LAJU PERPINDAHAN KALOR DAN EFEKTIVITAS SIRIP PADA KASUS 3 DIMENSI KEADAAN TAK TUNAK

(1)

TUGAS AKHIR

Untuk memenuhi sebagian persyaratan Mencapai derajat sarjana S-1

Program Studi Teknik Mesin Jurusan Teknik Mesin

Diajukan oleh :

SHIRLEEN YOHANA NIM : 045214006

Kepada

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA 2008

(2)

FINAL PROJECT

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Teknik Degree

In Mechanical Engineering

By :

SHIRLEEN YOHANA Student Number : 045214006

MECHANICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM MECHANICAL ENGINEERING DEPARTMENT

SCIENCE & TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA 2008

(3)

(4)

(5)

Who has allowed me to reach my future with my

own way

And never leave me alone there

My Dad n Mom,

My Brother and Sister, Ryanto and Shirley,

and also My little Liesl

For the best love, exceptional, and support

Even when my choice is really seems so strange

for all of you

And you can’t understand why I choose to do

this job

All my friends

For the best friendship I ever have

You are my wings forever, friends

And for Someone

Who has given me the very best times in my life

I really appreciate the moments we’ve shared

With love, tears, joy and laugh

Thank you, My Friend

Hope God will always give the best for you

“Not with force, not with power but only with My Spirit”, God says,

“My grace is all you need;

for My power is strongest when you are weak”

(Zachariah 4:6, 2 Corinthians 12:9)

(6)

karya orang lain yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi, dan sepanjang pengetahuan penulis tidak terdapat pula pendapat atau karya yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang maupun instansi lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan dicantumkan dalam daftar pustaka sebagai sumber-sumber referensi.

Yogyakarta, 8 Januari 2008

Penulis

(7)

(8)

perpindahan kalor konduksi ditinjau dalam 3 arah, yakni arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z.

Penelitian ini dilakukan terhadap sebuah sirip berongga. Panjang sirip 1 cm dan penampang sirip berbentuk persegi berukuran 1 cm x 1 cm. Suhu awal sirip (Ti) sama dengan suhu dasar sirip (Tb) sebesar 200oC. Sirip tersebut

dikondisikan pada lingkungan dengan suhu 50oC. Sifat-sifat bahan sirip seperti massa jenis (ρ) dan kalor jenis (c) diasumsikan tidak berubah terhadap perubahan suhu. Variasi dilakukan terhadap nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h1 (di

luar sirip) dan h2 (di dalam rongga sirip) serta bahan sirip. Penyelesaian dilakukan

secara simulasi numerik dengan metode beda hingga cara eksplisit.

Hasil penelitian memperlihatkan bahwa (1) makin besar nilai h1, laju

aliran kalor semakin besar sedang efektivitas menurun. Untuk sirip Aluminium saat t = 4 detik,h2 = 10 W/m2oC, Tb = Ti = 200oC dan Tfluida = 50oC jika h1

berturut-turut: 1000 W/m2oC, 2000 W/m2oC, 3000 W/m2oC, 4000 W/m2oC, 5000 W/m2oC; maka laju aliran kalor : 62,2 W; 112,5 W; 154,9 W; 191,9 W; 224,7 W; efektivitas: 4,1; 3,7; 3,4; 3,2; 2,9. (2) Makin tinggi nilai h2, laju aliran kalor dan

efektivitas meningkat. Untuk sirip Aluminium saat t = 4 detik, h1= 1000 W/m2oC,

Tb = Ti = 200oC dan Tfluida = 50oC jika h2 berturut-turut : 100 W/m2oC, 200

W/m2oC, 300 W/m2oC, 400 W/m2oC, 500 W/m2oC; maka laju aliran kalor : 64,7 W; 67,6 W; 70,4 W; 73,1 W; 75,9 W; efektivitas : 4,3; 4,5; 4,7; 4,9; 5,1. (3) Makin besar nilai h1=h2, laju aliran kalor meningkat dan efektivitas menurun.

Untuk sirip Aluminium saat t = 4 detik, Tb = Ti = 200oC dan Tfluida = 50oC jika

h1=h2 berturut-turut : 300 W/m2oC, 400 W/m2oC, 500 W/m2oC, 600 W/m2oC, 700

W/m2oC; maka laju aliran kalor : 29,9 W; 39,3 W; 48,2 W; 56,9 W; 65,4 W; efektivitas : 6,7; 6,5; 6,4; 6,3; 6,2. (4) Sifat bahan sirip mempengaruhi laju aliran kalor dan efektivitas sirip. Bahan yang memiliki laju aliran kalor dan efektivitas yang baik berturut-turut adalah perak, tembaga, baja, aluminium, kuningan dan besi.

(9)

ini. Tugas Akhir ini merupakan persyaratan untuk dapat mencapai derajat sarjana S-1 di Universitas Sanata Dharma. Penelitian Tugas Akhir ini membahas mengenai laju aliran kalor dan efektivitas pada sebuah sirip pada keadaan tak tunak kasus 3 dimensi dengan variasi koefisien perpindahan panas konveksi h1

dan h2 serta variasi bahan.

Menyadari bahwa ada begitu banyak pihak yang telah memberikan dukungan bagi penulis, mulai sejak awal masa studi di Universitas Sanata Dharma sampai dengan terselesaikannya penulisan Tugas Akhir ini, maka pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

1. Dr. Ir. P. Wiryono P., S.J. selaku Rektor Universitas Sanata Dharma.

2. Ir. Greg. Heliarko, SJ., SS., B.ST., MA., M.Sc. selaku Dekan Universitas Sanata Dharma

3. Bapak Budi Sugiharto, S.T., M.T. selaku Ketua Program Studi Teknik Mesin Universitas Sanata Dharma.

4. Bapak Ir. FX. Agus Unggul Santosa selaku Dosen Pembimbing Akademik. 5. Bapak Ir. PK. Purwadi, M.T. selaku Dosen Pembimbing Tugas Akhir.

6. Segenap dosen dan karyawan Jurusan Teknik Mesin Universitas Sanata Dharma.

7. Laboran Laboratorium Teknik Mesin Universitas Sanata Dharma.

8. Segenap warga masyarakat Paingan yang telah membantu menciptakan iklim belajar yang kondusif bagi mahasiswa.

9. Bapak dan Ibu Pdt. F.Z. Assa untuk dukungan doanya yang tiada henti.

10.Orang tua dan saudara-saudara penulis yang senantiasa memberi dukungan doa, moral maupun material.

11.Rekan – rekan mahasiswa Teknik Mesin Universitas Sanata Dharma untuk semangat dan solidaritasnya.

12.Teman-teman kos Dewi yang sudah berbagi suka duka selama masa studi ini.

(10)

Penulis juga menyadari bahwa dalam penulisan Tugas Akhir ini masih terdapat banyak kekurangan dan masih pelu disempurnakan. Oleh karena penulis sangat menghargai kritik dan saran sehingga dapat melakukan perbaikan di kemudian hari.

Akhir kata, penulis berharap Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi rekan-rekan mahasiswa yang mungkin akan melakukan penelitian sejenis maupun bagi pembaca lainnya.

Yogyakarta, 8 Januari 2008

(11)

HALAMAN JUDUL (INGGRIS) ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

PERSEMBAHAN ... v

PERNYATAAN ... vi

PERSETUJUAN PUBLIKASI ... vii

INTISARI ... viii

KATA PENGANTAR ... ix

DAFTAR ISI ... xi

DAFTAR TABEL ... xv

DAFTAR GAMBAR ... xvi

DAFTAR NOTASI ... xix

BAB I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Batasan Masalah ... 3

1.2.1. Bentuk Geometri Sirip ... 3

1.2.2. Model Matematika ... 4

1.2.3. Kondisi Awal ... 4

1.2.4. Kondisi Batas ... 4

1.2.5. Asumsi ... 4

1.3. Tujuan ... 5

1.4. Manfaat ... 5

BAB II. DASAR TEORI 2.1. Perpindahan Kalor Pada Sirip ... 6

2.2. Perpindahan Kalor Konduksi ... 7

(12)

2.4.1.2. Bilangan Nusselt (Nu ) ... 12

2.4.2. Konveksi Paksa ... 13

2.5. Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi ... 15

2.6. Laju Perpindahan Kalor ... 16

2.7. Efektivitas Sirip ... 17

BAB III. PERSAMAAN NUMERIK DI SETIAP TITIK 3.1. Kesetimbangan Energi pada Volume Kontrol ... 18

3.2. Penurunan Model Matematis ... 19

3.3. Persamaan Numerik di Setiap Volume Kontrol ... 22

3.3.1. Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Permukaan Benda ... 22

3.3.2. Persamaan Numerik untuk Distribusi suhu di Sudut Luar Benda ... 25

3.3.3. Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Rusuk Luar Benda ... 27

3.3.4. Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Dalam Benda ... 29

3.3.5. Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Rusuk Dalam Benda ... 31

3.3.6. Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Sudut Dalam Benda ... 34

BAB IV. METODE PENELITIAN 4.1. Benda Uji ... 37

4.2. Variasi Penelitian ... 39

4.3. Peralatan Pendukung ... 41

(13)

BAB V. HASIL PERHITUNGAN DAN PEMBAHASAN

5.1. Hasil Perhitungan ... 44

5.1.1. Variasi Nilai Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi (h1) ... 44

5.1.1.1. Distribusi Suhu ... 44

5.1.1.2. Laju Aliran Kalor ... 45

5.1.1.3. Efektivitas ... 46

5.1.2. Variasi Nilai Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi (h2) ... 48

5.1.3. Variasi Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi (h1 dan h2) dengan Nilai yang Sama ... 52

5.1.3.2.Efektivitas ... 54

5.1.4. Variasi Bahan ... 55

5.2. Pembahasan ... 60

5.2.1. Variasi nilai koefisien perpindahan kalor konveksi (h1) ... 60

5.2.2. Variasi nilai koefisien perpindahan kalor konveksi (h2) ... 61

5.2.3. Variasi Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi (h1 dan h2) dengan Nilai yang Sama ... 63

5.2.4. Variasi Bahan ... 64

(14)

DAFTAR PUSTAKA ... 68

(15)

Tabel 2.3 Nilai Kira-kira Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi ... 15

(16)

Gambar 2.2 Perpindahan Kalor Konveksi ... 10

Gambar 2.3 Silinder Horisontal ... 12

Gambar 2.4 Aliran Fluida pada Bidang Datar ... 13

Gambar 3.1 Keseimbangan Energi dalam Volume Kontrol ... 18

Gambar 3.2 Kesetimbangan Energi pada Volume Kontrol untuk Penelitian ... 19

Gambar 4.1 Benda Uji ... 37

Gambar 4.2 Pembagian Benda Uji ... 38

Gambar 4.3 Pembagian Benda Uji menjadi Volume Kontrol ... 38

Gambar 5.1 Distribusi Suhu Sirip Aluminium pada Node 23b-33b saat 4 Detik Pertama ... 44

Gambar 5.2 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1=1000W/m2oC ... 45

Gambar 5.7 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1=1000W/m2oC ... 46

(17)

Gambar 5.22 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = h2 =300W/m C .... 52

Gambar 5.23 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = h2 =400W/m2oC .... 52

Gambar 5.27 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1 = h2 =300W/m2oC ... 54

Gambar 5.32 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium ... 56

Gambar 5.33 Laju Aliran Kalor Sirip Tembaga ... 56

Gambar 5.34 Laju Aliran Kalor Sirip Baja ... 56

Gambar 5.35 Laju Aliran Kalor Sirip Perak ... 57

Gambar 5.36 Laju Aliran Kalor Sirip Kuningan ... 57

Gambar 5.37 Laju Aliran Kalor Sirip Besi ... 57

Gambar 5.38 Efektivitas Sirip Aluminium ... 58

Gambar 5.39 Efektivitas Sirip Tembaga ... 58

Gambar 5.40 Efektivitas Sirip Baja ... 58

Gambar 5.41 Efektivitas Sirip Perak ... 59

Gambar 5.42 Efektivitas Sirip Kuningan ... 59

Gambar 5.43 Efektivitas Sirip Besi ... 59

Gambar 5.44 Laju Perpindahan Kalor Sirip Aluminium dengan h1 divariasi dan h2 tetap ... 60

Gambar 5.45 Efektivitas Sirip Aluminium dengan h1 Divariasi dan h2 Tetap ... 60

Gambar 5.46 Laju Perpindahan Kalor Sirip Aluminium dengan h2 Divariasi dan h1 Tetap ... 61

Gambar 5.47 Efektivitas Sirip Aluminium dengan h2 Divariasi dan h1 Tetap ... 62

(18)

(19)

x T

∂ ∂

= Gradien suhu ke arah perpindahan kalor

ρ = Massa jenis (kg/m3)

Cp = Kalor spesifik bahan (J/kg°C)

h = Koefisien perpindahan kalor konveksi (W/m2oC)

A = Luasan permukaan dinding benda (m2)

Tw = Suhu permukaan benda (oC)

T∞ = Suhu fluida (oC)

v = Viskositas kinematik (m2/s)

Pr = Bilangan Prandtl

Gr = Bilangan Grashof Ra = Bilangan Rayleigh Nu = Bilangan Nusselt

Q = Laju perpindahan kalor (Watt) ε = Efektivitas sirip

Asi = Luas permukaan sirip pada node i (m2) Ac0 = Luas penampang dasar sirip (m2) Ti = Suhu sirip pada node i (ºC)

Tb = Suhu dasar sirip (ºC)

T_∞ = Suhu fluida (ºC)

h = Koefisien perpindahan kalor konduksi (W/m2 ºC)

n = Jumlah volume kontrol

(20)

BAB I PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Komputer adalah alat yang sangat dekat dengan kehidupan kita dewasa ini. Seiring dengan perkembangan jaman, teknologi yang harus diaplikasikan oleh komputer pun semakin canggih dan beragam. Hal ini menyebabkan kerja prosesor sebagai otak dari komputer menjadi semakin berat dan tidak jarang menyebabkan suhu prosesor menjadi tinggi. Kenaikan suhu ini dapat menyebabkan prestasi kerja komputer menurun dan waktu untuk ‘berpikir’ menjadi lebih lama. Hal ini tentu saja sangat merugikan karena tidak ada operator maupun industri yang menghendaki prestasi kerja dan efisiensi yang rendah dari alat/mesin yang digunakannya. Untuk mengatasi masalah tersebut maka proses pendinginan perlu dipercepat.

Ada beberapa cara untuk mempercepat proses pendinginan, antara lain dengan meningkatkan kecepatan aliran fluida pendingin, menggunakan fluida pendingin yang memiliki nilai perpindahan kalor konveksi lebih besar, atau memperluas permukaan benda dengan menggunakan sirip. Untuk pendingin prosesor komputer umumnya digunakan sirip karena lebih aman dan ekonomis. Selain pada prosesor komputer, sirip banyak juga digunakan pada alat-alat dengan suhu yang tinggi lainnya misalnya seperti motor bakar.

(21)

koefisien perpindahan kalor konveksi dengan menggunakan metode komputasi beda hingga cara eksplisit.

Penelitian mengenai kasus benda 3 dimensi pernah dilakukan oleh Dwi Akwin Tarwan dengan judul ”Distribusi Suhu pada Benda Padat Tiga Dimensi Keadaan tak Tunak” yang bertujuan mengetahui pola distribusi suhu pada benda padat 3 dimensi berbentuk kubus dengan variasi koefisien perpindahan kalor konveksi h dan koefisien perpindahan kalor konduksi k dengan asumsi bahwa sifat-sifat bahan tetap dan tidak ada pembangkitan energi. Hasil yang diperoleh dari penelitian ini adalah semakin besar nilai h dan difusivitas termal bahan (α) pola distribusi suhunya semakin cepat menyesuaikan dengan keadaan lingkungan.

Selain itu, ada pula penelitian berjudul ”Distribusi Suhu pada Benda Padat Tiga Dimensi Berbangkit Energi Keadaan tak Tunak” yang dilakukan oleh Leonardus Aditya S. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui distribusi suhu dengan variasi koefisien perpindahan kalor konveksi h, variasi besar energi

pembangkitan dan variasi bahan. Hasilnya adalah semakin besar koefisien

perpindahan kalor konveksi h dan difusivitas termal bahan ( .

q

α) distribusi suhu

yang dihasilkan semakin cepat menyesuaikan dengan kondisi lingkungan, semakin besar energi yang dibangkitkan distribusi suhu yang dihasilkan semakin tinggi.

(22)

dilakukan. Bentuk geometris benda yang digunakan dalam penelitian ini berbeda dengan benda pada kedua penelitian terdahulu.

1.2Batasan Masalah

Sirip 3 dimensi dengan suhu awal yang seragam sebesar Ti secara

tiba-tiba dikondisikan pada suatu lingkungan dengan suhu fluida (T_∞) dengan nilai koefisien perpindahan kalor konveksi (h). Persoalan yang harus diselesaikan adalah bagaimana pengaruh nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h dan bahan sirip terhadap distribusi suhu, laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip pada keadaan tak tunak.

1.2.1 Bentuk Geometri Sirip

Suhu udara = T∞

Nilai Koefisien Perpindahan Kalor = h1

Koefisien Perpindahan Kalor = h2 Suhu dasar sirip = Tb

(23)

1.2.2 Model Matematika

Model matematika yang diperlukan untuk menghitung distribusi suhu pada setiap posisi x, y, z saat t > 0 dituliskan dalam persamaan (1.1)

t T z

T y

T x

T

∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

α

1 2 2 2 2 2 2

……….…... ( 1.1 )

1.2.3 Kondisi Awal

Suhu sirip pada kondisi awal adalah seragam, yakni T=Ti. Secara

matematis dinyatakan dengan persamaan ( 1.2 )

T( x,y,z,t ) = Ti , berlaku untuk setiap posisi x, y, z …... ( 1.2 )

1.2.4 Kondisi Batas

Seluruh permukaan sirip bersentuhan dengan udara luar kecuali pada bagian dasar sirip yang suhunya adalah sama dengan suhu dasar ( Tb ).

1.2.5 Asumsi

a. Sifat-sifat bahan (massa jenis, kalor jenis, konduktivitas termal) konstan (tidak berubah terhadap suhu) dan merata.

b. Suhu awal sirip merata sebesar Ti.

c. Suhu fluida di sekitar sirip nilainya tetap (T∞tetap) dan seragam. d. Nilai koefisien perpindahan kalor konveksi untuk udara di sekitar sirip

tetap dan merata

(24)

1.3Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

a. Membuat program dengan metode beda hingga cara eksplisit untuk menghitung laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip.

b. Mengetahui pengaruh variasi koefisien perpindahan panas konveksi (h1)

terhadap laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip keadaan tak tunak. c. Mengetahui pengaruh variasi koefisien perpindahan panas konveksi (h2)

terhadap laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip keadaan tak tunak. d. Mengetahui pengaruh variasi koefisien perpindahan panas konveksi

(h1=h2) terhadap laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip keadaan

tak tunak.

e. Mengetahui pengaruh variasi bahan sirip terhadap perpindahan kalor dan efektivitas sirip pada keadaan tak tunak.

1.4Manfaat

Penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat, antara lain :

a. Dapat mengetahui pola distribusi suhu, laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip pendingin.

b. Dapat mengetahui pengaruh variasi koefisien perpindahan panas konveksi (h) terhadap laju perpindahan kalor dan efektivitas pada sirip. c. Dapat mengetahui pengaruh variasi bahan terhadap laju perpindahan

kalor dan efektivitas sirip.

(25)

BAB II

DASAR TEORI

2.1Perpindahan Kalor Pada Sirip

Perpindahan kalor adalah peristiwa terjadinya aliran kalor karena adanya perbedaan suhu di antara benda atau material. Ilmu perpindahan kalor mencoba menjelaskan bagaimana energi kalor itu berpindah dari satu benda ke benda lain, serta meramalkan laju perpindahan yang terjadi pada kondisi-kondisi tertentu. Ilmu perpindahan kalor melengkapi hukum pertama dan kedua Termodinamika yang berisikan tentang kekekalan energi dan arah perpindahan kalor yang berlangsung pada arah tertentu.

(26)

2.2Perpindahan kalor konduksi

Proses perpindahan kalor konduksi (conduction) atau hantaran adalah proses perpindahan energi dari bagian yang bersuhu tinggi ke bagian yang bersuhu rendah di dalam suatu medium (padat, cair, atau gas) atau antara medium-medium yang berlainan yang bersinggungan secara langsung disebabkan karena adanya gradien suhu (temperature gradient). Dalam aliran panas konduksi, perpindahan energi kalor terjadi karena hubungan molekul secara langsung tanpa adanya perpindahan molekul yang cukup besar. Persamaan perpindahan kalor konduksi dapat dilihat pada persamaan (2.1) :

x T A k q

∂ ∂ −

= . . ……….... (2.1)

Pada persamaan (2.1) :

q = Laju perpindahan kalor (W)

k = Konduktivitas / hantaran termal (Thermal conductivity) sirip (W/m °C)

A = Luas permukaan benda yang mengalami perpindahan kalor tegak lurus arah perpindahan kalor (m2)

x T

∂ ∂

= Gradien suhu ke arah perpindahan kalor

(27)

Gambar 2.1 Perpindahan Kalor Konduksi

Δx

T2

T1 q

A k

2.3Konduktivitas Termal

Dengan persamaan (2.1) kita dapat melaksanakan pengukuran dalam percobaan untuk menentukan konduktivitas termal berbagai bahan. Untuk gas-gas pada suhu agak rendah, pengolahan analisis teori kinetik gas dapat dipergunakan untuk meramalkan secara teliti nilai-nilai yang diamati dalam percobaan.

(28)

Tabel 2.1 (Nilai Konduktivitas Termal Beberapa Bahan) Konduktivitas

Termal k

Kalor Spesifik Cp

Bahan W/mºC J/kgºC

Logam

Perak (murni) Tembaga (murni)

Aluminium (murni) Nikel (murni)

Besi (murni) Baja karbon 1%C

410 385 202

93 73 43

234 383,1

896

445,9 452 473

Bukan Logam

Kuarsa Magnesit Batu pasir

Kaca Kayu mapel

41,6 4,15 1,83 0,78 0,17

820 1130

710 880 240 Zat Cair Air-raksa

Air

8,21 0,556

1430 4225

Gas

H He Udara Uap air jenuh

0,175 0,141 0,024 0,0206

14314 5200 1005 2060

(J.P.Holman, 1995, hal 7)

2.4Perpindahan Kalor Konveksi

(29)

gas. Perpindahan kalor konveksi dapat dilihat seperti pada Gambar 2.2. Persamaan perpindahan kalor konveksi dapat dilihat pada persamaan (2.2) :

q = h. A (Tw - T∞ ) ... (2.2)

Dengan :

q = Perpindahan kalor (Watt)

h = Koefisien perpindahan kalor konveksi (W/m2oC)

A = Luasan permukaan dinding benda (m2)

Tw = Suhu permukaan benda (oC) T_∞ = Suhu fluida (oC)

Aliran

u

q

A

Arus bebas

T∞

Tw u∞

Gambar 2.2 Perpindahan Kalor Konveksi

Perpindahan kalor konveksi dapat terjadi apabila ada medium yang bersifat bergerak, misal: angin, air, minyak, dan lain-lain.

2.4.1 Konveksi Bebas

(30)

Perbedaan suhu menimbulkan aliran kalor antara fluida dan benda serta mengakibatkan perubahan kerapatan lapisan-lapisan fluida di dekat permukaan. Perbedaan kerapatan ini menyebabkan fluida yang lebih berat mengalir ke bawah dan fluida yang ringan akan mengalir ke atas. Jika gerakan fluida itu hanya disebabkan oleh perbedaan kerapatan yang diakibatkan oleh gradien suhu, tanpa dibantu pompa atau kipas, maka mekanisme perpindahan kalor yang bersangkutan disebut konveksi bebas atau alamiah.

Pada prinsipnya cara pemindahan energi dalam fluida pada arus konveksi bebas dan arus konveksi paksa adalah sama, hanya intensitas gerakan pencampurannya dalam konveksi bebas pada umumnya lebih kecil sehingga koefisien perpindahan kalornya lebih kecil dari konveksi paksa.

Untuk menghitung besarnya perpindahan kalor konveksi bebas, harus diketahui nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h terlebih dahulu. Nilai h

dapat dicari dari Bilangan Nusselt yang merupakan fungsi dari bilangan Rayleigh

(Ra), Nu=f(Ra)=f(Gr.Pr).

2.4.1.1.Bilangan Rayleigh (Ra)

Untuk silinder horizontal berdiameter D, bilangan Rayleigh dinyatakan dengan persamaan (2.3) :

(

)

.Pr v

T T g.β. Gr.Pr Ra

2

w − ∞

=

= ……….. (2.3)

Dengan

(

)

2 T T T , T

1

β w

f f

∞

− = =

(31)

δ = Panjang karakteristik, untuk silinder horizontal δ = D (m)

Tw = Suhu dinding (K) T∞ = Suhu fluida (K)

Tf = Suhu film (K)

v = Viskositas kinematik (m2/detik)

Pr = Bilangan Prandtl

Gr = Bilangan Grashof

Tw

D

T∞

Gambar 2.3 Silinder Horisontal

2.4.1.2.Bilangan Nuselt (Nu)

Untuk silinder horizontal, bilangan Nusselt dinyatakan dengan: Untuk 10-5 < Gr Pr < 1012 :

(

)

[

]

1/6

16/9 9/16 1/2

0,559/Pr 1

Gr.Pr 0,387

0,60 Nu

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

+ +

= ………...…… (2.4)

Untuk aliran laminar dari 10-6 < Grd Pr < 109 :

(

)

(

)

[

₉_/₁₆

]

4/9

1/4 d d

Pr / 559 , 0 1

.Pr Gr 0,518 0,36

Nu

+ +

(32)

2.4.2. Konveksi Paksa

Proses perpindahan kalor konveksi paksa ditandai dengan adanya fluida yang bergerak dikarenakan adanya peralatan bantu. Alat bantu tersebut dapat berupa kipas angin, fan, blower, pompa, dll. Perbedaan kerapatan mengakibatkan fluida yang berat akan mengalir ke bawah dan fluida yang ringan akan mengalir ke atas.

Untuk menghitung laju perpindahan kalor konveksi paksa, nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h harus diketahui. Bilangan Nusselt yang digunakan untuk menghitung h harus dipilih sesuai dengan kasusnya, karena setiap kasus mempunyai bilangan Nusselt tersendiri. Pada konveksi paksa bilangan Nusselt merupakan fungsi dari bilangan Reynold, Nu = f.(Re.Pr). Pada kasus sirip diasumsikan konveksi paksa terjadi sesuai aliran fluida pada bidang datar dapat dilihat pada Gambar 2.4 .

(33)

Untuk berbagai bentuk geometri benda, koefisien perpindahan kalor rata –rata dapat dihitung dari persamaan (2.6):

3 / 1 Pr .

n

f

f v

.d u C k h.d

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

= ∞ _{……… (2.6)}

Tabel 2.2 Konstanta untuk Perpindahan Kalor dari Silinder Tak-bundar

Geometri Redf C n

5 x 103 - 105 0,246 0,588

5 x 103 - 105 0,102 0,675

5 x 103 – 1,95 x 104

0,160 0,0385

0,638 0,782

5 x 103 - 105 0,153 0,638

4 x 103 – 1,5 x 104 0,228 0,731 U∞

d

U∞

d

U∞

d

U∞

d

U∞

d

(J.P.Holman, 1995, hal 268)

(34)

Tabel 2.3 Nilai Kira-kira Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi h

Modus

W/m2oC Btu/h.ft2.oF Konveksi bebas, ∆T=30oC

Plat vertikal, tinggi 0,3 m (1 ft) di udara

Silinder horizontal, diameter 5 cm, di udara

Silinder horizontal, diameter 2 cm, dalam air

Konveksi paksa

Aliran udara 2m/s di atas plat bujur sangkar 0,2 m

Aliran udara 3,5 m/s di atas plat bujur sangkar 0,75 m

Udara 2 atm mengalir di dalam tabung diameter 2,5 cm, kecepatan 10 m/s

Air 0,5 kg/s mengalir di dalam tabung 2,5 cm

Aliran udara melintas silinder diameter 5 cm, kecepatan 50 m/s Air mendidih

Dalam kolam atau bejana Mengalir dalam pipa Pengembunan uap air, 1 atm

Muka vertikal

Di luar tabung horisontal

4,5 6,5 890

12 75 65

3500 180

2500-35.000 5000-100.000

4000-11.300 9500-25.000

0,79 1,14 157

2,1 13,2 11,4

616 32

440-6200 880-17.600

700-2000 1700-4400 (J.P.Holman, 1995, hal 12)

2.5. Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi

(35)

disebabkan bougancy effect) ketika h bervariasi terhadap posisi sepanjang permukaan benda. Untuk kemudahan dalam beberapa aplikasi-aplikasi perancangan, ini sebagai nilai rata-rata hm, di atas permukaan betul-betul

dipertimbangkan dari pada nilai lokal h.

2.6. Laju Perpindahan Kalor

Laju perpindahan kalor atau laju aliran kalor merupakan banyaknya jumlah kalor yang dapat dilepas oleh sirip ke lingkungan dalam bentuk konveksi pada setiap volume kontrol yang bersentuhan dengan udara luar dapat dilihat pada persamaan (2.7).

n

q q

Q= ₀ + ₁ + ₂ +...+

(

− ∞

)

+

(

− ∞

)

+

(

− ∞

)

+ +

(

− ∞

)

=hA T T hA T T hA T T hA T T

Q . _s₀. ₀ . _s₁. ₁ . _s₂. ₂ ... . _sn. _n

(

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

=

∑

= ∞

n

i

i si T T

A h

Q

0

.

))

……….. (2.7)

Dengan :

Q = Laju perpindahan kalor (W)

q = Perpindahan kalor di setiap node (W)

Asi = Luas permukaan sirip pada node i (m2) Ti = Suhu sirip pada node i (ºC)

T_∞ = Suhu fluida (ºC)

(36)

2.7. Efektivitas Sirip

Efektivitas sirip merupakan perbandingan antara kalor yang dilepas sirip sesungguhnya dengan kalor yang dilepas seandainya tidak ada sirip atau tanpa sirip, dapat dilihat pada persamaan (2.8).

(

)

(

)

(

∞

)

= ∞

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

=

∑

T T A h

b c n i

i si

. . ₀

0

ε ……….……. (2.8)

Dengan :

ε = Efektivitas sirip

Asi = Luas permukaan sirip pada node i (m2) Ac0 = Luas penampang dasar sirip (m2) Ti = Suhu sirip pada node i (ºC) Tb = Suhu dasar sirip (ºC) T_∞ = Suhu fluida (ºC)

n = Jumlah volume kontrol

(37)

BAB III

PERSAMAAN NUMERIK DI SETIAP TITIK

3.1 Kesetimbangan Energi pada Volume Kontrol

Kesetimbangan energi pada volume kontrol (ruang yang dibatasi kontrol surface di mana energi dan materi dapat lewat) dapat dinyatakan dengan persamaan dan dapat dilihat pada Gambar 3.1

Ein+ Eg - Eout= Est ... (3.1)

dengan :

Ein = energi yang masuk volume kontrol per satuan waktu (W) Eout = energi yang keluar volume kontrol per satuan waktu (W)

Est= energi yang tersimpan di dalam volume kontrol per satuan waktu (W) Eg = energi yang dibangkitkan dalam volume kontrol per satuan waktu (W)

Eout Eg

Est

volume kontrol

Ein

(38)

Dalam hal ini Ein dan Eoutterkait dengan proses-proses yang terjadi pada

kontrol surface sehingga merupakan fungsi luas permukaan, sedangkan Eg dan Est

merupakan fungsi volume. Pada keadaan steady state tidak terjadi perubahan energi dalam.

3.2. Penurunan Model Matematis

x z

y

qx+dx

qz+dz

qy+dy

qx

qy

qz

dz

dy

dx yo+dy

yo

xo+dx xo

Gambar 3.2 Kesetimbangan Energi pada Volume Kontrol untuk Penelitian Penurunan model matematis untuk kasus ini adalah sebagai berikut:

Ein = qx + qy + qz

Eout = qx+dx + qy+dy + qz+dz

sehingga persamaan (3.1) dapat diuraikan sebagai berikut:

( Ein - Eout ) + Eg = Est

(qx + qy + qz ) – (qx+dx + qy+dy + qz+dz ) = ρ.c.V.

t T

∂ ∂

(39)

qx – qx+dx +qy – qy+dy + qx – qz+dz= ρ.c.V. t T ∂ ∂ Dengan :

qx =

x T dz dy k ∂ ∂

− . . . ; qx+ dx = dx dydz

x T k x x T

k. . . . _⎥. .

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −

qy =

y T dz dx k ∂ ∂

− . . . ; qy+ dy = dy dxdz

y T k y y T

k. . . . _⎥. . ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −

qz =

z T dy dx k ∂ ∂

− . . . ; qz+ dz = dz dxdy

z T k z z T

k. . . . _⎥. .

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −

Maka diperoleh :

(40)

t T V c dy dx dz z T k z dz dx dy y T k y dz dy dx x T k x ∂ ∂ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ . . . . . . . . . . . . . . . . ρ Dikalikan dz dy

dx. .

1

maka diperoleh :

t T c z T k z y T k y x T k x ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ . . . . .

. ρ ... (3.3)

Untuk nilai konduktivitas termal bahan (k) yang konstan, persamaan (3.3) di atas dapat dinyatakan sebagai berikut :

t T z T z y T y x T x ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ . 1 .

α ... (3.4)

sehingga model matematis untuk benda tiga dimensi dalam kasus ini adalah :

t T z T y T x T ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ α 1 2 2 2 2 2 2

; x0<x<x0+dx, y0<y<y0+dy, z0<z<z0+dz, t ≥ 0

T = T(x,y,z,t) = suhu pada posisi (x,y,z) pada saat t (°C)

x = menyatakan posisi pada arah sumbu x (m)

y = menyatakan posisi pada arah sumbu y (m)

z = menyatakan posisi pada arah sumbu z (m)

(41)

3.3. Persamaan Numerik di Setiap Volume Kontrol

Pada penelitian mengenai distribusi suhu pada benda padat 3 dimensi ini terdapat enam persamaan utama yang menjadi dasar untuk mencari persamaan numerik pada tiap volume kontrol.

Persamaan utama tersebut adalah persamaan untuk menghitung distribusi suhu di :

1. Permukaan benda 2. Sudut luar benda 3. Sudut dalam benda 4. Rusuk luar benda 5. Rusuk dalam benda 6. Dalam benda

3.3.1 Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Permukaan Benda

Y

Z

q1 q2

q3

q4

q5 q6

i,j,k+1

i+1,j,k

i,j,k-1 i-1,j,k

i,j,k i,j-1,k

T~,h

∆x

(42)

Kesetimbangan Energi

[

] [ ]

_⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤ ∂ ∂ = + + + + + + t T cV q q q q q

q₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ 0 ρ

di mana

(

n

)

k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T x k x T T z y k x T T kA

q₁ 1, , , , 1, , , , ₁_, _, _, _,

2 . 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ _Δ = Δ − = − − ₋

(

n

)

q₂ 1,, , , 1, , ,, ₁_, _, _, _,

2 . 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ _Δ = Δ − = + + ₊

(

n

)

k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T x k z T T y x k z T T kA

q₃ , , 1 , , , , 1 , , _,_, ₁ _, _,

2 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ = Δ − = + + ₊

(

n

)

q₄ ,, 1 , , ,, 1 , , _, _, ₁ _, _,

2 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_Δ Δ = Δ − = − − ₋

(

)

(

n

)

k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T x k y T T z x k y T T kA

q₅ , 1, , , . , 1, , , = Δ _, ₁_, − _, _,

Δ − Δ Δ = Δ − = − − ₋ ) ( ) )( . ( )

( _, _, ₁ _, _, ₁ 2 _, _,

1 6 n k j i n k j i n k j

i h x z T T h x T T

T T A h

q = _∞ − = Δ Δ _∞ − = Δ _∞ − Volum kontrol di permukaan benda adalah V= ½.∆x.∆y.∆z

Nilai ∆x = ∆y = ∆z, sehingga persamaan kesetimbangan energi menjadi:

(43)

dikalikan dengan

x

k.Δ

2

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

n

)

k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T t k x c T T k x h T T T T T T T T T T , , 1 , , 2 , , 1 , , , 1 , , , 1 , , , , 1 , , , , , , 1 , , , , 1 ) ( 2 2 − Δ Δ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ + − + − + − + − + − + ∞ − − + + − ρ Nilai k x hΔ

= Bi ,

k c ρ = α 1 dan

( )

2

x t

Δ Δ

α ₌_F

o sehingga persamaan menjadi :

(

n

)

k j i n k j i o i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i i n k j

i F T T

T B T T T T T B

T _, _,1 _, _,

1 , 1 , 1 , , 1 , , , , 1 , , 1 1 , , . 2 2 ) 2 6 ( = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + + − + ∞ − − + + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + + − = ∞ − − + + − + T B T T T T T F B Fo T T i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i o i n k j i n k j i 1 , 1 , 1 , , 1 , , , , 1 , , 1 1 , , 1 , , 2 2 )) 2 6 ( 1 .(

Syarat Stabilitas :

1-6Fo-2BiFo≥0

Fo(6+2Bi) 1 ≤

Fo ) 3 ( 2 1 + ≤ i B

JikaFo=

( )

(44)

3.3.2 Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Sudut Luar Benda X Y Z q1 q2 q3 q4 q5 q6 i,j,k i+1,j,k i,j,k+1 i,j-1,k T~,h T~,h

∆x = ∆y = ∆z

∆x T~,h Kesetimbangan Energi

[

] [ ]

_⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤ ∂ ∂ = + + + + + + t T cV q q q q q

q₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ 0 ρ ; di mana:

) ( 4 ) ( 2 . 2 ) ( _, _, 2 1 , , 1 , , 1 1 n k j i n k j i n k j

i T T

x h T T z y h T T A h

q ⎟ − = Δ −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ Δ = − = _∞ _∞ _∞

(

n

)

q₂ 1, , , , 1, , , , ₁_,_, _, _,

4 2 . 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ Δ = Δ − = + + ₊

(

n

)

q₃ , , 1 , , , , 1 , , _, _, ₁ _, _,

4 2 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ Δ = Δ − = + + ₊ ) ( 4 ) ( 2 2 ) ( _, _, 2 1 , , 1 , , 1 4 n k j i n k j i n k j

i T T

x h T T y x h T T A h

q ⎟ − = Δ −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ Δ = − = _∞ _∞ _∞

(

n

)

q₅ , 1, , , , 1, , , _, ₁_, _,_,

4 2 . 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ Δ = Δ − = − − ₋ ) ( 4 ) )( 2 . 2 ( ) ( _, _, 2 1 , , 1 , , 1 6 n k j i n k j i n k j

i T T

x h T T z x h T T A h

(45)

Volum kontrol di permukaan benda adalah V=1/8.∆x.∆y.∆z

(

)

(

)

(

)

[ ]

(

)

t T T c T T x h T T x k T T x h T T x k T T x k T T x h n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i Δ − Δ Δ Δ = + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ + − Δ + − Δ + − Δ + − Δ + − Δ + ∞ − ∞ + + ∞ , , 1 , , , , 2 1 , , , 1 , , , 2 1 , , 1 , , , , , , 1 , , 2 1 z y. x. 1/8. . 0 ) ( 4 4 ) ( 4 4 4 ) ( 4 ρ dikalikan dengan x

k.Δ

4

(

)

(

)

(

)

[ ]

(

n

)

k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T t k x c T T k x h T T T T k x h T T T T T T k x h , , 1 , , 2 , , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 , , , , , , 1 , , 1 2 1 0 ) ( ) ( ) ( − Δ Δ = + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ + − + − Δ + − + − + − Δ + ∞ − ∞ + − ∞ ρ Nilai k x hΔ

= Bi ,

k c ρ = α 1 dan

( )

2

x t

Δ Δ

α

=Fo sehingga persamaan menjadi :

(

)

[

]

(

n

)

k j i n k j i o n k j i n k j i n k j i i n k j

i T T

F T Bi T T T B

T_, _, ₁ ₁_, _, _, _, ₁ _, ₁_, ₁ _,_,1 _, _,

2 1 3 ) 3 3 ( + + + + + = − − + ∞ − + −

(

)

[

]

(

n

)

k j i n k j i o i n k j i n k j i n k j i i n k j

i B T T T BT F T T

T_, _, (3+3 )+ ₁_, _, + _, _, ₁+ _, ₁_, +3 .2 = _, _,1 − _, _,

− + ∞ − + −

(

)

[

− + − ∞

]

+ ₌ ₋ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ T B T T T F B Fo T

T_i_,n_j_,1_k _i_,n_j_,_k.(1 2 (3 3 _i)) 2 _o _in₁_,_j_,_k _i_,n_j_,_k ₁ _i_,n_j ₁_,_k 3 _i

Syarat Stabilitas : 1-6Fo-6BiFo≥0

Fo(6+6Bi) 1 ≤

(46)

JikaFo=

( )

2 x t Δ Δ α maka ) 1 ( 6 2 + Δ ≤ Δ i B x t α

3.3.3 Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Rusuk Luar Benda

X Y Z q1 q2 q3 q4 q5 q6

i-1,j,k i+1,j,k i,j,k+1

i,j-1,k

i,j,k

T~,h

∆x = ∆y = ∆z

∆x Kesetimbangan Energi

[

] [ ]

_⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤ ∂ ∂ = + + + + + + t T cV q q q q q

q₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ 0 ρ ; di mana:

(

n

)

q₁ 1, , , , 1, , , , ₁_, _, _, _,

4 2 . 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ Δ = Δ − = − − ₋

(

n

)

q₂ 1, , , , 1, , , , ₁_,_, _, _,

4 2 . 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ Δ = Δ − = + + ₊

(

n

)

q₃ , , 1 , , , , 1 , , _, _, ₁ _, _,

2 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ = Δ − = + + ₊ ) ( 2 ) ( 2 ) ( _, _, 2 1 , , 1 , , 1 4 n k j i n k j i n k j

i T T

q ⎟ − = Δ −

(47)

(

n

)

q₅ , 1, , , , 1, , , _, ₁_, _, _,

2 2 . − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_Δ Δ = Δ − = − − ₋ ) ( 2 ) )( 2 . ( ) ( _,_, 2 1 , , 1 , , 1 6 n k j i n k j i n k j

i T T

x h T T z x h T T A h

q = _∞ − = Δ Δ _∞ − = Δ _∞ −

Volum kontrol di permukaan benda adalah V=¼.∆x.∆y.∆z

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

(

)

t T T c T T x h T T x k T T x h T T x k T T x k T T x k n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i Δ − Δ Δ Δ = + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ + − Δ + − Δ + − Δ + − Δ + − Δ + ∞ − ∞ + + − , , 1 , , , , 2 1 , , , 1 , , , 2 1 , , 1 , , , , , , 1 , , , , 1 z y. x. ¼. . 0 ( 2 2 ) ( 2 2 4 4 ρ dikalikan dengan x

k.Δ

4

(

) (

)

(

)

(

)

[ ]

(

n

)

k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T t k x c T T k x h T T T T k x h T T T T T T , , 1 , , 2 , , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 , , , , , , 1 , , , , 1 0 ) ( 2 2 ) ( 2 2 − Δ Δ = + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ + − + − Δ + − + − + − + ∞ − ∞ + + − ρ Nilai k x hΔ

= Bi ,

k c ρ = α 1 dan

( )

2

x t

Δ Δ

α

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

n k j i n k j i o n k j i i n k j i n k j i n k j i i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T F T T B T T T T B T T T T T T , , 1 , , , , 1 , , , 1 , , , 1 , , 1 , , , , , , 1 , , , , 1 1 ) ( 2 2 ) ( 2

2 = −

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − + − + − + − + ∞ − ∞ + + −

(

n

)

k j i n k j i o i n k j i n k j i n k j i n k j i i n k j

i F T T

T B T T T T B

T _, _,1 _, _,

(48)

Syarat Stabilitas : 1-6Fo-4BiFo≥0

Fo(6+4Bi) 1 ≤

Fo

) 3 2 ( 2

1

+ ≤

i

B

JikaFo=

( )

2

x t

Δ Δ

α

maka

) 3 2 ( 2

2

+ Δ ≤ Δ

i

B x t

α

3.3.4 Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Dalam Benda

Y

Z

∆x = ∆y = ∆z

∆x

q1 q2

q3

q4

q5 q6

i,j,k i-1,j,k

i+1,j,k

i,j-1,k i,j+1,k

i,j,k-1

i,j,k+1

X

[

] [ ]

_⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤

∂ ∂ =

+ + + + + +

t T cV q

q q q q

(49)

(

)

(

n

)

q₁ 1, , , , . 1,, , , = Δ ₁_, _, − _, _, Δ − Δ Δ = Δ − = − − ₋

(

)

(

n

)

q₂ 1, , , , . 1, , , , = Δ ₁_, _, − _,_, Δ − Δ Δ = Δ − = + + ₊

(

)

(

n

)

q₃ , , 1 , , . ,, 1 , , = Δ _, _, ₁ − _, _, Δ − Δ Δ = Δ − = + + ₊

(

)

( ) ( ) ) ( , , 1 , , , , 1 , , , , 1 , , 4 n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T x k z T T y x k z T T kA

q = Δ −

Δ − Δ Δ = Δ − = − − ₋

(

)

(

n

)

q₅ , 1, , , , 1, , , = Δ _, ₁_, − _, _,

Δ − Δ Δ = Δ − = − − ₋

(

)

( ) ( ) ) ( , , , 1 , , , , 1 , , , , 1 , 6 n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T x k y T T z x k y T T kA

q = Δ −

Δ − Δ Δ = Δ − = + + ₊

Volum kontrol di permukaan benda adalah V= ∆x.∆y.∆z

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

(

)

t T T c T T x k T T x k T T x k T T x k T T x k T T x k n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i Δ − Δ Δ Δ = + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − Δ + − Δ + − Δ + − Δ + − Δ + − Δ + − − − + + − , , 1 , , , , , 1 , , , , 1 , , , 1 , , , , 1 , , , , , , 1 , , , , 1 z y. x. . 0 ) ( ) ( ρ

dikalikan dengan ∆x.k

(

) (

)

(

)

[ ]

(

injk

)

n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T t k x c T T T T T T T T T T T T , , 1 , , 2 , , , 1 , , , , 1 , , , 1 , , , , 1 , , , , , , 1 , , , , 1 0 ) ( ) ( Δ − Δ = + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − + − + − + − ₊ − − − + + − ρ Nilai k x hΔ

= Bi ,

k c ρ = α 1 dan

( )

2

x t

Δ Δ

α

(

)

[

]

(

n

)

k j i n k j i o n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j

i T T

F T T T T T T

T_, _, ₁_, _, ₁_, _, _, _, ₁ _, _, ₁ _, ₁_, _, ₁_, 1 _, _,1 _, _,

6 + + + + + + = −

− + + − − + + −

(

)

[

− + + + − + _∞

]

+ ₌ ₋ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ n

k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i o o n k j i n k j

i T F F T T T T T T

T 1 _,_, ₁_, _, ₁_, _, _, _, ₁ _, _, ₁ _, ₁_, _, ₁_,

,

(50)

Syarat Stabilitas : 1-6Fo≥0

6Fo≤1

Fo

6 1

≤

JikaFo=

( )

2

x t

Δ Δ

α _maka

α

6 2

x

t≤ Δ

Δ

3.3.5 Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Rusuk Dalam Benda

X Y

i,j+1,k

Z

q1

q2 q3

q4

q6

i+1,j,k i,j,k+1

i,j,k-1

q7

q8

i,j,k

q5

i-1,j,k

i,j-1,k

∆x = ∆y = ∆z

∆x

T~,h

[

] [ ]

_⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤

∂ ∂ =

+ + + + + +

t T cV q

q q q q

q₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ 0 ρ ; di mana:

(

)

(

n

)

k j i n

k j i

T T

x k x

T T

z y k x

T T

kA

q₁ 1, , , , . 1, , , , = Δ ₁_, _, − _, _,

Δ − Δ

Δ = Δ

−

(51)

(

n

)

q₂ 1, , , , 1, , , , ₁_, _, _, _, 2 . 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ _Δ = Δ − = + + ₊

(

)

(

n

)

q , , 1 , , 3₄ ,, 1 , , _, _, ₁ _, _, 3 4 3 − Δ = Δ − Δ Δ = Δ − = + + ₊

(

)

(

n

)

q ,, 1 , , 3₄ , , 1 , , _, _, ₁ _,_, 4 4 3 − Δ = Δ − Δ Δ = Δ − = − − ₋

(

)

(

n

)

k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T x k z T T z x k z T T kA

q₅ , 1, , , , 1, , , = Δ _, ₁_, − _, _,

Δ − Δ Δ = Δ − = − − ₋

(

n

)

k j i n k j i n k j i n k j i n k j i n k j i T T x k z T T z x k z T T kA

q₆ , 1, , , , 1, , , _, ₁_, _,_,

2 2 − Δ = Δ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ _Δ = Δ − = + + ₊

(

n

)

k j i n k j i n k j i n k j

i T T

q₇ ₂ _, _, ₂ _, _, ₂ _, _, ₁ _,_,

2 ) ( 2 ) ( ⎟ − = Δ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ _Δ = − = _∞ _∞ ₊

(

n

)

k j i n k j i n k j i n k j

i T T

q₈ ₂ _,_, ₂ _, _, ₂ _, _, ₁ _, _,

2 ) ( 2 ) ( ⎟ − = Δ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ _Δ = − = _∞ _∞ ₊

Volum kontrol di permukaan benda adalah V=3₄_.∆_x.∆_y.∆_z

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

(

)

t T T c T T x h T T x h T T x k T T x k T T