ANALISA KOMPLEKS. 1. Bilangan Kompleks Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan (1) berikut. z = a + ib (1)

(1)

1

ANALISA KOMPLEKS

1. Bilangan Kompleks

Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan (1) berikut

z = a + ib (1) dimana

- z : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk rectangular

- a : bilangan nyata

- b : bilangan khayal

Operasi-operasi pada bilangan kompleks sebagai berikut

o Penjumlahan

(

) (

)

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z + z = a + ib + a + ib = a + a +i b + b (2) o Pengurangan

(

) (

)

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z - z = a + ib − a + ib = a - a +i b - b (3) o Perkalian

(

)(

) (

)

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z z = a + ib a + ib = a a - b b +i a b + a b ₍₄₎ o Pembagian

(

)

(

1 1

)

(

1 2 1 2

) (

2 1 1 2

)

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + ib a a + b b a b - a b z = i z a + ib = a +b + a +b (5)

Bilangan kompleks konjugat dinyatakan oleh persamaan (6) berikut

z = a - ib (6)

2. Bilangan Kompleks Dalam Koordinat Kutub, Akar dan Pangkat

Bentuk umum bilangan kompleks dalam koordinat kutub didefinisikan pada persamaan (7) berikut

z = r θ = r cos θ + i r sin θ∠ (7) dimana

- z : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk polar - r : nilai mutlak atau modulus dari z

(2)

2

- θ : argument dari z ( radian atau derjat) Nilai modulus r diperoleh dari persamaan (8) berikut

2 2

r = z = a + b (8)

Nilai θ diperoleh dari persamaan (9) berikut

1 b θ = arg z = tan a −       (9)

Dengan nilai utama pada persamaan (10) berikut

π < θ ≤ π ₍₁₀₎ Operasi-operasi pada bilangan kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan (11) s/d (14) berikut o Perkalian

(

)

(

)

1 2 1 2 1 2 1 2 z z = r r _cos θ + θ + i sin θ + θ _ (11) o Pembagian

(

)

(

)

1 1 1 2 1 2 2 2 z r = cos θ - θ + i sin θ - θ z r   (12) o Pangkat Bulat

(

)

n n z = r _{cos nθ + i sin nθ} (13) o Akar n n θ + 2kπ θ + 2kπ z r cos i sin n n   = _ + _   (14) Nilai n

z yang diperoleh dengan mengambil nilai utama θ dan k = 0 .

3. Limit, Turunan dan Fungsi Kompleks

Bentuk umum fungsi kompleks pada persamaan (15) berikut

( )

w = f z = u x,y + iv x,y (15) Suatu fungsi f z dikatakan mempuyai limit l untuk z mendekati titik

( )

z ₀ dituliskan dalam bentuk persamaan (16) berikut

( )

0

zlim f z = l→z (16)

Turunan suatu fungsi kompleks f z di titik

( )

z didefinisikan pada persamaan ₀ (17) berikut

(3)

3

( )

(

) ( )

0 0 0 ' 0 ∆z z f z + ∆z - f z f z lim = l ∆z → = ₍₁₇₎

Ada beberapa perintah Matlab yang digunakan untuk menghitung limit fungsi kompleks adalah limit(expr, x, a) limit(expr, a) limit(expr) limit(expr, x, a, 'left') limit(expr, x, a, 'right') 4. Fungsi Eksponensial

Bentuk umum fungsi eksponensial kompleks pada persamaan (18) berikut

(

)

z x

e = e cosy + i sin y (18) 5. Fungsi Trigonometrik dan Fungsi Hiperbolik

Bentuk umum fungsi trigonometrik dalam bilangan kompleks pada persamaan (19) s/d (24) berikut

(

iz -iz

)

1 cos z = e + e 2 (19)

(

iz -iz

)

1 sin z = e - e 2i (20) Selain itu didefinisikan juga bentuk – bentuk fungsi trigonometrik yang lain pada persamaan (21) s/d (24) berikut sin z tan z = cos z (21) cos z cot z = sin z (22) 1 sec z = cos z (23) 1 cos z = sin z (24)

Bentuk umum fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks pada persamaan (25) s/d (26) berikut

(

z -z

)

1 cosh z = e + e 2 (25)

(

z -z

)

1 sinh z = e - e 2 (26)

(4)

4

Selain itu didefinisikan juga fungsi-fungsi hiperbolik lain pada persamaan (27) s/d (30) berikut sinh z tanh z = cosh z (27) cosh z coth z = sinh z (28) 1 sech z = cosh z (29) 1 cosh z = sinh z (30) Selain itu fungsi-fungsi trigonometrik dan hiperbolik komplek saling berkaitan dalam bentuk fungsi-fungsi pada persamaan (31) s/d (34) berikut

cosh iz = cos z (31) sinh iz = i sin z (32) cos iz = cosh z (33) sin iz = i sinh z (34) 6. Logaritma dan Pangkat Umum

Bentuk umum logaritma bilangan kompleks pada persamaan (35) berikut ln z = ln r + iθ (35) Nilai utama dari dari ln z pada persamaan (36) berikut

ln z = ln z + i arg z

(36) Sifat- sifat logaritma asli yang berlaku untuk logaritma kompleks pada persamaan (37) s/d (39) berikut

(

1 2

)

1 2 ln z z = ln z + ln z (37) 1 1 2 2 z ln = ln z - ln z z       (38)

( )

(

)

' 1 ln z = z (39) Pangkat umum bilangan kompleks pada persamaan (40) berikut

z z ln a

(5)

5

7. Integral Kompleks

Bentuk umum integral kompleks adalah

( )

1 0 1 0 f z dz = F z F z z z −

∫

(41)

8 Beberapa Fungsi Matlab Untuk Bilangan Kompleks Beberapa fungsi Matlab yang digunakan dalam analisa kompleks diantaranya Tabel 1. Fungsi – Fungsi Analisa Kompleks Fungsi Keterangan abs(X) Harga mutlak bilangan kompleks angle(Z) Sudut fase bilangan kompleks complex(a,b) Membentuk bilangan kompleks dari bagian nyata dan khayal conj(Z) Konjugate bilangan kompleks real(Z) Bagian nyata bilangan kompleks imag(Z) Bagian khayal bilangan kompleks 9. Contoh Soal dan Jawab Contoh 1 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada persamaan (42) s/d (45) berikut a. z =3 + i4 ₁ (42) b. z =3 - i4 ₂ (43) c. z = -3 + i4 ₃ (44) d. z = -3 - i4 ₄ (45) Jawab :

Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (42) s/d (45) adalah clc clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(3,-4) Z3 = complex(-3,4) Z4 = complex(-3,-4) % Bentuk Polar disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_abs = abs(Z1) Z1_Sud = angle(Z1)

(6)

6 disp('Bilangan Kompleks Z1') Z2_abs = abs(Z2) Z2_Sud = angle(Z2) disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_abs = abs(Z3) Z3_Sud = angle(Z3) disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_abs = abs(Z4) Z4_Sud = angle(Z4) Hasil program Z1 = 3.0000 + 4.0000i Z2 = 3.0000 - 4.0000i Z3 = -3.0000 + 4.0000i Z4 = -3.0000 - 4.0000i

Contoh 2 : Dengan menggunakan Matlab, jika z =3 + j4 dan ₁ z = 8 + j6 hitung ₂

operasi aritmetik pada persamaan (46) s/d (49) berikut

a. z = z + z _a ₁ ₂ (46) b. z = z - z _b ₁ ₂ (47) c. z = z z _c _{1 2} (48) d. 1 d 2 z z = z (49)

Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (46) s/d (49) adalah

clc clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(8,6) % Operasi Aritmetik

disp('Penjumlahan Bilangan Kompleks') Za = Z1 + Z2

disp('Pengurangan Bilangan Kompleks') Zb = Z1 - Z2

disp('Perkalian Bilangan Kompleks') Zc = Z1*Z2

disp('Pembagian Bilangan Kompleks') Zd = Z1/Z2

(7)

7 Hasil program Z1 = 3.0000 + 4.0000i Z2 = 8.0000 + 6.0000i

Penjumlahan Bilangan Kompleks Za =

11.0000 +10.0000i

Pengurangan Bilangan Kompleks Zb =

-5.0000 - 2.0000i

Perkalian Bilangan Kompleks Zc =

0 +50.0000i

Pembagian Bilangan Kompleks Zd =

0.4800 + 0.1400i

Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (50) s/d (53) berikut

a. z = z + z_a ₁ ₂ =11.0000 + i10.0000 (50) b. z = z - z_b ₁ ₂ = −5.0000 i2.0000− (51) c. z = z z_c _{1 2} =i50.0000 (52) d. 1 d 2 z z = 0.4800 i0.1400 z = + (53)

Contoh 3 : Dengan menggunakan Matlab, jika z =3 + i4 , ₁ z = 8 + i6 dan ₂ 3 z = 12 + i13 tentukan a. z₁ (54) b. z₂ (55) c. z₃ (56) d. z = re z + z_a

(

₁ ₃

)

(57) e. z = im z - z_b

(

₁ ₂

)

(58) f. z = re z z_c

(

_{1 2}

)

(59) g. 1 d 3 z z = im z       (60)

(8)

8

clc clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(8,6) Z3 = complex(12,13) % z1_a = conj(Z1) z2_a = conj(Z2) z3_a = conj(Z3) Za = real(Z1 + Z2) zb = imag(Z1 - Z2) zc = real(Z1*Z2) zd = imag(Z1/Z3) Hasil program Z1 = 3.0000 + 4.0000i Z2 = 8.0000 + 6.0000i Z3 = 12.0000 +13.0000i z1_a = 3.0000 - 4.0000i z2_a = 8.0000 - 6.0000i z3_a = 12.0000 -13.0000i Za = 11 zb = -2 zc = 0 zd = 0.0288

Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (61) s/d (67) berikut a. z₁ =3.0000 - i4.0000 (61) b. z₂ =8.0000 - i6.0000 (62) c. z₃ =12.0000 i13.0000− (63)

(9)

9 d. z = re z + z_a

(

₁ ₃

)

=11.0000 (64) e. z = im z - z_b

(

₁ ₂

)

= −2.0000 (65) f. z = re z z_c

(

_{1 2}

)

=0.0000 (66) g. 1 d 3 z z = im 0.0288 z   =     (67)

Contoh 4 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada persamaan (68) s/d (71) bentuk dalam bentuk kutub a. z =1 + i4 ₁ (68)

b. z = 1 - i4 ₂ (69)

c. z = -1 + i4 ₃ (70)

d. z = -1 - i4 ₄ (71) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (68) s/d (71) adalah

clc clear all close all % Z1 = complex(1,4) Z2 = complex(1,-4) Z3 = complex(-1,4) Z4 = complex(-1,-4) % Bilangan Kompleks Z1

disp('Bilangan Kompleks Z1 (Kutub)') z1_r = abs(Z1)

z1_sud_rad = angle(Z1) % Radian z1_sud_deg = (angle(Z1)/pi)*180 % Derjat % Bilangan Kompleks Z2

z4_sud_rad = angle(Z4) % Radian z4_sud_deg = (angle(Z4)/pi)*180 % Derjat

(10)

10 Hasil program Z1 = 1.0000 + 4.0000i Z2 = 1.0000 - 4.0000i Z3 = -1.0000 + 4.0000i Z4 = -1.0000 - 4.0000i

Bilangan Kompleks Z1 (Kutub) z1_r = 4.1231 z1_sud_rad = 1.3258 z1_sud_deg = 75.9638

Bilangan Kompleks Z2 (Kutub) z2_r = 4.1231 z2_sud_rad = -1.3258 z2_sud_deg = -75.9638

Bilangan Kompleks Z3 (Kutub) z3_r = 4.1231 z3_sud_rad = 1.8158 z3_sud_deg = 104.0362

Bilangan Kompleks Z4 (Kutub) z4_r = 4.1231 z4_sud_rad = -1.8158 z4_sud_deg = -104.0362

a. 0 1 z =1 + i4 = 4.1231 1.3258 = 4.1231 75.9638∠ ∠ (72) b. 0 2 z =1 - i4 = 4.1231∠ −1.3258 = 4.1231∠ −75.9638 (73) c. z = -1 + i4 = 4.1231 1.8158 = 4.1231 104.03623 ∠ ∠ 0 (74) d. z = -1 - i4 = 4.1231₄ ∠ −1.8158 = 4.1231∠ −104.03620 (75)

(11)

11

Contoh 5 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada

persamaan (76) s/d (79) bentuk dalam bentuk rectangular berikut

a. 0 1 z = 4 90 ∠ (76) b. z = 5 135₂ ∠ 0 (77) c. 0 3 z = π 45∠ (78) d. z = 50 120₄ ∠ 0 (79)

clc clear all close all % disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_a = 4 * cos((90/180)*pi); Z1_b = 4 * sin((90/180)*pi); Z1 = complex(Z1_a,Z1_b) % disp('Bilangan Kompleks Z2') Z2_a = 5 * cos((135/180)*pi); Z2_b = 4 * sin((135/180)*pi); Z2 = complex(Z2_a,Z2_b) % disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_a = pi * cos((45/180)*pi); Z3_b = pi * sin((45/180)*pi); Z3 = complex(Z3_a,Z3_b) % disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 5 * cos((120/180)*pi); Z4_b = 5 * sin((120/180)*pi); Z4 = complex(Z4_a,Z4_b) Hasil Program Bilangan Kompleks Z1 Z1 = 0.0000 + 4.0000i Bilangan Kompleks Z2 Z2 = -3.5355 + 2.8284i Bilangan Kompleks Z3 Z3 = 2.2214 + 2.2214i Bilangan Kompleks Z4 Z4 = -2.5000 + 4.3301i

(12)

12

a. 0 1 z = 4 90 = 0.0000 + i4.0000∠ (80) b. z = 5 135₂ ∠ 0 =-3.5355 + i2.8284 (81) c. 0 3 z = π 45∠ =2.2214 i2.2214+ (82) d. z = 50 120₄ ∠ 0 = −2.5000 i4.3301+ (83)

Contoh 6 : Dengan menggunakan Matlab, hitung penjumlahan dan perkalian

bilangan kompleks pada persamaan (84) s/d (87) dalam bentuk kutub berikut

a. 0 0 1 z = 4 75 + 5 135∠ ∠ (84) b. z = 15 135₂ ∠ 0+ ∠10 1050 (85) c. 0 0 3 z = π 45∠ −0.5 75∠ (86) d. z = 50 120₄ ∠ 0−25 60∠ 0 (87)

clc clear all close all % disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_a = 4 * cos((75/180)*pi); Z1_b = 4 * sin((75/180)*pi); Z1_1 = complex(Z1_a,Z1_b); Z1_c = 15 * cos((135/180)*pi); Z1_d = 15 * sin((135/180)*pi); Z1_2 = complex(Z1_c,Z1_d); Z1 = Z1_1 + Z1_2; Z1_abs = abs(Z1)

Z1_sud_rad = angle(Z1) % Radian Z1_sud_deg = (angle(Z1)/pi)*180 % Derjat % disp('Bilangan Kompleks Z2') Z2_a = 15 * cos((135/180)*pi); Z2_b = 15 * sin((135/180)*pi); Z2_1 = complex(Z2_a,Z2_b); Z2_c = 10 * cos((105/180)*pi); Z2_d = 10 * sin((105/180)*pi); Z2_2 = complex(Z2_c,Z2_d); Z2 = Z2_1 + Z2_2; Z2_abs = abs(Z2)

(13)

13

Z2_sud_deg = (angle(Z2)/pi)*180 % Derjat % disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_a = pi * cos((45/180)*pi); Z3_b = pi * sin((45/180)*pi); Z3_1 = complex(Z3_a,Z3_b); Z3_c = 0.5 * cos((75/180)*pi); Z3_d = 0.5 * sin((75/180)*pi); Z3_2 = complex(Z3_c,Z3_d); Z3 = Z3_1 - Z3_2; Z3_abs = abs(Z3)

Z3_sud_rad = angle(Z3) % Radian Z3_sud_deg = (angle(Z3)/pi)*180 % Derjat % disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 50 * cos((120/180)*pi); Z4_b = 50 * sin((120/180)*pi); Z4_1 = complex(Z4_a,Z4_b); Z4_c = 25 * cos((60/180)*pi); Z4_d = 25 * sin((60/180)*pi); Z4_2 = complex(Z4_c,Z4_d); Z4 = Z4_1 - Z4_2; Z4_abs = abs(Z4)

Z4_sud_rad = angle(Z4) % Radian Z4_sud_deg = (angle(Z4)/pi)*180 % Derjat

Hasil program Bilangan Kompleks Z1 Z1_abs = 17.3494 Z1_sud_rad = 2.1552 Z1_sud_deg = 123.4825 Bilangan Kompleks Z2 Z2_abs = 24.1828 Z2_sud_rad = 2.1479 Z2_sud_deg = 123.0675 Bilangan Kompleks Z3 Z3_abs = 2.7201 Z3_sud_rad = 0.6934 Z3_sud_deg = 39.7266 Bilangan Kompleks Z4

(14)

14 Z4_abs = 43.3013 Z4_sud_rad = 2.6180 Z4_sud_deg = 150

a. 0 0 0 ' 1 z = 4 75 + 5 135∠ ∠ =17.3494 123 .3494∠ (88) b. z = 15 1352 ∠ 0+ ∠10 1050 =24.1828 123 .0675∠ 0 ' (89) c. 0 0 0 ' 3 z = π 45∠ −0.5 75∠ =2.7201 39 .7266∠ (90) d. z = 50 120₄ ∠ 0−25 60∠ 0 =43.3013 150∠ 0 (91)

Contoh 7 : Dengan menggunakan Matlab, hitung perkalian dan pembagian

kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan (92) s/d (95) berikut

a.

(

0

)(

0

)

a z = 10 37∠ 4 322∠ (92) b.

(

0

)(

0

)

b z = π 137∠ 0.5 22∠ (93) c.

(

)

(

)

0 c 0 3π 167 z = 5 20 ∠ ∠ (94) d.

(

)

(

)

0 d ₀ 10 37 z = 4 322 ∠ ∠ (95)

clc

clear all close all %

disp('Bilangan Kompleks Za') Z1_abs = 10.0000;

Z1_sud = (37/180)*pi; Z2_abs = 4.0000;

Z2_sud = (322/180)*pi; Za_abs = Z1_abs*Z2_abs

Za_sud = ((Z1_sud + Z2_sud)/pi)*180 % derjat %

disp('Bilangan Kompleks Zb') Z3_abs = pi;

Z3_sud = (137/180)*pi; Z4_abs = 0.5000;

(15)

15

Z4_sud = (22/180)*pi; Zb_abs = Z3_abs*Z4_abs

Zb_sud = ((Z3_sud + Z4_sud)/pi)*180 % derjat % disp('Bilangan Kompleks Zc') Z5_abs = (3*pi); Z5_sud = (167/180)*pi; Z6_abs = 5.0000; Z6_sud = (20/180)*pi; Zc_abs = Z5_abs/Z6_abs

Zc_sud = ((Z5_sud - Z6_sud)/pi)*180 % derjat % disp('Bilangan Kompleks Zd') Z7_abs = 10.0000; Z7_sud = (37/180)*pi; Z8_abs = 4.0000; Z8_sud = (322/180)*pi; Zd_abs = Z7_abs/Z8_abs

Zd_sud = ((Z7_sud - Z8_sud)/pi)*180 % derjat

Hasil program Bilangan Kompleks Za Za_abs = 40 Za_sud = 359 Bilangan Kompleks Zb Zb_abs = 1.5708 Zb_sud = 159.0000 Bilangan Kompleks Zc Zc_abs = 1.8850 Zc_sud = 147 Bilangan Kompleks Zd Zd_abs = 2.5000 Zd_sud = -285

a. z = 10 37_a

(

∠ 0

)(

4 322∠ 0

)

=40 359∠ 0 (96) b. z = π 137_b

(

∠ 0

)(

0.5 22∠ 0

)

=1.5708 159.0000∠ (97)

(16)

16 c.

(

)

(

)

0 0 c ₀ 3π 167 z = 1.8850 147 5 20 ∠ = ∠ ∠ (98) d.

(

)

(

)

0 0 d 0 10 37 z = 2.5000 285 4 322 ∠ = ∠ − ∠ (99)

Contoh 8 : Dengan menggunakan Matlab, selesaikan operasi bilangan kompleks

pada persamaan (100) s/d (103) berikut

a. 2

(

)

(

)

z - 5 + i z + 8 + i = 0 (100) b. 2

(

)

z - 3z + 3 + i = 0 (101) c. 3 + i4 (102) d. 8 2i (103)

clc clear all close all % Soal a p1 = [1 -(5 + i) (8+i)] roots(p1) % Soal b p2 = [ 1 -3 ( 3 + i)] roots(p2) % Soal c p3 = (3 + i*4)^0.5 % Soal d p3 = (i*2)^(1/8) Hasil program p1 = 1.0000 -5.0000 - 1.0000i 8.0000 + 1.0000i ans = 3.0000 + 2.0000i 2.0000 - 1.0000i p2 = 1.0000 -3.0000 3.0000 + 1.0000i

(17)

17 ans = 2.0000 - 1.0000i 1.0000 + 1.0000i p3 = 2.0000 + 1.0000i P4 = 1.0696 + 0.2127i

Hasil program menunjukkan bahwa

a. 2

(

)

(

)

z - 5 + i z + 8 + i = 0 (104) diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (104) berikut

1 z = 3.0000 + i2.0000 (105) 2 z = 2.0000 - i (106) b. z - 3z + 3 + i = 0 2

(

)

(107) diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (108) berikut

1 z = 3.0000 + i2.0000 (109) 2 z = 2.0000 - i (110) c. 3 + i4 =2.0000 i+ (111) d. 8 2i =1.0696 i0.2127+ (112)

Contoh 9 : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui z = 3.0000 + i2.0000 ₁

dan z = 2.0000 - i5.0000 . Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan ₂ (113) s/d (116) berikut a. 2

(

)

1 2 z - 2z + 8 + i (113) b. 2z - 3z + 3 + i = 0 ₁2 ₂

(

)

(114) c. z + z ₁ ₂ (115) d. 3 1 2 z z (116)

clc

(18)

18 close all z1 = complex(3,2); z2 = complex(2,-5); % Soal a f_1 = z1^2 - 2*z2 + (8 + i) % Soal b f_2 = 2*z1^2 - 3*z2 + ( 3 + i) % Soal c f_3 = (z1 + z2)^0.5 % Soal d f_4 = (z1*z2)^(1/3) Hasil program f_1 = 9.0000 +23.0000i f_2 = 7.0000 +40.0000i f_3 = 2.3271 - 0.6446i f_4 = 2.6338 - 0.5360i

Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (117) s/d (120) berikut a.

(

)

2 1 2 z - 2z + 8 + i =9.0000 i23.0000+ (117) b. 2

(

)

1 2 2z - 3z + 3 + i = 7.0000 + i40.0000 (118) c. z + z₁ ₂ =2.3271 i0.6446− (119) d. 3 1 2 z z =2.6388−j0.5360 (120)

Contoh 10 : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui

1 z = 2.0000 + i5.0000 (121) 2 z = i3.0000 . (122) 3 z = -4 + i2.0000 (123)

Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan (124) s/d (132) berikut a. f z = 3z + z

( )

₁2 ₁ (124)

b.

( )

2

2 2

(19)

19 c.

( )

2 3 3 f z = 3z + z (126) d.

( )

₂ 1 1 f z = 2z (127) e.

( )

₂ 2 1 f z = 2z (128) f.

( )

₂ 3 1 f z = 2z (129) g.

( ) (

)

(

11

)

z + 1 f z = z - 1 (130) h.

( ) (

)

(

22

)

z + 1 f z = z - 1 (131) i.

( ) (

)

(

33

)

z + 1 f z = z - 1 (132) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (124) s/d (132) adalah

clc clear all close all % z1 = complex(2,5) z2 = complex(0,3) z3 = complex(-4,2) % soal a f_a = 3*z1^2 + z1 % soal b f_b = 3*z2^2 + z2 % soal c f_c = 3*z3^2 + z3 % soal d f_d = 1/2*z1^2 % soal e f_e = 1/2*z2^2 % soal f f_f = 1/2*z3^2 % soal g f_g = (z1 + 1)/(z1 - 1) % soal h f_h = (z2 + 1)/(z2 - 1) % soal i f_i = (z3 + 1)/(z3 - 1)

(20)

20 Hasil program z1 = 2.0000 + 5.0000i z2 = 0 + 3.0000i z3 = -4.0000 + 2.0000i f_a = -61.0000 +65.0000i f_b = -27.0000 + 3.0000i f_c = 32.0000 -46.0000i f_d = -10.5000 +10.0000i f_e = -4.5000 f_f = 6.0000 - 8.0000i f_g = 1.0769 - 0.3846i f_h = 0.8000 - 0.6000i f_i = 0.6552 - 0.1379i

a.

( )

2 1 1 f z = 3z + z = −61.0000 i65.0000+ (133) b. f z = 3z + z

( )

2₂ ₂ = −27.0000 i3.0000+ (134) c.

( )

2 3 3 f z = 3z + z =32.0000 i46.0000− (135) d.

( )

₂ 1 1 f z = 10.5000 i10.000 2z = − + (136) e.

( )

₂ 2 1 f z = 4.5000 2z = − (137) f.

( )

₂ 3 1 f z = 6.0000 i8.0000 2z = − (138) g.

( ) (

)

(

11

)

z + 1 f z = 1.0769 i0.3846 z - 1 = − (139) h.

( ) (

)

(

22

)

z + 1 f z = 0.8000 i0.6000 z - 1 = − (140)

(21)

21 i.

( ) (

)

(

33

)

z + 1 f z = 0.6552 i0.1379 z - 1 = − (141)

Contoh 11: Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai turunan pada persamaan

(142) s/d (145) berikut a.

( )

3 f z = 3z + 2z di z = 2i (142) b. f z =

( )

1₄ 2z di z = 1 + i (143) c.

( )

(

2

)

2 f z = z - i di z = i 2 (144) d. f z =

( ) (

z - i

)

2z di z = 2i (145) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (142) s/d (145) adalah

clc clear all close all % syms z % soal a f_a = 3*z^3 + 2*z f_a_1 = diff(f_a) f_a_2 = subs(f_a_1,-i) % soal b f_b = 1/(2*z^4) f_b_1 = diff(f_b) f_b_2 = subs(f_b_1,(i+1)) % soal c f_c = (z^2 - i)^2 f_c_1 = diff(f_c) f_c_2 = subs(f_c_1,(i/2)) % soal d f_d = ( z - i)/(2*z) f_d_1 = diff(f_d) f_d_2 = subs(f_d_1,2*i) Hasil program f_a = 3*z^3 + 2*z f_a_1 = 9*z^2 + 2 f_a_2 = -7 f_b =

(22)

22 1/(2*z^4) f_b_1 = -2/z^5 f_b_2 = 0.2500 - 0.2500i f_c = (z^2 - i)^2 f_c_1 = 4*z*(z^2 - i) f_c_2 = 2.0000 - 0.5000i f_d = (z - i)/(2*z) f_d_1 = 1/(2*z) - (z - i)/(2*z^2) f_d_2 = 0 - 0.1250i

a.

( )

3 f 2i = 3z + 2z = -7 (146) b. f 1 + i =

(

)

1₄ 0.2500 j0.2500 2z = − (147) c. i

(

2

)

2 f = z - i 2.0000 i0.5000 2   ₌ ₋     (148) d. f 2i =

( ) (

z - i

)

0.0000 i0.1250 2z = − (149)

Contoh 12 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan limit dari

persamaan-persamaan (150) s/d (153) berikut a.

( )

3 z 2i z 2i lim f z = lim 3z + 2z → → (150) b.

( )

₄ z 1 2i z 1 2i 1 lim f z = lim 2z → + → + (151) c.

( )

(

2

)

2 z 1 z 1 lim f z = lim z - i → → (152) d.

( )

(

)

z -1-4i z -1-4i z - i lim f z = lim 2z → → di z = 2i (153)

clc

clear all close all %

(23)

23 syms z % soal a f_a = 3*z^3 + 2*z zo_a = complex(0,2) f_a_1 = limit(f_a,zo_a) % soal b f_b = 1/(2*z^4) zo_b = complex(1,2) f_b_1 = limit(f_b,zo_b) % soal c f_c = (z^2 - i)^2 zo_c = complex(1,0) f_c_1 = limit(f_c,zo_c) % soal d f_d = ( z - i)/(2*z) zo_d = complex(-1,-4) f_d_1 = limit(f_d,zo_d) Hasil program f_a = 3*z^3 + 2*z zo_a = 0 + 2.0000i f_a_1 = (-20)*i f_b = 1/(2*z^4) zo_b = 1.0000 + 2.0000i f_b_1 = (12*i)/625 - 7/1250 f_c = (z^2 - i)^2 zo_c = 1 f_c_1 = (-2)*i f_d = (z - i)/(2*z)

(24)

24

zo_d =

-1.0000 - 4.0000i f_d_1 =

i/34 + 21/34

a.

( )

3

z 2i z 2i

lim f z = lim 3z + 2z = -20i

→ → (154) b.

( )

₄ z 1 2i z 1 2i 1 7 12 lim f z = lim i 2z 1250 625 → + → + − = + (155) c.

( )

(

2

)

2 z 1 z 1

lim f z = lim z - i -2i

→ → = (156) d.

( )

(

)

z -1-4i z -1-4i z - i 21 1 lim f z = lim i 2z 34 34 → → = + (157)

Contoh 7.13: Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi

pada persamaan (158) s/d (161) berikut a.

( )

3 + 2πi f z = e (158) b. f z = e

( )

-i (159) c.

( )

3 4i f z = e− − (160) d.

( )

3 4i f z = e− + (161) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (158) s/d (161) adalah

clc clear all close all % % soal a z_1 = complex(3,2*pi) f_a = exp(z_1) % soal b z_2 = complex(0,-1) f_b = exp(z_2) % soal c z_3 = complex(-3,-4) f_c = exp(z_3) % soal d z_4 = complex(-3,4) f_d = exp(z_4)

(25)

25 Hasil program z_1 = 3.0000 + 6.2832i f_a = 20.0855 - 0.0000i z_2 = 0 - 1.0000i f_b = 0.5403 - 0.8415i z_3 = -3.0000 - 4.0000i f_c = -0.0325 + 0.0377i z_4 = -3.0000 + 4.0000i f_d = -0.0325 - 0.0377i

Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (162) s/d (165) berikut a.

( )

3 + 2πi f z = e =20.0855 - i0.0000 (162) b. f z = e

( )

-i =0.5403 - i0.8415 (163) c.

( )

3 4i f z = e− − = −0.0325 i0.0377+ (164) d.

( )

3 4i f z = e− + = −0.0325 i0.0377− (165)

Contoh 14 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi pada persamaan (166) s/d (169) berikut a. f z = re e

( )

(

3 + 2πi

)

(166)

b. f z = re e

( )

-i (167)

c. f z = im e

( )

(

− −3 4i

)

(168)

d. f z = im e

( )

(

− +3 4i

)

(169) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (166) s/d (169) adalah

clc clear all close all % soal a z_1 = complex(3,2*pi); f_a_1 = real(exp(z_1)) % soal b

(26)

26 z_2 = complex(0,-1); f_b_2 = real(exp(z_2)) % soal c z_3 = complex(-3,-4); f_b_3 = imag(exp(z_3)) % soal d z_4 = complex(-3,4); f_b_4 = imag(exp(z_4)) Hasil program f_a_1 = 20.0855 f_b_2 = 0.5403 f_b_3 = 0.0377 f_b_4 = -0.0377

a. f z = re e

( )

(

3 + 2πi

)

=20.0855 (170)

b. f z = re e

( )

-i =0.5403 (171)

c. f z = im e

( )

(

− −3 4i

)

=0.0377 (172)

d. f z = im e

( )

(

− +3 4i

)

= −0.0377 (173)

Contoh 15 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi pada persamaan (174) s/d (177) berikut a. cos 3 + i4

(

)

(174)

b. cos 6 - i8

(

)

(175)

c. sin 2i

( )

(176)

d. sin

(

− −2 i3

)

clc clear all close all % soal a z_1 = complex(3,4); f_1 = cos(z_1)

(27)

27 % Soal b z_2 = complex(6,-8); f_2 = cos(z_2) % Soal c z_3 = complex(0,2); f_3 = cos(z_3) % Soal d z_4 = complex(-2,-3); f_4 = cos(z_4) Hasil program f_1 = -27.0349 - 3.8512i f_2 = 1.4311e+003 -4.1646e+002i f_3 = 3.7622 f_4 = -4.1896 - 9.1092i

a. cos 3 + i4

(

)

=-27.0349 - i3.8512 (178)

b. cos 6 - i8

(

)

=1431.10000 i416.4600− (179)

c. sin i2

( )

=3.7622 (180)

d. sin

(

− −2 i3

)

= −4.1896 i9.1092− (181)

Contoh 16 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi-fungsi pada persamaan (182) s/d (185) berikut a. cosh 3 + i4

(

)

(182)

b. cosh 6 - i8

(

)

(183)

c. sinh i2

( )

(184)

d. sinh

(

− −2 i3

)

clc

clear all close all % soal a

(28)

28 f_1 = cosh(z_1) % Soal b z_2 = complex(6,-8); f_2 = cosh(z_2) % Soal c z_3 = complex(0,2); f_3 = cosh(z_3) % Soal d z_4 = complex(-2,-3); f_4 = cosh(z_4) Hasil program f_1 = -6.5807 - 7.5816i f_2 = -2.9350e+001 -1.9957e+002i f_3 = -0.4161 f_4 = -3.7245 + 0.5118i

a. cosh 3 + i4

(

)

= −6.5807 i7.5816− (186)

b. cosh 6 - i8

(

)

= −29.3500 i199.5700− (187)

c. sinh 2i

( )

= −0.4161 (188)

d. sinh

(

− −2 i3

)

= −3.7245 i0.5118+ (189)

Contoh 17 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi pada persamaan (190) s/d (193) berikut a. ln 3 + i4

(

)

(190) b.

(

2

)

' ln z (191) c. ln 3 + i4 1 + i2

(

)(

)

(192) d.

(

)

(

)

6 + i2 ln 2 + i4 (193) Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (190) s/d (193) adalah

clc

clear all close all

(29)

29 % syms z % soal a z_1 = complex(3,4); f_1 = log(z_1) % Soal b z_2 = log(z^2); f_2 = diff(z_2) % Soal c z_3_a = complex(3,4); z_3_b = complex(1,2); f_3 = log(z_3_a) + log(z_3_b) % Soal d z_4_a = complex(6,2); z_4_b = complex(2,4); f_4 = log(z_4_a) - log(z_4_b) Hasil program f_1 = 1.6094 + 0.9273i f_2 = 2/z f_3 = 2.4142 + 2.0344i f_4 = 0.3466 - 0.7854i

a. ln 3 + i4

(

)

=1.6094 i0.9273+ (194) b.

(

2

)

' 2 ln z z = (195) c. ln 3 + i4 1 + i2

(

)(

)

=2.4142 + i2.0344 (196) d.

(

)

(

)

6 + i2 ln 0.3466 i0.7854 2 + i4 = − (197)