BAB III MODEL TRINOMIAL. Model binomial merupakan pemodelan dinamika pergerakan harga saham

17  Download (0)

Full text

(1)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

BAB III

MODEL TRINOMIAL

3.1 Model Trinomial

Model binomial merupakan pemodelan dinamika pergerakan harga saham yang hanya mempunyai dua kemungkinan pergerakan harga saham, yaitu harga saham naik atau harga saham turun. Pada kenyataannya, harga saham di pasar bebas akan mengalami banyak kemungkinan pergerakan harga saham setiap waktu. Model trinomial merupakan perluasan dari model binomial. Model trinomial merupakan pemodelan dinamika pergerakan harga saham yang mempunyai tiga kemungkinan pergerakan harga saham, yaitu harga saham naik, harga saham turun atau harga saham bernilai tetap. Oleh karena itu, diharapkan model trinomial lebih fleksibel dalam memperkirakan pergerakan harga saham.

3.1.1 Model Trinomial Boyle

Model trinomial Boyle merupakan model trinomial pertama yang di bangun diperkenalkan oleh Phelim Boyle pada tahun 1986. Model trinomial Boyle merupakan perkembangan dari model binomial CRR. Pada model trinomial ini, Boyle mengasumsikan peluang kemungkinan pergerakan harga saham tetap sebesar 2/3 dan peluang kemungkinan harga saham naik ditambah peluang kemungkinan harga saham turun sebesar 1/3, asumsi ini diperoleh berdasarkan pengamatan atau informasi harga saham terdahulu.

(2)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

3.1.2 Model Trinomial Hull

Pada tahun 1988, Hull mengembangkan model trinomial lain. Menurut pengamatan yang dilakukan oleh Hull diperoleh suatu kesimpulan bahwa peluang kemungkinan pergerakan harga saham tetap sebesar ยฝ dan peluang kemungkinan harga saham naik ditambah peluang kemungkinan harga saham turun seberas ยฝ.

Dalam membangun model trinomial prosesnya hampir sama dengan model binomial. Pada model trinomial, setiap selang waktu ฮ”๐‘ก๐‘ก harga saham (๐‘†๐‘†๐‘›๐‘›) dapat mengalami kenaikan sebesar ๐‘ข๐‘ข, penurunan sebesar ๐‘‘๐‘‘ atau tetap sebesar ๐‘š๐‘š (๐‘š๐‘š = 1) dengan masing-masing probabilitas dari ๐‘ข๐‘ข, ๐‘‘๐‘‘, ๐‘š๐‘š yaitu sebesar ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข, ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘š๐‘š.

Gambar 3.1

Model Trinomial satu langkah dengan asumsi ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘+ ๐‘๐‘๐‘š๐‘š= 1 dan ๐‘ข๐‘ข. ๐‘‘๐‘‘ = 1.

Model trinomial merupakan model diskritisasi yaitu mengubah selang waktu [0, ๐‘‡๐‘‡] yang kontinu menjadi partisi waktu ๐‘‡๐‘‡ diskrit dengan selang waktu yang sama. Hal ini berarti membagi batas waktu interval [0, ๐‘‡๐‘‡] menjadi ๐‘€๐‘€ partisi dengan selang waktu ฮ”๐‘ก๐‘ก yang sama dari masing-masing partisi dimana banyaknya kemungkinan harga saham pada setiap partisi sebanyak 2๐‘€๐‘€ + 1.

(3)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

Gambar 3.2

Pohon trinomial pada saat expiry date

Apabila partisi semakin banyak maka ฮ”๐‘ก๐‘ก โ†’ 0 sehingga hasil pendekatan yang didapatkan akan semakin baik. Untuk memudahkan dalam memahami pembahasan selanjutnya maka didefinisikan beberapa notasi sebagai berikut : ๐‘€๐‘€ โˆถ ๐‘๐‘๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›๐‘›๐‘›๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›๐‘›๐‘›๐‘›๐‘›๐‘Ž๐‘Ž ๐‘๐‘๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘ก๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ

ฮ”๐‘ก๐‘ก =๐‘€๐‘€

๐‘ก๐‘ก ; ๐‘š๐‘š๐‘’๐‘’๐‘›๐‘›๐‘›๐‘›๐‘Ž๐‘Ž๐‘ก๐‘ก๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘›๐‘›๐‘ก๐‘ก๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘ก๐‘ก๐‘Ž๐‘Ž๐‘ก๐‘ก ๐‘ค๐‘ค๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›๐‘ก๐‘ก๐‘ข๐‘ข ๐‘ก๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ÿ= ๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก ๐‘š๐‘š๐‘’๐‘’๐‘›๐‘›๐‘›๐‘›๐‘Ž๐‘Ž๐‘ก๐‘ก๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› ๐‘ค๐‘ค๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›๐‘ก๐‘ก๐‘ข๐‘ข ๐‘›๐‘›๐‘’๐‘’ โˆ’ ๐‘Ÿ๐‘Ÿ; ๐‘Ÿ๐‘Ÿ = 1,2, โ€ฆ , ๐‘€๐‘€

๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ= ๐‘†๐‘†(๐‘ก๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ÿ) ๐‘š๐‘š๐‘’๐‘’๐‘›๐‘›๐‘›๐‘›๐‘Ž๐‘Ž๐‘ก๐‘ก๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› โ„Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘”๐‘”๐‘Ž๐‘Ž ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘Žโ„Ž๐‘Ž๐‘Ž๐‘š๐‘š ๐‘๐‘๐‘Ž๐‘Ž๐‘‘๐‘‘๐‘Ž๐‘Ž ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘›๐‘›๐‘ก๐‘ก๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘ก๐‘ก๐‘Ž๐‘Ž๐‘ก๐‘ก ๐‘ค๐‘ค๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›๐‘ก๐‘ก๐‘ข๐‘ข ๐‘›๐‘›๐‘’๐‘’ โˆ’ ๐‘Ÿ๐‘Ÿ

3.2 Penentuan Parameter Model Trinomial

Pada model trinomial terdapat lima parameter yang berpengaruh yaitu, ๐‘ข๐‘ข, ๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข, ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘š๐‘š. Untuk menentukan parameter-parameter tersebut dibutuhkan tiga asumsi, yaitu :

(A1) Ekspektasi model harga saham diskrit sama dengan ekspektasi harga saham model kontinu

(4)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

(A2) Variansi model harga saham diskrit sama dengan variansi model harga saham kontinu

(A3) ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘+ ๐‘๐‘๐‘š๐‘š= 1 dan ๐‘ข๐‘ข. ๐‘‘๐‘‘ = 1

Diketahui ekspektasi model harga saham diskrit adalah sebagai berikut : ๐ธ๐ธ(๐‘ฅ๐‘ฅ) = ๏ฟฝ ๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘“๐‘“(๐‘ฅ๐‘ฅ๐‘Ÿ๐‘Ÿ)

๐ธ๐ธ(๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐‘—๐‘—) = ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ+ ๐‘๐‘๐‘š๐‘š๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ (3.1) Berdasarkan asumsi (A1) maka dengan menggunakan persamaan (2.15) dan persamaan (3.1) diperoleh

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข + ๐‘๐‘๐‘š๐‘š+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก (3.2) Diketahui variansi harga saham diskrit adalah sebagai berikut :

๐‘‰๐‘‰๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ÿ(๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ+1) = ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข(๐‘ข๐‘ข๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ)2 + ๐‘๐‘๐‘š๐‘š๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ2+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘(๐‘‘๐‘‘๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ)2โˆ’ (๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข + ๐‘๐‘๐‘š๐‘š + ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘)๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ)2 (3.3) Substitusikan persamaan (3.2) ke dalam persamaan (3.3). Sehingga diperoleh ๐‘‰๐‘‰๐‘Ž๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ÿ(๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ+1) = ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข(๐‘ข๐‘ข๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ)2+ ๐‘๐‘๐‘š๐‘š๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ2+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘(๐‘‘๐‘‘๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ)2โˆ’ ๐‘’๐‘’2๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ2 (3.4) Berdasarkan asumsi (A2), dengan menggunakan persamaan (2.17) dan (3.4) maka diperoleh

๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ2๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ ๐‘’๐‘’2๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ2= ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข(๐‘ข๐‘ข๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ)2+ ๐‘๐‘๐‘š๐‘š๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ2+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘(๐‘‘๐‘‘๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ)2โˆ’ ๐‘’๐‘’2๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ2

๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ2๐‘’๐‘’(2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2)ฮ”๐‘ก๐‘ก = ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข(๐‘ข๐‘ข๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ)2+ ๐‘๐‘๐‘š๐‘š๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ2+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘(๐‘‘๐‘‘๐‘†๐‘†๐‘Ÿ๐‘Ÿ)2

๐‘’๐‘’(2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2)ฮ”๐‘ก๐‘ก= ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข2+ ๐‘๐‘๐‘š๐‘š+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘2 (3.5)

Setelah semua asumsi terpenuhi, maka parameter ๐‘ข๐‘ข, ๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข, ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘š๐‘š pada model trinomial Hull dan Boyle dapat ditentukan.

(5)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

3.2.1 Model Trinomial Hull

Pada model trinomial ini Hull mengasumsikan bahwa :

๐‘๐‘๐‘š๐‘š=23 (3.6)

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ =13 (3.7)

๐‘ข๐‘ข. ๐‘‘๐‘‘ = 1 (3.8)

dengan menggunakan persamaan (3.6) dan persamaan (3.7) maka persamaan (3.2) dapat dituliskan sebagai berikut :

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข + ๐‘๐‘๐‘š๐‘š+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข +2

3 + (1

3 โˆ’ ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข)๐‘‘๐‘‘ = ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข =๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก(๐‘ข๐‘ขโˆ’๐‘‘๐‘‘โˆ’13๐‘‘๐‘‘โˆ’) 23; (3.9) Kemudian berdasarkan persamaan (3.6) dan persamaan (3.7) maka persamaan (3.5) dapat dituliskan sebagai berikut :

๐‘’๐‘’(2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2)ฮ”๐‘ก๐‘ก= ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข2+ ๐‘๐‘๐‘š๐‘š+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘2 ๐‘’๐‘’(2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2)ฮ”๐‘ก๐‘ก = ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข2+2

3 +๏ฟฝ1

3 โˆ’ ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๏ฟฝ๐‘‘๐‘‘2

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข =๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’13๐‘‘๐‘‘

2โˆ’23

(๐‘ข๐‘ขโˆ’๐‘‘๐‘‘)2 (3.10)

dengan batasan 0 < ๐‘‘๐‘‘ < ๐‘ข๐‘ข. Karena ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข,๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘š๐‘š merupakan suatu probabilitas dari faktor kenaikan, faktor penurunan, dan faktor tetap maka nilai ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข,๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘š๐‘š akan berada di antara interval [0,1]. Selanjutnya dengan menyamakan persamaan (3.9) dan persamaan (3.10) sehingga diperoleh

๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ 13๐‘‘๐‘‘ โˆ’2

(๐‘ข๐‘ข โˆ’ ๐‘‘๐‘‘) 3=๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ 13๐‘‘๐‘‘2โˆ’ 23 (๐‘ข๐‘ข โˆ’ ๐‘‘๐‘‘)2

(6)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’1 3 ๐‘‘๐‘‘ โˆ’2

3๏ฟฝ (๐‘ข๐‘ข + ๐‘‘๐‘‘)= ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’1 3 ๐‘‘๐‘‘

2โˆ’2

3

๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก(๐‘ข๐‘ข + ๐‘‘๐‘‘)โˆ’13๐‘‘๐‘‘(๐‘ข๐‘ข + ๐‘‘๐‘‘)โˆ’23(๐‘ข๐‘ข + ๐‘‘๐‘‘)= ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’13๐‘‘๐‘‘2โˆ’23 (3.11) dengan menggunakan persamaan (3.8), diperoleh

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’2

3๏ฟฝ (๐‘ข๐‘ข + ๐‘‘๐‘‘)= ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’1 3

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’2

3๏ฟฝ ๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข +1

๐‘ข๐‘ข๏ฟฝ= ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’1 3

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’2

3๏ฟฝ ๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข2+ 1๏ฟฝ=๏ฟฝ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’1 3๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’23๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข2โˆ’๏ฟฝ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’13๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข +๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’23๏ฟฝ= 0 (3.12) membagi persamaan (3.12) dengan ๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’23๏ฟฝ, sehingga diperoleh

๐‘ข๐‘ข2โˆ’๏ฟฝ๐‘’๐‘’

๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’13๏ฟฝ

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’23๏ฟฝ ๐‘ข๐‘ข + 1 = 0 (3.13)

Misalkan 2๐›ฝ๐›ฝ =๏ฟฝ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’13๏ฟฝ

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’23๏ฟฝ , maka persamaan (3.13) menjadi persamaan kuadrat dalam bentuk ๐‘ข๐‘ข2โˆ’ 2๐›ฝ๐›ฝ๐‘ข๐‘ข + 1 = 0. Sehingga diperoleh akar-akar persamaannya yaitu ๐‘ข๐‘ข = ๐›ฝ๐›ฝ ยฑ ๏ฟฝ๐›ฝ๐›ฝ2โˆ’ 1. Karena diketahui ๐‘ข๐‘ข > 0 maka diperoleh

๐‘ข๐‘ข = ๐›ฝ๐›ฝ + ๏ฟฝ๐›ฝ๐›ฝ2โˆ’ 1

dengan melakukan pendekatan suku pertama deret taylor ๐‘’๐‘’๐‘ฅ๐‘ฅโ‰ˆ 1 + ๐‘ฅ๐‘ฅ maka di dapat nilai ๐›ฝ๐›ฝ yaitu

๐›ฝ๐›ฝ =1 2

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก โˆ’ 13๏ฟฝ

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก โˆ’ 23๏ฟฝ

(7)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

โ‰ˆ1 2 ๏ฟฝ

1 + (2๐‘Ÿ๐‘Ÿ + ๐œŽ๐œŽ2)ฮ”๐‘ก๐‘ก โˆ’ 13 1 + ๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก โˆ’ 23 ๏ฟฝ

= ๏ฟฝ

23 + (2๐‘Ÿ๐‘Ÿ + ๐œŽ๐œŽ2)ฮ”๐‘ก๐‘ก 23 + 2๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก

๏ฟฝ

=

23 ๏ฟฝ1 +3

2 ๏ฟฝ(2๐‘Ÿ๐‘Ÿ + ๐œŽ๐œŽ2)ฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ๏ฟฝ

23 (1 + 3๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก)

โ‰ˆ๐‘’๐‘’32๏ฟฝ๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ

๐‘’๐‘’3๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก

= ๐‘’๐‘’32๏ฟฝ๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝโˆ’3๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก

= ๐‘’๐‘’32๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก

kemudian substitusikan ๐›ฝ๐›ฝ = ๐‘’๐‘’32๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก ke dalam persamaan ๐‘ข๐‘ข = ๐›ฝ๐›ฝ + ๏ฟฝ๐›ฝ๐›ฝ2โˆ’ 1.

๐‘ข๐‘ข = ๐‘’๐‘’32๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก+ ๏ฟฝ(๐‘’๐‘’32๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก)2โˆ’ 1

= ๐‘’๐‘’32๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก+๏ฟฝ๐‘’๐‘’3๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ 1

โ‰ˆ ๏ฟฝ1 +3

2 ๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ + ๏ฟฝ1 + 3๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก โˆ’ 1

๐‘ข๐‘ข = 1 + โˆš3๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก +32๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก (3.14) dengan melakukan pendekatan dua suku pertama deret taylor yaitu ๐‘’๐‘’๐‘ฅ๐‘ฅโ‰ˆ 1 + ๐‘ฅ๐‘ฅ +

๐‘ฅ๐‘ฅ2

2 pada persamaan (3.14) sehingga diperoleh ๐‘ข๐‘ข = ๐‘’๐‘’๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘ก Berdasarkan persamaan (3.8) maka diperoleh

๐‘‘๐‘‘ = ๐‘’๐‘’โˆ’๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘ก

(8)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

Dengan melakukan pendekatan suku pertama deret taylor pada persamaan (3.9) sehingga diperoleh nilai ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข adalah sebagai berikut :

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข =๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ 13๐‘’๐‘’โˆ’๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ 23

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ ๐‘’๐‘’โˆ’๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ

โ‰ˆ (1 + ๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก) โˆ’ 13๏ฟฝ1 โˆ’ โˆš3๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก + 32๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ โˆ’ 23

๏ฟฝ1 + โˆš3๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก + 32๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ โˆ’ ๏ฟฝ1 โˆ’ โˆš3๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก + 32๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ

= ๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’ 12๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ฮ”๐‘ก๐‘ก + 13๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘ก 2๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘ก

= ๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’ 12๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ โˆšฮ”๐‘ก๐‘ก2

โˆš12๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก +1 6

= ๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’1

2 ๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝ ฮ”๐‘ก๐‘ก2 12๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก +

1 6

= ๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’1

2 ๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝ ฮ”๐‘ก๐‘ก 12๐œŽ๐œŽ2+1

6

dengan asumsi ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ =13 sehingga diperoleh nilai ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ yaitu ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ =1

3 โˆ’ ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข

๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ =1

3 โˆ’๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’1

2 ๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝ ฮ”๐‘ก๐‘ก 12๐œŽ๐œŽ2+1

6๏ฟฝ

๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ =1

6 โˆ’๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’1

2 ๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝ ฮ”๐‘ก๐‘ก 12๐œŽ๐œŽ2

(9)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

Dengan demikian, dapat disimpulkan untuk model trinomial menurut Hull dengan asumsi (3.7), (3.8), dan (3.9) maka diperoleh parameter ๐‘ข๐‘ข, ๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข, ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘š๐‘š

sebagai berikut

๐‘ข๐‘ข = ๐‘’๐‘’๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘ก ๐‘‘๐‘‘ = ๐‘’๐‘’โˆ’๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘ก ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข=๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’12๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝ12๐œŽ๐œŽฮ”๐‘ก๐‘ก2+16 ๐‘๐‘๐‘š๐‘š=23

๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ =16โˆ’๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’12๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝ12๐œŽ๐œŽฮ”๐‘ก๐‘ก2 (3.15)

3.2.2 Model Trinomial Boyle

Pada bagian ini, penulis akan menggunakan model trinomial Boyle dengan mengasumsikan

๐‘๐‘๐‘š๐‘š=12 (3.16)

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ =12 (3.17)

Proses penentuan parameter model trinomial Boyle sama dengan proses penentuan parameter pada model trinomial Hull.

Dengan menggunakan persamaan (3.16) dan (3.17) maka persamaan (3.2) dapat dituliskan sebagai berikut :

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข + ๐‘๐‘๐‘š๐‘š+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข +12+ (12โˆ’ ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข)๐‘‘๐‘‘ = ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข =๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก(๐‘ข๐‘ขโˆ’๐‘‘๐‘‘โˆ’12โˆ’)12๐‘‘๐‘‘ (3.18) Kemudian berdasarkan persamaan (3.16) dan persamaan (3.17) maka persamaan (3.5) dapat dituliskan sebagai berikut :

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข2+ ๐‘๐‘๐‘š๐‘š+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘2= ๐‘’๐‘’(2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2)ฮ”๐‘ก๐‘ก

(10)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ข๐‘ข2+12+ (12โˆ’ ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข)๐‘‘๐‘‘2= ๐‘’๐‘’(2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2)ฮ”๐‘ก๐‘ก

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข =๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2(๐‘ข๐‘ขโˆ’๐‘‘๐‘‘๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’)212๐‘‘๐‘‘2โˆ’12 (3.19) Selanjutnya dengan menyamakan persamaan (3.18) dan persamaan (3.19) sehingga diperoleh

๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ 12 โˆ’1

(๐‘ข๐‘ข โˆ’ ๐‘‘๐‘‘)2 ๐‘‘๐‘‘=๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ 12๐‘‘๐‘‘2โˆ’ 12 (๐‘ข๐‘ข โˆ’ ๐‘‘๐‘‘)2

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’1 2 ๐‘‘๐‘‘ โˆ’1

2๏ฟฝ (๐‘ข๐‘ข + ๐‘‘๐‘‘)= ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’1 2 ๐‘‘๐‘‘

2โˆ’1

2

๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก(๐‘ข๐‘ข + ๐‘‘๐‘‘)โˆ’12๐‘‘๐‘‘(๐‘ข๐‘ข + ๐‘‘๐‘‘)โˆ’12(๐‘ข๐‘ข + ๐‘‘๐‘‘)= ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’12๐‘‘๐‘‘2โˆ’12 (3.20) Karena ๐‘ข๐‘ข. ๐‘‘๐‘‘ = 1 maka diperoleh

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’1

2๏ฟฝ (๐‘ข๐‘ข + ๐‘‘๐‘‘)= ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’1

2๏ฟฝ ๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข +1

๐‘ข๐‘ข๏ฟฝ= ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’1

2๏ฟฝ ๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข2+ 1๏ฟฝ=๏ฟฝ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’12๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข2โˆ’๏ฟฝ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ๐‘ข๐‘ข +๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’12๏ฟฝ= 0 (3.21) Membagi persamaan (3.21) dengan ๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’12๏ฟฝ sehingga didapatkan

๐‘ข๐‘ข2โˆ’๏ฟฝ๐‘’๐‘’

๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’12๏ฟฝ ๐‘ข๐‘ข + 1 = 0 (3.22)

misalkan 2๐›ฝ๐›ฝ =๏ฟฝ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’12๏ฟฝ , maka persamaan (3.22) dapat menjadi persamaan kuadrat dalam bentuk ๐‘ข๐‘ข2โˆ’ 2๐›ฝ๐›ฝ๐‘ข๐‘ข + 1 = 0. Sehingga diperoleh akar-akar

(11)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

persamaannya yaitu ๐‘ข๐‘ข = ๐›ฝ๐›ฝ ยฑ ๏ฟฝ๐›ฝ๐›ฝ2โˆ’ 1. Karena diketahui 0 < ๐‘‘๐‘‘ < ๐‘ข๐‘ข sehingga diperoleh ๐‘ข๐‘ข yaitu

๐‘ข๐‘ข = ๐›ฝ๐›ฝ + ๏ฟฝ๐›ฝ๐›ฝ2โˆ’ 1

Dilakukan pendekatan suku pertama deret taylor ๐‘’๐‘’๐‘ฅ๐‘ฅโ‰ˆ 1 + ๐‘ฅ๐‘ฅ maka di dapat nilai ๐›ฝ๐›ฝ yaitu

๐›ฝ๐›ฝ =1 2

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก โˆ’ 12๏ฟฝ

โ‰ˆ1 2 ๏ฟฝ

1 + (2๐‘Ÿ๐‘Ÿ + ๐œŽ๐œŽ2)ฮ”๐‘ก๐‘ก 1 + ๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก โˆ’ 12 ๏ฟฝ

= ๏ฟฝ1 + (2๐‘Ÿ๐‘Ÿ + ๐œŽ๐œŽ2)ฮ”๐‘ก๐‘ก 1 + 2๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก ๏ฟฝ

โ‰ˆ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก ๐‘’๐‘’2๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก

= ๐‘’๐‘’๏ฟฝ2๐‘Ÿ๐‘Ÿ+๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’2๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก

= ๐‘’๐‘’๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก

kemudian substitusikan ๐›ฝ๐›ฝ = ๐‘’๐‘’๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก ke dalam persamaan ๐‘ข๐‘ข = ๐›ฝ๐›ฝ + ๏ฟฝ๐›ฝ๐›ฝ2โˆ’ 1 sehingga diperoleh nilai ๐‘ข๐‘ข.

๐‘ข๐‘ข = ๐‘’๐‘’๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก+ ๏ฟฝ(๐‘’๐‘’๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก)2โˆ’ 1

= ๐‘’๐‘’๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก+๏ฟฝ๐‘’๐‘’2๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ 1

โ‰ˆ (1 + ๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก) + ๏ฟฝ1 + 2๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก โˆ’ 1

= 1 + โˆš๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก + 2๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก (3.23)

(12)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

Dengan melakukan pendekatan dua suku pertama deret taylor yaitu ๐‘’๐‘’๐‘ฅ๐‘ฅโ‰ˆ 1 + ๐‘ฅ๐‘ฅ +

๐‘ฅ๐‘ฅ2

2 pada persamaan (3.23) sehingga didapatkan ๐‘ข๐‘ข = ๐‘’๐‘’๐œŽ๐œŽโˆš2ฮ”๐‘ก๐‘ก karena ๐‘ข๐‘ข. ๐‘‘๐‘‘ = 1 sehingga diperoleh

๐‘‘๐‘‘ = ๐‘’๐‘’โˆ’๐œŽ๐œŽโˆš2ฮ”๐‘ก๐‘ก

Dengan melakukan pendekatan suku pertama deret taylor pada persamaan (3.18) sehingga diperoleh nilai ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข adalah sebagai berikut :

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข =๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ 13๐‘’๐‘’โˆ’๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ 23

๏ฟฝ๐‘’๐‘’๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘กโˆ’ ๐‘’๐‘’โˆ’๐œŽ๐œŽโˆš3ฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ

โ‰ˆ (1 + ๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก) โˆ’ 12๏ฟฝ1 โˆ’ ๐œŽ๐œŽโˆš2ฮ”๐‘ก๐‘ก + ๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ

๏ฟฝ1 + ๐œŽ๐œŽโˆš2ฮ”๐‘ก๐‘ก + ๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ โˆ’ ๏ฟฝ1 โˆ’ โˆš2ฮ”๐‘ก๐‘ก + ๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก๏ฟฝ

= ๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’ 12๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ฮ”๐‘ก๐‘ก + 12๐œŽ๐œŽโˆš2ฮ”๐‘ก๐‘ก 2๐œŽ๐œŽโˆš2ฮ”๐‘ก๐‘ก

= ๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’ 12๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ โˆšฮ”๐‘ก๐‘ก2

โˆš8๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก +1 4

= ๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’1

2 ๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝ ฮ”๐‘ก๐‘ก2 8๐œŽ๐œŽ2ฮ”๐‘ก๐‘ก +

1 4

= ๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’1

2 ๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก 8๐œŽ๐œŽ2+1

4

Selanjutnya untuk memperoleh nilai ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ dengan asumsi ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘=12 diperoleh

๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข+ ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ =1 2

(13)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ =1 2 โˆ’ ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข

= 1

2 โˆ’ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’ 1

2 ๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝ ฮ”๐‘ก๐‘ก 8๐œŽ๐œŽ2 +1

4๏ฟฝ

= 1

4 โˆ’ ๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’ 1

2 ๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝฮ”๐‘ก๐‘ก 8๐œŽ๐œŽ2

Dengan demikian, dapat disimpulkan untuk model trinomial menurut Boyle dengan asumsi persamaan (3.16) dan persamaan (3.17) maka diperoleh parameter ๐‘ข๐‘ข, ๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข, ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘š๐‘š adalah

๐‘ข๐‘ข = ๐‘’๐‘’๐œŽ๐œŽโˆš2ฮ”๐‘ก๐‘ก ๐‘‘๐‘‘ = ๐‘’๐‘’โˆ’๐œŽ๐œŽโˆš2ฮ”๐‘ก๐‘ก ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข =๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’12๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝ8๐œŽ๐œŽฮ”๐‘ก๐‘ก2+14 ๐‘๐‘๐‘š๐‘š= 12

๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘ =14โˆ’๏ฟฝ๐‘Ÿ๐‘Ÿ โˆ’12๐œŽ๐œŽ2๏ฟฝ ๏ฟฝ8๐œŽ๐œŽฮ”๐‘ก๐‘ก2 (3.24)

3.3 Penentuan Harga Opsi Eropa Menggunakan Model Trinomial

Terdapat beberapa komponen yang penting dalam penentuan harga opsi, yaitu harga saham awal (๐‘†๐‘†0), strike price (๐พ๐พ), expiryd date (๐‘‡๐‘‡), selang waktu (ฮ”๐‘ก๐‘ก), volatility (๐œŽ๐œŽ), dan tingkat suku bunga (๐‘Ÿ๐‘Ÿ). Komponen tersebut harus dapat ditentukan di awal perjanjian sehingga diperoleh harga opsi pada waktu ๐‘ก๐‘ก = 0.

Dalam penentuan harga opsi untuk tipe Eropa dan tipe Amerika berbeda, opsi Amerika melibatkan nilai instrik namun untuk opsi Eropa tidak melibatkan nilai instrik.

(14)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

Algoritma yang perlu diperhatikan dalam penentuan harga opsi Eropa adalah :

1. ๐ผ๐ผ๐‘›๐‘›๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ก๐‘ก ( ๐พ๐พ, ๐‘‡๐‘‡, ๐‘Ÿ๐‘Ÿ, ๐‘€๐‘€, ๐œŽ๐œŽ, ๐‘†๐‘†0)

2. Menentukan parameter ๐‘ข๐‘ข, ๐‘‘๐‘‘, ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข, ๐‘๐‘๐‘š๐‘š, ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘

3. Menghitung harga saham pada saat waktu ๐‘ก๐‘ก = 0 sampai ๐‘ก๐‘ก = ๐‘‡๐‘‡ (expiry date).

4. Menghitung nilai payoff .

5. Menentukan harga opsi dengan menggunakan algoritma backward.

6. Algoritma backward bekerja mundur dengan menganggap ๐‘“๐‘“๐‘Ÿ๐‘Ÿ,๐‘€๐‘€= ๐ถ๐ถ๐‘Ÿ๐‘Ÿ,๐‘€๐‘€, ๐‘“๐‘“๐‘Ÿ๐‘Ÿ,๐‘€๐‘€= ๐‘ƒ๐‘ƒ๐‘Ÿ๐‘Ÿ,๐‘€๐‘€ hingga diperoleh hasil akhir yaitu ๐‘“๐‘“1,0.

3.3.1 Penentuan Harga Saham

Langkah pertama dalam penentuan harga opsi adalah penentuan harga saham. Harga saham dapat ditentukan dengan membangun pohon trinomial.

Semua titik simpul mengandung nilai harga saham yang diperoleh menggunakan persamaan di bawah ini.

๐‘†๐‘†๐‘—๐‘—๐‘Ÿ๐‘Ÿ= ๐‘†๐‘†0๐‘ข๐‘ข๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘‘๐‘‘๐‘—๐‘—โˆ’1; ๐‘Ÿ๐‘Ÿ = 0, 1, 2, โ€ฆ , ๐‘€๐‘€, ๐‘—๐‘— = 1,2, โ€ฆ , 2๐‘Ÿ๐‘Ÿ + 1 (3.25) ๐‘—๐‘— : indeks kemungkinan harga saham

๐‘Ÿ๐‘Ÿ : interval waktu

๐‘†๐‘†๐‘—๐‘—๐‘Ÿ๐‘Ÿ menyatakan kemungkinan harga saham ke-j pada interval waktu ke-i.

๐‘†๐‘†10= ๐‘†๐‘†0๐‘ข๐‘ข0๐‘‘๐‘‘0= ๐‘†๐‘†0 ๐‘†๐‘†11= ๐‘†๐‘†0๐‘ข๐‘ข1๐‘‘๐‘‘0= ๐‘†๐‘†0๐‘ข๐‘ข ๐‘†๐‘†21= ๐‘†๐‘†0๐‘ข๐‘ข1๐‘‘๐‘‘1= ๐‘†๐‘†0๐‘ข๐‘ข๐‘‘๐‘‘ = ๐‘†๐‘†0

(15)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

๐‘†๐‘†32= ๐‘†๐‘†0๐‘ข๐‘ข1๐‘‘๐‘‘2= ๐‘†๐‘†0๐‘ข๐‘ข๐‘‘๐‘‘๐‘‘๐‘‘ = ๐‘†๐‘†0๐‘‘๐‘‘

โ‹ฎ

๐‘†๐‘†2๐‘€๐‘€+1,๐‘€๐‘€= ๐‘†๐‘†0๐‘ข๐‘ข๐‘€๐‘€๐‘‘๐‘‘2๐‘€๐‘€= ๐‘†๐‘†0๐‘‘๐‘‘๐‘€๐‘€.

Pohon trinomial dalam penentuan harga opsi dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

Gambat 3.3

Pohon trinomial harga saham

3.3.2 Penentuan Nilai Payoff

Payoff merupakan keuntungan yang diperoleh dari transaksi. Di setiap titik

simpul memiliki nilai payoff. Dalam opsi Eropa, payoff yang digunakan hanya nilai payoff pada periode akhir saja karena holder dapat meng-exercise (merealisasikan haknya) opsinya pada saat expiry date. Pada opsi call Eropa, di akhir periode holder mengharapkan ๐‘†๐‘†(๐‘‡๐‘‡) > ๐พ๐พ karena akan memberikan

(16)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

keuntungan bagi holder sebesar ๐‘†๐‘†(๐‘‡๐‘‡) โˆ’ ๐พ๐พ . Sedangkan jika ๐‘†๐‘†(๐‘‡๐‘‡) < ๐พ๐พ holder cenderung mengambil keputusan untuk tidak meng-exercise opsinya, karena opsi tersebut tidak akan memberikan keuntungan bagi holder. Sehingga jika ๐‘†๐‘†(๐‘‡๐‘‡) < ๐พ๐พ nilai payoff-nya sama dengan nol.

Sebaliknya untuk opsi put, pada saat expiry date holder mengharapkan ๐‘†๐‘†(๐‘‡๐‘‡) < ๐พ๐พ karena akan memberikan keuntungan bagi holder sebesar ๐พ๐พ โˆ’ ๐‘†๐‘†(๐‘‡๐‘‡).

Jika ๐‘†๐‘†(๐‘‡๐‘‡) > ๐พ๐พ maka holder akan mengambil keputusan untuk tidak meng- exercise opsinya karena tidak akan memberikan keuntungan bagi holder artinya

nilai payoff yang diperoleh holder sama dengan nol. Sehingga diperoleh nilai payoff untuk semua kemungkinan harga saham adalah sebagai berikut :

โ€ข Opsi call

๐ถ๐ถ๐‘—๐‘—๐‘Ÿ๐‘Ÿ๏ฟฝ๐‘†๐‘†๐‘—๐‘—๐‘Ÿ๐‘Ÿ, ๐‘‡๐‘‡๏ฟฝ= maxโก(๐‘†๐‘†๐‘—๐‘—๐‘Ÿ๐‘Ÿโˆ’ ๐พ๐พ, 0) (3.26)

โ€ข Opsi put

๐‘ƒ๐‘ƒ๐‘—๐‘—๐‘Ÿ๐‘Ÿ๏ฟฝ๐‘†๐‘†๐‘—๐‘—๐‘Ÿ๐‘Ÿ, ๐‘‡๐‘‡๏ฟฝ= maxโก(๐พ๐พ โˆ’ ๐‘†๐‘†๐‘—๐‘—๐‘Ÿ๐‘Ÿ, 0) (3.27) dengan ๐‘Ÿ๐‘Ÿ = 0,1, โ€ฆ , ๐‘€๐‘€ dan ๐‘—๐‘— = 1,2, โ€ฆ ,2๐‘Ÿ๐‘Ÿ + 1.

๐‘ƒ๐‘ƒ โˆถ ๐‘๐‘๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘“๐‘“๐‘“๐‘“ opsi ๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘ก๐‘ก ๐ถ๐ถ โˆถ ๐‘๐‘๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘“๐‘“๐‘“๐‘“ opsi ๐‘๐‘๐‘Ž๐‘Ž๐‘ก๐‘ก๐‘ก๐‘ก ๐‘†๐‘† โˆถ harga saham ๐‘‡๐‘‡ โˆถ ๐‘ค๐‘ค๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘›๐‘ก๐‘ก๐‘ข๐‘ข ๐‘๐‘๐‘’๐‘’๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘ฆ๐‘ฆ๐‘‘๐‘‘๐‘’๐‘’ ๐พ๐พ โˆถ ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘ก๐‘ก๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘›๐‘›๐‘’๐‘’ ๐‘๐‘๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘Ÿ๐‘๐‘๐‘’๐‘’

(17)

Tammy Sulistiyarini, 2012 Penentuan Harga Opsi...

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

3.3.3 Algoritma Induksi Backward

Langkah terakhir yang perlu dilakukan adalah menentukan harga opsi pada saat ๐‘ก๐‘ก = 0 dengan menggunakan algoritma induksi backward. Proses penentuan harga opsi call Eropa sama dengan proses penentuan harga opsi put Eropa.

Penentuan harga opsi bekerja secara mundur (backward) dari periode ke-(๐‘€๐‘€-1) hingga periode ke-0, sedangkan nilai opsi untuk periode ke-๐‘€๐‘€ sama dengan nilai payoff-nya .

Sehingga rumus penentuan nilai opsi dapat didefinisikan sebagai berikut : ๐‘“๐‘“๐‘—๐‘—,๐‘Ÿ๐‘Ÿ = ๐‘’๐‘’โˆ’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก[๐‘๐‘๐‘ข๐‘ข๐‘“๐‘“๐‘—๐‘—+1,๐‘Ÿ๐‘Ÿ+1+ ๐‘๐‘๐‘š๐‘š๐‘“๐‘“๐‘—๐‘—+1,๐‘Ÿ๐‘Ÿ, ๐‘๐‘๐‘‘๐‘‘๐‘“๐‘“๐‘—๐‘—+1,๐‘Ÿ๐‘Ÿโˆ’1] (3.28) dengan ๐‘›๐‘› menyatakan batas interval dan ๐‘Ÿ๐‘Ÿ menyatakan tingkat harga saham.

Rumus pada persamaan (3.20) menyatakan bahwa harga opsi diiperoleh dengan menjumlahkan tiga kemungkinan nilai opsi (naik, tetap dan turun) pada periode berikutnya dan mengalikannya dengan ๐‘’๐‘’โˆ’๐‘Ÿ๐‘Ÿฮ”๐‘ก๐‘ก , hingga diperoleh nilai opsi pada saat ๐‘ก๐‘ก = 0.

Figure

Updating...

References

Related subjects :

Scan QR code by 1PDF app
for download now

Install 1PDF app in