1.1 Latar Belakang Masalah
Banyak masalah nyata yang dapat dibawa ke model program linear. Metode pe-nyelesaian program linear telah digunakan para ahli untuk menyelesaikan masalah di ber-bagai bidang, seperti militer, industri, pertanian, transportasi, ekonomi, kesehatan dan lain-lain. Masalah dalam program linear adalah meminimumkan atau memaksimumkan satu fungsi objektif yang memenuhi semua kendala. Ada tiga parameter dalam program linear, yaitu koefisien fungsi tujuan, matriks teknologi dan batasan sumber pada kendala. Fungsi objektif dan kendala-kendala dalam program linear berbentuk linear. Pada kenya-taannya, seringkali masalah nyata mempunyai tujuan lebih dari satu, bahkan tujuan-tujuan yang ada kadang bertentangan. Sebagai contoh suatu perusahaan ingin mendistribusikan hasil produksinya dari gudang ke distributor-distributornya. Pengiriman ini memerlu-kan biaya dan waktu. Perusahaan ingin meminimummemerlu-kan total ongkos distribusi. Karena barang produksinya tidak tahan lama, maka perusahaan mempunyai tujuan lain, yaitu me-minimumkan waktu tempuh. Masalah optimisasi yang mempunyai tujuan lebih dari satu dikenal dengan masalah optimisasi multi-objektif. Masalah multi-objektif dengan fungsi objektif dan semua kendala linear disebut masalah multi-objektif linear.
Pada kenyataannya, nilai-nilai parameter yang ada dalam masalah mempunyai ke-tidaktepatan atau kabur (fuzzy). Sebagai contoh, persediaan material produksi di pasaran jumlahnya tidak selalu tepat sesuai dengan kebutuhan. Masalah optimisasi yang mem-punyai parameter fuzzy dikenal dengan pemrograman fuzzy. Namun, parameter dalam masalah dapat pula mempunyai unsur ketidakpastian. Masalah optimisasinya dikenal de-ngan pemrograman probabilistik. Berbagai model probabilistik telah diteliti oleh Charnes dan Cooper (1959), Caballero et al. (2004). Dalam model probabilistik, jika nilai proba-bilitasnya bernilai fuzzy, masalahnya disebut program probabilistik fuzzy.
Ketidaktepatan dan ketidakpastian suatu parameter dapat muncul bersamaan.
bagai contoh, pada masalah perencanaan produksi, permintaan suatu komoditi barang dipengaruhi oleh iklim, seperti hujan, cerah dan berawan yang terjadi secara random. Banyaknya permintaan komoditi di setiap iklim terjadi ambigu. Dalam hal ini perminta-annya dinyatakan sebagai variabel random fuzzy. Definisi variabel random fuzzy diberikan pertama kali oleh Kwakernaak (1978). Kemudian, beberapa peneliti memberikan definisi variabel random fuzzy yang berbeda, diantaranya Puri dan Ralescu (1986), Luhandjula (1996), Li dan Liu (2006). Luhandjula mengenalkan program linear dengan matriks tek-nologi dan batasan sumber merupakan parameter random fuzzy yang berada pada satu ruang probabilitas. Pada kenyataannya, nilai ketidakpastian suatu parameter dapat dipe-ngaruhi oleh faktor yang berbeda. Sebagai contoh, sebuah industri mebel memproduksi dua tipe meja belajar. Bahan kayu yang diperlukan untuk membuat sebuah meja masing-masing tipe dapat ditentukan dengan pasti, namun ketersediaan bahan baku kayu tidak dapat dipastikan banyaknya dan kepastian ketersediaannya dapat dipengaruhi oleh berba-gai faktor, seperti kondisi tanaman penghasil. Ketersediaan kayu ini merupakan parameter bernilai random fuzzy. Permintaan meja masing-masing tipe jumlahnya tidak dapat diten-tukan dengan tepat, hal ini dapat dipengaruhi oleh persaingan produk sejenis di pasaran. Ketidakpastian ketersediaan kayu dan permintaan dipengaruhi oleh faktor yang berbeda, sehingga kedua parameter random fuzzy ini berada pada ruang probabilitas yang berbeda.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang, peneliti ingin mengembangkan masalah program li-near multi-objektif dengan setiap parameter random fuzzy berada pada ruang probabilitas yang berbeda, yaitu
(i.) Model multi-objektif dengan koefisien fungsi tujuan random fuzzy pada setiap fung-si tujuan berada pada ruang probabilitas yang berbeda dan kendala deterministik,
min(f1(x, ˜c¯1), f2(x, ˜c¯2), · · · , fK(x, ˜c¯K)) (1.1)
(ii.) Model multi-objektif dengan tujuan deterministik dan parameter batasan sumber pada setiap kendala bernilai random fuzzy pada ruang probabilitas yang berbeda,
min(f1(¯x, c1), f2(¯x, c1), · · · , fK(¯x, cK)) (1.2)
dengan kendala A¯x ≥ ˜b, ¯¯ x ≥R0.
Penjelasan notasi pada model:
fk: fungsi tujuan ke-k, k = 1, · · · , K
x = (x1, · · · , xn)T, menyatakan vektor variabel keputusan
˜
¯ck= (˜¯ck1, · · · , ˜¯ckn), menyatakan vektor parameter random fuzzy untuk fungsi
tujuan ke-k
ck= (ck1, · · · , ckn), menyatakan vektor koefisien fungsi tujuan ke-k
A : matriks teknologi berukuran m × n b = (b1, · · · , bm)T, vektor batasan sumber
¯
x = (¯x1, · · · , ¯xn)T, vektor keputusan fuzzy
˜ ¯
b = (˜¯b1, · · · , ˜¯bm)T, vektor batasan sumber random fuzzy
R : ranking fuzzy
≥R: lebih dari sama dengan secara ranking.
Notasi-notasi tersebut dipakai dalam penulisan berikutnya.
Fungsi objektif pada masalah (1.1) memuat parameter random fuzzy, sehingga se-tiap fungsi objektif merupakan variabel random fuzzy. Kata "min" diartikan meminimum-kan karakteristik dari pemrograman random fuzzy. Pada penelitian ini, definisi variabel random fuzzy merujuk pada definisi yang diberikan oleh Luhandjula (1996). Peneliti akan mendefinisikan karakteristik variabel random fuzzy yaitu nilai harapan, variansi dan standard deviasi. Masalah (1.1) akan ditransformasi menjadi pemrogramman fuzzy de-ngan pendekatan variansi, standard deviasi dan probabilitas. Pada model (1.2) terdapat parameter random fuzzy pada kendala, sehingga daerah fisibel berubah-ubah bergantung pada derajat keanggotaan variabel fuzzy. Peneliti akan memberikan syarat parameter fuzzy sehingga daerah fisibel tetap ada untuk semua derajat keanggotaan. Masalah (1.2) akan ditransformasi menjadi masalah fuzzy dengan pendekatan nilai harapan.
Hasil transformasi masalah (1.1) dengan pendekatan nilai harapan dan variansi adalah masalah program linear multi-objektif (PLMO) fuzzy. Model PLMO fuzzy ini dibawa ke model program linear fuzzy dengan metode pembobotan. Peneliti mengem-bangkan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah program linear fuzzy. Namun, pendekatan probabilitas mentransformasi masalah (1.1) menjadi program non-linear pe-cahan biner campuran. Penyelesaian program non-linear ini tidak menjadi bagian dari penelitian ini.
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan masalah yang telah dirumuskan, tujuan penelitian ini adalah :
(i.) menyelesaikan model (1.1) dengan pendekatan nilai harapan, variansi dan probabi-litas,
(ii.) mendefinisikan penyelesaian efisien nilai harapan, variansi dan probabilitas untuk masalah (1.1),
(iii.) menunjukkan ekuivalensi masalah awal (1.1) dengan masalah hasil transformasi dengan pendekatan nilai harapan,
(iv.) menyelesaikan masalah (1.2) dengan pendekatan nilai harapan,
(v.) memberikan syarat-syarat bilangan fuzzy untuk batasan sumber pada masalah (1.2) supaya daerah fisibel tetap ada dan konveks sehingga eksistensi penyelesaian terja-min untuk semua derajat keanggotaan α ∈ [0, 1].
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah:
1. Memberikan kontribusi dalam pengembangan masalah program linear multi-objektif (PLMO) dengan parameter random fuzzy dan metode penyelesaiannya.
2. Penyelesaian masalah program linear multi-objektif dengan parameter random fuzzydapat membantu para pembuat keputusan dalam mengambil kebijakan.
1.5 Keaslian Disertasi
Berdasarkan paparan dalam latar belakang dan tinjauan pustaka, PLMO (1.1) dan (1.2) berbeda dengan PLMO dengan parameter random fuzzy yang diteliti oleh Katagiri et al. (2008), Liu (2009), Sakawa et al. (2011) dan Yano et al. (2014). Model PLMO yang diberikan oleh Katagiri et al. (2008), parameter koefisien fungsi tujuan, entri matriks teknologi dan batasan sumber semua bernilai random fuzzy. Setiap bilangan fuzzy pada koefisien fungsi tujuan random fuzzy diasumsikan merupakan bilangan fuzzy yang meru-juk ke fungsi referensi tertentu. Pembuat keputusan menentukan tingkat α, artinya semua kepentingan dicapai dengan semua fungsi keanggotaan fungsi tujuan mencapai tingkat lebih besar sama dengan α. Metode ini mentransformasi PLMO random fuzzy menjadi PLMO probabilistik. Kemudian, model probabilistik ini diselesaikan dengan pendekatan probabilitas.
Liu (2009) mendefinisikan variabel fuzzy adalah fungsi terukur dari ruang kredi-bilitas ke himpunan semua bilangan real. Liu juga memberikan program multi-objektif dengan variabel fuzzy. Masalah tersebut diselesaikan dengan pendekatan program multi-objektif nilai harapan (expected value multiobjective programming) dan program tujuan nilai harapan (expected value goal programming). Definisi variabel random fuzzy yang digunakan oleh Katagiri et al. (2008), Sakawa et al. (2011) dan Yano et al. (2014) adalah fungsi terukur dari ruang probabilitas.
Definisi variabel random fuzzy pada model PLMO yang diberikan Sakawa et al. (2011) berbeda dengan definisi variabel random fuzzy yang dikemukakan Luhandjula (1996). Bilangan fuzzy yang digunakan pada definisi variabel random fuzzy oleh Luhandjula harus memenuhi pendukung bilangan fuzzy harus terbatas. Sedangkan defi-nisi bilangan fuzzy yang dipakai Sakawa tidak disyaratkan pendukungnya terbatas. Jika digunakan variabel random fuzzy yang didefinisikan oleh Sakawa et al. (2011), maka nilai harapan pada variabel random fuzzy yang didefinisikan oleh penulis bukan merupakan
bilangan fuzzy. Hal ini berakibat PLMO dengan parameter random fuzzy tidak dapat di-transformasi menjadi program multi-objektif fuzzy.
Yano et al. (2014) memberikan program linear multi-objektif dengan koefisien fungsi tujuan random fuzzy. Dibentuk fungsi keanggotaan untuk setiap fungsi tujuan, ke-mudian model ditransformasi menjadi program multi-objektif probabilistik dengan me-maksimumkan ukuran possibility. Kedua, model diselesaikan dengan pendekatan nilai harapan atau variansi dan diselesaikan secara interaktif.
Pada penelitian ini PLMO dibedakan menjadi dua, yaitu PLMO dengan koefisi-en fungsi tujuan random fuzzy dan PLMO dkoefisi-engan batasan sumber random fuzzy. Pada penelitian ini dipakai definisi variabel random fuzzy yang dikemukakan oleh Luhandju-la (1996). PLMO random fuzzy ditransformasi ke PLMO fuzzy dengan pendekatan niLuhandju-lai harapan, variansi dan probabilitas. Peneliti terlebih dahulu mendefinisikan nilai harapan, variansi dan probabilitas pada variabel random fuzzy.
1.6 Tinjauan Pustaka
Sejak Bellman dan Zadeh (1970) mengenalkan konsep pengambilan keputusan fuzzy, beberapa peneliti mengenalkan berbagai model program linear fuzzy. Program li-near dengan koefisien fungsi tujuan fuzzy, batasan sumber fuzzy dan entri matriks teknolo-gi fuzzy dikemukakan oleh Maleki et.al (2000). Bilangan fuzzy pada masalah ini semuanya bilangan fuzzy trapesium. Dipilih ranking fuzzy tertentu untuk bilangan fuzzy trapesium. Selanjutnya masalah diselesaikan dengan metode simpleks untuk masalah ini. Program linear dengan rhs fuzzy dan variabel keputusan fuzzy dikemukakan oleh Nasseri dan Ardil (2005). Bilangan fuzzy pada batasan sumber adalah bilangan fuzzy trapesium. Dipilih satu ranking fuzzy linear, kemudian masalah diselesaikan dengan metode simpleks untuk masalah ini. Program linear dengan koefisien fungsi tujuan bilangan fuzzy trapesium dike-mukakan oleh Zangiabadi dan Maleki (2007). Masalah program linear ini ditransformasi menjadi masalah program linear multi-objektif dengan memilih k ranking fuzzy.
Pada perkembangannya, para peneliti mengembangkan program linear objektif fuzzy. Tanino et al.(2003) memaparkan perkembangan penelitian program
multi-objektif fuzzy. Program multi-multi-objektif fuzzy dengan semua parameter fuzzy, model di-transformasi ke model deterministik dan diselesaikan dengan metode fuzzy interaktif. Program tujuan fuzzy, model ini mempunyai fungsi objektif fuzzy, artinya setiap fungsi objektif ditetapkan nilainya lebih kecil atau sama dengan suatu nilai tujuan yang hendak dicapai. Model dibawa ke model program linear konvensional dengan mendefinisikan fungsi keanggotaan linear.
Nilai parameter dalam model selain bernilai fuzzy, dapat pula memuat unsur keti-dakpastian. Hal ini mendasari munculnya program linear probabilistik maupun program linear multi-objektif probabilistik. Charnes dan Cooper (1959) menyelesaikan program linear probabilistik dengan metode chance constrained. Selanjutnya, Dantzig (1997) me-nyelesaikan program linear probabilistik dengan two stage programming. Seperti halnya pada program linear multi-objektif (PLMO) deterministik, di dalam PLMO probabilistik terkadang penyelesaian optimal tidak ditemukan. Konsep penyelesaian efisien diperlukan dalam masalah multi-objektif probabilistik, seperti penyelesaian efisien Pareto. Caballero et al. (2001) mengenalkan konsep penyelesaian efisien berdasarkan karakteristik variabel random, yaitu penyelesaian efisien nilai harapan, penyelesaian efisien minimum variansi, penyelesaian efisien nilai harapan standard deviasi, penyelesaian efisien minimum resi-ko pada suatu level dan penyelesaian efisien dengan probabilitas tertentu. Kemudian, Caballero et al. (2004) menyelesaikan masalah multi-objektif dengan koefisien fungsi tu-juan random dengan pendekatan stokastik dan pendekatan multi-objektif. Caballero juga menentukan hubungan penyelesaian efisien masalah multi-objektif probabilistik yang di-selesaikan dengan pendekatan multi-objektif dan pendekatan probabilistik. Hulsurkar et al. (1997) menyelesaikan masalah linear multi-objektif probabilistik dengan pendekatan pemrogramman fuzzy. Sakawa et al. (2013) memberikan program linear multi-objektif dengan koefisien fungsi tujuan dan batasan sumber merupakan variabel random. Model ini dikenal dengan multiobjective chance constrained programming. Kemudian, model tersebut diselesaikan dengan empat pendekatan yaitu model nilai harapan, model varian-si, model probabilitas dan fractile model.
linear multi-objektif dengan koefisien fungsi objektif dan batasan sumber pada kendala merupakan variabel random. Modelnya adalah sebagai berikut
min[f1(x, ω), . . . , fk(x, ω)]
dengan kendala gi(x) ≥ bi(ω), x ≥ 0, i = 1, . . . , m.
Metode chance constrained diterapkan pada kendala, artinya dikehendaki probabilitas kendala lebih besar dari nilai yang ditentukan. Jadi pada model yang terbentuk masih mengandung unsur probabilistik pada fungsi objektif. Selanjutnya model dibawa ke mo-del optimisasi ekspektasi dan maksimum probabilitas. Pada momo-del optimisasi ekspektasi, model direduksi menjadi model linear multi-objektif biasa. Kemudian, pembuat keputus-an menetapkkeputus-an fuzzy pada fungsi objektifnya. Metode penyelesaikeputus-annya dikenal dengkeputus-an interactive fuzzy satisficing method for expectation model. Demikian juga pada model optimisasi ekspektasi, pembuat keputusan menetapkan fuzzy pada fungsi objektifnya.
Pada kenyataannya, nilai parameter dapat memuat unsur ketidakpastian dan keti-daktepatan secara bersamaan. Hal ini mendasari para peneliti mengembangkan konsep variabel random fuzzy. Beberapa peneliti mendefinisikan variabel random fuzzy, dianta-ranya Kwakernaak (1978), Puri dan Ralescu (1986), Luhandjula (1996) dan Li dan Liu (2006). Luhandjula mendefinisikan variabel random fuzzy sebagai pemetaan dari ruang sampel ke himpunan bilangan fuzzy. Kemudian, Luhandjula memberikan masalah pro-gram linear dengan fungsi tujuan tegas dan parameter dalam kendala merupakan variabel random fuzzy. Masalahnya dikenal dengan robust programming dengan variabel random fuzzy, yaitu
max cx
dengan kendala ¯˜ai1(ω)x1+ · · · + ¯˜ain(ω)xn ⊆¯˜bi(ω)
xj ≥ 0, j = 1, . . . , n, i = 1, . . . , m, ω ∈ Ω,
dengan ¯˜aij(ω) dan¯˜bi(ω) parameter random fuzzy.
Masalah yang memenuhi kondisi khusus yang diberikan dalam teoremanya ditransforma-si menjadi masalah probabilistik.
Definisi variabel random fuzzy yang berbeda dikemukakan Li dan Liu (2006). Variabel random fuzzy didefinisikan sebagai fungsi dari ruang probabilitas ke
himpun-an variabel fuzzy yhimpun-ang kredibilitasnya merupakhimpun-an fungsi terukur. Kemudihimpun-an Liu (2009) mendefinisikan variabel fuzzy adalah fungsi terukur dari ruang kredibilitas ke himpunan semua bilangan real. Liu juga memberikan program multi-objektif dengan variabel fuzzy. Masalah tersebut diselesaikan dengan pendekatan program multi-objektif nilai harapan (expected value multiobjective programming) dan program tujuan nilai harapan (expected value goal programming).
Setelah muncul konsep variabel random fuzzy, beberapa peneliti mengembangkan masalah multi-objektif dengan parameter random fuzzy. Katagiri et al.(2008) menyelesa-ikan masalah multi-objektif dengan semua parameter random fuzzy dengan metode inte-raktif. Pada masalah ini, diasumsikan koefisien fungsi tujuan merupakan bilangan fuzzy yang merujuk ke fungsi referensi. Masalah diselesaikan dengan α level, artinya semua kepentingan dicapai dengan semua fungsi keanggotaan mencapai tingkat lebih besar sa-ma dengan α. Sakawa et al. (2011) merumuskan program linear multi-objektif dengan koefisien fungsi tujuan random fuzzy. Model diselesaikan dengan pendekatan possibility nilai harapan dan variansi dan diselesaikan dengan metode interaktif. Yano et al. (2014) menyelesaikan program linear multi-objektif dengan koefisien fungsi tujuan random fuzzy dengan metode interaktif. Pertama dibentuk fungsi keanggotaan untuk setiap fungsi tuju-an, kemudian model ditransformasi menjadi program multi-objektif probabilistik dengan memaksimumkan ukuran possibility. Kedua, model diselesaikan dengan pendekatan nilai harapan atau variansi dan diselesaikan secara interaktif.
1.7 Metodologi Penelitian
Penelitian ini akan dilaksanakan dengan studi literatur buku-buku pendukung un-tuk mendapatkan pemahaman yang baik, kemudian mengkaji hasil-hasil penelitian terkait dengan topik yang sudah dimuat dalam jurnal ilmiah. Selanjutnya, peneliti akan menye-lesaikan masalah multi-objektif dengan parameter random fuzzy dengan dua pendekatan, yaitu pendekatan nilai harapan, pendekatan variansi dan pendekatan probabilitas. Berikut diberikan gambar metodologi penelitian.
Diperhatikan Gambar 1.1. Peneliti berkontribusi dalam mengembangkan teori va-riabel random fuzzy diskrit maupun kontinu. Peneliti akan mendefinisikan nilai harapan, variansi dan standard deviasi pada variabel random fuzzy. Akan dibuktikan bahwa nilai harapan pada variabel random fuzzy bernilai fuzzy. Selanjutnya, peneliti menyelidiki si-fat nilai harapan fuzzy untuk variabel random fuzzy dengan bilangan fuzzy tipe tertentu. Sedangkan variansi dan standard deviasi pada variabel random fuzzy belum tentu bernilai fuzzy. Secara analog dengan penelitian Caballero (2004), masalah multi-objektif dengan parameter random fuzzy (1.1) akan ditransformasi menjadi masalah multi-objektif dengan parameter fuzzy dengan pendekatan nilai harapan, variansi dan pendekatan probabilitas. Masing-masing modelnya adalah sebagai berikut:
(i.) min(E(f1(x, ˜c¯1)), . . . , E(fk(x, ˜¯ck)))
dengan kendala Ax ≥ b, x ≥ 0. (ii.)min(V ar(f1(x, ˜c¯1)), . . . , V ar(fk(x, ˜¯ck)))
dengan kendala Ax ≥ b, x ≥ 0. (iii.)min(¯z1, . . . , ¯zK)
dengan kendala P r(fk(x, ˜c¯k)) ≥ βk, k = 1, · · · , K
Ax ≥ b, x ≥ 0.
Hasil transformasi masalah PMLO dengan parameter random fuzzy dengan pendekatan nilai harapan dan variansi adalah PLMO dengan parameter fuzzy. Dipilih metode pembo-botan untuk membawa masalah PLMO dengan parameter fuzzy menjadi program linear fuzzy. Peneliti mengembangkan metode simpleks untuk menyelesaikan program linear fuzzyini.
Sedangkan masalah (1.2) akan ditransformasi menjadi masalah multi-objektif de-ngan variabel fuzzy berikut
min(f1(¯x, c1), . . . , fk(¯x, ck))
dengan kendala A¯x ≥ E(˜¯b), ¯x ≥R0.
Jika parameter fuzzy pada PLMO dengan variabel fuzzy sama seperti pada model PLMO Jana dan Roy (2005), maka metode Jana dan Roy. Jika tidak demikian, maka dengan me-tode pembobotan PLMO dibawa ke program linear fuzzy dan diselesaikan dengan meme-tode
simpleks Nasseri dan Ardill (2005) dengan penyesuaian ranking fuzzy yang dipilih.
1.8 Sistematika Penulisan
Disertasi ini disajikan dalam lima bab. Bab I tentang pendahuluan yang mema-parkan latar belakang masalah, perumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, keaslian disertasi, tinjauan pustaka, metodologi penelitian dan sistematika penulisan. Bab II berisi tentang teori-teori dasar yang digunakan, diantaranya bilangan fuzzy, ranking bi-langan fuzzy, program linear dengan variabel keputusan fuzzy dan batasan sumber fuzzy, dan program linear multi-objektif dengan batasan sumber fuzzy.
Inti tulisan akan disampaikan dalam Bab III dan Bab IV. Dalam Bab III akan di-sampaikan teori variabel random fuzzy, diantaranya ranking fuzzy, variabel random fuzzy diskrit dan kontinu, nilai harapan, variansi dan standard deviasi. Bab IV berisi tentang program linear multi-objektif dengan parameter random fuzzy dan penyelesaiannya. Ke-simpulan dan saran akan disampaikan pada Bab V.
