• Tidak ada hasil yang ditemukan

MODUL BAB 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS. Standar Kompetensi: 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "MODUL BAB 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS. Standar Kompetensi: 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi"

Copied!
16
0
0

Teks penuh

(1)

MODUL BAB 2

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

Standar Kompetensi:

2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar

2.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi 2.2 Menentukan invers suatu fungsi

Indikator

 Menentukan syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan  Menentukan fungsi komposisi dari beberapa fungsi.

 Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi.

 Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.

 Menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers  Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi.

 Menyebutkan sifat fungsi invers dikaitkan dengan fungsi komposisi.  Menentukan fungsi invers dari suatu fungsi.

Setelah mempelajari modul ini, kalian diharapakan :

1. Dapat Menentukan syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan. 2. Dapat Menentukan fungsi komposisi dari beberapa fungsi.

3. Dapat Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi.

4. Dapat Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.

5. Dapat Menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers. 6. Dapat Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi.

7. Dapat Menyebutkan sifat fungsi invers dikaitkan dengan fungsi komposisi. 8. Dapat Menentukan fungsi invers dari suatu fungsi.

A. Pengertian relasi antara anggota dua himpunan

Relasi (hubungan) dapat terjadi antara anggota dari dua himpunan. Misalnya, A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6, 7}. Antara anggota himpunan A dan B ada relasi “tiga kurangnya dari”. Relasi tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram sbb:

Relasi antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:

{(1,4), (2,5), (3,6), (4, 7)}

Relasi antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan menggunakan rumus. Misalnya anggota A dinyatakan dengan x, maka pasangannya ialah y anggota B

(2)

B. Pengertian fungsi dan pemetaan Perhatikan diagram panah berikut.

(1) (3)

(2) (4)

Pada gambar 1, 3 dan 4 setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan tepat satu anggota himpunan B. Relasi yang memiliki ciri seperti itu disebut fungsi atau pemetaan. Pada gambar 2 bukan fungsi karena ada anggota A yang punya pasangan lebih dari satu anggota B.

Definisi:

Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaaan, jika dan hanya jika setiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat dengan satu unsur dalam himpunan B.

Latihan:

Relasi dari himpunan A = {a, b, c, d} ke himpunan B = {p, q, r, s} yang disajikan dalam diagram panah berikut, mana yang merupakan fungsi ?

(3)

2. 6.

3. 7.

4. 8.

Misalkan f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan:

(4)

Jika xA dan yB sehingga pasangan berurut (x,y)f, maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f.

Peta atau bayangan ini dinayatakan dengan yf(x) seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

Jadi, suatu fungi f dapat disajikan dengan lambang pemetaan sebagai berikut: )

(

:x y f x

f  

dengan yf(x) disebut rumus atau aturan fungsi, x disebut peubah (variabel) bebas dan y disebut peubah (variabel) tak bebas.

Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan dilambangkan dengan Df.

Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan dilambangkan dengan Kf.

Himpunan dari semua peta A di B disebut daerah hasil (range) dan dilambangkan dengan Rf. Contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {5, 7, 9, 10, 11, 12} f: A B dimana f(x) = 2x +3 Diagram panahnya sbb: Domainnya adalah A = {1, 2, 3, 4}. Kodomainnya adalah B = {5, 7, 9, 10, 11, 12} Rangenya adalah C = {5, 7, 9, 11}

Jadi RrKf, tetapi dapat juga RfKf

B. Fungsi Komposisi Perhatikan contoh berikut:

(5)

f: A B ditentukan dengan rumus f(x)2x1 dengan g:BCditentukan oleh rumus g(x)x2 2. Ditunjukkan oleh diagram panah sbb:

Jika h fungsi dari A ke C sehinnga: peta dari 2 adalah 27

peta dari 3 adalah 51 peta dari 4 adalah 66 peta dari 5 adalah 83

dan diagaram panahnya menjadi,

fungsi dari h dari A ke C disebut fungsi komposisi dari g dan f ditulis hgf atau ). )( ( ) (x g f x h   Secara umum: Definisi: Misalkan fungsi B A

f :  ditentukan dengan rumus yf(x) C

B

(6)

Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan autan: )) ( ( ) )( ( ) (x g f x g f x h   

o dibaca komposisi atau “bundaran”

Perhatikan bahwa dalam fungsi komposisi (gf)(x)g(f(x))ditentukan dengan pengerjaan f(x) terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan pengerjaan oleh g(x). Perhatikan contoh berikut.

Contoh:

1. Diketahui f(x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan: a. (f o g)(x) b. (g o f)(x) Jawab: a. (f o g)(x) = f (g(x)) = f(2x – 3) = (2x – 3)2 + 1 = 4x2 – 12x + 9 + 1 = 4x2 – 12x + 10 b. (g o f)(x) = g (f(x)) = g(x2 + 1) = 2(x2 + 1) – 3 = 2x2 - 1

Ternyata, (fg)(x)(gf)(x). Jadi pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif.

2. Diketahui f :RR dan g:RR ditentukan oleh f(x) = x+ 3 dan (f o g)(x) = x2 + 6x + 7, maka tentukan g(x) ! Jawab : f(x) = x+ 3 (f o g)(x) = x2 + 6x + 7 f(g(x)) = x2 + 6x + 7 g(x) + 3 = x2 + 6x + 7 g(x) = x2 + 6x + 4

3. Diketahui f :RR dan g:RR ditentukan oleh f(x) = 2x+ 4 dan (g o f)(x) = 4x2 + 12x + 6, maka tentukan g(x) .

Jawab : (g o f)(x) = 4x2 + 12x + 6 g(f(x)) = 4x2 + 12x + 6 g(2x + 4) = 4x2 + 12x + 6

(7)

Misal: 2x + 4 = p, maka 2 4   p x g(p) = 2 4 2 4       p + 12        2 4 p ) + 6 g(p) = p2 – 8p + 16 + 6p – 24 + 6 g(p) = p2 – 2p – 2 Maka: g (x) = x2 – 2x – 2 Cara lain: 6 12 4 ) 4 2 ( )) ( ( ) )( (g  f xg f xg x  x2  x (2x4)2 2(2x4)2 Jadi, g(x)x2 2x2 C. Fungsi Invers 1. Pengertian Invers

Misalkan f fungsi dari himpunan A ke B yang dinyatakan dengan diagram panah sbb:

sehingga diperoleh himpunan pasangan berurutan: A

a b a

f :{( , )|  dan bB}

Kalau diadakan pengubahan domain menjadi kodomain dan kodomaian menjadi domaian, maka diagram panahnya menjadi

dan himpunan pasangan berurutannya menjadi B

b a b, )| 

{( dan aA}

Relasi yang diperoleh dengan cara seperti di atas disebut invers fungsi f dan dilambangkan dengan 1

(8)

Definisi:

Jika fungsi f :ABdinyatakan dengan pasangan berurutan f :{(a,b)|aA dan }

B

b maka invers fungsi f adalah f 1:BA ditentukan oleh

f

{(

b

,

a

)

|

b

B

dan aA}

Apakah invers suatu fungsi juga merupakan fungsi ? Untuk jelasnya perhatikan diagram panah berikut.

(1) (2)

(3)

Tampak bahwa yang inversnya juga merupakan fungsi hanya pada gambar (3). Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka invers fungsi itu disebut fungsi invers. 2. Menentukan Rumus Fungsi Invers

(9)

y adalah peta dari x oleh fungsi f, sehingga pemetaan oleh fungsi f dapat dinayatakan dengan persamaan: ) (x f y

Kalau f-1 adalah invers dari fungsi f maka x adalah peta dari y oleh fungsi f-1 sehingga diperoleh persamaan: ) ( 1 y f x 

Selanjutnya peubah x diganti dengan y dan peubah y diganti dengan x. Contoh:

1. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi f(x)2x6 ! Jawab: 6 2 ) (    f x x y 6 2    x y 3 2 1   x y Dengan demikian 3 2 1 ) ( 1    y y f atau 3 2 1 ) ( 1    x x f Contoh:

Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi

3 1 , 1 3 5 2 ) (     x x x x f Jawab: 1 3 5 2 ) (     x x x f y 5 2 ) 1 3 (    y x x 5 2 3     yx y x 5 2 3     yx x y 5 ) 2 3 (     y x y 2 3 5      y y x y y x 3 2 5     y y y f 3 2 5 ) ( 1      x x x f 3 2 5 ) ( 1     

Jadi fungsi invers dari fungsi

3 1 , 1 3 5 2 ) (     x x x x f adalah x x x f 3 2 5 ) ( 1    

(10)

3. Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi

Misalkan h(x) adalah fungsi komposisi yang dapat dibentuk dari fungsi f(x) dan fungsi g(x). Fungsi h(x) kemungkinannya adalah ....

ii) h(x) = (fog)(x) ii) h(x) = (gof)(x) Diagram panahnya sbb: i) Jadi (gf)1(x)(f 1g1)(x) ii)

(11)

Jadi (fg)1(x)(g1 f1)(x)

Contoh:

Misalkan f :RR dan g:RR ditentukan dengan rumus f(x)x3 dan . 2 5 ) (xxg Tentukan (fg)1(x) Jawab: Cara 1:

Dicari (f g)(x)terlebih dahulu selanjutnya dicari (fg)1(x) 1 5 3 ) 2 5 ( )) ( ( ) )( (f g xf g xx   x 1 5   x y 1 5    x y 5 1 5 1  x y Jadi 5 1 5 1 ) ( ) (f g 1 xx Cara 2:

Dicari f 1(x) dan g1(x) selanjutnya menggunakan rumus ) )( ( ) ( ) (fg 1 xg1 f1 x 3 ) (xxf 3   y x 3   x y 3 ) ( 1     x x f 2 5 ) (xxg 2 5   y x 5 2 5 1  x y 5 2 5 1 ) ( 1   x x g

(12)

) )( ( ) ( ) (fg 1 xg1 f 1 x )) ( ( 1 1 x f g   5 2 ) 3 ( 5 1    x 5 1 5 1   x Contoh:

Fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus: 1 2 ) (xxf dan 4 5 3 ) (    x x x g Carilah (gf)1(x)! Jawab; )) ( ( ) )( (gf xg f x 4 1 2 5 ) 1 2 ( 3      x x 3 2 8 6    x x 3 2 8 6     x x y 8 6 3 2     yx y x 8 3 6 2     yx x y 8 3 ) 6 2 (     y x y 6 2 8 3     y y x Jadi 6 2 8 3 ) ( ) ( 1     x x x f g 

(13)

UJI KOMPETENSI 1. Diketahui f(3x1)6x4, maka f(x).... A. 2x + 4 B. 2x – 4 C. 2x + 6 D. 2x – 6 E. 2x + 5 2. Diketahui f(2x1)4x2 2x5 maka f(2).... A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 E. 3

3. Daerah hasil (range) dari fungsi f :RR dimana f(x)x2 2x8 adalah .... A. {y|y8,yR}

B. {y|y8,yR} C. {y|y9,yR} D. {y|y8,yR} E. {y|y9,yR}

4. Jika f(x)5x2 dan g(x)2x1 maka (f g)(2).... A. -17 B. -16 C. -15 D. -14 E. -13 5. Jika 3 2 2 ) (    x x x f dan g(x)3x1 maka (g  f)(2).... A. -1 B. 0 C. 1 D. 5/11 E. 9/11

6. Jika f(x)x2 dan g(x)3x2 4x1 maka (g  f)(x).... A. 3 216 21 x x B. 3x2 16x21 C. 3x2 8x21 D. 3x2 12x21 E. 3x2 12x21

(14)

7. Jika 1 2 5 ) (    x x x f maka f 1(3).... A. -3/5 B. -2/5 C. 1 D. 2/5 E. 3/5 8. Jika f(x)7x2 maka f 1(x1).... A. x + 2 B. x -2 C. x + 3 D. 1/7 (x + 2) E. 1/7 (x + 3)

9. Jika f(x)2x3 dan (g  f)(x)6x10 maka 1( ) x g ... A. x + 19 B. x – 19 C. 1/3(x – 19) D. 1/3(x + 10) E. 1/3(x - 10)

10. Jika f ( g)(x)10x28x3 dan g(x)2x4 maka f 1(x).... A. x + 9

B. 2 + x C. x210x3 D. 2 x1 E. 2 x7

(15)

KUNCI UJI KOMPETENSI 1. Diketahui f(3x1)6x4, maka f(x).... A. 2x + 4 B. 2x – 4 C. 2x + 6 D. 2x – 6 E. 2x + 5 2. Diketahui f(2x1)4x2 2x5 maka f(2).... A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 E. 3

3. Daerah hasil (range) dari fungsi f :RR dimana f(x)x2 2x8 adalah .... A. {y|y8,yR}

B. {y|y8,yR}

C. {y|y9,yR} D. {y|y8,yR} E. {y|y9,yR}

4. Jika f(x)5x2 dan g(x)2x1 maka (f g)(2).... A. -17 B. -16 C. -15 D. -14 E. -13 5. Jika 3 2 2 ) (    x x x f dan g(x)3x1 maka (g  f)(2).... A. -1 B. 0 C. 1 D. 5/11 E. 9/11

6. Jika f(x)x2 dan g(x)3x2 4x1 maka (g  f)(x)....

A. 3 216 21 x x B. 3x2 16x21 C. 3x2 8x21 D. 3x2 12x21 E. 3x2 12x21

(16)

7. Jika 1 2 5 ) (    x x x f maka f 1(3).... A. -3/5 B. -2/5 C. 1 D. 2/5 E. 3/5 8. Jika f(x)7x2 maka f 1(x1).... A. x + 2 B. x -2 C. x + 3 D. 1/7 (x + 2) E. 1/7 (x + 3)

9. Jika f(x)2x3 dan (g  f)(x)6x10 maka 1( ) x g ... A. x + 19 B. x – 19 C. 1/3(x – 19) D. 1/3(x + 10) E. 1/3(x - 10)

10. Jika f ( g)(x)10x28x3 dan g(x)2x4 maka f 1(x).... A. x + 9

B. 2 + x C. x210x3 D. 2 x1

Referensi

Dokumen terkait

URGENSI PENGAKUAN Wilayah Adat Sebagai Ruang Kehidupan Wilayah Adat Sebagai Alamat Kebudayaan Wilayah Adat Sebagai Arena Konflik Wilayah Adat Terancam...

Jumlah saham yang ditawarkan 215.000.000 Saham Biasa Atas Nama Seri B dengan nilai nominal Rp..

yang dijual di apotik,obat untuk kencing nanah pada pria,obat utk kencing nanah,obat di apotik untuk kencing nanah,obat untk kencing nanah,obat untuk kencing nanah pada

Memperhatikan kontribusi Pajak Kendaraan Bermotor yang cukup besar terhadap PAD Provinsi Sumatera Utara, kepada Dinas Pendapatan Daerah Provinsi Sumatera Utara

Kemampuan pembuktian merupakan salah satu bentuk kemampuan intelektual yang harus dimiliki siswa terutama dalam bidang matematika. Hal itu sudah tercantum dalam

Rasio distribusi sumber daya manusia penyuluh pertanian dengan rumah tangga usaha pertanian selama kurun waktu 5 tahun terahir (2013- 2017) dengan rasio perbandingan rata-rata

Hasil uji coba pemberian gaussian noise terhadap citra input dengan nilai varian yang semakin meningkat, dari 0,01%, 0,05%, dan 0,1% menunjukkan bahwa konstruksi citra

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Keterdedahan Iklan di Televisi dan Perilaku Khalayak (Kasus Iklan Produk Mie Instant di Televisi pada Dua Komunitas Urban dan Semi Urban