METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE-N DENGAN KOEFISIEN KONSTANTA. Mahasiswa Program S1 Matematika 2

(1)

METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE-N DENGAN

KOEFISIEN KONSTANTA Roki Nuari1*_{, Aziskhan}2_{, Endang Lily}2

1_{Mahasiswa Program S1 Matematika} 2_{Dosen Jurusan Matematika}

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

*roki.nuari@yahoo.com ABSTRACT

This paper discusses ELzaki’s transformation and its properties for scalar, polynomial and exponential functions. Then this transformation is applied to solve an initial value problem of linear differential equations with a constant coefficient.

Keywords: derivative, ELzaki’s transformation, linear ordinary differential equation of n-th order with constant coefficient.

ABSTRAK

Makalah ini membahas transformasi ELzaki dan sifat-sifatnya untuk fungsi konstan, polinomial dan eksponensial. Selanjutnya transformasi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear orde-n koefisien konstanta dengan syarat awal.

Kata kunci: persamaan diferensial biasa linear orde-n dengan koefisien konstanta, transformasi ELzaki, turunan fungsi.

1. PENDAHULUAN

Persamaaan diferensial biasa linear orde-n dengan koefisien konstanta adalah persamaan diferensial biasa linear dengan pangkat derivatif tertingginya n dan semua koefisien pada persamaan tersebut adalah konstanta yang bentuk umumnya diberikan oleh, ), ( 0 1 1 1 1 a y g t dt dy a dt y d a dt y d a_n n_n  _n_ n_n_ _   (1)

dimana a₀,a₁,...a_n_₁,a_n adalah konstanta dengan a_n 0. Jika g(t)0 maka persamaan (1) dikatakan homogen dan sebaliknya dikatakan nonhomogen.

(2)

Persamaaan (1) yang homogen dapat diselesaikan dengan metode karakteristik [2, h.260], yang menghasilkan solusi umum,

, ) ( 1 2 2 1 t r n t r t r c e c en e c t y    (2)

dimana c1,c2,...,cn adalah konstanta dan r1, r2,...,rn adalah akar-akar karakterisitik

dari persamaan (1).

Persamaaan (1) yang nonhomogen dapat diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu [1, h.222], yang menghasilkan solusi umum,

), ( ) (t y t y y  c  p (3)

dengan y_c(t) merupakan solusi komplemen dan yp(t) adalah solusi khusus.

Persamaan (1) dengan syarat awal _y(0),_y'(0),...,_y(n)(0) _{dapat diselesaikan} dengan menggunakan transformasi ELzaki, dan sifat-sifatnya, melalui proses penggantian setiap turunannya dengan transformasi ELzaki. Inilah yang menjadi pembahasan pada makalah ini yang sekaligus merupakan review dari makalah Elzaki T.M. dan Elzaki S.M. yang berjudul On the ELzaki Transform and High Order Ordinary Diferensial Equations [3].

2. TRANSFORMASI ELZAKI

Transformasi ELzaki adalah transformasi integral suatu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1 [3] Diberikan himpunan A dengan anggotanya adalah fungsi eksponensial berpangkat, sehingga A dapat ditulis,







( ): , 1, 2 0, ( )  / , (1)  0,



,  t k j t if Me t f k k M t f A j

dengan M adalah bilangan berhingga dan k₁, k₂ adalah bilangan berhingga atau tak berhingga. Maka transformasi ELzaki f(t) adalah

 



,



 

,



,



, 0. ) ( ₁ ₂ 0     E f t v v



f t e dt v k k t v T v t (4) Sifat-sifat transformasi ELzaki diberikan berdasarkan Teorema berikut.

Teorema 2 [3] Jika T(v) adalah transformasi ELzaki dari f(t), maka : 1. [ '( )] ( ) vf(0). v v T t f E   2. [ "( )] (₂) f(0) vf'(0). v v T t f E    3. [ ( )] ( ) 1 ( )(0). 0 2 ) ( n k k k n n n _v _f v v T t f E



     

(3)

Dengan menggunakan skema transformasi ELzaki, diperoleh solusi sebenarnya dari persamaan diferensial biasa linear orde-n dengan koefisien konstanta. Dalam [4] dinyatakan bahwa untuk f(t)1, maka

, ) 1 ( 0



  v e dt E v t . ) 1 ( _v2 E 

Dengan cara yang sama untuk f(t)t, diperoleh . ) ( 0



 _ v te dt t E v t . ) (_t _v3 E 

Untuk kasus umum dengan _f₍_t₎__tn_{, jika} _n_₀ _{adalah bilangan bulat, maka}

. ! )

(_tn __n _vn2

E (5)

Untuk fungsi eksponensial berbentuk f(t)eat, diperoleh

 

, 0



  v e ve dt e E at t at

 

. 1 2 av v e E at   (6)

Skema transformasi ELzaki untuk fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik dapat dinyatakan sebagai berikut [4],





, 1 sin ₂ ₂ 3 v a av at E  





, 1 cos 2₂ ₂ v a v at E  





, 1 sinh ₂ ₂ 3 v a av at E  





. 1 cosh 2₂ ₂ v a v at E  

3. METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE-N DENGAN

KOEFISIEN KONSTANTA

Pada bagian ini diberikan contoh persamaan diferensial biasa linear orde-n dengan koefisien konstanta, yang diselesaikan dengan menggunakan metode transformasi ELzaki, kemudian akan dibandingkan dengan metode karakteristik dan metode koefisien tak tentu.

(4)

Contoh 1

Temukanlah solusi dari persamaan diferensial linear orde tiga homogen dengan koefisien konstanta sebagai berikut,

, 0 6 2 2 3 3    dt dy dt y d dt y d ₍₇₎

dengan syarat awal y(0) y1, '(0)0 dan y"(0)5. (8) Solusi : Misalkan y  f(t), berdasarkan Teorema (2) diperoleh



' '' " 6



 

₃ 1

 

0 '

 

0 "

     

0 ₂ y 0 vy'

 

0 v v T vy y y v v v T y y y E         

 

_{ }

. 0 0 6 6    vy v v T (9) Subsitusikan syarat awal pada persamaan (8) ke dalam persamaan (9), diperoleh

 

1 ₅

 

₁ ₆

 

₆ ₀_, 2 3      _v  v v T v v T v v v v T , 1 1 6 1 1 ) ( ₃ ₂         _ _ _v v v v v v T , 6 1 ) ( 2 4 ₂3 v v v v v v T      (10)

persamaan (10) dapat ditulis,

 

_

_

_

_

. 2 1 2 1 3 1 3 1 6 2 2 2 v v v v v v T      (11)

Dengan menggunakan skema transformasi ELzaki untuk persamaan (11), diperoleh

 

. 2 1 3 1 6 1 _e 3t _e2t t y    

Bila digunakan metode karakteristik untuk menyelesaikan persamaan (7) dengan syarat awal pada persamaan (8) diperoleh solusi yaitu,

 

. 2 1 3 1 6 1 _e 3t _e2t t y     Contoh 2

Temukanlah solusi dari persamaan diferensial linear orde tiga nonhomogen dengan koefisien konstanta sebagai berikut,

, 1 2 2 3 3 t y dt dy dt y d dt y d _ _ _ _ _ (12) dengan syarat awal y(0)1, y'(0)2 dan y"(0)1. (13) Solusi : Misalkan y  f(t), berdasarkan Teorema (2) diperoleh

. ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( ) 0 ( " ) 0 ( ' ) 0 ( 1 ) ( 2 3 2 3 _v vy T v v v v T vy y v v T vy y y v v v T          _        _ _     (14)

(5)

, ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 3 2 3 _v v T v v v v T v v v T v v v v T _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , 1 1 1 1 1 1 ) ( 2 3 2 3 _        _ _ _ v v v v v v v T , 1 ) ( ₂ ₃ 3 2 6 5              v v v v v v v v T (15)

persamaan (15) dapat ditulis,



1



. ) ( 2 3 v v v v T    (16)

Dengan menggunakan skema transformasi ELzaki untuk persamaan (16), diperoleh

 

_t _t _et.

y  

Bila digunakan metode koefisien tak tentu untuk menyelesaikan persamaan (12) dengan syarat awal pada persamaan (13) diperoleh solusi yaitu,

 

_t _t _et.

y  

Berdasarkan Contoh 1 dan 2 terlihat bahwa transformasi ELzaki dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear yang homogen dan nonhomogen dengan syarat awal yang diberikan, sedangkan metode karakteristik hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen dan metode koefisien tak tentu hanya dapat menyelesaikan persamaan diferensial nonhomogen. Disamping itu solusi yang didapat dengan transformasi ELzaki sama dengan solusi yang didapat dengan metode karakteristik dan metode koefisien tak tentu. Selanjutnya dengan menggunakan strategi yang sama dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear orde-n yang homogen dan nonhomogen dengan syarat awal diberikan.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Abell, M.L & J.P. Braselton. Differential Equations with Mathematica, 3th Edition. Elsevier Academic Press. USA.

[2] Boyce, W.E & R. Diprima. 2001. Elementary Differensial Equations and Boundary Value Problems, 7th Edition. John Wiley and Sons. New York.

[3] Elzaki, T.M & S.M. Elzaki. 2011. On the Elzaki Transform and Higher Ordinary Differensial Equations, Advances in Theoretical and Applied mathematics, 6(1). pp. 107-113.

[4] Elzaki, T.M. 2011. The New Integral Transform “Elzaki Transform”, Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 7(1). pp. 57-64.