zur Präsentation
der
Laplace in Bezug
auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung
im
Semester 3
Name
Matrikelnummer
1.Fadhlan Nazhif Iskandar
5042791
2.Rakyan Bayundriyo
5046399
Inhaltsverzeichnis
Vorwort... 3
Die Laplace-Biographie...5
1. Einführung in Die Wahrscheinlichkeitstheorie...7
I. Datenerhebung...7
II. Häufigkeitsverteilungen...9
III. Wahrscheinlichkeitstheorie...10
3. Wahrscheinlichkeiten...13
2. Laplace-Experiment mit Würfel...17
2.1. Die Würfelversuchsergebnisse...19
3. Laplace-Experiment mit Münzen...23
3.1 Die Münzenwurfsergebnisse...28
Vorwort
In diese Ausarbeitung, welche von Studenten verfasst wurde, beschäftigen wir uns mit der Wahrscheinlichkeitstheorie von Laplace, welche von Simon (Marquis de) Laplace verfasst und in seinem um 1812 veröffentlichten Werk "Théorie Analytique des Probabilités" verallgemeinert wurde. Unser Ziel dieser Ausarbeitung ist es die Wahrscheinlichkeitstheorie von Laplace zu definieren und in sogenannten Laplace Experimenten zu überprüfen.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, die sich im Gegensatz zu den anderen Teilgebieten der Mathematik sehr langsam entwickelt hat. Der Grund dafür ist die Entstehung des Christentums, da die Kirche alle Gedanken über den Zufall und die Wahrscheinlichkeit als gotteslästerlich unterband. Sie gehört dem Teilgebiet der Stochastik an und entstand durch Formalisierungen der Modellierungen und der Untersuchungen von Zufallsgeschechen.
Ihre Entstehung kann bis zu 3000 vor Christus datiert werden. Händler im alten Babylon und China ließen ihre Handelsschiffe gegen Schiffsbruch und Piraterie versichern1. Die
Vergabe von Krediten und die dabei notwendige Abschätzung sinnvoller Zinssätze ist ebenfalls ein Grundproblem mit dem sich Kaufleute und Kreditgeber seit Beginn der Handelszeiten auseinandersetzen mussten, und das bestimmten Wahrscheinlichkeits-und Sicherheit Überlegungen bedurfte. Auch im antiken Rom wurde dieses Prinzip der Leibrente implementiert. Ein anderer Entstehungsgrund der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann auch die Erfindung von Glücksspielen sein.
In den kommenden Zeilen werden wir ein sogenanntes Laplace Experiment, welches wir mit einem Würfel und einer Münze gemacht haben, beschreiben. Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die unterschiedlichen Elementarereignisse alle gleich wahrscheinlich sind2, d.h. die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
1 http://www.flowetzel.de/uni/mathe/Stochastik/Ausarbeitung_Geschichte_der_Stochastik.pdf
Stand : 01/12/2016
2 http://de.serlo.org/mathe/stochastik/relative-haeufigkeit-wahrscheinlichkeit/laplace-experiment
Das Würfeln war eines der ersten Glücksspiele und wurde um ungefähr 3000 vor Christus in Mesopotamien gespielt.
Würfelspiel 3
Ein mehr als 4800 Jahre alter Würfel, der bei Ausgrabungen in Mesopotamien gefunden wurde.
.
3 Bild-quelle : http://max-attachments.prod.hlpstr.de/attachments/articles/icons/000/192/340/
Die Laplace-Biographie
Pierre Simon (Marquis de) Laplace wurde In Beaumont-en-Auge in der Normandie am 28.März 1749 geboren und kurz bevor seinem 78.Geburtstag am 5.März 1827 in Paris gestorben.4 Laplace’ Vater arbeitete als Weinhändler und seine Mutter kam aus einer
Bauernfamilie her. Er ist einer der bedeutender Wissenschaftler, der in vielen Bereichen unter anderem Mathematik,Physik,und Astronomie beschäftigte. Seine berühmte Arbeit ist die Untersuchung von Solarsystem,indem ein sehr grosser Meilenstein für Astronomie.
In seiner Kindheit ging er vom Alter 7 bis 16 in die Benedikterschule in Beaumont-en-Auge,und danach wurde er zur Universität von Caen aufgenommen, wo er damals in den Studiengang Theologie auf seinem Vaterswunsch eingeschieben war. Jedoch im Laufe der Zeit fand er dass er seine Begabung an Mathematik lag. Aus diesem Grund zog er nach Paris um und wechselte er mit einem Empfehlungsschreiben von Professor in Caen.5 In Paris bewarb er einen Mathematik Studiengang.
anwenden konnte. Laplace war auch ein ganz besonderer Mathematiker,wenn er innerhalb 3 Jahren hervorragende Artikel veröffentlicht hatte.7
Pierre-Simon Laplace 8
Was wir wissen, ist nicht viel. Was wir nicht wissen, ist immense - Laplace
7 https://www.f07.th-koeln.de/imperia/md/content/personen/bold_christoph/laplace.pdf 8 Bild-quelle : http://www.defense.gouv.fr/var/dicod/storage/images/base-de-medias/images/
1. Einführung in Die Wahrscheinlichkeitstheorie
I. Datenerhebung
1. Grundbegriffe der Datenerhebung
Grundgesamtheit der Erhebung ist die Sammlung aller statistischen Massen oder Einheiten
Merkmalsträger ist die statistische Einheit
Merkmal ist eine Eigenschaft oder ein Charakteristikum vom Merkmalsträger
Merkmalsausprägung ist die verschiedene Ergebnisse eines Merkmals bei der Erhebung
Bsp. : Grundgesamtheit : Studieren an der THM
Merkmalsträger : Studenten
Merkmal : Studiengang
Merkmalsausprägung : Maschinenbau
Bei Grundgesamtheit einer Datenerhebung gibt es Vollerhebung oder Teilerhebung. Zum Beispiel bei Vollerhebung (Totalerhebung) werden alle Studenten an der THM befragt, bei Teilerhebung (Stichprobenerhebung) werden nicht alle Studenten befragt.
2. a.) Merkmale können unterschieden werden:
Nach der Art des Merkamls:
- Quantitative Merkmale
Merkmale, die bestimmte Einheiten haben, oder zahlenmäßig. Bsp. : Geld (€), Gewicht (kg), Anzahl (Stk.), Note (Punkte)
- Qualitative Merkmale
Merkmale, die nicht durch Zahlen charakterisiert werden können (nicht zahlenmäßig)
Nach der Anzahl der Merkmalsausprägungen:
Bsp. : Länge, Zeit, Gewicht, Volumen.
b.) Merkmalsausprägungen werden durch einer Skala zugewiesen.
Es gibt drei verschiedene Art der Skala: - Nominalskala
Die Verschiedenheit der Ausprägungen nur zum Ausdruck gebracht wird. Die Ausprägungen haben keine Rangfolge und Wertung.
Bsp. : Farbe, Geschlecht, Nationalität
- Ordinalskala (Rangskala)
Die Verschiedenheit der Ausprägungen kann in Rangordnung gebracht werden. Die Abstände dazwischen sind aber nicht interpretierbar. Bsp. : Tabellenplatz einer Fußballiga, IQ, Kleidergrôße
- Metrische Skala (Kardinalskala)
Die Verschiedenheit der Ausprägungen kann in Rangordnung gebracht werden, und die Abstände zwischen den Ausprägungen können auch miteinander verglichen werden.
Bsp. : Erträge, Länge, Gewicht, Temperatur.
3. Typen von statistischen Erhebungen
Nach der Ermittlung der Daten - Befragung
Nach Methode der Datengewinnung
- Primärerhebung (Datensammlung am Ort)
- Sekundärerhebung (Datensammlung auf existierendes Material)
II. Häufigkeitsverteilungen
Häufigkeitsverteilung beschreibt die Chance einer bestimmten Ausprägung, die in einer Stichprobe aufgetreten werden kann. Die Ausprägung wird mit Xi (für i=
1,2,...,n) bezeichnet. Die n-Werte bilden die Stichprobe zusammen.
Absolute Häufigkeit (hj)
Wie oft die Ausprägungen des Merkmals (aj) im Versuchsergebnis vorkommen.
Die Anzahl kann nur natürliche Zahl und kann nicht negativ sein.
hj = hn (aj) ; 0 hj n mit hn : Anzahl der beobachten Werte
Bsp. : Bei einer Beobachtung in einem Parkplatz werden 50 Autos nach ihrer Marke gekennzeichnet. 20 davon sind BMW, 15 sind Volkswagen, 10 sind Opel, und 5 sind der Rest als ,,Sonstiges" geschrieben.
Absolute Häufigkeit hj für BMW beträgt 20, für Volkswagen beträgt 15, für
Opel beträgt 10, und für Sonstiges 5.
Die Summe aller absoluten Häufigkeiten (n) beträgt 50.
Maximale absolute Häufigkeit einer bestimmten Merkmalsausprägung kann auch gleich mit dem Gesamtumfang (n) werden.
Bsp. : Alle 50 beobachtete Autos im Parkplatz sind Volkswagen. Dann ist die absolute Häufigkeit gleich mit dem Gesamtumfang (n) , also hj = n
Relative Häufigkeit (rj)
Entspricht den Anteil der bestimmten Merkmalsausprägung, deren absolute Häufigkeit wird in Verbindung mit dem Gesamtumfang (n) gesetzt.
r
j=
r
n(a
j)=
h
jBsp. : Bei einer Beobachtung in einem Parkplatz werden 50 Autos nach ihrer Marke gekennzeichnet. 20 davon sind BMW, 15 sind Volkswagen, 10 sind Opel, und 5 sind der Rest als ,,Sonstiges" geschrieben.
Relative Häufigkeit (rj) für BMW = Absolute Häufigkeit (hj) / Gesamtumfang
(n) = 20/50 = 0,4 (in % = 40%)
Relative Häufigkeit für Volkswagen = 15/50 = 0,3 Relative Häufigkeit für Opel = 10/50 = 0,2
Relative Häufigkeit für Sonstiges = 5/50 = 0,1
Die relative Häufigkeit (rj) liegt immer zwischen 0 und 1; -> 0 rj 1
Die Summe aller relativen Häufigkeiten ergibt 1.
III. Wahrscheinlichkeitstheorie
1. Zufallsexperiment
Ein Experiment oder Versuch, den wir wiederholen kann, aber dessen Ergebnis ist nicht vorhersagbar. Das Ergebnis eines Zufallsexperiments heißt Ereignis. Das Ergebnis, das nicht in weitere andere Ereignis aufteilbar ist, heißt Elementarereignis. Die Sammlung aller Ereignisse heißt Ereignisraum oder S.
Bsp. : Zufallsexperiment = Werfen eines Würfels
Ereignisse = {Gerade Zahl}, {Augenzahl kleiner als 4},... Ereignisraum = {1,2,3,4,5,6}
Begriff Beispiel Mengenausdruck
Alle möglichen Augenzahlen S = {1,2,3,4,5,6}
Ein Ereignis ist die
Teilmenge vom Ereignisraum
Ungerade Augenzahl E = {1,3,5}
Ein einfaches Ereignis ist ein Ergebnis einer Betätigung
Bsp. : Werfen eines Würfels als Zufallsexperiment Ereignisraum S = {1,2,3,4,5,6}
Ereignis B = Alle Augenzahlen kleiner als 5 = {1,2,3,4}
Vereinigung ( A B )
Die Vereinigung von Ereignisse A und B umfasst alle Elemente, die in Ereignisse A oder B enthalten.
D.h. : Die Vereinigung von A und B sind alle Augenzahlen, die ungerade oder kleiner als 5 sind.
A B = {1,2,3,4,5}
Schnittmenge ( A B )
Die Schnittmenge von Ereignisse A und B umfasst alle Elemente, die in Ereignisse A und gleichzeitig in B enthalten.
D.h. : Die Schnittmenge von A und B sind alle Augenzahlen, die ungerade und kleiner als 5 sind.
A B = {1,3}
Komplement ( A' )
Das Komplement von Ereignisse A besitzt aus Elemente, die nicht in Ereignisse A enthalten.
D.h. : Das Komplement von A sind alle Augenzahlen, die nicht von A enthalten, also sind die alle gerade Augenzahlen.
A' = {2,4,6}
3. Wahrscheinlichkeiten
Anzahl günstiger Ereignisse
An zahl aller möglichen Ereignisse
Bsp. : Bei 50 mal Würfeln ist 10 mal die Augenzahl ,,4" gefallen. Relative Häufigkeit :
10
g ü nstige Würfe
50
möglicheWürfe
=
0,2
Wenn die Anzahl der Würfe gegen Unendlich erhöht, dann gilt:
1
g ü nstiger Wert
6
möglicher Wert
=
0,167
Regeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses:
a) Regel 1 : Zahlenbereich der Wahrscheinlichkeit
- Die Warscheinlichkeit eines Ereignisses E liegt immer zwischen Null und Eins.
b) Regel 2 : Definition der Wahrscheinlichkeit
und so lautet die Formel
P
(
E
)=
Anzahlder möglichen Ergebnisse
Ander gewünschten Ergebnisse
c) Regel 3 ; Addiotionssatz
Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeit der Ereignisse
W(AB) = W(A) + W(B) ; falls AB=
Bsp. : Werfen eines Würfels. S = {1,2,3,4,5,6} Ereignis A : Augenzahl kleiner als 3 A = {1,2} ; W(A) = 2/6 = 0,33
Ereignis B : Augenzahl größer als 3 B = {4,5,6} ; W(B) = 3/6 = 0,5
Ereignis C : Augenzahl kleiner oder größer als 3 C = AB = {1,2,4,5,6} ; AB=
W(C) = W(AB) = W(A) + W(B) = 2/6 + 3/6 = 5/6 = 0,83
Falls es eine Schnittmenge von A und B gibt, wird die Wahrscheinlichket der Vereinigung der Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeit der Ereignisse minus die Schnittmenge der Ereignisse.
Bsp. : Werfen eines Würfels. S = {1,2,3,4,5,6}
Ereignis B : Augenzahl kleiner als 4 B = {1,2,3} ; W(B) = 3/6 = 0,5
W(AB) = W(A) + W(B) - W(AB) = 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6 = 0,83
d) Regel 4 : Multiplikationssatz
Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge der Ereignisse ist gleich der Mutliplikation der Wahrscheinlichkeit der Ereignisse.
W(AB) = W(A) x W(B) ; falls A und B unabhängig
Bsp. : Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit dass beide Würfeln die Augenzahl kleiner als 3 gezeigt wird ohne Berücksichtigung des Ereignisses A :
Ereignis A : A = {1,2} = W(A) = 2/6
Nach Ereignis A fehlt für Ereignis B ein Elementarereignis aus dem Ereignisraum
Ereignis B : B = {1} = W(B) = 1/5
W(AB) = W(A) x W(B) = 2/6 x 1/5 = 2/30 = 0,067
e) Regel 5 : Komplementärsätze
Die Wahrscheinlichkeit eines Komplements eines Ereignisses E ist gleich Eins minus die Wahrscheinlichkeit des Komplements des Ereignisses B.
Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse A und B ist gleich Eins minus die Wahrscheinlichkeit des Komplements des Ereignisses A mal die Wahrscheinlichkeit des Komplements des Ereignisses B.
W(AB) = 1 - W(A') x W(B') ; falls A und B unabhängig
Bsp. : Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit dass mindestens ein Würfel von beiden Würfeln die Augenzahl kleiner als 3 gezeigt wird ohne Berücksichtigung des
Ereignisses A :
Ereignis A : A = {1,2} = W(A) = 2/6 => W(A') = 4/6 Ereignis B : B = {1,2} = W(B) = 2/6 => W(B') = 4/6
W(AB) = 1 - W(A') x W(B') = 1 - 4/6 x 4/6 = 0,56
Die Wahrscheinlichkeit mit Berücksichtigung des Ereignisses A (Ereignisse A und B abhängig)
Ereignis A : A = {1,2} = W(A) = 2/6 => W(A') = 4/6
Nach Ereignis A fehlt für Ereignis B ein Elementarereignis aus dem Ereignisraum
Ereignis B : B = {1} = W(B) = 1/5 => W(B') = 4/5
W(AB) = 1 - W(A') x W(B') = 1 - 4/6 x 4/5 = 0,467
In diesem Versuch wird eine Wahrscheinlichkeitsberechnung-experiment mit Wüfel durchgeführt. Daher berechnen wir mit Wahrscheinlichkeitstheorie nach Laplace. Dieser Vesuch ist eigentlich bei uns als Zufallsversuch bekannt. Das Prinzip dieser Theorie ist,dass die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ergebnisse gleich sind. Bei einem Würfel hat 6 Seiten und besteht die Zahl 1 bis 6 ,die auf jeder Seite vom Würfel eingezeichnet sind. Die Wahrscheinlichkeit jeder Seite hat den gleichen Wert.
Wie kann man den Versuch nachvollziehen,ob es sich um Laplace-experiment handelt oder nicht ?. Diese Frage kommt sehr oft und man beanwortet die Frage gelegentlich immer noch falsch. Diese Frage braucht manchmal schon viele Vorkenntnisse in Stochastik, um den richtigen Fall zu entscheiden. Ein Tipp kann der Frage helfen. Beim normalen Würfel hat Sechs verschiedene Seiten solange der Würfel nicht verändert wird. Die Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 ist gleich groß wie die Zahl 6 zu Wüfeln,und so erkennt man sich um Laplace-experiment 9
Darstellung alle möglichen Ergebnisse eines Wüfels10
Nun berechnen wir die Warscheinlichkeiten jeder Zahl beim Würfel
P
(E
)=
6
1
=
16,7 %
9 http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/laplace-experiment-versuch.html
Stand : 12/12/2016
10 Bildquelle : https://www.studienkreis.de/mathematik/laplace-experiment-beispiele/
P(E) : Die Wahrscheinlichkeits eines Ergebnisses 1 : Die Anzahl der gewünschten Ergebnisse 6 : Die Anzahl der möglichen Ergebnisse
Hier haben wir die Zahl 1 als die Anzahl der gewünschten Ergebnisse,weil wir erst jede einzelne Seite die Wahrscheinlichkeit aussuchen. Unter dem Bruch steht 6 als die Summe aller Seite,die die möglichen Ergebnisse entspricht. Daraus können wir also die Berechnungen variieren,um mehrere Wahrscheinlichkeiten in vielen Fällen auszusuchen.Wie z.B folgende Fragen :
1.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für gerade Zahl ?
2.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ungerade Zahl ?
Die Frage können in unseren Versuch anwenden und vergleichen ob es die Wahrscheinlichkeit unterschiedlich kommen kann. In diesem Fall führen wir die Probe zufällig mit insgesamt 60 Würfeln durch.
2.1. Die Würfelversuchsergebnisse
5 5 5 1 3 5 1 5 5 4 1 3
4 4 6 1 3 1 4 5 4 6 3 3
1 6 2 5 2 4 3 5 5 2 4 4
2 1 1 2 6 3 6 5 1 5 4 4
5 4 4 4 6 2 3 4 4 3 3 1
2.2 Versuchsberechnungen und Analyse
Aus den Versuchergebnissen haben wir folgende Zahlerrscheinungen :
Die Zahl 1 hat 10 Erscheinung Die Zahl 2 hat 6 Erscheinung Die Zahl 3 hat 10 Erscheinung Die Zahl 4 hat 15 Erscheinung Die Zahl 5 hat 13 Erscheinung Die Zahl 6 hat 6 Erscheinung
Daraus berechnen wir erst jede einzelne Zahl auf der nächsten Seite
Die Zahl 1 mit 10 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 16,7% Wahrscheinlichkeit
Die Zahl 2 mit 6 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 10% Wahrscheinlichkeit
P
(E
)=
60
6
=
10
1
=
10 %
Die Zahl 3 mit 10 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 16,7% Wahrscheinlichkeit
P
(E
)=
10
60
=
1
6
=
16,7 %
Die Zahl 4 mit 15 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 25% Wahrscheinlichkeit
P
(E
)=
15
60
=
1
4
=
25 %
Die Zahl 5 mit 13 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 21,7% Wahrscheinlichkeit
P
(E
)=
13
60
=
21,7 %
Die Zahl 6 mit 6 Erscheinungen bei 60-mal Würfeln hat 10% Wahrscheinlichkeit
P
(E
)=
60
6
=
10
1
=
10 %
Nun beantworten wir die Variationsfrage auf der nächsten Seite
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für gerade Zahl ?
Bei einem normalen Würfeln ( 1-mal ) gilt folgendes :
P
(gerade Zahl
)=
3
6
=
1
2
=
50 %
Die Wahrscheinlichkeit einer geraden Zahl liegt bei 50%
Jetzt vergleichen wir die Wahrscheinlichkeit einer geraden Zahl mit unserem Versuch
P((2;4;6)) = P(gerade Zahl) mit 60-mal Würfeln Die Zahl 2 hat 6 Erscheinungen
Die Zahl 4 hat 15 Erscheinungen Die Zahl 6 hat 6 Erscheinungen Die Summe aller geraden Zahl ist 27
P
(gerade Zahl
)=
27
60
=
20
9
=
45 %
Die Wahrscheilichkeit einer geraden Zahl mit 60-mal Würfeln ist 45 %
Daraus können wir zusammenfassen,dass bei mehrerem Würfeln die Wahrscheinlichkeit einer geraden Zahl geringer ist. Dies ist aufgrund der Summe der geraden Zahl. Die Anzahl der einzelnen Zahl in mehrerem Würfeln kann unterschiedlich sein,deshalb ist die Summe der geraden Zahl weniger im Vergleich mit einmaligem Würfeln
2.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ungerade Zahl ?
P
(ungerade Zahl
)=
3
6
=
1
2
=
50 %
Die Wahrscheinlichkeit einer ungeraden Zahl ist 50%
Nun vergleichen wir wieder die Wahrscheinlichkeit einer geraden Zahl mit unserem Versuch
P((1;3;5)) = P(ungerade Zahl) mit 60-mal Würfeln Die Zahl 1 hat 10 Erscheinungen
Die Zahl 3 hat 10 Erscheinungen Die Zahl 5 hat 13 Erscheinungen Die Summe aller geraden Zahl ist 33
P
(ungerade Zahl
)=
33
60
=
11
20
=
55 %
Die Wahrscheilichkeit einer ungeraden Zahl mit 60-mal Würfeln ist 55 %
Dieses Mal haben wir die Wahrscheinlichkeit einer ungeraden Zahl mit 60-mal Würfeln großer als die normale Wahrscheinlichkeit mit einmaligem Würfeln. Dies ist ebenso aufgrund der Summe der ungeraden Zahl. Auch beim Auftretten einer ungeraden Zahl in mehreren Würfeln kann demzufolge die Augensumme der ungeraden Zahl bewirken. Im Vergleich mit der geraden Zahl liegt die Wahrscheinlichkeit immer noch nahe bei 50 %. Im Schluss fassen wir zusammen,dass bei mehr 60-maligem Würfeln die Wahrscheinlichkeiten der geraden und ungeraden Zahl nahe bei 50% mit der Abweichung von 5% sind.
3. Laplace-Experiment mit Münzen
Wie wir am Anfang schon erklärt haben,dass diese Wahrscheinlichkeitstheorie die gleichen Wertergebnisse für alle möglichen Ergebnisse ermöglicht.
Bei einer Münze gibt es 2 Seite ,nämlich Zahl und Kopf11
Das Münzenwürfeln ist ein Beispiel ,das sehr oft in vielen Bücher behandelt wurde. Dieses Beispiel handelt es sich um ein zufalliges Ereignis. Das Münzenwürfeln verwendet ein Schiedsrichter normalerweise bei Seitenauswahl im Fußballspiel oder einfach als ein Glückspiel. Theoretisch bekommen wir beim Würfeln einer Münzen die Wahrscheinlichkeit genau 50%. Dies kann man einfach beweisen, Aufgrund eine Münze nur 2 Seiten hat. Nun bringen wir einen Schritt voran,und daher berechen wir die Wahrscheinlichkeit einer Zahl mit Laplace-wahrscheinlichkeitstheorie um rechnerisch zu bestätigen ob die Wahrscheinlichkeit übereinstimmt.
Als Ereignismenge oder besser erkennt man als die Anzahl der gewünschte Ergebnisse haben wir die Zahl einer Münze. Als Ergebnismenge oder in Zufallsversuch erkennt man als die Anzahl der mögliche Ergebnise haben wir die beiden Seiten einer Münze nämlich sind die Zahl und Kopf. Jetzt wird es in mathematische Betrachtung übersetzt
- Anzahl der gewünschten Ergebnissmenge / Ereignismenge = ( Zahl ) = 1
- Anzahl der möglichen Ergebnise / Ergebnismenge = ( Zahl;Kopf ) = 2
11 Bildquelle: https://www.studienkreis.de/mathematik/einfache-zufallsexperimente/
Laut der Formel setzen wir die Zahl ein :
P
(Zahl der Münze
)=
1
2
=
50 %
Nachdem wir rechnerisch mit Laplace-wahrscheinlichkeitstheorie untersucht haben,bekommen wir das Ergebnis 50% und dies bestätigt schon, dass die Wahrscheinlichkeit von einer Münzenwurf theoretisch und rechnerisch übereinstimmt. Wir wollen aber noch unseren Versuch wieder untersuchen,mit dem wir die Wahrscheinlichkeiten versuchen zu erweitern. Hierbei wird ein Zufallsexperiment,welches aus mehreren Einzelexperimenten (beispielsweise 3-mal Würfeln) gemacht, und dessen die Ergebnisse mit Baumdiagramm dargestellt werden können.
Um die Anzahl der möglichen Ergebnisse verwenden wir hierbei die Variation mit Wiederholung
(
Anzahl der möglichen Ergebnisse
)=
n
kn = ist die Anzahl der verschiedenen Elemente k = ist die Anzahl der ausgewählten Elemente
In unserem Fall ist n = die Elemente von Münze ( Kopf und Zahl ) und k = die Würfelelemente,die wir auswählen,um das Zufallsexperimenten zu variieren,und somit haben wir daraus bekommen
(
Anzahl der möglichen Ergebnisse
)=
2
3=
8
Aus 8 verschiedenen Variationen haben wir folgende Reihen für Münzen,die mehr fach gewürfelt werden,wobei K für Kopf und Z für Zahl steht.
K K K K K Z K Z K K K Z
Darstellung eines Baumdiagramms12
Aus dem Baumdiagramm liest man den ersten Eintrag eines Kreises dem ersten Wurfergebnis,der zweite Kreis dem zweiten Wurfergebnis und der dritte Kreis dem dritten Wurfergebnis. Dieses leere Baumdiagram können wir noch mit jeden einzelnen Wahrscheinlichkeiten an jeder Experimentsstufe ins Diagramm die passende Stelle eintragen,dann wird jedoch das neue Baumdiagramm so ausgesehen
Das neue
Diagramm mit eingetragene
Wahrscheinlichkeiten
Jetzt sind alle Wahrscheinlichkeiten in der passenden Stelle eingetragen,und dennoch haben wir nicht die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses,von daher multiplizieren wir die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang der Pfadlinie,dessen bekommen wir die richtige Ereignisergebnisse.
12 Bildquelle :
Das fertige Baumdiagramm mit den Ereignisergebnisse
Neben dem Baumdiagram-verfahren können wir allerdings direkt die
Einzelereignisergebnis durch normale Wahrscheinlichkeitsrechnung bei 3-maligem Wurf berechnen
P
(Zahl
)=
1
8
=
12,5 %
Am Ende bekommen trotz die gleiche Wahrscheinlichkeit aber mit verschiedenen Verfahren.
3.1 Die Münzenwurfsergebnisse
25 K Z K 50 Z K Z
3.2
Versuchsberechnungen und Analyse
1) Absolute Häufigkeit ( hj ) und Wahrscheinlichkeit ( P) jeder Würfe
S = {K,Z} ; n = 150
Absolute Häufigkeit für Kopf : K = 74
Absolute Häufigkeit für Zahl : Z = 76
Wahrscheinlichkeit für Kopf : K
P
(K
)=
150
74
=
0,493
≈
0,5
=
50 %
Wahrscheinlichkeit für Zahl : Z
P
(Z
)=
150
76
=
0,507
≈
0,5
=
50 %
2) Absolute Häufigkeit ( hj ) und Wahrscheinlichkeit ( P ) jedes Versuchs
S = {KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ} ; n = 50
Ereignis Absolute Häufigkeit Wahrscheinlichkeit in %
K K K 6 6/50 = 0,12 12%
K K Z 8 8/50 = 0,16 16%
K Z K 6 6/50 = 0,12 12%
K Z Z 5 5/50 = 0,1 10%
Z K K 4 4/50 = 0,08 8%
Z K Z 7 7/50 = 0,14 14%
Z Z K 8 8/50 = 0,16 16%
Z Z Z 6 6/50 = 0,12 12%
Quellenverzeichnis
- Mathematik 3 Vorlesungsskript ; Kästner, Stefan-Manfred
- Mathematik 3 Vorlesungsskript ; Werner, Laura
Eidesstattliche Erklärung
Hiermit erklären wir, diese Arbeit ohne Hilfe oder Mitarbeit von anderen angefertigt zu haben. Alle Textstücke die nicht gekennzeichnet sind, wurden mit meinen eigenen Worten geschrieben.
Alle Zitate (Direkte sowie Indirekte) wurden ordnungsgemäß gekennzeichnet. Alle Quellen wurden ordnungsgemäß im Quellenverzeichnis angegeben. Bei Internetquellen wurde das Datum der Internetseite zu Zeitpunkt der Verwendung hinterlegt.
Wir versichern keine Plagiate verwendet zu haben
Friedberg,den 16. Dezember 2016, Fadhlan Nazhif Iskandar
Friedberg,den 16. Dezember 2016, Rakyan Bayundriyo
