Jawaban Analisis Real 2.2

(1)

Latihan untuk Subbagian 2.2

1. Jika , dan . maka berlaku:

(a) | | √ (b) | | | |_{| |}

5. Jika dan , maka | | 6. Carilah semua yang memenuhi pertidaksamaan

(a) | | (b) | |

7. Carilah semua yang memenuhi persamaan | | | | 8. Carilah semua yang memenuhi pertidaksamaan

(a) | | | | (b) | | | | 9. Buatlah sketsa grafik persamaan | | | |

10. Carilah semua yang memenuhi pertidaksamaan | | | |

11. Carilah semua yang memenuhi pertidaksamaan | | dan sekaligus | | 12. Tentukan dan gambarlah sketsa himpunan pasangan berurutan di yang memenuhi:

(a) | | | | (b) | | | | (c) | | | | (d) | | | |

13. Tentukan dan gambarlah sketsa himpunan pasangan berurutan di yang memenuhi: (a) | | | | (b) | | | |

(c) | | | | (d) | | | |

14. Misalkan dan , dan . Tunjukkan bahwa dan merupakan lingkungan- dari , untuk suatu

15. Tunjukkan bahwa jika dan , maka terdapat lingkungan- dari dan dari sedemikian hingga

16. Tunjukkan bahwa jika , maka

(a) m { } | | dan min{ } | | (b) min{ } min{min{ } }

17. Tunjukkan jika m k “nil i teng h” d l h mid{ } min{m { } m { } m { }}

Pembahasan

1. (a) misalkan sebarang.

(b) Sekarang perhatikan untuk , kita tahu bahwa atau . Jika , maka . Sebagai akibatnya | | _{| |}

| |, selanjutnya kita peroleh | | | | | | | | | | _{| |} | |_{| |}

Q.E.D. 2. ( ) Anggap | | | | | |.

Kita peroleh | | | | | | | | | | | || |. Dan selanjutnya kita peroleh | |. Dan hal ini berarti | |.

Dari definisi nilai mutlak, kita tahu bahwa

(2)

atau dan , atau dan .

Perhatikan bahwa jika dan , maka | | | | | | | | | | | |. Kemudian, jika dan , kita tahu bahwa . Selanjutnya kita dapatkan | | | | | |. Dan terakhir, jika dan , kita tahu bahwa . Selanjutnya, kita peroleh | | | | | |.

Dari semua kemungkinan tersebut, kita dapat simpulkan bahwa | | | | | |

Q.E.D. 3. ( Anggap . Kita tahu bahwa dan . Selanjutnya perhatikan

Jika , maka . Hal ini berarti dan . Selanjutnya perhatikan bahwa | | | | | | ( ) . Akan tetapi hal ini tidak benar, mengingat bahwa dan sementara kita tahu bahwa | | . Jadi pengandaian tidak benar.

Kemudian jika , maka . Hal ini berarti dan . Selanjutnya perhatikan bahwa | | | | | | . Akan tetapi hal ini juga tidak benar karena , padahal kita tahu | | . Jadi pengandaian bahwa tidak benar.

Dari dua kemungkinan tersebut, kita tahu bahwa tidak benar bahwa atau . Sehingga haruslah .

Q.E.D. 4. Kita tahu bahwa berlaku | | jika dan hanya jika – .

Perhatikan bahwa jika – , maka dan jika , maka . Dan dua hal ini ekivalen dengan

Q.E.D. 5. Misalkan dan . Menurut sifat trikotomi bilangan real, kita tahu bahwa

atau atau .

Jika , maka . Sehingga kita peroleh | | . Kemudian karena , maka . Dan dua hal ini mengakibatkan | | .

Sekarang anggap . Selanjutnya kita peroleh . Dan hal ini mengakibatkan | | . Namun hal ini ekivalen dengan | | .

Terakhir, jika . Selanjutnya kita peroleh . dan sebagai akibatnya kita peroleh | | . namun hal ini juga ekivalen dengan | | .

Q.E.D. 6. (a) | | jika dan hanya jika . Selanjutnya kita peroleh bahwa

. Dan hal ini mengakibatkan

(b) | | jika dan hanya jika dan . Hal ini mengakibatkan dan . Karena untuk semua , maka selalu benar untuk semua . Selanjutnya tugas kita tinggal mencari yang memenuhi .

Kita tahu jika dan hanya jika | | . Dan hal ini berarti .

7. Terdapat tiga kemungkinan yang memenuhi | | | | , yakni untuk kasus (i) , (ii) dan (iii)

(i) Untuk , kita peroleh dan . selanjutnya, kita tahu bahwa | | | | dipenuhi oleh

(ii) Untuk , kita peroleh dan . Selanjutnya, hal ini tidak mungkin mengingat | | | | .

(iii) Untuk , kita peroleh dan . Selanjutnya, kita tahu bahwa | | | | dipenuhi oleh

Dari tiga kasus tersebut kita simpulkan bahwa | | | | dipenuhi oleh atau

(3)

mengakibatkan . Selanjutnya kita peroleh . Dan hal ini dipenuhi oleh .

(b) Kita tahu bahwa | | | | | | jika dan hanya jika . Dan hal ini ekivalen dengan atau dengan kata lain

9. Nilai-nilai akan sangat tergantung pada tiga selang berikut: (i) Selang

Untuk , selanjutnya kita peroleh | | | | (ii) Selang

Untuk , kita tahu bahwa dan . Selanjutnya, hal ini mengakibatkan | | | | ( )

(iii) Selang

Untuk , kita tahu bahwa . Dan hal ini mengakibatkan bahwa | | | | ( )

Dari ketiga kasus tersebut, kita bisa simpulkan bahwa grafik | | | | berupa: (i) Garis pada selang

(ii) Garis pada selang (iii) Garis pada selang

10. Terdapat tiga kemungkinan nilai-nilai yang memenuhi | | | | , yakni: (i) Untuk , kita tahu bahwa dan . Selanjutnya, kita dapat tuliskan

| | | | . Dan hal ini mengakibatkan atau ekivalen dengan

(ii) Untuk , kita tahu bahwa dan . Selanjutnya hal ini tidak mungkin mengingat | | | | ( )

(iii) Untuk , kita tahu bahwa dan . Dan hal ini berarti | | | | ( ) atau dengan kata lain . Dan hal ini mengakibatkan . Dan hal ini dipenuhi oleh

Dari tiga kemungkinan tersebut kita tahu bahwa | | | | memiliki solusi atau

11. (i) Perhatikan bahwa | | jika dan hanya jika . Dan hal ini ekivalen dengan . Dan hal ini berarti bahwa | | dipenuhi oleh . (ii) Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk , kita tahu bahwa . Dan hal ini

mengakibatkan | | . Dan hal ini ekivalen dengan .

Kemudian jika , kita tahu bahwa . Kemudian | | . Dan hal ini ekivalen dengan .

Dari semua kemungkinan yang ada kita simpulkan bahwa nilai yang memenuhi | | adalah atau . Dan hal ini ekivalen dengan

Dari (i) dan (ii), kita dapatkan nilai-nilai yang memenuhi | | sekaligus | | adalah

12. (a) Perhatikan bahwa jika , kita dapatkan | |. Dan hal ini berarti untuk dan untuk .

Kemudian, jika , kita dapatkan | | | |. Dan hal ini berarti untuk dan untuk .

(4)

Untuk dan , maka | | | | atau ekivalen dengan

Untuk dan , maka | | | | atau dengan ekivalen dengan

Untuk , maka | | | | atau ekivalen dengan

14. (i) Misal . Untuk sebarang dan .

Jika , pilih , sehingga kita peroleh . Jika , pilih , sehingga diperoleh .

Jika , pilih , sehingga diperoleh .

Secara umum, untuk setiap dan yang diberikan, pilih min { }, sedemikian hingga berlaku .

(ii) Dengan cara yang sama kita bisa tunjukkan bahwa untuk setiap dan yang diberikan kita bisa memilih m { }, sedemikian sehingga 15. Anggap , jika dipilih | |_{, maka}_{, karena jika seandainya ada}

Dari kedua kemungkinan tersebut, maka dapat disimpulkan jika , ada | | sedemikian hingga .

Q.E.D. 16. (a) Anggap , maka | | m { } dan

| | ( ) min { }. Kemudian, jika , maka kita peroleh | | m { } dan

| | ( ) min { }. terakhir, jika , maka | | m { } dan

| | min { }.

Q.E.D. (b) Anggap , kita tahu bahwa min{ } . Selanjutnya, jika , maka kita peroleh

min{ } min{ } min{ { } }. Dan jika , maka kita peroleh min{ } min{ } min{ { } }.

Sekarang, anggap , kita tahu bahwa min{ } . selanjutnya, jika , maka kita peroleh bahwa min{ } min{ } min{ { } }. Dan jika , maka kita peroleh min{ } min{ } min{ { } }.

(5)

Q.E.D. 17. Jika , maka mid{ } min{ } min{ { } { } { }}.

Jika , maka mid{ } min{ } min{ { } { } { }}. Jika , maka mid{ } min{ } min{ { } { } { }}. Jika , maka mid{ } min{ } min{ { } { } { }}. Jika , maka mid{ } min{ } min{ { } { } { }}. Jika , maka { } min{ } min{ { } { } { }}.

Q.E.D. Lampiran grafik. 3. 4. 9. |𝑥 𝑧| |𝑥 𝑦| |𝑦 𝑧| 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑥 𝑦 𝑏 |𝑎 𝑏| |𝑥 𝑦|

(6)

12.A.

12b

(7)

12d

(8)

13b

(9)