang sederhana ? Persamaan
sederhana
? Memahami rumus aljabar yang sederhana ? Menerapkan cara
meng-gunakan rumus untuk menyelesaikan bentuk dan konsep soal
? Memahami cara persa-maan sederhana 4. Menggunakan prinsip-prinsip geometri dalam menyelesaikan soal ? Penyelesaian soal dipermudah dengan menggunakan sifat-sifat geometri untuk sudut, segitiga dan lingkaran dalam kalkulasi.
? Sifat-sifat geometri untuk sudut segi tiga dan lingkaran ? Membagi bentuk kompleks menjadi bentuk-bentuk sederha-na ? Memahami prinsip-prinsip geometri untuk sudut, segitida dan lingkaran
5. Mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks
? Formula yang diberikan untuk pengkalkulasian bidang dan volume dapat dipahami.
? Bidang dan
volume ? Memahami cara mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk komplek
F. CEK KEMAMPUAN
Isilah tabel di bawah dengan cek list (v ) dengan sikap jujur dan dapat dipertanggung jawabkan untuk mengetahui kemampuan awal yang telah anda miliki.
Saya telah menguasai sub kompetensi ini Sub Kompetensi Pernyataan Ya Tidak Bila Jawaban Ya Kerjakan Menunjukkan penghitungan yang menyangkut keenam rasio trigonometri Dapat melakukan penghitungan yang menyangkut keenam rasio trigonometri Tes Formatif 1 Mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal
Dapat
mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal Tes Formatif 2 Menunjukkan operasi aljabar yang sederhana Dapat melakukan transposisi untuk semua operasi aljabar Tes Formatif 3 Menggunakan prinsip-prinsip geometri dalam menyelesaikan soal Dapat menggunakan prinsip-prinsip geometri segitiga dan lingkaran dalam menyelesaikan soal Tes Formatif 4 Mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks Dapat mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks dengan aturan Guldin
Tes Formatif 5
Apabila anda menjawab tidak pada salah satu pernyataan di atas, maka pelajarilah modul ini.
BAB II
PEMELAJARAN
A. RENCANA BELAJAR PESERTA DIKLATRencanakanlah setiap kegiatan belajar anda dengan mengisi tabel di bawah ini dan mintalah bukti belajar guru jika telah selesai mempelajari setiap kegiatan belajar.
Jenis Kegiatan Tanggal Waktu Tempat Belajar Perubahan Alasan Tangan Tanda Guru Menunjukkan penghitungan yang menyangkut keenam rasio trigonometri Mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal
Menunjukkan operasi aljabar yang sederhana Menggunakan prinsip-prinsip geometri dalam menyelesaikan soal Mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks
B. KEGIATAN BELAJAR 1. Kegiatan Belajar 1
Rasio Trigonometri
a. Tujuan kegiatan pemelajaran 1
Memahami cara menghitung dengan menggunakan rasio trigonometri. b. Uraian materi 1
Segitiga ABC memiliki sudut siku di C dan panjang sisi a,b,c. Fungsi trigonometri untuk sudut A didefinisikan sebagai berikut :
Nama ketiga sisi untuk segitiga di atas :
? Sisi berhadapan (opposite = sisi di depan sudut yang dimaksud)
? Sisi berdekatan ( adjacent = sisi yang berdekatan dengan sudut)
? Sisi miring (hypotenuse = sisi miring)
Harga dari rasio trigonometri tersebut dapat diperoleh melalui tabel, grafik atau dengan menggunakan kalkulator.
Untuk harga rasio trigonometri dengan sudut A lebih dari 900,
Gambar Grafik rasio trigonometri y=sin x, dan y= cos x, dengan sudut dalam derajad digambarkan di bawah ini.
y= sin x -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 0 90 180 270 360 sudut y=cos x -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 0 90 180 270 360 sudut
Nilai-nilai keenam rasio trigonometri untuk sudut istimewa dicantumkan dalam tabel berikut :
No. Sudut a sin a cos a tan a csc a sec a cot a
1. 00 0 1 0 Tidak
didefinisikan 1 didefinisikan Tidak
2. 300 2 1 3 2 1 3 3 1 2 3 2 3 3. 450 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 4. 600 3 2 1 2 1 3 3 2 2 3 3 1 5. 900 1 0 Tidak
didefinisikan 1 didefinisikan Tidak 1
Berdasarkan tabel dan grafik keenam rasio trigonometri coba lanjutkan tabel di atas untuk sudut istimewa sampai dengan 3600.
c. Rangkuman 1
Rasio sisi pada suatu segitiga siku dinamakan fungsi trigonometri, yang terdiri dari sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan.
Dengan demikian untuk sebuah segitiga jika diketahui dua harga dapat dicari empat harga yang lain.
Contoh 1
Untuk panjang 40 cm pada suatu baji tingginya 30 cm, hitunglah panjang dari sisi miringnya dan sudut kenaikannya .
Penyelesaian : Ditanyakan : L dan a Diketahui : l = 40 cm dan h = 30 cm 40 30 a
Jawab :
75
,
0
40
30
tan
?
?
?
l
h
?
' 52 36o ?? (diperoleh dari tabel atau dari kalkulator dengan cara : tulis 30, kemudian dibagi 40 = , sehingga tertulis 0,75. Setelah itu tekan inv (atau shift) , tekan tan , tekan shift DEG).
NB : mintalah petunjuk guru untuk pemakaian kalkulator mencari sudut tersebut. 6 , 0 30 sin ? ? L ? , sehingga 50 6 , 0 30 ? ? L
Sehingga jawabanya adalah : panjang sisi miring = 50 cm, sudut kenaikannya 36o52’.
Contoh 2
Suatu penyangga dari plat baja berbentuk segitiga siku-siku digunakan untuk menahan suatu papan. Panjang dua sisi yang pendek adalah 50 cm dan 50 cm. Berapakah panjang sisi miringnya ?
Dicari : c
Diketahui : Panjang dua sisi yang lain a=b=50
Penyelesaian :
Perhitungan dengan teorema Phytagoras
2 2 2 b a c ? ? c2=502+502 c=50v2 = 70,71 cm 50 50 c ß
d. Tugas 1
Kerjakan soal di bawah ini
1. Jika 00< a <900, carilah nilai kelima rasio trigonometri yang lain
a. 5 3 cos? ? b. 3 1 sin? ? c. 3 1 cos? ? d. tan? ? 2 e. sec? ? 2 f. 0 sin? ? u g. cos? ? u h. o u ? ? tan i. 0 1 sin? ?
2. Untuk gambar di bawah carilah : sin<CAB, tan <CAB, cot <ACD dan sec <ADC
3. Jika cos a = x, nyatakan rasio trigonometri lainnya dalam x. 4. Jika tan a = x, nyatakan rasio trigonometri lainnya dalam x 5. Dengan menggunakan tabel atau kalkulator carilah a untuk :
a. sin? ?0,5 b. cos? ? 0,5 c. tan? ?1 d. cot? ?1
e. Adakah hubungan antara a. dan b ?
f. Adakah hubungan antara c. dan d. ?
6. Sebuah kubus dengan potongan melintang ukuran 40 x 40 mm. Pada setiap ujungnya akan dichamfer ukuran 5X450. Berapakah panjang
bagian yang dipotong ?
A B C D 12 3 4
7. Apabila benda kerja pada nomer 3 setiap ujungnya dichamfer satu sisi 10 mm dan sisi yang lain 5 mm, berapakah sudut
chamfernya ? dan berapakah panjang bagian yang dipotong ?
8. Sebuah pintu dari baja berukuran 2,1 m x 1,2 m akan dipotong sepanjang diagonalnya. Berapakah panjang potongnya ?
9. Sebuah tangga panjangnya 5 meter, apabila jarak kaki tangga terhadap tembok 1,25 m, berapa tinggi yang dapat
dipanjat ?
10. Sebuah kotak dengan panjang 2,5 m akan digantung menggunakan rantai dengan panjang 2 x 2 m. Berapakah tinggi h ?
11. Sebuah tangga untuk naik ke lantai dua akan dibuat sesuai dengan segitiga siku-siku. Panjang bagian alas 7 m dan tinggi tembok lantai
5x450
c
e. Tes formatif 1
Petunjuk : Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit Kondisi : Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator
1. Hitunglah b dan x.
2. Hitunglah D.
4. Hitunglah L bila panjang bagian yang menempel di tembok 0,96 m.
5. Hitunglah c.
6. Berdasarkan grafik sinus dan cosinus buatlah grafik y=tan x, dengan ketentuan bahwa tan x=sin x/cos x.
f. Kunci jawaban formatif 1 1. x= 135, b= 222,72 2. D = 41,23
3. h=8,62 , x=1,83 4. L= 1,83 m 5. c= 651,9
2. Kegiatan Belajar 2
Aturan Cosinus Dan Aturan Sinus Untuk Segitiga Tidak Siku
a. Tujuan kegiatan pemelajaran 2
Memahami cara mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam menyelesaikan soal.
b. Uraian materi 2
Untuk segitiga di samping dengan nama dan notasi tersebut maka berlaku aturan cosinus, yaitu :
? cos 2 2 2 2 bc c b a ? ? ? ? cos 2 2 2 2 ac c a b ? ? ? ? cos 2 2 2 2 ab b a c ? ? ?
Untuk segitiga yang sama berlaku juga aturan sinus :
? ? ? sin sin sin c b a ? ? Contoh 1
Pada suatu segitiga diketahui a=5, b=6 dan ?=600, seperti tampak
pada gambar, carilah bagian-bagian lainnya.
Diketahui : segitiga dengan notasi dan
ukuran pada gambar.
Ditanyakan : c, a, dan ß Jawab :
C dapat dicari dengan aturan cosinus : ? cos 2 2 2 2 ab b a c ? ? ? 0 2 2 2 60 cos . 6 . 5 . 2 6 5 ? ? ? c 31 ) 2 1 .( 60 61 2 ? ? ? c c= 31? 5,6
Aturan cosinus dapat pula digunakan untuk mendapatkan a : A B C 600 ß a b=6 a=5 c a A B C b h c a ß ?
? cos 2 2 2 2 bc c b a ? ? ? 6250 , 0 ) 6 , 5 ).( 6 .( 2 25 31 36 2 cos 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? bc a c b ? 0 317 , 51 ? ?
Sudut ß dapat dicari juga dengan aturan cosinus. Akan tetapi karena kita tahu bahwa jumlah sudut pada suatu segitiga adalah 1800, maka :
0 0 0 0 683 , 68 317 , 51 60 180 ? ? ? ? ? Contoh 2
Carilah bagian-bagian lain dari segitiga ABC seperti gambar di atas jika diketahui : c=10, a=400, dan ß=600.
Ditanyakan : a,b, dan ? Diketahui :
c=10, a=400, dan ß=600.
Jawab :
Jumlah sudut pada segitiga ABC adalah 1800.
Sehingga ? = 1800-400-600= 800.
Sisi a dan b dapat dicari dengan
? ? ? sin sin sin c b a ? ?
Dari rumus tersebut diperoleh 53 , 6 80 sin 60 sin 10 sin sin 0 0 ? ? ? ? ? c b dan 8,79 80 sin 40 sin 10 sin sin 0 0 ? ? ? ? ? c a
c. Rangkuman 2
Untuk mencari harga bagian-bagian segitiga tidak siku-siku dapat digunakan Aturan cosinus ? cos 2 2 2 2 bc c b a ? ? ? ? cos 2 2 2 2 ac c a b ? ? ? ? cos 2 2 2 2 ab b a c ? ? ? Aturan sinus : ? ? ? sin sin sin c b a ? ? d. Tugas 2
Kerjakan soal di bawah ini
1. Carilah bagian-bagian segitiga ABC lainnya jika diketahui : a. a=45, b= 47, ?=350.
b. a=20, b= 40, ?=280.
c. a=10, b= 40, ?=1200.
2. Carilah sudut terbesar pada segitiga ABC, jika a. a=7, b=6, dan c=8
b. a=16, b=17, dan c=18
3. Panjang dua sisi yang berdampingan suatu jajaran genjang masing-masing adalah 125 mm dan 162 mm. Carilah panjang kedua diagonal jajaran genjang itu, jika sudut yang dibentuk kedua sisi tadi adalah 42020’.
4. Carilah nilai bagian-bagian lain dari segitiga ABC : 5. a=320, ß=480, dan a= 10
6. a=600, ß=450, dan a= 3
e. Tes formatif 2
Petunjuk : Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit Kondisi : Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator
1. Carilah bagian-bagian segitiga ABC lainnya jika diketahui : a. a=10, b= 10, ß=300.
b. a=7, b= 9, a=118,450. c. a=8, b= 7, ?=63,470.
2. Carilah sudut terbesar pada segitiga ABC, jika a=17, b=25, dan c=12 3. Titik A dan B adalah dua tempat di sisi sebuah sungai. Titik C adalah
satu tempat di sisi sungai seberang. Apabila <BAC = 81012’ dan
<ABC=73036’. Carilah lebar sungai jika jarak A ke B = 56 meter.
4. Carilah nilai bagian-bagian yang lain dari segitiga ABC, jika : a=750, a=20, dan b= 10
f. Kunci jawaban formatif 2
1.
a. c=6,94 ; a= ?= 750
b. c=3,23 ; ß=43,130
c. c=7,96 ; a=64,050
; ß=54,580
2. Sudut terbesar di B (alasan : sisi di depannya yang paling panjang) 3. L = 124,71
3. Kegiatan Belajar 3 Transposisi Persamaan
a. Tujuan kegiatan pemelajaran 3
? Memahami rumus aljabar yang sederhana
? Menerapkan cara menggunakan rumus untuk menyelesaikan bentuk dan konsep soal
? Memahami cara mengaplikasikan persamaan sederhana. b. Uraian Materi 3
Persamaan dapat dibandingkan dengan suatu timbangan seperti gambar di atas.
Misal : Sisi kiri timbangan 9 dan sisi kanan 5+x, maka dalam kondisi setimbang menjadi persamaan : 9=5+x
Apabila bagian kiri dikurangi 5, maka supaya setimbang bagian kanan juga dikurangi 5, sehingga :
9-5=5+x-5, maka 4=x atau x = 4 Dengan cara lain :
5 + x = 9 ( 5 dipindah ke kanan tanda + menjadi -) maka, x=9-5 atau x=4
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa jika berpindah ruas tandanya dibalik.
Timbangan yang telah kita bahas terdahulu bisa juga diterapkan untuk transposisi persamaan yang melibatkan perkalian dan pembagian. Misalnya dalam keadaan setimbang ruas kiri berharga 20, dan ruas kanan berharga 4.x, maka persamaannya menjadi :
20= 4.x 4.x=20
Selanjutnya kita memperlakukan kedua sisi persamaan dengan cara yang sama :
? mengalikan dengan besaran yang sama untuk kedua ruas atau
? Membagi dengan besaran yang sama untuk kedua ruas.
Untuk persamaan tersebut di atas apabila kedua ruas kita bagi 4 (atau dikalikan ¼), maka : 4 20 4 . 4x ?
sehingga x = 5 , adalah penyelesaiannya. Dengan cara lain :
Contoh 1
Seorang pengendara sepeda menempuh perjalanan dari kilometer 7,2 sampai dengan kilometer 10,5. Berapa kilometer yang telah ditempuh ? Dicari : s Diketahui s1 = 7,2 km dan s2= 10,5 km Solusi : s2= s1+s s= s2- s1 s=10,5-7,2=3,3 km Contoh 2
Suatu plat baja panjang 385 mm harus dilubang pada tengahnya berjumlah 6 buah, dengan jarak yang sama antara pinggir dan sumbu-sumbu lubangnya. Hitunglah berapa jarak lubang tersebut ?
Jawab : Dicari : t
Diketahui : L = 385 mm, dan n = 6 lubang Solusi : L=(n+1).t 55 7 385 1? ? ? ? n L t mm
Jarak antar lubang 55 mm. c. Rangkuman 3
? Kita harus memperlakukan dua
7,2 10,5 0 S1 S2 t L
ruas persamaan dengan cara yang sama
? Kita bisa memindah ruas ke dua arah
? Kita harus meletakkan harga yang kita cari di ruas kiri.
? Pemindahan ruas menyebabkan tandanya berubah : + menjadi –
- menjadi +
? Pada waktu memindah ruas suatu bilangan atau variabel : perkalian menjadi pembagian
pembagian menjadi perkalian
d. Tugas 3
Kerjakan semua soal tugas di bawah 1. Hitung x untuk : a. 6+x =18 b. 18-x=24 c. x-6=24 d. x+30=90 e. x-56=100 f. d+x=18 g. g-x=a h. x-z=t i. x+t=h j. x+e=a Contoh : x+r=100, maka x=100-r 2. Hitung x untuk a. 44=x+6 b. 65=x+9 c. 75=x-t d. m=k+x e. 8=7+x f. g=x-7 g. 85=x-10 h. z=7-x
b=c-a c=a+b
4. Selesaikan persamaan berikut untuk semua huruf dalam persamaan : a. a+b=c b. k-d=v c. 1+m=-d d. l1+l2=L e. g1-g2=G f. F1-F2=F3 g. R1=R-R2 h. C2=C-C1 i. T=t1+t2
5. Selesaikan untuk semua huruf a. a+b=76 b. c-t=-85 c. F-G=89 d. 654-G=68+K e. 476+H=Z-67 f. W-49=37+K g. -29+F=136+x h. V-81=-142+L i. -106+W=Z+316
6. Joko mempunyai uang Rp. 35400,-. Sesudah ia belanja uangnya tinggal Rp.17150,-. Berapa uang yang telah ia belanjakan ?
7. Suatu ruangan memiliki panjang 2,95 m. Ruang yang lain lebih pendek 0,75 mm. Berapa panjang ruang tersebut ?
8. Tiga buah sisi sebuah segitiga memiliki panjang total 318 mm. Berapa panjang sisi ke tiga, apabila sisi pertama panjangnya 114 mm dan sisi ke dua panjangnya 62 mm ? 9. Carilah x a. 3x=24 b. 6x=65 c. 4x=400 d. 66=11x e. b.x=a f. a.x=p g. 7x=U h. 8x=72
10. Selesaikan harga x a. 4 3 3 , 0 x ? b. 72 8 18 ? x c. 6 34 102? x d. 0,4x? b e. x ? R 8 18 f. L x G. 102? g. D.x? C 11. Selesaikan harga x a. x Z P P 1 1 ? b. 1 1 P x G G ? c. x s v? d. s x Q F ? e. x r G i F. ? . f. 60 . . 2 xs v? g. x A s F ? h. ?. 2 . . F x G R?
12. Selesaikan untuk semua variabel a. A? 2.a.b b.
m
?
4 V
.
.
?
c. V ? a.h d. 4 .r b A? e. 6 . . 2 Ah V ? f. 1000 . . nd V ? ? g. F ? f.n h. c P W ? 7240. i. l d D x ? ? 1 j. c R I V ? . .1 e. Tes formatif 3d. m=2k+x e. 81=17+x f. g=x-37 g. 185=x+100 h. 2z=7-x
2. Pada awal suatu perjalanan pencatat jarak di mobil terbaca 312,4 km. Sesudah perjalanan terbaca 618,7 km. Berapa jauh perjalanan yang ditempuh ?
3. Enam kali tekanan dibagi dua menghasilkan tekanan 16 bar. Berapa tekanan yang dimaksud ?
4. Selesaikan harga x a. 42 30 3 , 0 x? b. 72 2 18 ? x c. 9 34 120? x d. 10,4x? b
5. Sebuah mur segi enam tingginya 28,8 mm. Ukuran tersebut adalah 8/10 dari diameter baut. Berapakah ukuran baut ?
6. Hanya ¾ dari panjang profil I yang diperlukan. Potongan yang tersisa adalah 3,2 m. Berapakah panjang awal profil I ?
f. Kunci jawaban formatif 3 1. a. x=87 b. x=55 c. x=85+j d. x=m-2k e. x=64
f. x=g+67 g. x=7-2z 2. L= 306, 3 3. P = 5,333 4. a. x=2,38 b. x=8 c. x=31,76 d. x=0,096 b 5. d=23,04 6. L=42,667 m
4. Kegiatan Belajar 4
Sifat-sifat geometri untuk sudut, segitiga dan segitiga a. Tujuan kegiatan pemelajaran 4
Memahami prinsip-prinsip geometri untuk sudut, segitiga dan lingkaran
b. Uraian materi 4
? Lingkaran berdiameter D yang mengelilingi sebuah Persegi
Dengan menggunakan teorema Phythagoras diperoleh : 2 2 2 2 2r r r s ? ? ? 414 , 1 2 2 s s r ? ? 414 , 1 2 s D ? maka : D?1,414.s
? Lingkaran berdiameter D yang mengelilingi sebuah Heksagonal 2 2 2 ) 2 (D s D ? ? 2 2 2 2 4 3 4 D D D s ? ? ? 732 , 1 . 2 3 . 4s2 s D? ? s D?1,155.
Lingkaran berdiameter D yang mengelilingi sebuah Segitiga
2 2 2 ) 2 (D a D ? ? s
a ? pada heksagonal, sehingga a
Contoh
Berapakah kemungkinan ukuran heksagonal terbesar yang dapat difrais dari sebuah baja berdiameter 48 mm.
Jawab : Dicari : s
Diketahui D= 48 mm (lihat gambar di atas) Solusi : D?1,155.s 56 , 41 155 , 1 48 155 , 1 ? ? ? D s mm c. Rangkuman 4
Diameter lingkaran pada suatu Persegi : D?1,414.s Heksagonal : D?1,155.s Segitiga : D?1,155.a d. Tugas 4
Kerjakan semua soal tugas di bawah
1. Berapakah diameter sebuah poros apabila sisi persegi yang dibuat diujungnya 35 mm ?
2. Kemungkinan terbesar persegi yang dapat dibuat diujung poros yang berdiameter 60
4. Ujung dari sebuah poros berdiameter 85 mm akan difrais berbentuk persegi. Berapa persen bagian yang dibuang ?
5. Lebar W sebuah heksagonal adalah 75 mm. Berapakah diameter poros asalnya ?
6. Sebuah segitiga sama sisi difrais di ujung sebuah poros yang berdiameter 40 mm. Berapakah luas potongan melintang segitiga yang terbentuk ?
7. Sebuah baja silindris dengan diameter 56 mm difrais untuk membuat poros dengan potongan melintang heksagonal. Hitunglah lebar heksagonal tersebut dan berapakah luas potongan melintangnya ?
e. Tes formatif 4
Petunjuk : Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit Kondisi : Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator
1. Hitunglah D.
2. Hitunglah s.
4. Hitunglah x.
5. Hitunglah D.
5. Kegiatan Belajar 5
Bidang dan volume menurut Aturan Guldin (Guldin’s Rule) a. Tujuan kegiatan pemelajaran 5
Memahami cara mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk komplek
b. Uraian materi 5
1. Curved-surface area
1. Garis mengelilingi suatu sumbu membentuk luas permukaan kurva (curved-surface area), sehingga : Luas permukaan Kurva sama dengan putaran l dikalikan
dengan jalur titik tengahnya atau :
?.
.
d
sl
M
?
2. Garis keliling mengelilingi suatu sumbu menghasilkan permukaan (surface), maka permukaan sama dengan putaran keliling kali jalur titik tengahnya :
?.
.
d
sU
O
?
3. Luasan potongan melintang mengelilingi suatu sumbu menghasilkan volume, sehingga :
V
?
A
.
d
s?.
c. Rangkuman 5
Aturan Guldin dapat menghitung :
? Luas permukaan Kurva = putaran l . jalur titik tengahnya.
? Permukaan = putaran keliling . jalur titik tengahnya.
? Volume = putaran luasan. jalur titik tengahnya. Contoh
Sebuah bush memiliki tinggi 70 mm, diameter dalam 30 dan diameter luar 50 mm. Hitunglah luas permukaan kurva dalam cm2 dan volumenya dalam
cm3.
Ditanyakan : M dalam cm2 dan V dalam cm3. Diketahui :
l = 70 mm, d = 30 mm, dan D=50 mm (lihat gambar) Solusi :
?.
.
d
sl
M
?
= 7 cm.5cm.3,14 = 109,9 cm2?.
.
d
sA
V
?
=(7 cm. 1 cm).4 cm.3,14=87,92 cm3d. Tugas 5
Kerjakan semua soal di bawah
1. Sebuah gasometer dengan diameter luar 22 m dan tinggi 12 m akan dicat bagian luarnya. Berapakah luas daerah yang akan dicat ?
2. Sebuah roller cat diameter 320 mm dan panjang 0,65 mm berputar 125 kali /menit. Berapakah luas yang ditutupi cat dalam satu menit ? 3. Sebuah kontainer silindris dengan diameter
dalam 600 mm dan tinggi 955 mm akan dibuat dengan plat baja tebal 3 mm. Berapa m2 plat
yang diperlukan ?
4. Sebuah kolom dengan diameter 800 mm, akan diperkuat dengan ring yang terbuat dari batang baja persegi ukuran 20 mm. Berapa meter batang baja diperlukan ?
5. Hitunglah tebal dinding yang diperlukan untuk melapisi pipa mild steel dengan diameter rata-rata 68 mm dan luas potongan melintang 17,1 cm2.
6. Pipa baja berukuran 4 inchi memiliki ketebalan dinding 4,5 mm. Berapakah luas potongan melintangnya ?
7. Pipa Alluminium tipis dengan tebal dinding 4 mm memiliki diameter luar 80 mm. Hitunglah luasnya.
8. Sebuah gasket dengan lebar 25 mm digunakan untuk sebuaf flens dengan diameter lubang baut 120 mm. Hitunglah luas (dalam cm2)
gasket tersebut, setelah dikurangi 6 lubang baut dengan diameter 11 mm.
9. Sebuah corong memiliki diameter 80 mm dan tinggi 140 mm. Berapa banyak lembaran plat yang diperlukan ?
10. Sebuah ring dari besi beton 16 mm memiliki diameter luar 444 mm. Berapa luas permukaannya dan volumenya ?
11. Sebuah corong memiliki diameter terkecil 160 mm dan diameter terbesar 240 mm, tingginya 420 mm. Hitunglah kebutuhan bahan yang diperlukan untuk membuatnya.
12. Pipa dari besi tuang dengan diameter dalam 320 mm, diameter luar 440 mm, dan panjangnya 650 mm. Berapakah volumenya ( dalam cm3) ?
13. Sebuah soket kuningan memiliki diameter kecil 60 mm, diameter besar 80 mm, dan volumenya 329,7 cm3. Berapakah tingginya ( dalam mm) ?
14. Dari gambar, berapa V (dalam cm3) ?
e. Tes formatif 5
Petunjuk : Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit Kondisi : Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator
1. Hitunglah L (m), apabila ukuran yang tercantum di gambar dibesarkan dua kalinya.
3. Hitunglah O (m2)
4. Hitunglah V (cm3), bila daerah yang diarsir 30 x 45
f. Kunci jawaban formatif 5
Kunci jawaban bisa ditanyakan pada guru, beserta langkah-langkah perhitungannya.
BAB III
EVALUASI
A. PERTANYAANPetunjuk : Kerjakan semua soal di bawah ini Kondisi : Boleh buka Buku
Waktu : 120 menit
1. Jika 00< a <900, carilah nilai kelima rasio trigonometri yang lain a. 5 3 cos? ? b. 3 1 cos? ? c. sec? ? 2 d. 0 sin? ? u e. o u ? ? tan
2. Jika cos a = x, nyatakan rasio trigonometri lainnya dalam x. 3. Jika tan a = x, nyatakan rasio trigonometri lainnya dalam x 4. Dengan menggunakan tabel atau kalkulator carilah a untuk :
a. sin? ?0,5 b. cos? ? 0,5 c. tan? ?1 d. cot? ?1
6. Carilah nilai bagian-bagian lain dari segitiga ABC : a. a=320, ß=480, dan a= 10
b. a=600, ß=450, dan a= 3
c. a=450, a=8, dan b= 5
d. a=750, a=20, dan b= 10
7. Hitunglah b dan x, apabila ukurannya dua kali ukuran dalam gambar
8. Hitunglah D, apabila ukurannya dua kali ukuran dalam gambar
9. Lebar W sebuah heksagonal adalah 75 mm. Berapakah diameter poros asalnya ?
10. Sebuah baja silindris dengan diameter 56 mm difrais untuk membuat poros dengan potongan melintang heksagonal. Hitunglah lebar heksagonal tersebut dan berapakah luas potongan melintangnya ?
11. Hitunglah L (m), jika ukuran benda 3 kali ukuran pada gambar
12. Hitunglah M ( m2), jika ukuran benda setengah kali ukuran pada
gambar.
13. Hitunglah O (m2), jika ukuran benda dua kali ukuran pada gambar.
B. KUNCI JAWABAN
Kunci jawaban bisa ditanyakan pada guru, beserta langkah-langkah perhitungannya.
BAB IV
PENUTUP
Demikianlah modul yang telah tersusun untuk membantu para peserta diklat mempelajari Melakukan Perhitungan Matematis sesuai dengan Kurikulum 2004. Sesudah lulus mempelajari modul ini diharapkan peserta diklat sudah memiliki bekal untuk mempelajari Kompetensi M7.11A. Sebaliknya apabila peserta diklat belum lulus modul ini, maka harus mengulang mempelajari modul ini sampai lulus, yaitu sekor minimal 70.
DAFTAR PUSTAKA
EMCO, 1980, A Center Lathe, EMCO Maier+Co , Hallein Austria
Holger,S., tt, Technical Mathematics for the Metal Trade, GTZ GmbH, Eschborn, Federal Republic of Germany
Nasution,AH., 1997, Matematika 1 untuk Sekolah Menengah Umum Kelas 1, Balai Pustaka, Jakarta
Nasution,AH., 1997, Matematika 2 untuk Sekolah Menengah Umum Kelas 2, Balai Pustaka, Jakarta
Spiegel, M.R., 1968, Mathematical Handbook of Formulas and Tables, McGraw-Hill Book Company, New York
Weber,J.E., 1982, Mathematical Analysis Bussiness and Economic Applications, Fourth Edition, Harper and Row Publisher Inc, New York.
