Minggu ke-8. Page 1 of 17. Orientasi

(1)

Page 1 of 17

Minggu ke-8

Orientasi

Materi pada kuliah ini diutamakan bagi mereka yang mengaplikasikan matematika dalam ekonomi terapan, istilahnya ekonometrika (digabung dengan teori statistika dll).

Misalnya perilaku pelaku pasar: konsumen dan produsen, perilaku rantai produksi, mikro atau makro, bahkan dengan kondisi psikologis yang dialami pelaku pasar, pelaku rantai produksi.

Untuk posisi-posisi asisten menteri keuangan, asisten Gubernur Bank Central, atau ekonom keilmuan untuk menjelaskan perilaku ekonomi di lapangan, pembantu pengambil kebijakan keuangan, khusunya dalam menyusun model pengambilan keputusan.

Capaian Minggu ke-8

Mampu menghitung terapan diferensial fungsi majemuk dalam bisnis dan

ekonomi

1. Permintaan Marjinal Parsial 2. Elastisitas Parsial

3. Perusahaan dengan Dua Macam

Produk dan Biaya Produksi Gabungan

(2)

Page 2 of 17

1. Permintaan Marjinal Parsial

Misalkan sejumlah Q

_A

unit produk A dan sejumlah Q

_B

unit produk B memenuhi permintaan karena pengaruh harga produk A, sebut saja P

_A

, dan harga produk B, sebut saja P

_B

, maka Q

_A

dan Q

_B

masing-masing merupakan fungsi dari harga-harga 𝑃

_A

dan 𝑃

_B

Q

_A

= 𝑓(𝑃

_A

, 𝑃

_B

);

dan

Q

_B

= 𝑔(𝑃

_A

, 𝑃

_B

);

Dengan demikian, tentu ada

permintaan marginal terhadap harga-

harga 𝑃

_A

dan 𝑃

_B

.

(3)

Page 3 of 17

Maka berbagai permintaan marginal tersebut adalah:

𝜕Q_A

𝜕𝑃_A

adalah permintaan marginal produk 𝐴 terhadap harga produk 𝐴, 𝑃

_A

;

𝜕Q_B

𝜕𝑃_A

adalah permintaan marginal produk 𝐵 terhadap harga produk 𝐴, 𝑃

_A

;

𝜕Q_A

𝜕𝑃_B

adalah permintaan marginal produk 𝐴 terhadap harga produk 𝐵, 𝑃

_B

;

𝜕Q_B

𝜕𝑃_B

adalah permintaan marginal produk 𝐵 terhadap harga produk 𝐵, 𝑃

_B

;

Latihan soal diberikan sesudah kajian

tentang elastisitas permintaan berikut ini.

(4)

Page 4 of 17

2. Elastisitas Parsial

Analisis elastistas suatu produk tentu berkaitan dengan tingkat kepekaan produk terhadap perubahan harga.

Untuk produk yang bersifat gabungan, maka tersebutlah 2 (dua) macam jenis elastisitas.

A. Elastisitas harga-permintaan

Adalah ukuran tingkat kepekaan perubahan permintaan suatu produk terhadap perubahan harga produk tersebut.

B. Elastisitas silang-permintaan

Adalah ukuran tingkat kepekaan perubahan permintaan suatu produk terhadap perubahan harga produk lainnya.

Berikut ini adalah berbagai bentuk formulasi elastisitas parsial tersebut.

(5)

Page 5 of 17

𝜂

_𝐴

=

^%𝛥𝑄^𝐴

%𝛥𝑃_𝐴

=

^𝜕𝑄^𝐴

𝜕 𝑃_𝐴

•

^𝑃^𝐴

𝑄_𝐴

adalah elastisitas produk A terhadap perubahan 𝑃

_𝐴

.

𝜂

_𝐴𝐵

=

^%𝛥𝑄^𝐴

%𝛥𝑃_𝐵

=

^𝜕𝑄^𝐴

𝜕𝑃_𝐵

•

^𝑃^𝐵

𝑄_𝐴

adalah elastisitas produk A terhadap perubahan 𝑃

_𝐵

.

𝜂

_𝐵𝐴

=

^%𝛥𝑄^𝐵

%𝛥𝑃_𝐴

=

^𝜕𝑄^𝐵

𝜕𝑃_𝐴

•

^𝑃^𝐴

𝑄_𝐵

adalah elastisitas produk B terhadap perubahan 𝑃

_𝐴

.

𝜂

_𝐵

=

^%𝛥𝑄^𝐵

%𝛥𝑃_𝐵

=

^𝜕𝑄^𝐵

𝜕𝑃_𝐵

•

^𝑃^𝑏

𝑄_𝐵

adalah elastisitas

produk B terhadap perubahan 𝑃

_𝐵

.

(6)

Page 6 of 17

Evaluasi terhadap elasisitas ini adalah sebagai berikut:

 Barang komplementer (melengkapi), adalah ketika

𝜂

_𝐴𝐵

< 0 dan 𝜂

_𝐵𝐴

< 0

Penurunan harga salah satu barang akan meningkatkan permintaan atas keduanya.

 Barang substitusi/kompetitif (menggantikan), adalah ketika

𝜂

_𝐴𝐵

> 0 dan 𝜂

_𝐵𝐴

> 0

Penurunan harga salah satu barang

akan meningkatkan permintaan atas

barang tersebut, dan menurunkan

permintaan barang lainnya.

(7)

Page 7 of 17

Latihan soal!

Fungsi permintaan akan barang 𝐴 dan 𝐵 adalah sebagai berikut:

Q

_A

• 𝑃

_A²

• 𝑃

_B³

− 1 = 0;

Q

_B

• 𝑃

_A³

• 𝑃

_B

− 1 = 0;

Tentukan elastisitas permintaan

masing-masing barang dan jelaskan

hubungan keduanya!

(8)

Page 8 of 17

Q_A • 𝑃_A² • 𝑃_B³ − 1 = 0; Q_B • 𝑃_A³ • 𝑃_B − 1 = 0;

Q_A = ¹

𝑃_A²•𝑃_B³; → Q_A = 𝑃_A⁻²• 𝑃_B⁻³

Q_B = ¹

𝑃_A³•𝑃_B; → Q_B = 𝑃_A⁻³ • 𝑃_B⁻¹

𝜕Q_A

𝜕 𝑃_A = −2𝑃_A⁻³ • 𝑃_B⁻³; ^𝜕Q^B

𝜕 𝑃_B = 𝑃_A⁻³• −1𝑃_B⁻² ;

𝜕Q_A

𝜕𝑃_B = 𝑃_A⁻²• −3𝑃_B⁻⁴ ; ^𝜕Q^B

𝜕𝑃_A = −3𝑃_A⁻⁴ • 𝑃_B⁻¹; 𝜂_𝐴 = 𝜕𝑄_𝐴

𝜕𝑃_𝐴 • 𝑃_𝐴

𝑄_𝐴 = −2𝑃_A⁻³ • 𝑃_B⁻³• 𝑃_𝐴

𝑃_A⁻²• 𝑃_B⁻³ = −2 𝜂_𝐵 =𝜕𝑄_𝐵

𝜕𝑃_𝐵 • 𝑃_𝑏

𝑄_𝐵 = 𝑃_A⁻³• −1𝑃_B⁻² • 𝑃_𝑏

𝑃_A⁻³ • 𝑃_B⁻¹ = −1

𝜂_𝐴𝐵 = 𝜕𝑄_𝐴

𝜕𝑃_𝐵 • 𝑃_𝐵

𝑄_𝐴 = 𝑃_A⁻²• −3𝑃_B⁻⁴ • 𝑃_𝐵

𝑃_A⁻²• 𝑃_B⁻³ = −3 𝜂_𝐵𝐴 =𝜕𝑄_𝐵

𝜕𝑃_𝐴 • 𝑃_𝐴

𝑄_𝐵 = −3𝑃_A⁻⁴ • 𝑃_B⁻¹• 𝑃_𝐴

𝑃_A⁻³• 𝑃_B⁻¹ = −3

Evaluasi sebagai berikut

(9)

Page 9 of 17

Barang 𝐴 elastis karena 𝜂

_𝐴

> 1

Barang 𝐵 elastis uniter karena 𝜂

_𝐵

= 1

Barang 𝐴 dan 𝐵 komplementer karena

𝜂

_𝐴𝐵

< 0 dan 𝜂

_𝐵𝐴

< 0

(10)

Page 10 of 17

[Quiz M08 01]

Fungsi permintaan akan barang 𝐴 dan 𝐵 adalah sebagai berikut:

Q_A • ^𝑃^A

𝑃_B − 1 = 0;

Q_B • 𝑃_A⁻² • 𝑃_B² − 1 = 0;

Tentukan elastisitas permintaan masing- masing barang dan jelaskan hubungan keduanya!

(11)

Page 11 of 17

1. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi Gabungan

Jika suatu perusahaan menghasilkan dua macam produk, A dan B, dengan adanya biaya produk gabungan (joint production cost), maka penetapan di titik mana akan mencapai keuntungan maksimum, dapat dilakukan dengan pendekatan diferensial parsial.

Misalkan 𝑄_𝐴 adalah banyaknya unit produksi barang 𝐴, dan 𝑄_𝐵 adalah banyaknya unit produksi barang 𝐵.

𝑅_𝐴 adalah penerimaan dari produk 𝐴, 𝑅_𝐵 adalah penerimaan dari produk 𝐵.

𝑃_𝐴 adalah harga jual produk 𝐴, 𝑃_𝐵 adalah harga jual dari produk 𝐵.

𝐶 adalah biaya total; biaya gabungan menghasilkan produk 𝐴 dan produk 𝐵.

Penerimaan total

𝑅 = 𝑅_𝐴 + 𝑅_𝐵 = 𝑃_𝐴 • 𝑄_𝐴 + 𝑃_𝐵 • 𝑄_𝐵;

(12)

Page 12 of 17

Keuntungan total

𝜋 = 𝑅 − 𝐶 = 𝑓(𝑄_𝐴, 𝑄_𝐵);

Keuntungan maksimum adalah

𝜕𝜋

𝜕𝑄_𝐴 = 0; ^𝜕𝜋

𝜕𝑄_𝐵 = 0

Dengan persamaan ini, dapat diperoleh 𝑄_𝐴 dan 𝑄_𝐵.

dan untuk konfirmasi, pastikan bahwa

𝜕²𝜋

𝜕𝑄_𝐴² < 0

;

_𝜕𝑄^𝜕²^𝜋

𝐵2 < 0 Selanjutnya, nilai 𝑄_𝐴 dan 𝑄_𝐵 disubstitusikan ke 𝜋 = 𝑓(𝑄_𝐴, 𝑄_𝐵).

(13)

Page 13 of 17

Latihan!

Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang,ditunjukkan oleh 𝐶 = 𝑄_𝐴² + 3𝑄_𝐵² + 𝑄_𝐴𝑄_𝐵.

Harga jual masing-masing produk adalah 𝑃_𝐴 = 7 dan 𝑃_𝐵 = 20. Tentukan berapa unit barang diproduksi agar tercapai keuntungan maksimum, dan berapa besar keuntungan maksimumnya!

Penerimaan total

𝑅 = 𝑅_𝐴 + 𝑅_𝐵 = 7 • 𝑄_𝐴 + 20 • 𝑄_𝐵 = 7𝑄_𝐴 + 20𝑄_𝐵;

Keuntungan total

𝜋 = 𝑅 − 𝐶 = 7𝑄_𝐴 + 20𝑄_𝐵 − 𝑄_𝐴² + 3𝑄_𝐵² + 𝑄_𝐴𝑄_𝐵 ;

(14)

Page 14 of 17

Keuntungan maksimum adalah

𝜕𝜋

𝜕𝑄_𝐴 = ^{𝜕 7𝑄}^𝐴^+20𝑄^𝐵^{− 𝑄}^𝐴

2+3𝑄_𝐵²+𝑄_𝐴𝑄_𝐵

𝜕𝑄_𝐴 =

0;

7 + 0 − 2𝑄_𝐴 + 0 + 𝑄_𝐵 = 7 − 2𝑄_𝐴 − 𝑄_𝐵 = 0

𝜕𝜋

𝜕𝑄_𝐵 = ^{𝜕 7𝑄}^𝐴^+20𝑄^𝐵^{− 𝑄}^𝐴

2+3𝑄_𝐵²+𝑄_𝐴𝑄_𝐵

𝜕𝑄_𝐵 = 0,

0 + 20 − 0 + 3. 2𝑄_𝐵 + 𝑄_𝐴 = 20 − 𝑄_𝐴 − 6𝑄_𝐵 = 0

Dengan eliminasi dan substitusi, 2𝑄_𝐴 + 𝑄_𝐵 = 7;

𝑄_𝐴 + 6𝑄_𝐵 = 20;

2𝑄_𝐴 + 𝑄_𝐵 = 7;

2𝑄_𝐴 + 12𝑄_𝐵 = 40;

______________________ −;

0 − 11𝑄_𝐵 = −33;

dapat diperoleh 𝑄_𝐴 = 2 dan 𝑄_𝐵 = 3.

(15)

Page 15 of 17

dan untuk konfirmasi, bahwa

𝜕²𝜋

𝜕𝑄_𝐴² = ^{𝜕 7−2𝑄}^𝐴^−𝑄^𝐵

𝜕 𝑄_𝐴 = −2 < 0

;

𝜕²𝜋

𝜕𝑄_𝐵² = ^{𝜕 20−𝑄}^𝐴^−6𝑄^𝐵

𝜕𝑄_𝐴 = −6 < 0.

Selanjutnya, nilai 𝑄_𝐴 dan 𝑄_𝐵 disubstitusikan ke 𝜋 = 𝑓(𝑄_𝐴, 𝑄_𝐵).

𝜋 = 𝑅 − 𝐶 = 7𝑄_𝐴 + 20𝑄_𝐵 − 𝑄_𝐴² + 3𝑄_𝐵² + 𝑄_𝐴𝑄_𝐵 ;

𝜋 = 𝑅 − 𝐶 = 7(2) + 20(3) − 2² + 3(3)² + 2 (3) ;

𝜋 = 𝑅 − 𝐶 = 14 + 60 − 4 + 27 + 6 = 74 − 37 = 37;

Keuntungan maksimal yang diperoleh adalah

$37.

(16)

Page 16 of 17

[Quiz M08 02]

A. Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang,ditunjukkan oleh 𝐶 = 𝑄_𝐴² + 9𝑄_𝐵² + 𝑄_𝐴𝑄_𝐵.

B. Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang,ditunjukkan oleh 𝐶 = 2𝑄_𝐴² + 3𝑄_𝐵² + 2𝑄_𝐴𝑄_𝐵.

C. Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang,ditunjukkan oleh 𝐶 = 𝑄_𝐴² + 4𝑄_𝐵² + 3𝑄_𝐴𝑄_𝐵.

(17)

Page 17 of 17

1. Permintaan Marjinal Parsial 2. Elastisitas Parsial Referensi

3. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi Gabungan

 Matematika Ekonomi 2 Kalkulus Imron Hadisantoso.PDF, 2016

 Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Edisi kedua, Fakultas Ekonomika dan Bisnis UGM, 2012, Dumairy

 Calculus with Analytic Geometry, 5th Edition, Prentice-Hall International, Inc, Edwin J. Purcell, Dale Varberg