LEMBAR KERJA SISWA
LEMBAR KERJA SISWA
Kompetensi Inti: Kompetensi Inti:
3.1.
3.1. Mendeskripsikan berbagai bentuk ekspresi yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat.Mendeskripsikan berbagai bentuk ekspresi yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat. 3.2.
3.2. Mendeskripsikan persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untukMendeskripsikan persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan persamaan dan fungsi kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya.
menyelesaikan persamaan dan fungsi kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya. 3.3.
3.3. Menganalisis fungsi dan persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian masalah kontekstual.Menganalisis fungsi dan persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian masalah kontekstual. 3.4.
3.4. Menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematikaMenganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika ber
berupa upa funfungsgsi kui kuadradratat
Materi:
Materi:
A.
A. Persamaan KuadratPersamaan Kuadrat Bentuk Umum :
Bentuk Umum :
= 0
= 0; ,; ,,,
bilangan real danbilangan real danaa≠ 0.≠ 0.1.
1. Akar-akar Persamaan KuadratAkar-akar Persamaan Kuadrat a. a. FaktorisasiFaktorisasi
= 0
= 0
∙∙ =
=
Contoh: Contoh: Faktorkanlah Faktorkanlah55
77 2 =
2 = 00
−
−−
−
= 0= 0
1155 22 = = 00
= 1 =
= 1 =
b.b. Melengkapkan kuadrat sempurnaMelengkapkan kuadrat sempurna
= 0
= 0
Langkah-langkah: Langkah-langkah: 1)
1) Ubah bentukUbah bentuk
= 0
= 0
ke bentuk ke bentuk
=
=
2)2) Apabila a ≠ 1, bagilah kedua ruas persamaan dengan a seApabila a ≠ 1, bagilah kedua ruas persamaan dengan a se hingga diperolehhingga diperoleh
==
3)
3) Lengkapkan bentuk kuadrat dengan menambahkan kedua ruas denganLengkapkan bentuk kuadrat dengan menambahkan kedua ruas dengan
4)4) Tuliskan ruas kiri dari persamaan sebagai bentuk berikut:Tuliskan ruas kiri dari persamaan sebagai bentuk berikut:
± ±(( 22) =
) = (( 22))
5)
5) Lalu selesaikan!Lalu selesaikan! Contoh : Contoh : Faktorkanlah Faktorkanlah
55
77 2 =
2 = 00
=
=
= =
= =
−+
−+
= =
=
=
±
=
=
=
= 1
=
=
c. Rumus ABC
,
= ±√
2
4
Faktorkanlah5
7 2 = 0
,
= 7± 7
2.5
4.5.2
,
= 7±√ 4940
10
,
= 7±√ 9
10
,
= 7±3
10
Penyelesaian x =1 atau x = 2/5 2. Jenis-Jenis AkarBerdasarkan nilai deskriminan (
4
a) D > 0, maka memiliki kedua akar real (nyata)
- D = k2, maka kedua akarnya rasional, k adalah bilangan bulat. - D ≠ k2, maka kedua akarnya irasional, k adalah bilangan bulat. b) D = 0, memiliki kedua akar real dan kembar.
c) D < 0, memiliki akar imajiner (tidak nyata) Contoh Soal :
Tentukan nilai n agar
= 0
mempunyai dua akar real dan berbeda Jawab:
= 0, = 1, = , =
Syarat memiliki akar real dan berbeda D > 0
4 > 0
4.1. > 0
4 > 0
4 > 0
= 0 = 4
Latihan :
Dengan soal diatas tentukanlah
a. Jika persamaan tersebut memiliki akar real dan sama b. Jika persamaan tersebut memiliki akar imajiner 3. Jumlah dan hasil kali Akar- akar persamaan kuadrat
Jika persamaan
= 0;
memiliki akar-akar
, maka
=
−
∙
=
Bentuk homogen akar-akar persamaan kuadrat a)
=
2
∙
b)
=
3
∙
c)
= [
2
∙
]
2
∙
d)
=
5
∙
[
3
∙
]10
∙
e)
=
+
∙
f)
=
+
∙
−
∙
g)
=
√
h)
=
i)
=
4
∙
j)
=
∙
Contoh Soal:Jika
dan
merupakan akar-akar persamaan kuadrat3
6 2 = 0,
tentukan: a)
b)
Jawab:
=
−
=
−−
= 2
∙
=
=
a)
=
+
∙
=
/
= 3
b)
=
2
∙
= 44/3 = 22 3⁄
4. Pengembangan Jenis Akar-akar Persamaan kuadrata) Akar saling berkebalikan
=
Syarat : i. D > 0 ii.
∙
= 1
Syarat:
i. D > 0
ii.
= 0
iii.
∙
< 0
c) Kedua akar positif (
> 0
> 0
i. D ≥ 0ii.
≥ 0
iii.
∙
> 0
d) Kedua akar negatif
< 0
< 0
i. D ≥ 0ii.
< 0
iii.
∙
> 0
Contoh:1. Temukan batas nilai a agar persamaan kuadrat
(
a5
)
x2 4
ax(
a2
)
0
memilikiakar-akar positif Jawab:
Syarat Kedua akar positif i. D ≥ 0 ...≥ 0 ...(1) ii.
≥ 0
...≥ 0 ...(2) iii.
∙
> 0
...≥ 0 ...(3)Solusi dari 3 persamaan (i), (ii), dan (iii) merupakan irisan ketiga garis bilangan tersebut.
5. Menyusun Fungsi Kuadrat
a) Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya telah ditentukan
x
x1 x
x2 0 atau x2
x1
x2 x x1x2 0Contoh:
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 7 dan -3 Jawab:
= 7,
= 3
Cara I: 7 3 = 0
3 7 21 = 0
4 21 = 0
Cara II :
= 73 = 4
∙
= 7.3 = 21
∙
= 0
4 21 = 0
b) Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang lainnya.
∙ = 0
Contoh:
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat
4
2 3 = 0
, tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 +1 dan x2 + 1.Jawab:
4
2 3 = 0
=
−−
=
∙
=
−
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β Sehingga α = x1+1, β= x2 + 1.
=
1
1
=
2
=
2 =
∙ =
1
1
=
∙
1
=
−
1 =
Jadi persamaan kuadrat baru
52 34 = 0
4
10 3 = 0
Soal Latihan Persamaan Kuadrat
1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut a. 6n2 +13n -5 = 0
b. x2 + 3x = 6 + 9x – 4x2 c. 4(3x + 2) + 5x(x – 1) = 8x d. (y – 3)(4y – 1)= 6y(y – 2) + 13
2. Tentukan nilai p agar akar-akar persamaan px2 – (2p – 3)x + p + 6= 0 bernilai real dan berbeda! 3. Tentukan nilai k agar akar-akar persamaan (k – 2)x2 + (2k -2)x + k + 1 = 0 bernilai real dan
kembar!
4. Tentukan nilai m agar akar-akar persamaan (m+1)x2 – (m+4)x + 3 = 0 tidak real!
5. Tunjukkan bahwa persamaan x2 – (2p + 3)x + 3p = 0 mempunyai dua akar yang berbeda. 6. Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 3x2 – 10x – 3 = 0, maka tentukanlah
a. p2 + q2 b. p2 - q2 c. p2q + pq2
a. Akar saling berkebalikan b. Akar saling berlawanan c. Kedua akar positif d. Kedua akar negatif
8. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut a. 1/3 dan ¼
b.
√ 2 √ 3
c.
√ 8√ 7 √ 8√ 7
9. Persamaan kuadrat
6
12 = 0
mempunyai akar-akar x1 dan x2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x12 + x22 dan x12 - x22.10. Jika α +β = 3 dan α3+ β3= 7, tunjukkan bahwa α dan β merupakan akar-akar persamaan
9
27 20 = 0
B. Fungsi Kuadrat
1. MELUKIS PARABOLA
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) =
ax
2 bx
c
,a
0dan
a
,b
,c
R
.Kurvanya berupa Parabola.
Cara melukis sketsa Parabola, yaitu :
1. Tentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat a. Dengan sumbu X syarat y = 0
b. Dengan sumbu Y syarat x = 0
2. Tentukan Titik Puncak dengan rumus TP:
a ac b a b 4 4 , 2 23. Jika a > 0, maka parabola menghadap ke at as Jika a < 0, maka parabola menghadap ke bawah 4. Gunakan beberapa buah titik bantu jika perlu
5. Lukis kurvanya dengan menghubungkan titik-titik yang sudah diketahui
Contoh 1:
Lukis parabola berikut :
a. y x2 2x8 b. y 2 x2 x6
Jawab : a. y x2 2x8
- Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka : 8
2 0 x2 x
= …. ….
- Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka : y = … - Titik Puncak :
a ac b a b 4 4 , 2 2 = ….- Karena a = … , maka parabola menghadap ke … - Beberapa titik bantu :
x … … … …
y … … … …
- Gambar kurvanya :
b. y 2 x2 x6
- Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka : 6
2
0 x2 x
= …. ….
- Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka : y = … - Titik Puncak :
a ac b a b 4 4 , 2 2 = ….- Karena a = … , maka parabola menghadap ke … - Beberapa titik bantu :
x … … … …
- Gambar kurvanya :
LATIHAN SOAL
1. Tentukan koordinat titik puncaknya dari :
a. y x2 3x18 c. y 3x2 12
b. y x26x9 d. y 4 x2 12 x
2. Lukislah sketsa parabola berikut ini :
a. y 2 x2 7x6 e.
y
x
2 6x
7 b. y x2 10x25 f. y 4 x28x5 c. y 3 x2 12 x g. 2 2 8 x x y d. y 4x2 16 h. y 9x22. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat a) Keterbukaan
- a > 0, maka grafik terbuka keatas - a < 0, maka grafik terbuka kebawah b) Titik potong terhadap sumbu X
Kurva memotong sumbu X apabila y = 0 atau
= 0
. Tinjau dengan nilai Deskriminan- D > 0, grafik memotong sumbu X di dua titik berbeda - D = 0, grafik menyinggung sumbu X
- D < 0, grafik tidak memotong sumbu X c) Titik potong terhadap sumbu Y
Kurva memotong sumbu Y apabila x = 0 atau y =c, periksa nilai c. - c > 0, grafik memotong sumbu Y di atas titik O(0,0)
- c < 0, grafik memotong sumbu Y di bawah titik O(0,0)
Perhatikan gambar berikut :
Definit positif a >0 D <0 a > 0 a >0 D=0 D >0 Sb X a < 0 a < 0 D > 0 D = 0 a < 0 D < 0 Definit negatif Contoh Soal :
Carilah nilai atau batasan nilai k agar grafik fungsi kuadrat
=
2 2 5 1
, agar kurva parabola:1. menyinggung sumbu X 2. memotong sumbu X 3. tidak memotong sumbu X Jawab:
=
2 2 5 1
, a = 1, b = -(2k+2), c = 5k+1 1. Menyinggung sumbu X Syarat D =0
4 = 0
2 2
4.1.5 1 = 0
4
12 = 0
4 3 = 0
= 0 = 3
Jadi nilai k yang memenuhi adalah k = 0 atau k = 3 2. Memotong sumbu X
D ... 0
3. Tidak memotong sumbu X D ... 0
3. Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
a. Persamaan yang grafik fungsi kuadratnya melalui tiga titik A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ditentukan oleh
= =
Harus mencari nilai a, b, dan c de ngan cara mensubtitusi ketiga titik ke bentuk persamaannya. b. Persamaan kuadrat yang grafik fungsinya melalui sebuah titik tertentu A(x1,y1) dan berpuncak
di P(xP,yP) ditentukan oleh
= =
Titik tertentu A(x1,y1) berguna untuk mencari nilai a dengan cara mensubtitusi titik itu ke persamaannya.
c. Persamaan kuadrat yang grafik fungsinya memotong sumbu X di titik A(xA,0) dan B(xB,0), dan melalui sebuah titik lain, misalnya C(xC,yC).
= =
Nilai a didapatkan dengan mensubtitusikan pasangan-pasangan absis dan ordinat titik C. Contoh 1:
Tentukan fungsi kuadrat jika grafiknya diketahui
Jawab:
Grafik disamping memotong sumbu X di (1,0), dan (3,0) melalui (0,6), fungsi kuadratnya ditentukan oleh
=
= 1 3
Grafik tersebut melalui (0,6)
= 1 3
6 = 0103
6 = 3
2 =
Jadi persamaan grafik fungsi kuadrat yang dimaksudkan adalah
= 2 1 3
= 2
8 6
Contoh 2:
Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (1, 4) dan memiliki titik lain (-1,0) Jawab: Gunakan rumus
= =
= 14
Melalui titik (-1,0) = 14
… = … 14
… = ⋯
= ⋯
Jadi fungsi kuadratnya adalah .... Contoh 3:
Susunlah persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik A(0,4), B(1,2), C(2,4) Jawab:
Grafik itu melalui tiga titik yang berbeda sehingga persamaan fungsinya adalah
= =
a. Grafik melalui titik A(0,4)
=
… = ⋯ ⋯
... (1) b. Grafik melalui titik B(1,2)
=
… = ⋯ ⋯
... (2) c. Grafik melalui titik C(2,4)
… = ⋯ ⋯
... (3)
Carilah nilai a, b, dan c menggunakan subtitusi atau eliminasi dari persamaan (1), (2), dan (3) Sehingga nilai
a = b= c =
jadi grafik fungsi kuadrat adalah ....
4. MASALAH-MASALAH OPTIMUM
Jika suatu persoalan yang ada pada sehari-hari dapat dinyatakan dengan fungsi kuadrat, maka tentulah ada batas tertinggi atau terendahnya, karena kurvanya ber upa parabola. Maka nilai optimum (maksimum/minimum) dari persoalan tersebut dapat ditentukan dengan nilai y pada koordinat titik puncak, yaitu
a ac b 4 4 2
Contoh 1: Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimumnya !
Jawab : K = 2(p + l)
24 = 2(p + l) maka p + l = … sehingga p = … L = p.l
Substitusi p = … ke L = p.l, maka : L = …
= … merupakan fungsi kuadrat.
L maks = a ac b 4 4 2
= ….Contoh 2: Dua bilangan jumlahnya 10. Tentukan kedua bilangan itu, agar hasil kalinya maksimum
Jawab : Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x + y = … atau x = … Misal hasil kali x dan y dinyatakan dengan z, maka z = xy. Substitusi x = … ke z = xy sehingga :
z = …
= … merupakan fungsi kuadrat
z maks = a ac b 4 4 2
= …Soal-Soal Latihan Fungsi Kuadrat
1. Diberikan T(x) = mx +n. Jika T(1) = 8 dan T(2) =4, maka tentukan: a. Nilai m dan n
b. Rumus fungsinya c. Nilai T(3)
d. Pembuat nol T fungsi
2. Tentukan batasan nilai n agar grafik fungsi kuadrat
= 1
2 3 1
a. Selalu memotong sumbu X di dua titikb. Menyinggung sumbu X c. Tidak memotong sumbu X
3. Temukan interval nilai a agar grafik fungsi
= 1
2 4
selalu berada dibawah sumbu X untuk setiap ∈ .
4. Gambarlah grafik fungsi f yang ditentukan oleh
= 4
dengan domain{|3 ≤ ≤ 3, ∈ }
. Kemudian dari grafik tentukan: a. Persamaan sumbu simetri parabola tersebutb. Nilai maksimum /minimum fungsi f, c. Pembuat nol fungsi f,
d. Titik balik fungsi f e. Range fungsi f
5. Sebuah fungsi kuadrat f(x) = (x –a)2 + b mencapai nilai ekstrim 5 untuk x = 2. Tentukan nilai a adan b 6. Fungsi kuadrat dengan formula g(x) = ax2 + (a + 1)x – 5 mempunyai nilai ekstrim untuk x = 1.
Hitunglah: a. Nilai a
b. Nilai ekstrim grafik fungsi tersebut
7. Diberikan f(x) = ax2 – 2ax + a + 1 dan f(2) < 0. Hitunglah: a. Nilai ekstrim dan jenis ekstrim dari grafik t ersebut, b. Pembuat nol fungsi tersebut.
8. Tentukan nilai a agar x2 + 2x + a selalu bernilai positif!
9. Tentukan nilai t agar (t – 1)x2 + 2tx + t untuk semua nilai x yang tidak positif.
10.Tentukan batasan nilai n yang menyebabkan parabola y = (n – 2)x2 – 2nx + n + 6 seluruhnya berada dibawah sumbu X!
11.Tentukan rumus fungsi kuadrat untuk setiap sketsa grafik berikut
a.
c.
12. Tentukan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4)! 13. Persamaan parabola berpuncak di titik P(1,4) dan melalui (3, 0) adalah y = ax2 + bx + c, maka
tentukan nilai (a + b + c)!
14.Suatu persegi panjang kelilingnya 100 cm. Tentukan luas maksimumnya
15.Dua bilangan jumlahnya 16. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya maksimum 16.Dua bilangan selisihnya 6. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya minimum
17.Persamaan gerak bola yang dilempar ke atas yaitu S
(
t)
10
t 2 70
t . S(t) merupakan jarak yangditempuh setelah waktu t. S(t) dalam satuan meter dan t dalam satuan detik. Tentukan : a. tinggi maksimum yang dapat dicapai bola
b. saat bola mencapai tinggi maksimum c. saat bola mencapai tanah
18.Suatu kolam renang akan dikeringkan. Jika hubungan antara air di kolam dengan waktu adalah 2
80
1600
)
(
t t tV . V(t) yaitu isi air dalam kolam renang setiap waktunya (dm3) dan t yaitu
