• Tidak ada hasil yang ditemukan

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL."

Copied!
12
0
0

Teks penuh

(1)

commit to user

METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL

UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE

FRAKSIONAL

oleh

ASRI SEJATI

M0110009

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

(2)
(3)

commit to user

ABSTRAK

Asri Sejati, 2015. METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL NAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIO-NAL. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional adalah persamaan diferen-sial Sturm-Liouville biasa dengan derivatif berorde dua diubah menjadi derivatif berorde fraksional α. Derivatif fraksional yang digunakan dideskripsikan dalam bentuk Caputo. Persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional didefinisikan sebagai

Dα[p(x)y′(x)] +q(x)y(x) +λr(x)y(x) = 0, x∈(a, b), 0< α≤1,

dengan p(x) > 0, r(x) > 0, p(x), q(x), dan r(x) kontinu dalam interval [a, b],

λ nilai eigen, dan y(x) fungsi eigen. Masalah Sturm-Liouville fraksional adalah persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional yang memenuhi syarat batas

α1y(a) +β1y

(a) = 0, α2y(b) +β2y

(b) = 0,

denganα1,α2,β1,β2merupakan konstanta riil. Penyelesaian dari masalah

Sturm-Liouville fraksional yaitu nilai eigenλdan fungsi eigenyyang bersesuaian dengan

λ. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville fraksional adalah metode transformasi diferensial fraksional (MTDF). Metode transformasi diferensial fraksional adalah metode yang didasarkan pada ekspansi deret Taylor yang mengkonstruksikan penyelesaian analitik dalam ben-tuk polinomial. Metode ini digunakan unben-tuk menenben-tukan koefisien deret Tay-lor dengan menyelesaikan persamaan rekursif dari persamaan diferensial yang diberikan.

Dalam penelitian ini, MTDF diterapkan untuk menentukan nilai eigen dan fungsi eigen yang merupakan penyelesaian pendekatan masalah Sturm-Liouville fraksional. Hasil penelitian menunjukkan bahwa MTDF dapat diterapkan dengan mudah untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville fraksional.

Dalam penggunaan MTDF, transformasi diferensial fraksional Y(k) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat transformasi diferensial fraksional. Selanjutnya, nilai-nilai Y(k) sampai dengan sejumlah N suku sebarang dapat digunakan untuk memperoleh nilai eigen. Nilai eigen yang diperoleh digunakan untuk menentukan fungsi eigen y(x) yang merupakan transformasi invers dife-rensial dari Y(k). Fungsi eigen yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan masalah Sturm-Liouville fraksional

Kata kunci: metode transformasi diferensial fraksional, masalah Sturm-Liouville

(4)

commit to user

ABSTRACT

Asri Sejati, 2015. FRACTIONAL DIFFERENTIAL TRANSFORM METHOD FOR SOLVING FRACTIONAL STURM-LIOUVILLE PROBLEM. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

A fractional Liouville differential equation is an ordinary Sturm-Liouville differential equation in which the second order derivative is replaced by a fractional derivative of order α. The fractional derivatives are described in the Caputo sense. A Fractional Sturm-Liouville differential equation is defined as

Dα[p(x)y′(x)] +q(x)y(x) +λr(x)y(x) = 0, x∈(a, b), 0< α≤1,

wherep(x)>0,r(x)>0,p(x),q(x), andr(x) are continuous function in the inter-val [a, b],λis eigen value, andy(x) is eigen function. A fractional Sturm-Liouville problems is fractional Sturm-Liouville differential equation which subject to the boundary conditions

Liouville problems is the eigen valuesλand eigen functionsywhich corresponding to the eigen values. One of the approximate method that can be used to solve the fractional Sturm-Liouville problems is the fractional differential transform method (FDTM). The FDTM is the method based on the Taylor series expansion which costructs an analytical solution in the form of a polynomial. This method is used to determine the coefficients of the Taylor series by solving recursive equation from the given differential equation.

In this research, FDTM is applied for computing the eigen values and eigen functions that are the approximate solutions of the fractional Sturm-Liouville problems. The results of the research show that FDTM can be applied easily to solve fractional Sturm-Liouville problems.

In the use of FDTM, the fractional differential transformationY(k) can be determined by using the properties of the fractional differential transform. Fur-thermore, the values ofY(k) up to any arbitrary value ofN can be used to obtain the eigen values. The obtained eigen values are used to determine the eigen fun-ctionsy(x) that are the differential inverse transform ofY(k). The obtained eigen functions are the approximate solutions of fractional Sturm-Liouville problems

y(x) =

Keywords: fractional differential transform method, fractional Sturm-Liouville

(5)

commit to user

MOTTO

Kemarin hanyalah sepenggal kisah perjalanan, seburuk apapun itu,

jangan sesali, mari bangkit dan berjuang untuk menyongsong hari

esok yang lebih dan lebih baik lagi.

Bukanlah kesulitan yang membuat kita takut, sebaliknya

ketakutanlah yang membuat kita menjadi sulit, maju dan hadapi.

Saat terjatuh ingatlah bahwa alasan mengapa kita jatuh adalah agar

kita bisa bangkit lagi.

(6)

commit to user

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

Kedua orangtua, kakak, dan adik-adikku tercinta,

(7)

commit to user

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan

skrip-si ini. Penulis bermaksud menyampaikan rasa terimakaskrip-sih kepada Bapak Drs.

Sutrima, M.Si. selaku Pembimbing I dan Bapak Irwan Susanto, S.Si., DEA

sela-ku Pembimbing II yang telah dengan sabar memberikan bimbingan dan arahan

dalam penulisan skripsi ini. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada

teman-teman yang telah memberikan dukungan dan dorongan, serta semua pihak

yang membantu dalam penulisan skripsi ini.

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang

me-merlukan.

Surakarta, Januari 2015

(8)
(9)

commit to user

2.1.5 Metode Transformasi Diferensial Fraksional . . . 14

2.2 Kerangka Pemikiran . . . 16

III METODE PENELITIAN 18

IV HASIL DAN PEMBAHASAN 19

4.1 Masalah Sturm-Liouville Fraksional . . . 19

4.2 Metode Transformasi Diferensial Fraksional . . . 20

4.3 Contoh Penerapan . . . 24

V PENUTUP 44

5.1 Kesimpulan . . . 44

5.2 Saran . . . 45

(10)

commit to user

DAFTAR TABEL

4.1 Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1, λ2, dan λ3 sampai dengan

N = 67 suku pada Contoh 4.3.1 . . . 26

4.2 Pendekatan tiga nilai eigen pertama λ1, λ2, dan λ3 sampai dengan

N = 69 suku pada Contoh 4.3.2 . . . 31

4.3 Pendekatan tiga nilai eigen pertamaλ1, λ2, dan λ3 sampai dengan

N = 67 suku pada Contoh 4.3.3 . . . 35

4.4 Pendekatan dua nilai eigen pertamaλ1 danλ2 sampai denganN = 101

suku pada Contoh 4.3.4 . . . 39

4.5 Pendekatan tiga nilai eigen pertamaλ1, λ2, danλ3denganα= 12,35,107,45

(11)

commit to user

DAFTAR GAMBAR

4.1 Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1, λ2,

dan λ3 untukn= 70 suku pada Contoh 4.3.1 . . . 27

4.2 Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1, λ2,

dan λ3 untukn= 50 suku pada Contoh 4.3.2 . . . 32

4.3 Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian dengan λ1,

λ2, dan λ3 untuk n= 30 suku pada Contoh 4.3.3 . . . 36

4.4 Grafik pendekatan dua fungsi eigen yang bersesuaian denganλ1 danλ2

untukn= 80 suku pada Contoh 4.3.4 . . . 40

4.5 Grafik pendekatan tiga fungsi eigen yang bersesuaian denganλ1 (a),λ2

(12)

commit to user

x0 : batas bawah interval

α : orde derivatif fraksional (0< α≤1)

Dα : operator diferensial fraksional berorde α

=D−α : operator integral fraksional berordeα

Jx0αy(x) : integral fraksional Riemann-Liouville dari fungsi y(x)

dengan ordeα dan batas bawah x0

Dx0αy(x) : derivatif fraksional Riemann-Liouville dari fungsi y(x)

dengan ordeα dan batas bawah x0

D∗αx0y(x) : derivatif fraksional Caputo dari fungsi y(x)

dengan ordeα dan batas bawah x0

Γ(z) : fungsi Gamma dari z

m : bilangan bulat positif terkecil yang lebih besar dari α

Z+

Y(k) : transformasi diferensial fraksional dari fungsi y(x)

q : orde persamaan diferensial fraksional

β : orde pembagi dari α

N : jumlah suku pertama saat nilai eigen diperoleh

n : jumlah suku pertama yang diambil pada penyelesaian y(x)

Referensi

Dokumen terkait

Pada hasil temuan data ini, pada aspek tampilan tubuh keempat informan yaitu TD, WH, ER, dan GT memberikan penerimaan yang berbeda-beda yaitu dominan, negosiasi dan

2) Barang yang diperjual-belikan harus dapat diambil manfaatnya atau meiliki nilai dan bukan merupakan barang-barang yang dilarang diperjual- belikan, misalnya:

In order to find indicators that can measure the concepts of vulnerability, a literature study for the case of Jakarta has been carried out. Scientific papers were used to get an

o Mengetahui penjalanan keradangan dengan cara meletakan pangkal kaca mulut di atas mahkota gigi kemudian penderita di minta menggigit perlahan- lahan untuk mengetahui nyeri

Badan Nasional Penempatan dan Perlindungan Tenaga Kerja Indonesia yang selanjutnya disingkat dengan BNP2TKI adalah lembaga pemerintah non kementerian sebagaimana dimaksud

Kartu Rencana Studi (KRS) adalah kartu yang diberikan kepada mahasiswa setiap semester setelah mahasiswa melakukan pendaftaran ulang yang berfungsi sebagai identitas mengikuti

menunjukkan bahwa variabel pelatihan dan kemampuan memberikan pengaruh yang signfikan terhadap Pretasi Kerja karawan baik secara langsung maupun tidak langsung pada

Pendidikan nilai atau pendidikan karakter dan Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS) memiliki kesamaan yang masing-masing bertujuan untuk menjadikan peserta didik sebagai warga