BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Ekologi merupakan cabang ilmu dalam biologi yang mempelajari tentang hubungan makhluk hidup dengan habitatnya. Dalam ekologi, dikenal istilah rantai makanan. Rantai makanan merupakan lintasan konsumsi makanan yang terdiri dari beberapa spesies. Bagian paling sederhana dari rantai makanan berupa interaksi antara spesies mangsa(prey) dengan pemangsa (predator) [13].

Makhluk hidup di bumi ini sangat beraneka ragam, yang terdiri dari campuran populasi dari berbagai spesies yang hidup bersama atau disebut komunitas. Hal itu menunjukan pada hakikatnya makhluk hidup di bumi ini tidak dapat hidup sendiri secara normal, tetapi akan saling berinteraksi dengan berbagai spesies yang ada.

Banyak sistem interaksi yang berlangsung dalam ekosistem alami, salah satunya adalah sistem interaksi mangsa-pemangsa (prey-predator). Spesies pemangsa yang secara fisik ukurannya lebih besar dibandingkan dengan mangsa, sedangkan mangsa adalah spesies yang dimangsa yang ukurannya lebih kecil dari pada pemangsa [6]. Interaksi yang terjadi dapat berupa predasi (makan dimakan), kompetisi (persaingan) maupun simbiosis (persekutuan hidup).

Model mangsa pemangsa dapat dimanfaatkan pada Taman Nasional dimana mangsa dan pemangsa dapat hidup bersama. Mangsa yang harus dilestarikan dapat dilindungi dari pemangsa dengan menciptakan batasan atau tempat penampungan yang akan membagi habitat menjadi dua wilayah yaitu wilayah yang dilindungi dan wilayah bebas. Adapun yang dimaksud dengan wilayah yang dilindungi adalah dimana spesies pemangsa tidak diperbolehkan masuk kedalam wilayah tersebut, kemudian yang dimaksud dengan wilayah bebas adalah dimana ada percampuran dari spesies mangsa pemangsa pada wilayah tersebut.

2 Kemudian pada tulisan ini, akan dibahas suatu interaksi dari tiga spesies yang terdiri dari satu pemangsa dan dua spesies mangsa, adapun pemangsa berinteraksi dengan salah satu spesies mangsanya bersifat predasi kemudian spesies mangsa yang satunya hanya mengalami perpindahan dari wilayah yang dilindungi pada wilayah bebas dan begitu juga dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi.

Pada model ini juga terdapat dua kasus dimana kasus pertama adalah pemangsa sepenuhnya tergantung pada mangsa di wilayah yang dilindungi dan kasus kedua adalah pemangsa sebagian tergantung pada mangsa di wilayah yang dilindungi. Dan pada kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa akan dianalisis jenis kestabilan titik ekuilibriumnya. Dimana titik ekuilibrium tersebut akan menunjukan bahwa keadaan model pemangsa sebagian tergantung pada mangsa bersifat stabil, tidak stabil, saddel atau yang lainnya.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun pada latar belakang diatas, masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini sebagai berikut:

1. Bagaimana model matematika mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa?

2. Bagaimana menganalisis kestabilan titik ekuilibrium model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa?

3. Bagaimana teorema yang berkaitan dengan model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa?

4. Bagaimana simulasi model matematika mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa?

3

1.3 Batasan Masalah

Pada tugas akhir ini hanya menganalisis model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa. yang memiliki empat titik ekuilibrium kemudian membuat simulasi dari model tersebut.

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian

Adapun tujuan dalam tugas akhir ini sebagai berikut: 1. mengkaji model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi.

2. Menganalisis lebih dalam kestabilan titik ekuilibrium model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi.

3. Membahas teorema yang berkaitan dengan model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi.

4. Melakukan simulasi dengan menggunakan metode adams-Bashfort-Moulton terhadap model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi.

Adapun manfaat penelitian pada tugas akhir ini adalah memperkaya wawasan, khususnya model matematika pada bidang biologi yang berhubungan dengan populasi pada suatu wilayah dan semoga tugas akhir ini dapat memberi manfaat bagi matematikawan yang berkenan untuk membahas yang berhungan dengan model matematika.

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian pada tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Mempelajari dan mengkaji lebih dalam pada buku-buku yang berhubungan dengan tugas akhir ini diantaranya tentang pemodelan mangsa pemangsa, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial autonomous, sistem persamaan diferensial, titik ekuilibrium, matriks jacobi, nilai eigen dan vektor eigen, jenis kestabilan titik ekuilibrium, dan manifold.

4 2. Menganalisis model secara detail.

3. Membahas teorema dengan membuktikannya menggunakan metode Lyapunov. 4. Membuat simulasi dengan menggunakan metode Adams-Bashforth-Moulton

untuk model matematika mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.

5. Simulasinya menggunakan data acak (bukan data sekunder maupun primer).

1.6 Sistematika Penulisan

Adapun untuk mempermudah pembaca dalam penulisan tugas akhir ini maka penulis membaginya dalam lima bab yang akan dituliskan sebagai berikut:

BAB I: Merupakan bab pendahuluan yang menjelaskan tentang latar belakang

masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, metode penelitian, sistematika penulisan.

BAB II: Merupakan bab landasan teori yang akan dipaparkan pemodelan sistem

mangsa pemangsa, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial autonomous, sistem persamaan diferensial, matriks Jacobi, metode Lyapunov, nilai eigen dan vektor eigen, titik ekuilibrium, jenis kestabilan titik ekuilibrium, manifold, metode adam-bashfort-moulton.

BAB III: Pembahasan merupakan bab inti dari penulisan yang berisikan analisis

model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.

BAB IV: Bab ini merupakan simulasi model mangsa pemangsa di wilayah yang

dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.

BAB V : Penutup yang merupakan kesimpulan dari pembahasan dan dilengkapi

5

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Pemodelan Mangsa Pemangsa

Laju populasi mangsa dengan tidak adanya pemangsa tumbuh cepat mendekati eksponensial dan tak terbatas dalam bentuk sebagai berikut.

2.1 Dengan merupakan angka pertumbuhan dari mangsa. Laju populasi mangsa menjadi fungsi logistik karena sumber daya alam yang terbatas, yang kemudian dapat menulisnya sebagaimana persamaan logistik sebelumnya yaitu sebagai berikut.

1 2.2 Dengan merupakan carrying capacity. carrying capacity ini berhubungan erat dengan ketersediaan tanaman sebagai makanan mangsa. Kemudian akan ditunjukkan suatu persamaan dimana mangsa dan pemangsa akan saling berinteraksi yaitu sebagai berikut.

2.3 Dengan adalah laju penangkapan mangsa oleh pemangsa, dalam hal ini mangsa berinteraksi dengan pemangsa. Dari beberapa penjelasan diatas maka dapat dibentuk model dinamika pertumbuhan populasi mangsa adalah sebagai berikut.

1 2.4 Dengan , , 0

Pada persamaan diatas bersifat mnegurangi jumlah populasi mangsa. Karena dalam hubungannya mangsa akan berinteraksi dengan pemangsa. Akan tetapi sebaliknya pada model pertumbuhan pemangsa maka respon ini akan bersifat menambah jumlah pemangsa [8].

6

2.2 Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang terhadap peubah , persamaan ini dapat pula melibatkan itu sendiri.

Contoh sebagai berkut:

1. cos

2. 4 0

3.

Dari contoh 1 sampai 3 merupakan suatu persamaan diferensial biasa [9].

2.3 Persamaan Diferensial Autonomous

Pandang sistem persamaan diferensial berikut:

, ,

, , 2.5 " , ,

, , dan " adalah fungsi kontinu bernilai real dari , dan , dan mempunyai turunan parsial kontinu. Sistem persamaan diferensial (2.5) disebut sistem persamaan diferensial autonomous, karena secara eksplisit , , dan " tidak mengandung didalamnya [3].

7 2.4 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang membuat # buah persamaan diferensial, dengan # merupakan bilangan bulat positif lebih besar sama dengan 2. Antara persamaan diferensial yang lain saling keterkaitan dan konsisten. Bentuk umum dari suatu sistem # persamaan orde pertama mempunyai bentuk sebagai berikut. $ _% $ , $, &, … , ( & _% & , $, &, … , ( 26 * ( _% + , $, &, … , (

Dengan _$, _&, … , ₍ adalah variabel bebas dan adalah variabel terikat, sehingga

$ $ , & & , … , ( ( , dimana ,-._,/ merupakan turunan fungsi ₍ terhadap , dan %₊ adalah fungsi yang tergantung pada variabel _$, _&, … , ₍ dan [5].

2.5 Matriks Jacobi

Jika 0 1, 2 , dan 6 1, 2 terdiferensialkan dalam sebuah daerah, maka deteminan Jacobi, atau singkatnya Jacobi, 0 dan 6 terhadap 1 dan 2 adalah deterninan fungsional orde kedua yang didefinisikan sebagai berikut.

7 0, 6 7 1, 2 8 70 71 7072 76 71 7672 8 90₆: 0; : 6;9

8 7 0, 6, < 7 1, 2, = ₈ 8 70 71 7072 7=70 76 71 7672 7=76 7< 71 7<72 7<7= 8 8 >60:: 60;; 60?? <: <; <? > 2.7

Persamaan (2.7) dinamakan matriks Jacobi 0, 6, dan < dan 1, 2, dan = [15].

2.6 Metode Lyapunov

Jenis kestabilan titik ekuilibrium ditentukan dari nilai eigen matriks Jacobi. Selain mementukan nilai eigen dari matriks Jacobi ada metode lain untuk menentukan kestabilan titik ekuilibrium tersebut yaitu dengan memnggunakan metode lyapunov yaitu sebagai berikut.

Didefinisikan fungsi A , yang memenuhi:

AB , A , C , A , % , 2.8 Dengan C

,-,/ dan ,E

,/ . AB , dapat didefinisikan sebagai perubahan laju

rata-rata dari A dari sistem persamaan diferensial yang melalui titik , . Jika F , G adalah solusi dari sistem persamaan diferensial, maka[3].

AHF ,G I _{A H}

F , G I F A HF , G I G

A , C , A , % ,

9

Teorema 2.1

Misal E himpunan terbuka dari J# mempunyai titik ekuilibrium _K. Misalkan bahwa C adalah kontinu terdiferensilkan dan bahwa ada fungsi kontinu terdiferensialkan A , yang mana memenuhi kondisi berikut[12].

A K 0; A 0 jika M K .

1. Jika AB N 0 untuk semua OP, maka titik ekuilibrium dikatakan stabil. 2. Jika AB Q 0 untuk semua OP, maka titik ekuilibrium dikatakan stabil

asimtotik.

3. Jika AB 0 untuk semua OP, maka titik ekuilibrium dikatakan tidak stabil.

Teorema 2.2 [3].

Fungsi

A , R & _{S T} & _2.9

Persamaan (2.9) mempunyai definit positif jika dan hanya jika.

R 0 dan 4RT S& _{0 2.10}

Dan persamaan (2.9) mempunyai definit negatif jika dan hanya jika.

R Q 0 dan 4RT S& _{0. 2.11} Contoh 2.3

Akan diberi contoh dari suatu sistem diferensial yang akan diselesaikan dengan fungsi Lyapunov, sebagai berikut.

$B 2 & & V $V &B $ & V &V VB $ & VV

10 Dengan fungsi Lyapunov sebagai berikut.

A $& 2 && V&

Memenuhi A 0

AB 2 $ 2 & & V $V 4 & $ & V &V 2 V $ & VV

4 & $ 2 $ & V 2 $W 4 & $ 4 & V $ 4 &W 2 $ & V 2 VW

2 $W 4 &W 2 VW

2 $W 2 &W VW Q 0 2.12

Untuk M 0 oleh kareana itu persamaan (2.12) bersifat stabil asimtotik.

2.7 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Jika adalah matriks # X # maka vektor taknol didalam J# dinamakan vektor eigen dari jika adalah kelipatan skalar dari yakni,

Y

Untuk suatu skalar Y. Skalar Y dinamakan nilai eigen dari dan dikatakan vektor eigen yang bersesuian dengan Y.

Untuk mencari nilai eigen matriks yang berukuran # X # maka dapat menuliskan kembali Y sebagai beriku.

YZ

YZ YZ 0 2.13 Supaya Y menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan ini. jika adalah matriks # X #, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain ( dapat dibalik, 0 hanya mempunyai pemecahan trivial, ekivalen baris dengan [_#, S konsisten untuk tiap-tiap matriks S yang berukuran # X 1, det M 0, mempunayai rank #, vektor-vektor baris bebas linear, vektor-vektor kolom bebas linear), maka persamaan (2.13) akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika

11 \ YZ 0 2.14 Ini dinamakan persamaan karakteristik . skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari . Bila diperluas, maka determinan det YZ adalah polinom Y yang kita namakan polinom karakteristik dari [1].

2.8 Titik Ekuilibrium

Misalkan diberikan sistem dua dimensi, sebagai berikut.

$ _C

$ $, & & _C

& $, & 2.15

Diasumsikan bahwa C_$ dan C_& kontinu dan mempunyai turunan parsial terhadap

$ dan &. Titik ekuilibrium diperoleh jika sebagai berikut.

C$ $, & 0

C& $, & 0 2.16

Nilai _$ dan _& yang memenuhi persamaan (2.16) disebut titik ekuilibrium dari persamaan (2.15) [6].

2.9 Jenis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Diberikan suatu persamaan sistem diferensial sebagai berikut.

B R S

B T 2.17 Adapun untuk menganalisis suatu titik ekuilibrium dengan menggunakan matriks Jacobi kemudian dicari nilai eigen dari persamaan karakteristiknya, adapun untuk nilai eigen disimbolkan dengan Y₊ untuk _ 1, 2, 3, … #. kemudian dari persamaan (2.17) dimisalkan titik ekuilibriumnya (0.0). terdapat teorema kestabilan titik ekuilibrium sebagai beberikut [5].

12

Teorema 2.4

1. Titik ekuilibrium (0,0) dari persamaan (2.17) dikatakan stabil apabila nilai eigennya negatif Y₊ Q 0 .

2. Titik ekuilibrium (0,0) dari persamaan (2.17) dikatakan tidak stabil apabila nilai eigennya positif Y₊ 0 .

3. Titik ekuilibrium (0,0) dari persamaan (2.17) dikatakan saddel apabila berbeda tanda dari nilai eigennya Y_$ Q 0 dan Y_& 0 [11].

4. Penjumlahan dan perkalian dua buah Y dikatakan stabil apabila kedua Y nya bernilai negatif. Dengan demikian ketika penjumlahan (Y_$ Y_& Q 0, dan ketika perkalian (Y_$. Y_& 0 [7].

5. Penjumlahan dan perkalian dua buah Y dikatakan tidak stabil apabila kedua Y nya bernilai positif. Dengan demikian ketika penjumlahan (Y_$ Y_& 0, dan ketika perkalian (Y_$. Y_& 0 [7].

2.10 Manifold

Manifold tebagi dua bagian yaitu saddel manifold stabil dan saddel manifold tidak stabil, adapun untuk pengertian sebagai berikut [14].

1. Manifold stabil adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen negatif Y Q 0 .

2. Manifold tidak stabil adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen positif Y 0 .

13

Contoh 2.5

4 2

Penyelesaian

Menggunakan matriks jacobi

` 1 1_{4 2} Cari persamaan karakteristik

det ` YZ 0 1 Y_{4 2 Y}1 0 Persamaan karakteristiknya 1 Y 2 Y 4 0 Y& Y 6 0 Y 3 Y 2 0

Jadi diperoleh Y_$ 3 dan Y_& 2

Kemudian untuk mencari vektor eigen sebagai berikut. Untuk Y_$ 3

1 3 1

4 2 3 0

4 1

4 1 0

Ambil baris pertama yaitu sebagai berikut.

4 0

4

Misal a maka 4a jadi vektor eigen yang pertama adalah sebagai berikut.

14 Untuk Y_& 2

1 2 1

4 2 2 0

1 1_{4 4} 0

Ambil baris pertama yaitu sebagai berikut. 0

Misal a maka a jadi vektor eigen yang kedua adalah sebagai berikut.

A a_{a a 11}

Jadi setelah dijelaskan diatas maka akan didapat kesimpulan yaitu dimana Y_$ 3 yang bersesuaian dengan vektor eigennya yaitu 1

4 dan Y& 2 yang bersesuaian dengan 1

1 dimana akan menghasilkan grafik sebagai berikut.

15

2.11 Metode Adam-Bashfort-Moulton

Metode numerik untuk poersamaan diferensial peranannya sangat penting bagi rekayasawan, karena dalam prakteknnya sebagian besar persamaan diferensial tidak dapat diselesaikan secara analitik.

Adapun metode numerik terdapat dua bagian. Pertama, metode satu langkah (one step) yang termasuk metode satu langkah adalah metode euler, metode heun, metode deret taylor dan metode runge kutta. Kedua, metode banyak langkah (multi step) metode tersebut sedikit lebih sukar diprogramkan dengan komputer, tetapi mencapai ketelitian yang baik. Adapun yang termasuk metode banyak langkah adalah metode adams-bashfort-moulton, metode milne-simpson, dan metode hamming [10].

Pada tugas akhir ini similasinya menggunakan Metode adam-bashfort-moulton merupakan bagian dari metode banyak langkah (multi step). Pada metode adam-bashfort-moulton , perkiraan nilai _bc$ membutuhkan beberapa taksira nilai sebelumnya, _b , _bd$ , _bd& ,e, _bd( . Karena persamaaan diferensial biasa mempunyai satu nilai awal, yaitu _{0 0} , dengan demikian. Metode adam-bashfort-moulton tidak bisa diterapkan langsung, sebab metode tersebut memerlukan beberapa nilai awal. Inilah kelemahan metode adam-bashfort-moulton. Adapun untuk memperoleh beberapa nilai awal tersebut maka akan diketahui dari metode satu langkah (one step) yaitu dari metode euler, metode runge-kutta, atau metode deret taylor.

Metode adam-bashfort-moulton mempunyai predictor-corrector adapun yang dimaksud predictor adalah menaksir ₁ dari , ₁, ₂,e , _bd( sedangkan yang dimaksud corrector adalah memperbaiki nilai ₁ dari predictor.

Metode adam-bashfort-moulton orde 3 sebagai berikut.

Predictor: f _{1 12}g h23C 16C ₁ 5C ₂i Corrector: _{1 12}g h5C ₁ 18C C ₁i

16 Metode adam-bashfort-moulton orde 4 sebagai berikut.

Predictor: f _{1 24}g h 9C ₃ 37C ₂ 59C ₁ 55C i Corrector: _{1 24}g hC ₂ 5C ₁ 19C 9C ₁i

Suatu metode numerik memiliki orde #, dimana # adalah bilangan integer positif. secara umun, semakin besar ordenya maka metodenya menjadi semakin akurat [4].

Contoh 2.6

Berikut ini persamaaan diferensial biasa akan diselesaikan dengan metode adam -bashfort-moulton orde 3 dengan menggunakan pendekatan atau mengetahui beberapa nilai awal menggunakan metode euler, sebagai berikut.

dan 0 1 K 0 K 1 g 0,02 K 0 j K 1 $ 0,02 j $ K gC , 1 0,02 0 1 1,0200 & 0,04 j & $ gC , 1 0,02 0,02 1,0200 1,0408 CK 0 1 1 C$ 0,02 1,0200 1,0400 C& 0,04 1,0408 1,0808

17 Predictor: f_{3 12}g h23C 16C ₁ 5C ₂i 1,0408 0,02_{12 23 1,0808} 16 1,0400 5 1 1,0408 0,02_{12 24,8584 16,64 5} 1,0628 Untuk C_W 1,0628 0,06 1,1228 Corrector: _{3 12}g h5C ₁ 18C C ₁i 1,0408 0,02_{12 h5 1,1228} 18 1,0808 1,0400 i 1,0408 0,02_{12 5,614 19,4544 1,0400} 1,0808

18

BAB III

ANALISIS MODEL MANGSA PEMANGSA DI WILAYAH YANG

DILINDUNGI DENGAN KASUS PEMANGSA SEBAGIAN

TERGANTUNG PADA MANGSA

skripsi ini membahas tentang model matematika dalam bidang biologi yaitu makhluk hidup di bumi ini terdiri dari bermacam-macam spesies yang membentuk populasi dan hidup bersama. Makhluk hidup selalu bergantung kepada makhluk hidup yang lain pada suatu wilayah yang dilindungi. Tiap individu akan selalu berhubungan dengan individu lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu dalam satu populasi atau individu-individu dari populasi lain. Ada beberapa jenis hubungan yang dapat terjadi antar spesies. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi, yaitu hubungan antara mangsa (prey) dan pemangsa (predator) [6].

Adapun pada model mangsa pemangsa ini mempertimbangkan unsur-unsur yang berpengaruh terhadap spesies mangsa, spesies pemangsa ataupun pada wilayahnya. pada kasus pemangsa sebagian tergatung pada mangsa di wilayah yang dilindungi adalah sebagai berikut:

3.1 Unsur-Unsur yang Berpengaruh terhadap Model

Sebelum terbentuknya suatu model, ada beberapa unsur-unsur yang berpengaruh terhadap model tersebut. Dalam skripsi ini penulis membagi mangsa kedalam dua wilayah yaitu: kepadatan mangsa pada wilayah bebas yang disimbolkan dengan , kepadatan mangsa pada wilayah dilindungi yang disimbolkan , serta kepadatan spesies pemangsa pada waktu 0 yang disimbolkan .

19 Kepadatan spesies mangsa pada wilayah bebas

Mangsa pada wilayah bebas adalah mangsa dan pemangsa dapat bergerak bebas pada wilayah tersebut. Adapun yang mempengaruhi laju pertumbuhan kepadatan spesies mangsa pada wilayah bebas persatuan waktu adalah sebagai berikut :

1. Laju pertumbuhan rata-rata mangsa pada wilayah bebas. 2. Adanya carrying capacity.

3. Keluarnya spesies mangsa dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi. 4. Masuknya spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi pada wilayah bebas. 5. Menurunnya mangsa oleh pemangsa.

Dimana Laju pertumbuhan rata-rata dari pada wilayah bebas, adanya carrying capacity, keluar spesies mangsa dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi, masuknya spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi pada wilayah bebas, menurunnya mangsa oleh pemangsa adalah konstan.

Kepadatan spesies mangsa pada wilayah yang dilindungi

Mangsa pada wilayah yang dilindungi adalah dimana mangsa dan pemangsanya tidak dapat hidup bersama pada wilayah tersebut. Adapaun hal-hal yang dapat mempengaruhi laju pertumbuhan kepadatan spesies mangsa pada wilayah yang dilindungi adalah sebagai berikut :

1. Laju pertumbuhan rata-rata mangsa pada wilayah yang dilindungi. 2. Adanya carrying capacity.

3. Masuknya spesies mangsa dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi. 4. keluarnya spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi pada wilayah bebas.

20 kepadatan spesies pemangsa pada waktu 0

Adapaun hal-hal yang dapat mempengaruhi laju pertumbuhan kepadatan spesies pemangsa pada waktu 0 adalah sebagai berikut :

1. rata-rata pertumbuhan pemangsa. 2. kematian pemangsa.

3.2 Model Matematika Mangsa Pemangsa

Dinamika populasi mangsa pemangsa dapat dimodelkan sebagai berikut dengan mengasumsikan kepadatan spesies mangsa di wilayah bebas , kepadatan spesies mangsa di wilayah yang dilindungi , kepadatan spesies pemangsa (z). seperti yang terlihat pada gambar 3.1.

Gambar 3.1Dinamik Populasi Mangsa Pemangsa.

K

L

kl

km

nmop

21 Berdasarkan bagan di atas maka akan diperoleh model matematika mangsa pemangsa terstruktur dapat dinyatakan sebagai berikut:

1 _{1 q r$} r_{& $} 2 _{a 1 s r}1 r2 3.1

3 R 1 _{t 2} Dengan

Kepadatan spesies mangsa di wilayah bebas.

Kepadatan spesies mangsa di wilayah yang dilindungi. Kepadatan spesies pemangsa pada waktu 0.

r1 Angka perpindahan koefisien spesies mangsa dari wilayah bebas ke wilayah yang dilindungi.

r2 Angka perpindahan koefisien spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi ke wilayah bebas.

Koefisien laju pertumbuhan intrinsik spesies mangsa pada wilayah bebas. a Koefisien laju pertumbuhan intrinsik spesies mangsa pada wilayah yang

dilindungi.

q Carrying capacity dari spesies mangsa di wilayah bebas.

s Carrying capacity dari spesies mangsa di wilayah yang dilindungi. t Carrying capacity dari spesies pemangsa.

$ Angka penurunan spesies mangsa yang diakibatkan spesies pemangsa. 2 Tingkat pertumbuhan spesies pemangsa akibat interaksi dengan spesies

22

3.3 Titik Ekuilibrium

Untuk memcari titik ekuilibrium maka ada tahapan-tahapannya dan salah satu tahapannya yaitu dengan men-nol kan ruas kiri sistem (1), (2), (3) pada persamaan (3.1). Maka akan didapat persamaan sebagai berikut:

1 q r$ r& $ 0 3.5

a 1 s r$ r& 0 3.6

R 1 _t & 0 3.7

Adapun untuk memperoleh titik ekuilibrium ini diperoleh satu persatu kemudian ada yang disubstitusikan pada persamaan-persamaan yang berikutnya. Dengan tahapan-tahapan sebagai berikut:

R 1 _t & 0 R 1 _t & 0 Maka didapat 0 3.8 atau R 1 _tu & 0 2 R 1 _t 2 R _t R ₂ R_t thR ₂ i R htR t ₂ i R t R hR 2 i 3.9

23 Kemudian tahapan berikutnya menyederhanakan persamaan (3.6).

a 1 s r$ r& 0 a 1 s r& r$ 0 a 1 s r& r$ r$ a 1 s r& 3.10

Langkah selanjutnya substitusikan persamaan (3.8) dan persamaan (3.10) pada persamaan (3.5). 1 q r$ r& $ 0 1 q r$ r& r$ a 1 s r& $ 0 0 1 q r$ r& r$ a 1 s r& 0 v 1 q r$ r& r$ a 1 s r& w 0 Maka didapatkan 1 -x r$ r& yz { $d|_} dy~ 0 atau 0 3.11 Kemudian substitusikan persamaan (3.11) pada persamaan (3.9) dan persamaan (3.10). dengan tahapan sebagai berikut:

t R hR 2 i t R hR 2 0 i t R R t 3.12

24 kemudian r_$ a 1 s r& 3.10 r_$ 0 a 1 s r& 0 3.13 Jadi didapatkan titik ekuilibrium 0_K , , 0,0,0 dan 0_$ , , 0,0, t .

Langkah Selanjutnya untuk mencari titik ekuilibrium yang lainnnya yaitu mensubstitusikan persamaan (3.8) pada persamaan (3.5) dengan tahapan sebagai berikut: 1 q r$ r& $ 0 1 q r$ r& $ 0 0 2 q r$ r& 0 2 q r$ r& 2 qr& r$ r& 1 r&• 2 q r$ € • _r1 &• 2 q r$ € 3.14 Untuk mengetahui • positif maka akan menggunakan ketaksamaan sebagai berikut:

2

q r$ 0

25 1 ‚q r$ ƒ 01 q r$ 0 q r$ q r$ q r$ • q r$ 3.15

Jadi dari hasil (3.15), (3.14) dan (3.8) maka diperoleh titik ekuilibrium 0_& •, •, 0 . Adapun pada titik ekuilibrium 0_& ketika persamaan (3.14) disubstitusikan pada persamaan (3.6) maka akan menghasilkan suatu polinom yang pangkat tertingginya tiga dengan tahapan-tahapan sebagai berikut:

a 1 E_„ r$ r& 0 r$ r& a a & s r$ r&‚_r1 & • & q r$ €ƒ a ‚r1& • & q r$ €ƒ a … 1_r & † & q r$ ‡ˆ & s r$ r& ‚ & qr& r& r$ r& ƒ a ‚ & qr& r& r$ r& ƒ a …_qr& & r& r$ r& ˆ … & qr& r& r$ r& ˆ s r$ ‚r& & qr& r& r& r&r$ r& ƒ ‚ a & qr& a r& ar$ r& ƒ a & W q&_r&&s a & V qr&&s a r$ V qr&&s a & V qr&&s a & & r&&s a r$ & r&&s a r$ V qr&&s a r$ & r&&s ar$& & r&&s

26 r$ •r& & qr& r& r& r&r$ r& a & qr& a r& ar$ r& a & W q&_r&&s a & V qr&&s a r$ V qr&&s a & V qr&&s a & & r&&s a r$ & r&&s a r$ V qr&&s a r$ & r&&s ar$& & r&&s € 1 r$ r& & qr& r& r& r&r$ r& a & qr& a r& ar$ r& a & W q&_r&&s a & V qr&&s a r$ V qr&&s a & V qr&&s a & & r&&s a r$ & r&&s a r$ V qr&&s a r$ & r&&s ar$& & r&&s r$ r_qr& & r& r& r&r$ r& a qr& a r& ar$ r& a & V q&_r&&s a & & qr&&s a r$ & qr&&s a & & qr&&s a & r&&s a r$ r&&s a r$ & qr&&s a r$ r&&s ar$& r&&s 0 a 2 3 sq2r22 2 a 2 2 sqr22 2 a r 1 2 sqr22 a 2 sr22 2 a r 1 sr22 ar12 sr22 a qr2 r2 qr2 a r2 r2 r2 ar1 r2 r2r₁ r2 r1 0 a 2 3 sq2r22 2a r1 2 sqr22 a r1 2 sr₂2 a r_qr22 r1_r2a r2 r1

27 R V _S & _{T 0 3.16} Dengan R _sqa_&r& && S 2a_sqr r$ && T a _srr$ & && a r& qr& r$ a r& r& r$

Perhatikan bahwa persamaan (3.16) mempunyai solusi unik positif untuk f jika memenuhi pertidaksamaan sebagai berikut:

S R … 2a r$ sqr&& ˆ a & sq&_r&& 0 2a r$ sqr&& 0 3.17 T R a r$ &

sr_&& a r_qr& &

a & sq&_r&& 0 a r_$ & sr& a r_& q 0 a r$ & sr& a r& q 3.18 R … r$ a r& r& r$ˆ a & sq&_r&& 0

28 r$ a r& r& r$ 0 r_$ a r_& r& r$ r$ a r& r$r& r$ a r& Q r$r& 3.19

Selanjutnya mensubstitusikan persamaan (3.9) pada persamaan (3.5). Dengan tahapan-tahapanya sebagai berikut:

1 q r$ r& $ 0 1 q r$ r& r$ $ & q r& r$ $ & q r& r$ $ & _{r& q} q r$ $ & _r & q r$ $ q & _{r& q r$ q $ q q} r2 q r1 q ₁ q q 2 r$ q $ q q & r&q r$ q $ q …Rt _R & tˆ q & r&q r$ q … $ qRt $ &_{q &t} R ˆ q & r_&q

29 r$ qR $ qRt $ &q &t qR &R

R r&q

r$ qR $ qRt $ &q &t qR &R

r&qR

1 r&•

r$ qR $ qRt $ &q &t qR &R

qR €

1 r&•

&_{R $} &_{q &t qR r$ qR $ qRt}

qR €

1 r&•

&_{R $} &_{q &t}

qR qR r$ qR $ qRt qR € 1 r&• &_R qR $ &_q &t qR qR r$ qR $ qRt qR € 1 r&• & q $ & _&t R r$ $ t€ 1 r&†…q $ &t R ˆ & r$ $t ‡ f 1 r2•‚q 1 2t R ƒ 2 r1 1t € 3.20

Untuk mengetahui f positif maka akan menggunakan pertidaksamaan sebagai berikut: ‚q 1 2R ƒt 2 h r1 1ti 0 ‰‚q 1 2R ƒt h r1 1tiŠ 0 1 ‰‚q 1 2R ƒt h r1 1tiŠ 01 ‚q 1 2R ƒt h r1 1ti h r1 1ti h r1 1ti

30 ‚q 1 2R ƒt h r1 1ti 3.21

Kemudian dari persamaan (3.21) akan didapatkan f adapun tahapannya sebagai berikut: ‚q 1 2R ƒt h r1 1ti h r1 ₁ti ‚q 1 2R ƒt h r1 ₁tiqR h R _{1 2}tqi f h r1 1tiqR h R _{1 2}tqi 3.22 Jadi dari hasil persamaan (3.22), (3.20) dan (3.9) maka diperoleh titik ekuilibrium 0f f, f, f .

Selanjutnya substitusikan persamaan (3.20) pada persamaan (3.6) akan tetapi persamaan (3.6) akan disederhankan dengan cara perpindahan ruas kiri pada ruas kanan dengan tahapan-tahapan sebagai berikut:

a 1 s r$ r& 0

r1 r2 a 1 s

r1 r2 a a 2

s 3.23 Setelah terbentuknya suatu persamaan (3.23) maka akan disubstitusikan persamaan (3.20) pada persamaan (3.23) dengan tahapan sebagai berikut:

31 r$ r&_r1 &‰…q $ &t R ˆ & r$ $t Š a …_r1 &†…q $ &t R ˆ & r$ $t ‡ˆ a … 1_r &†…q $ & t R ˆ & r$ $t ‡ˆ & s r1 r2 2 qr2 1 2tr2 2 r2R r2 r2 r2r₁ r2 r_{2 1}t r2 a 2 qr2 a _{1 2}t 2 Rr2 a r2 ar1 r2 a ₁t r2 a & 4

q&_r&&_s a 1 2t 4 qsRr&& a & V qr&&s a r1 V qr&&s a t ₁ V qr&&s a _{1 2}t 4 qsRr&& a ₁& ₂&t2 4 sR&_r & & a 1 2t V sRr&& a _{1 2}tr1 V sRr&& a ₁& ₂t2 V sRr&& a & V sqr&& a _{1 2}t V sRr&& a & & sr&& r1a & sr&& 1ta & sr&& r1a V qsr&& 1 2tr1a V sr&&R r1a & sr&& r1&a & sr&& 1r1ta & sr&&

a ₁&t& &

sr&& a ₁r1t & sr&& a ₁t & sr&& a ₁& ₂t& V sr&& a ₁t V qsr&&

32 r1 ‹ r2 2 qr2 1 2tr2 2 r2R r2 r2 r2r1 r2 r_{2 1}t r2 a 2 qr2 a _{1 2}t 2 Rr2 a r2 ar1 r2 a ₁t r2 a & 4

q&_r&&_s a 1 2t 4 qsRr&& a & V qr&&s a r1 V qr&&s a t ₁ V qr&&s a _{1 2}t 4 qsRr&& a ₁& ₂&t2 4

sR&_r&& a 1 2t V sRr&& a _{1 2}tr1 V sRr&& a ₁& ₂t2 V sRr&& a & V sqr&& a _{1 2}t V sRr&& a & & sr&& r1a & sr&& 1ta & sr&& r1a V qsr&& 1 2tr1a V sr&&R r1a & sr&& r1&a & sr&& 1r1ta & sr&&

a ₁&t& &

sr&& a ₁r1t & sr&& a ₁t & sr&& a ₁& ₂t& V sr&& a ₁t V qsr&& € 1 r1 r2 2 qr2 1 2tr2 2 r2R r2 r2 r2r₁ r2 r_{2 1}t r2 a 2 qr2 a _{1 2}t 2 Rr2 a r2 ar1 r2 a ₁t r2 a & 4 q&_r & &_s a 1 2t 4 qsRr&& a & V qr&&s a r1 V qr&&s a t ₁ V qr&&s a _{1 2}t 4 qsRr&& a ₁& ₂&t2 4

sR&_r&& a 1 2t V sRr&& a _{1 2}tr1 V sRr&& a ₁& ₂t2 V sRr&& a & V sqr&& a _{1 2}t V sRr&& a & & sr&& r1a & sr&& 1ta & sr&& r1a V qsr&& 1 2tr1a V sr&&R r1a & sr&& r1&a & sr&& 1r1ta & sr&&

a ₁&t& &

sr&& a ₁r1t & sr&& a ₁t & sr&& a ₁& ₂t& V sr&& a ₁t V qsr&&

33 r1 _qrr2 2 1 2tr2 r2R r2 r2 r2r1 r2 r_{2 1}t r2 a qr2 a _{1 2}t Rr2 a r2 ar1 r2 a ₁t r2 a & V

q&_r&&_s a 1 2t V qsRr&& a & & qr&&s a r1 & qr&&s a t ₁ & qr&&s a _{1 2}t 3 qsRr&& a ₁& ₂&t2 3

sR&_r&& a 1 2t & sRr&& a _{1 2}tr1 & sRr&& a ₁& ₂t2 & sRr&& a & & sqr&& a _{1 2}t & sRr&& a & sr&& r1a sr&& 1ta sr&& r1a & qsr&& 1 2tr1a & sr&&R r1a sr&& r1&a sr&& 1r1ta sr&& a ₁&t& sr&& a ₁r1t sr&& a ₁t sr&&

a ₁& ₂t& &

sr&&

a ₁t &

qsr&&

r1 a & V

q&_r&&_s a 1 2t V

sRr&&

a _{1 2}t 3

qsRr&&

a ₁& ₂&t2 3

sR&_r&& a r1 & qr&&s a t ₁ & qr&&s a & & qr&&s a _{1 2}t & sRr&& a _{1 2}tr1 & sRr&& a ₁& ₂t2 & sRr&& a & & sqr&& a _{1 2}t & sRr&& r1a & qsr&& 1 2tr1a & sr&&R

a ₁& ₂t& &

sr&& a ₁t & qsr&& r2 qr2 1 2tr2 r2R a qr2 a _{1 2}t Rr2 a & sr&& r1a sr&& 1ta sr&& r1a sr&& r1&a sr&& 1r1ta sr&& a ₁r1t sr&& a ₁&t& sr&& a ₁t sr&& r2 r2 r2r₁ r2 r_{2 1}t r2 a r2 ar1 r2 a ₁t r2 r1 _sra & &‚q 1 2_{R ƒ}t & V 2a sr&&‚q 1 2t R ƒ h r1 1ti & •_sra & &h r1 1ti& a _r2r2 ‚q 1 2_{R ƒ€}t a r2 r2 h r1 1ti

34 0 _sra & &‚q 1 2_{R ƒ}t & V 2a sr&&‚q 1 2t R ƒ h r1 1ti & •_sra & &h r1 1ti& a _r2r2 ‚q 1 2_{R ƒ€}t a r2 r2 h r1 1ti r1

Maka didapat persamaan polinom yang pangkat tertingginya tiga. Sebagai berikut: R V _S & _{T 0 3.24} dengan R _sra & &‚q 1 2_{R ƒ}t & S _sr2a & &‚q 1 2_{R ƒ h}t r1 1ti T _sra & &h r1 1ti& a _r2r2 ‚q 1 2_{R ƒ}t a r2 r2 h r1 1ti r1

perhatikan bahwa persamaan (3.24) mempunyai akar real positif yaitu f jika memenuhi kondisi berikut:

S R

Œ •

Ž sr2a_&&…q $ &_{R ˆ}t r$ $t

a

sr_&&…q $ &_{R ˆ}t & • • ‘ 0 2a

sr_&&…q $ &_{R ˆ}t r$ $t 0

35 T

R a

sr_&& r$ $t & a r_r&r$& …q $ &_{R ˆ}t

a

sr_&&…q $ &_{R ˆ}t

& 0

a

sr_&& r$ $t & a r_r & & …q $ &t R ˆ 0 a r& r&r$ …q $ &t

R ˆ sra_&& r$ $t &

sr& a r& …q $ &_{R ˆ}t a r$ $t &

sr_& a r_{& …q} $ &_{R ˆ Q a}t r_{$ $}t & _3.26

R

Œ •

Ža rr& & r$ $t r$

a

sr_&&…q $ &_{R ˆ}t & • • ‘ 0 a r& r& r$ $t r$ 0 a r& r& r$ $t r$ a r& r$ $t r$r& a r& r$ $t Q r$r& 3.27

36

3.4 Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Pada analisis titik ekuilibrium model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa dengan menggunakan beberapa syarat adapun untuk salah satu syarat tersebut adalah r_$ 0 dan a r_& 0, titik ekuilibrium yang dianalisis yaitu 0K, 0$, 0&, dan 0f. Adapun tahapan-tahapan untuk analisis kestabilan titik ekuilibrium sebagai berikut:

3.4.1 Titik Ekuilibrium ’_“ “, “, “

Pelinearan menggunakan matriks jacobi. Karena sesuai dengan persamaan (3.1) maka akan menggunakan matriks jacobi yang berordo 3 X 3 kemudian matriks jacobi akan disimbolkan dengan .

Persamaan (3.1) beserta penyederhanaannya.

2 q r1 r2 ₁ a a_s2 r1 r2 R R_t2 ₂ Œ • • • • • Ž7₇ 7₇ 7₇ 7 … ˆ 7 7 … ˆ 7 7 … ˆ 7 7 7 7 7 7 7 • • • • • • ‘

37 Œ • • Ž 2 q r$ $ r& $ r$ a 2a_s r& 0 & 0 R 2R_t & _• • • ‘ 3.28

kemudian substitusikan 0_K 0,0,0 pada persamaan (3.28). maka akan diperoleh sebagai berikut:

K,K,K ‰

r$ r& 0

r$ a r& 0

0 0 RŠ 3.29 Setelah mendapatkan (3.29) maka akan dicari persamaan karakteristik dengan tahapan sebagai berikut:

det YZ 0 ‰ r$r$ a rr& & 00 0 0 RŠ Y ‰ 1 0 0 0 1 0 0 0 1Š 0 ‰ r$r$ a rr& & 00 0 0 RŠ ‰ Y 0 0 0 Y 0 0 0 YŠ 0 ‰ rr$$ Y a rr&& Y 00 0 0 R YŠ 0 3.30 Maka dari persamaan (3.30) akan diperoleh persamaan karakteristik, begitu juga dari persamaan karakteristik akan diperoleh suatu nilai eigen, dengan tahapan sebagai berikut:

r$ Y a r& Y R Y r$r& R Y 0

38 Pada persamaan (3.31) sudah terlihat bahwa terdapat satu nilai eigen yaitu Y_$ R, kemudian nilai eigen yang berikutnya akan diperoleh dari suatu polinom yang pangkat tertingginya dua, dengan tahapan sebagai berikut:

h r$ Yih a r& Yi r$r& 0

r$ a r& r$ Y a r& Y Y& r$r& 0

Y& _{a r& Y r$ Y r$ a r& r$r& 0 3.32}

Setelah memperoleh persamaan (3.32) maka akan dicek kestabilan titik ekuilibrium dengan menggunakan syarat yang sudah ditentukan adapaun syarat tersebut dapat ditulis kembali yaitu r_$ a r_& Q r_$ , r_$ 0 dan a r_& 0 maka akan diperoleh suatu kestabilan apakah titik ekuilibrium tersebut stabil, tidak stabil, atau saddel. Dengan tahapan sebagai berikut:

Y& YV h r$ a r& i

r$ a r& 0 3.33

Y&. YV r$ a r& r$r& Q 0

r$ a r& r$r& 0 3.34

Dapat dilihat pada persamaan (3.33) ketika penjumlahan dua buah Y bertanda positif, begitu juga pada persamaan (3.34) ketika perkalian dua buah Y bertanda positif. Oleh karena itu dapat ditulis bahwa (Y_$, Y_&, Y_V 0 , dan apabila semua Y-nya bernilai positif maka dapat disimpulkan bahwa 0_K 0, 0, 0 tidak stabil.

3.4.2 Titik Ekuilibrium ’_m “, “, ”

Adapun untuk analisis kestabilan titik ekuilibrium 0_$ tahapan-tahapannya sama seperti 0_K. Yaitu dengan pelinearan menggunakan matriks jacobi berordo 3 X 3 disimbolkan dengan yang disesuaikan dengan persamaan (3.1) dan dapat diperhatikan pada tahapan sebagai berikut:

39 Persamaan (3.1) beserta penyederhanaannya.

1 q r1 r2 _{1 q}& r$ r& $ a 1 s r1 r2 a a_s& r$ r& R _{1 t 2} R R_t& _& Œ • • • • • Ž7₇ 7₇ 7₇ 7 … ˆ 7 7 … ˆ 7 7 … ˆ 7 7 7 7 7 7 7 • • • • • • ‘ Œ • • Ž 2 q r$ $ r& $ r$ a 2a_s r& 0 & 0 R 2R_t & _• • • ‘ 3.35

kemudian substitusikan 0_$ 0,0, t pada persamaan (3.35). maka akan diperoleh matriks sebagai berikut:

K,K,• ‰

r$ $t r& 0

r$ a r& 0

0 0 RŠ 3.36 Setelah mendapatkan (3.36) maka akan dicari persamaan karakteristik dengan tahapan sebagai berikut:

40 \ YZ 0 ‰ r$r$ $t a rr& & 00 0 0 RŠ Y ‰ 1 0 0 0 1 0 0 0 1Š 0 ‰ r$_r$ $t _{a r}r& _& 0₀ 0 0 RŠ ‰ Y 0 0 0 Y 0 0 0 YŠ 0 ‰ r$ r$$t Y a rr&& Y 00 0 0 R YŠ 0 3.37 Maka dari persamaan (3.37) akan diperoleh persamaan karakteristik, begitu juga dari persamaan karakteristik akan diperoleh suatu nilai eigen, dengan tahapan sebagai berikut:

h r$ $t Yih a r& Yi R Y r$r& R Y 0

R Y –h r_{$ $}t Yih a r_& Yi r_$r_&— 0 3.38 Pada persamaan (3.38) sudah terlihat bahwa terdapat satu nilai eigen yaitu Y_$ R, kemudian nilai eigen yang berikutnya akan diperoleh dari suatu polinom yang pangkat tertingginya dua, dengan tahapan sebagai berikut:

h r_{$ $}t Yih a r_& Yi r_$r_& 0 r$ $t a r& r$ $t Y a r& Y Y& r$r& 0

Y& _{a r}

& Y r$ $t Y r$ $t a r& r$r& 0 3.39

Setelah memperoleh persamaan (3.39) maka akan dicek kestabilan titik ekuilibrium dengan menggunakan syarat-syarat yang sudah ditentukan yaitu sebagai berikut r_{$ $}t 0, a r_& r_{$ $}t Q r_$r_&, r_$ 0 dan a r& 0 maka akan diperoleh suatu kestabilan apakah titik ekuilibrium tersebut

41 Y& YV h a r& r$ $t i

a r& r$ $t 0 3.40

Y& . YV r$ $t a r& r$r& Q 0

r$ $t a r& r$r& 0 3.41

Dapat dilihat pada persamaan (3.40) ketika penjumlahan dua buah Y bertanda positif, begitu juga pada persamaan (3.41) ketika perkalian dua buah Y bertanda positif. Oleh karena itu dapat ditulis bahwa (Y_$ Q 0 dan Y_&, Y_V 0 jadi dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium 0_$ 0, 0, t saddel akan tetapi pada titik ekuilibrium 0_$ juga menggunakan definisi manifold. Menurut definisi manifold bahwa ada manifold stabil 1-dimensi pada sumbu dapat dilihat dari persamaan (3.37) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai negatif yang terdapat pada sumbu , dan terdapat manifold tidak stabil 2-dimensi pada sumbu begitu juga dapat dilihat dari persamaan (3.37) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai positif yang terdapat pada sumbu _.

3.4.3 Titik Ekuilibrium ’_l o˜, ™,˜ “

Adapun untuk analisis kestabilan titik ekuilibrium 0_& tahapan-tahapannya sama seperti 0_Kdan 0_$ . Yaitu dengan pelinearan menggunakan matriks jacobi berordo 3 X 3 disimbolkan dengan yang disesuaikan dengan persamaan (3.1) dan dapat diperhatikan pada tahapan sebagai berikut:

42 Persamaan (3.1) beserta penyederhanaannya.

1 q r1 r2 _{1 q}& r$ r& $ a 1 s r1 r2 a a_s& r$ r& R _{1 t 2} R R_t& & Œ • • • • • Ž7₇ 7₇ 7₇ 7 … ˆ 7 7 … ˆ 7 7 … ˆ 7 7 7 7 7 7 7 • • • • • • ‘ Œ • • Ž 2 q r$ $ r& $ r$ a 2a_s r& 0 & 0 R 2R_t & _• • • ‘ 3.42

kemudian substitusikan 0_& •, ,˜ 0 pada persamaan (3.42). maka akan diperoleh matriks sebagai berikut:

43 -•,E,˜K Œ • Ž r$ 2 • q r& $• r$ a r& 2a •_s 0 0 0 R &•• • ‘ 3.43

Setelah mendapatkan (3.43) maka akan dicari persamaan karakteristik dengan tahapan sebagai berikut:

\ YZ 0 Œ • Ž r$ 2 • q r& $• r$ a r& 2a •_s 0 0 0 R &•• • ‘ Y ‰1 0 00 1 0 0 0 1Š 0 Œ • Ž r$ 2 • q r& $• r$ a r& 2a •_s 0 0 0 R &•• • ‘ ‰Y 0 00 Y 0 0 0 YŠ 0 Œ • Ž r$ 2 • q Y r& $• r$ a r& 2a •_s Y 0 0 0 R &• Y• • ‘ _{0 3.44}

Maka dari persamaan (3.44) akan diperoleh persamaan karakteristik, begitu juga dari persamaan karakteristik akan diperoleh suatu nilai eigen, dengan tahapan sebagai berikut:

… r$ 2 •_q Yˆ …a r& 2a •_s Yˆ R &• Y r$r& R &• Y 0

R &• Y †… r$ 2 •_q Yˆ …a r& 2a •_s Yˆ r$r&‡ 0 3.45

Pada persamaan (3.45) sudah terlihat bahwa terdapat satu nilai eigen yaitu Y$ R &• kemudian nilai eigen yang berikutnya akan diperoleh dari suatu

44 … r$ 2 •_q Yˆ …a r& 2a •_s Yˆ r$r& 0

a

r₁ 2 a

•

s Y r1a r1r2 2r₁a

•

s r1Y 2a

•

q 2r₂

•

q 4a

••

qs 2

•

q Y Ya Yr2 2a

•

s Y Y2 r1r2 0 3.46 Setelah memperoleh persamaan (3.46) maka akan dicek kestabilan titik ekuilibrium dengan menggunakan syarat-syarat yang sudah ditentukan yaitu sebagai berikut a r_& r_$ Q r_$r_&, r_$ Q 0 dan a r_& Q 0 maka akan diperoleh suatu kestabilan apakah titik ekuilibrium tersebut stabil, tidak stabil, atau saddel. Dengan tahapan sebagai berikut:

Y& YV …2a •_s r& a 2 •_q r$ ˆ 2a

•

s r2 a 2

•

q r1 a r₂ r₁ 2a

•

s 2

•

q Q 0 3.47 Y&. YV

a

r$ 2 a •_s r$a r$r& 2r_s$a • 2a •_q 2r_q& • 4a • •_qs r$r&

r$ a r& r$r& 2 a •_s 2r_s$a • 2a •_q 2r_q& • 4a • •_qs

r$ a r& r$r& 2a •_s r$ 2 •_{q a r}& 4a • •_qs 0 3.48

Dapat dilihat pada persamaan (3.47) ketika penjumlahan dua buah Y bertanda negatif, begitu juga pada persamaan (3.48) ketika perkalian dua buah Y bertanda negatif. Oleh karena itu dapat ditulis bahwa (Y_$ 0 dan Y_&, Y_V Q 0 jadi dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium 0_& •, ,˜ 0 saddel akan tetapi pada titik ekuilibrium 0_& juga menggunakan definisi manifold . Menurut definisi manifold bahwa ada manifold tidak stabil 1-dimensi pada sumbu dapat dilihat dari persamaan (3.44) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai positif yang terdapat pada sumbu , dan terdapat manifold stabil 2-dimensi pada sumbu begitu juga dapat

45 dilihat dari persamaan (3.44) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai negatif yang terdapat pada sumbu _.

3.4.4 Untuk Ekuilibrium ’f of, ™f, pf

Pada sub bab ini akan membahas tentang titik ekuilibrium 0f f, f, f dimana pada titik ekuilibrium ’f ini mencari jenis kestabilannya berbeda dengan sub bab yang sebelumnya. Pada tiik ekuilibrium ini akan dicari menggunakan metode Lyapunov.

Teorema 3.1. Titik ekuilibrium 0f f, f, f adalah stabil asimtotik.

Untuk mengetahui ’f bersifat stabil asimtotik maka akan dicari menggunakan metode Lyapunov. Untuk lebih jelas akan dipaparkan dengan pembuktian sebagai berikut.

Bukti

Misal f , f š, f › 3.49) Dan akan diberikan fungsi Lyapunov sebagai berikut.

A 1₂ & _T

$1_{2 š}& T&1_{2 ›}& 3.50

Dimana T_$ dan T_& konstan positif, adapun untuk mengetahui turunan dari fungsi Lyapunov tersebut negatif maka akan ditunjukan sebagai berikut.

Hal pertama yang harus dilakukan pada pembuktian ini adalah dengan menurunkan persamaan (3.49), kemudian setelah mendapatkan turunan dari persamaan (3.49) maka akan dikalikan dengan persamaan sistem (3.1). Dengan tahapan-tahapan sebagai berikut.

46 AB T$š T&› 3.51

‚ _q& r$ r& $ ƒ T$š ‚a a &

s r$ r& ƒ

T&› R 1 _t & 3.52

Kemudian substitusikan persamaan (3.49) pada persamaan (3.52) dengan tahapan sebagai berikut. ‰ f f & q r$ f r& f š $ f f › Š T$š ‰a f š a f _š & s r$ f r& f š Š T2› ‰R f › ‚1 f _› t ƒ 2 f f › Š

‚ f & f& 2 f & V

q r$ f r$ & r& f r&š

$ f f $ f› $ & f $ &›ˆ ‚a f_T $š aT$š& a f&_T $š 2a fT$š& ašV s r$ fT$š

r$ T$š r& fT$š r&T$š&ˆ

‚R f_T

&› RT&›& R

f&_{T&› 2R} f_T&›& _R›V

t & f fT&›

& fT&›& & f T&› & T&›&ˆ 3.53

Dari persamaan (3.53) maka akan didapatkan suatu persamaan yang memenuhi kriteria kestabilan Lyapunov. Dimana syarat fungsi Lyapunov itu dikatakan stabil asimtotik apabila memenuhi teorema 1 dan teorema 2 yang berada

47 pada bab dua yang sudah dipaparkan sebelumnya. Adapun untuk turunan fungsi Lyapunov dapat dilihat pada persamaan berikut.

AB … 2_qf r$ $ fˆ & T$…a 2a f

s r&ˆ š& š r& T$r$ › T& & f $ f (3.54)

Pada teorema ini diasumsikan bahwa T_& œz-f

œ~-f dan T$ y_y~_z. Teorema 2.2 yang

berada pada bab dua yang akan memenuhi bahwaAB Q 0 (definit negatif) jika dan hanya jika R Q 0 dan 4RT S& 0 apabila terpenuhi maka dikatakan stabil asimtotik menurut teorema 2.1 pada bab dua. Untuk lebih jelasnya maka dapat dilihat dengan tahapan-tahapan sebagai berikut.

R r$ 2 f q $ f Q 0 4RT S& _{4‰ r$} 2 f q $ fŠ …a 2a f s r&ˆ r& T$r$ 4 ‚ r1 2 f q 1 fƒ ‚a r2 2a f s ƒ …r2 rr&$r1ˆ 4 ‚ r1 2 f q 1 fƒ ‚a 2a f s r2ƒ hr22i Jadi syarat yang harus dipenuhi agar 0f bersifat stabil asimtotik yaitu.

(i) r_$ Q 0

(ii)4 r₁ 2_qf ₁ f a 2a_sf r₂ hr₂2i

Setelah terpenuhi bahwa AB Q 0 (definit negatif) maka titik ekuilibrium 0f f_, f_, f _{bersifat stabil asimtotik •}

48

BAB IV

SIMULASI MODEL PEMANGSA SEBAGIAN TERGANTUNG

PADA MANGSA

Pada bagian ini akan dibahas tentang simulasi model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa, kemudian simulasi model mangsa pemangsa ini akan menggunakan metode adam bashfort moulton dan untuk parameter terhadap model tersebut menggunakan data acak. Adapun untuk programnya menggunakan software Matlab R2007b.

sistem dinamika model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa sebagai berikut.

1 q r$ r& $ 4.1

a 1 s r$ r& 4.2

R 1 _t & 4.3

Untuk mengetahui suatu pertumbuhan model mangsa pemangsa dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa maka akan diperlihatkan suatu grafik dari ketiga sistem tersebut. Melakukan simulasi menggunakan metode adam bashfort moulton (ABM) dengan bantuan software matlab yaitu dengan cara mensubstitukan suatu nilai sistem parameter pada persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) kemudian akan diperoleh hubungan dari ketiga sistem tersebut dimana kepadatan mangsa pada wilayah bebas , kepadatan mangsa pada wilayah yang dilindungi , dan kepadatan pemangsa pada waktu 0 yang disimbolkan dengan .

49

4.1 Dinamika Populasi Dua Mangsa dan Satu Pemangsa

Adapun untuk mengetahui suatu grafik dua mangsa satu pemangsa maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R 4, 5, a 4.5, q 50, s 60, t 10, $ 3, & 2, r$ 12, dan r& 0.5. nilai awal yang diberikan adalah

12, 7 dan 0.5 adapun untuk g 0.005. Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.1 yang menunjukan dari populasi dua mangsa satu pemangsa dengan menggunakan dua dimensi.

Gambar 4.1. Dinamika Populasi Dua Mangsa dan Satu Pemangsa

Gambar 4.1 untuk menunjukan bahwa adanya laju pertumbuhan populasi pada pemangsa sebagian tergantung pada mangsa dimana model tersebut yang terdiri dari sistem persamaan (4.1) sampai (4.3) bahwa kepadatan spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi , kepadatan spesies mangsa dari wilayah bebas kemudian kepadatan spesies pemangsa dan dapat dilihat pada Tabel 4.1 bahwa kurvanya akan menuju pada titik ekuilibrium yaitu sebagai berikut:

50

Tabel 4.1. Dinamika Populai Dua Mangsa dan Satu Pemangsa

t x y z 0 12 7 0.5 1 11.4355 7.841625 0.5695 2 10.89179 8.661528 0.645367 3 10.17225 9.810797 0.764117 4 9.486375 10.92194 0.896812 * 457 0.611781 58.91067 13.79311 458 0.611781 58.91067 13.79311 459 0.611781 58.91067 13.79312 460 0.611781 58.91067 13.79312 * 1999 0.611782 58.91073 13.79312 2000 0.611782 58.91073 13.79312

Kemudian dari Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa dari ketiga sistem tersebut akan menuju kesatu titik. Dimana titik tersebut dimanakan titik ekuilibrium dan akan mengalami kestabilan pada saat mencapai 589 ketika = 0.611782,

58.91073, dan 13.79312 ini mendekati pada titik ekuilibrium yang sesuai dengan teori yang sudah dibahas pada bab sebelumnya adalah Cf f, f, f

0.611782, 58.91073,13.79312 dimana keadaannya stabil asimtotik. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-1.

4.2 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Menggunakan Tiga Dimensi

Adapun untuk mengetahui suatu grafik dua mangsa satu pemangsa tersebut maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R 4, 5, a 4.5, q 50, s 60, t 10, $ 3, & 2, r$ 12, dan r& 0.5. Pada tiga dimensi ini

penulis membedakan nilai awalnya. Dimana nilai awal tersebut memiliki perubahan empat kali yaitu 0.07, 8, 87, 9 , 8, 2.5, 12, 3 dan 1, 13, 6, 20 dan g 0.005 Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.2 yang menunjukan dari populasi dua mangsa satu pemangsa dengan menggunakan tiga dimensi.

51

Gambar 4.2. Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa menggunakan Tiga Dimensi

Dari Gambar 4.2 sebenarnya sama seperti Gambar 4.1 hanya saja pada kasus ini untuk memperjelas arah kurva ketika memiliki nilai awal yang perbedaan dan nilai awal tersebut mengalami perubahan sebanyak emapat kali ternyata pada gambar tiga dimensi tersebut kurvanya terlihat jelas yaitu menuju kesatu titik. yang mana

13.793122, 58.910726, dan 0.611782 dan titik ekuilibrium tersebut memenuhi teori yang berada di bab 3 dimana titik ekuilibrium tersebut harus memenuhi syarat r_$ Q 0 dan 4 r_$ &b-_xf _$ f a &{E_„f r_& r_&& adapun syarat tersebut terlihat jelas ketika nilai parameternya di inputkan yaitu 7 Q 0 dan

938.3354489 0.25 setelah syarat tersebut mencukupi maka untuk

0f f_, f_, f _{=( 0.611782, 58.910726, 13.793122 yang jenis kestabilannya}

52

4.3 Dinamika Populasi Dari Spesies Pemangsa

Adapun untuk mengetahui suatu grafik dari ketiga model tersebut maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R 5, 7, a 1.5, q 45, s 20, t 35, $ 2.5, r$ 4.2, dan r& 1.2 adapun untuk $ 8.6, 4.1 ,1.7 dan

nilai awalnya yaitu 5, 7 dan 2 dan g 0.005. Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.3 yang menunjukan dari populasi dari spesies pemangsa dengan menggunakan dua dimensi.

Gambar 4.3. Dinamika Populasi Spesies Pemangsa

Kasus Gambar 4.3 ini terlihat bahwa ada hubungan anatara kepadatan spesies mangsa di wilayah bebas dengan kepadatan spesies pemangsa diamana pada terdapat pemangsa yang berinteraksi dengan mangsa pada wilayah tersebut. Ketika keadaan mengalami penurunan dikarenkan adanya interaksi maka secara otomatis kepadatan spesies pemangsa akan mengalami pertumbuhan dan pada itu sendiri terdapat _&. Ketika _& nya semakin besar maka akan mengakibatkan pertumbuhan akan semakin tinggi. Dan Gambar 4.3 akan diperjelas oleh Tabel 4.3 sebagai berikut:

53

Table 4.3. Dinamika Populasi Spesies Pemangsa

z(t) z(t) z(t) T beta2=8.6 beta2=4.1 beta2=1.7

0 2 2 2 1 2.477143 2.252143 2.132143 2 3.063818 2.53417 2.272227 3 4.097431 2.988234 2.488053 4 5.447343 3.51638 2.722436 5 7.161776 4.123754 2.975807 6 9.264306 4.814457 3.248729 7 11.72471 5.589496 3.54156 8 14.43654 6.445727 3.854408 * 1997 42.98024 40.10593 38.38403 1998 42.98024 40.10593 38.38403 1999 42.98024 40.10593 38.38403 2000 42.98024 40.10593 38.38403

Untuk Tabel 4.3 pada saat waktu tertentu kepadatan spesies pemangsa saat t=1964 akan mencapai 42.98024 ribu dengan _& 8.6, kemudian pada saat t=1908 akan mencapai 40.10593 ribu dengan _& 4.1, begitu juga pada saat t=1869 akan mencapai 38.38403 ribu dengan _& 1.7. ketika dinamika populasi kepadatan pemangsa datanya semakin besar maka ada kemungkinan laju pertumbuhan spesies pemangsa tidak akan sama dengan yang didapatkan pada kasus ini, dikarenakan data pada kasus ini dibatasi yaitu # 2000. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-3.

4.4 Dinamika Populasi Spesies Mangsa dengan n_mž m dan k_m k_l

Adapun untuk mengetahui suatu kurva spesies mangsa di wilayah bebas maupun mangsa di wilayah yang dilindungi dengan _$ ž 1 dan r_$ r_& maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R 16, 7, a 1.5, q 45, s 20,

54 t 35, $ 1, & 0.001, r$ 8.5, dan r& 2.8, 2, 1.2 . nilai awal yang

diberikan adalah 5, 7 dan 2 adapun untuk g 0.0005. Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.4 yang menunjukan dinamika populasi mangsa dengan _$ ž 1dan r_$ r_& menggunakan dua dimensi.

Gambar 4.4. Dinamika Populasi Spesies Mangsa _$ž 1 dan r_$ r_&

Pada kasus Gambar 4.4. ini adalah dinamika mangsa yang berada di wilayah bebas dan mangsa di wilayah yang dilindungi. Kasus ini memiliki r_& yang berbeda yaitu (2.8, 2, 1.2) dan _$ ž 1. Ketika r_& semakin kecil maka mangsa yang berada di wilayah yang dilindungi akan semakin tinggi pertumbuhannya. Pertumbuhan mangsa tersebut bukah hanya di akibatkan oleh r_& saja akan tetapi ada faktor lain yaitu _$ ž 1. Dimana pemangsa memiliki kemampuan yang tinggi untuk berinteraksi dengan mangsa yang berada di wilayah bebas. Jadi keadaaan mangsa di wilayah bebas akan menurun pertumbuhannya dan mangsa di wilayah yang dilindungi akan naik pertumbuhannya. Adapun untuk pertumbuhan mangsa yang di wilayah yang dilindungi pada saat 1787. akan mencapai 11.999959 ribu dengan r& 1.2, ketika saat 1508 akan mencapai 7.999650 ribu dengan r& 2, dan

55 kemudian ketika saat 1556 akan mencapai 4.999668 ribu dengan r_& 2.8. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-4.

4.5 Dinamika Populasi Spesies Mangsa dengan n_mQ 1 dan k_m Q k_l

Adapun untuk mengetahui suatu grafik dari spesies mangsa maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R 16, 7, a 1.5, q 45, s 20, t 35, $ 0.001, & 2, r$ 2.5, dan r& 10.5, 5, 3 . nilai awal yang

diberikan adalah 5, 7 dan 2 adapun untuk g 0.0005. Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.5 yang menunjukan dinamika populasi mangsa dengan _$ Q 1 dan r_$ Q r_& menggunakan dua dimensi.

Gambar 4.5. Dinamika Populasi Spesies Mangsa _$Q 1 dan r_$Q r_&

Pada kasus Gambar 4.5. ini adalah dinamika mangsa yang berada di wilayah bebas dan mangsa yang berada di wilayah yang dilindungi. Kasus ini memiliki r_& yang berbeda yaitu (10.5, 5, 3) dan _$ Q 1. Ketika r_& semakin besar maka mangsa yang berada di wilayah bebas akan semakin tinggi pertumbuhannya. Dan sebaliknya keadaan mangsa di wilayah yang dilindungi akan semakin menurun pertumbuhannya.

56 Hal tersebut di akibatkan juga oleh _$ Q 1. Karena pada kasus ini pemangsa memiliki peran yang kecil untuk berinteraksi dengan mangsa di wilayah bebas. adapun untuk pertumbuhan mangsa di wilayah bebas pada saat 1314 akan mencapai 46.002987

ribu dengan r_& 10.5, ketika saat 1627 akan mencapai 45.001242 ribu dengan r& 5, dan kemudian ketika saat 1470 akan mencapai 42.002752 ribu dengan r& 3. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-5.

57

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

1. Model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa dapat dibentuk kedalam model matematika sebagai berikut:

1 q r$ r& $

a 1 s r1 r2

R 1 _{t 2}

2. Untuk jenis kestabilan titik ekuilibrium adalah sebagai berikut: a. 0_K 0, 0, 0 jenis kestabilannya adalah tidak stabil.

b. 0_$ 0, 0, t jenis kestabilannya adalah saddel, dengan manifold stabil 1-dimensi pada sumbu dan manifold tidak stabil 2-dimensi pada sumbu .

c. 0_& •, ,˜ 0 jenis kestabilannya adalah saddel, dengan manifold tidak stabil 1-dimensi pada sumbu dan manifold stabil 2-dimensi pada sumbu .

3. Dari teorema yang dibuktikan menggunakan metode Lyapunov maka 0f f_, f_, f _{jenis kestabilannya adalah stabil asimtotik.}

4. Simulasi model pemangsa sebagian tergantung pada mangsa sebagai berikut: a. Dinamika populasi dua mangsa dan satu pemangsa menggunakan dua

dimensi akan menuju pada titik ekuilibrium 0f f, f, f jenis kestabilannya adalah stabil asimtotik.

b. Dinamika populasi mangsa pemangsa menggunakan tiga dimensi yang dibedakan nilai awalnya maka lebih jelas bahwa kurvanya

58 menuju pada titik ekuilibrium 0f yang bersifat stabil asimtotik yaitu

13.793122, 58.910726, dan 0.611782.

c. Dinamika populasi spesies pemangsa ketika _& semakin besar maka pertumbuhan pemangsa akan semakin tinggi.

d. Dinamika populasi spesies mangsa dengan _$ ž 1 dan r_$ r_& ketika r& semakin kecil maka pertumbuhan mangsa di wilayah yang dilindungi akan semakin tinggi.

e. Dinamika populasi spesies mangsa dengan _$ Q 1 dan r_$ Q r_& ketika r& semakin besar maka pertumbuhan mangsa di wilayah bebas akan semakin tinggi.

5.2 Saran

Pada tugas akhir ini mengkaji lebih dalam model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa. Adapun untuk kajian selanjutnya maka saran dari penulis tugas akhir ini dapat mengkaji lebih dalam model mangsa pemangsa di wilayah bebas dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.