MATERI : OPERASI BILANGAN
A) MENYELESAIKAN MASALAH YANG TERKAIT DENGAN
PERBANDINGAN BERBALIK NILAI
B) MENERAPKAN OPERASI PADA BILANGAN IRASIONAL
C) MENERAPKAN KONSEP LOGARITMA
Oleh : Hartono
Materi disampaikan pada Pelatihan SMK Model (Seni-Pariwisata-Bisnis/Non Teknik)
Kompetensi
Kompetensi yang diharapkan dicapai oleh para peserta setelah membaca modul ini dan mengikuti pelatihan adalah mampu :
1. memahami konsep perbandingan berbalik nilai dan skala serta mampu menerapkannya pada permasalahan terkait
2. memahami operasi pada bilangan irasional
3. memahami konsep logaritma dan sifat-sifatnya serta mampu menerapkan konsep logaritma pada permasalahan terkait
Indikator
Indikator yang digunakan untuk melihat capaian kompetensi para peserta adalah peserta mampu :
1. Menjelaskan konsep perbandingan berbalik nilai
2. Menerapkan konsep perbandingan berbalik nilai pada permasalahan terkait 3. Menerapkan konsep skala pada permasalahan terkait
4. Menyederhanakan bentuk akar
5. Merasionalkan penyebut yang berbentuk irasional 6. Menjelaskan sifat-sifat logaritma
Perbandingan berbalik nilai
Perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan dari dua buah besaran (sesuatu yang dapat diukur) yang nilainya selalu berkebalikan yakni apabila satu besaran membesar nilainya maka besaran yang lain nilainya mengecil. Sebagai contoh si Fulan berangkat ke sekolah naik motor lintasan yang dilewati setiap harinya tetap (artinya jarak dari rumah ke sekolah tetap). Apabila kecepatan rata-rata naik sepeda motor dinaikkan (kecepatan rata-rata bertambah besar nilainya) maka waktu tempuh yang diperlukan semakin kecil/singkat (semakin cepat sampai di sekolah). Namun apabila kecepatan rata-rata sepeda motor dikurangi (kecepatan rata-ratanya kecil) maka waktu tempuh yang diperlukan semakin lama ( waktu tempuhnya semakin besar). Dalam hal ini kecepatan rata rata dan waktu tempuh merupakan dua besaran yang perbandingannya berbalik nilai yakni apabila kecepatan rata-rata membesar maka waktu yang diperlukan mengecil dan sebaliknya apabila kecepatan rata-rata mengecil maka waktu yang diperlukan membesar.
Contoh yang lain, untuk membangun sebuah rumah dengan 45 tenaga kerja diperlukan waktu 24 hari, apabila pemborongnya ingin menyelesaikannya dalam waktu 18 hari maka berapa banyak pekerja yang dibutuhkan? Dalam hal ini ada dua besaran yaitu banyaknya pekerja dan waktu untuk menyelesaikan pembangunan, dua besaran tersebut perbandingannya berbalik nilai yakni manakala banyaknya pekerja semakin besar (banyak) maka waktu yang digunakan untuk menyelesaikan semakin kecil (pendek/cepat) dan sebaliknya.
Skala
Skala biasanya dipakai pada peta ataupun denah rumah. Skala dituliskan dalam bentuk perbandingan yang menggambarkan perbandingan antara ukuran (panjang) pada peta atau denah dengan ukuran (panjang) yang sebenarnya (keadaan riel). Bentuk standarnya dituliskan dalam perbandingan
1 : k
artinya satu satuan panjang di peta sama dengan k kali satuan panjang pada keadaan
sebenarnya. Sebagai contoh pada peta tertuliskan skala 1 : 100.000, ini berarti 1 cm pada peta menggambarkan 100.000 cm pada keadaan sebenarnya. Jadi panjang pada keadaan
sebenarnya sebesar 100.000 cm = 1000 m = 1 km. Dengan kata lain 1 cm pada peta sama dengan 1 km pada keadaan sebenarnya.
Penting diperhatikan disini bahwa skala di sini hanya satu dimensi yakni hanya dimensi panjang saja. Sehingga untuk menghitung luas harus hati-hati.
Contoh 1 : (UN SMK 2005/2006) Sebuah ruangan berbentuk persegipanjang digambar dengan skala 1 : 300 panjang 4 cm dan lebar 2 cm, maka luas ruangan sebenarnya adalah ... Jawab : Skala 1 : 300 berarti 1 cm pada denah sama dengan 300 cm pada keadaan
sebenarnya. Jadi 1 cm sama dengan 300 cm = 3 m keadaan sebenarnya. Sehingga panjang ruangan sebenarnya 4 x 3 m = 12 m dan lebarnya 2 x 3 m = 6 m. Jadi luas ruangan
sebenarnya adalah 12 m x 6 m = 72 m2.
Bentuk akar
Yang dimaksudkan dengan bentuk akar pada modul ini adalah a dengan a suatu bilangan bulat positip. Beberapa sifat yang berkaitan dengan bentuk akar adalah
a
a2 , ab a b dan
b a b a
Bentuk akar ada yang dapat disederhanakan dan ada yang tidak. Sebagai contoh perhatikan bentuk-bentuk akar berikut
3 2 3 2 3 4 3 4
12 2
2 3 2 3 2 9 2 9
18 2
3 3 3 3 3 9 3 9
27 2
2, 3, 5, 17
Keempat buah bentuk akar yang terakhir dikatakan bentuk-bentuk akar sederhana sedangkan bentuk-bentuk akar 12, 18, 27 dikatakan bukan bentuk akar sederhana karena
masing-masing dapat dituliskan dalam bentuk 2 3,3 2 dan 3 3.
Untuk menyederhanakan bentuk akar diperlukan pengertian tentang faktorisasi prima dari suatu bilangan bulat positip. Bilangan prima adalah bilangan bulat positip yang mempunyai tepat dua faktor yang berbeda yakni bilangan 1 dan bilangan itu sendiri, sebagai contoh 2, 3, 5, 17, 23 dan lain lain. Bilangan bulat positip lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Berikut ini adalah suatu teorema yang fundamental pada teori bilangan :
Setiap bilangan komposit selalu dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari bilangan-bilangan prima secara tunggal, kecuali hanya berbeda urutannya.
Apabila hasil faktorisasi prima dari bilangan a memuat dua atau lebih faktor yang sama maka bentuk akar a dapat disederhanakan, dan apabila tidak ada faktor yang sama pada hasil
faktorisasi primanya maka a tidak dapat disederhanakan.
Pada dasarnya bentuk akar a merupakan bilangan irasional kecuali a dapat dinyatakan ke
dalam bentuk b2 dengan b suatu bilangan bulat positip, maka a merupakan bilangan bulat positip. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat atau apabila dinyatakan ke dalam bentuk desimal maka banyaknya digit takhingga dan tidak mempunyai pola.
Lebih lanjut, 12 dan 27 dikatakan sejenis karena masing-masing dapat disederhanakan
ke bentuk 2 3 dan 3 3. Sehingga 3 5 3 3 3 2 27
Tetapi 12 dan 18 dikatakan tidak sejenis karena bentuk sederhananya dalam bentuk 2
dan 3. Sebagai latihan perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2: (UN SMK 2009/2010) p63 27 dan q4 12 maka nilai p+q adalah ....
Seperti contoh di atas, bentuk akar dapat digabungkan dengan bilangan rasional yakni secara umum dapat dituliskan dalam bentuk ab c dengan a dan b bilangan bulat tetapi c
merupakan bilangan bulat positip. Selanjutnya bentuk ab c dikatakan sebagai kawan dari
c b
a atau sebaliknya. Hasilkalinya sebagai berikut
c b a c b a c b
a ) ( ) 2 2
( . Sehingga hasilnya merupakan bilangan rasional. Dengan demikian apabila kita mempunyai pecahan dengan penyebut irasional yang berbentuk akar, maka penyebutnya bisa dibuat menjadi rasional dengan cara mengalikan penyebut maupun pembilangnya dengan kawan dari penyebutnya.
Contoh 3: (UN SMK 2008/2009) Bentuk sederhana dari 2 1
2 1
adalah ....
Jawab : Penyebutnya merupakan bilangan irasional yakni 1 2sehingga kawannya adalah 2
1 . Apabila pecahan tersebut baik pembilang maupun penyebutnya dikalikan dengan 2
1 maka tidak merubah dari nilai pecahan tersebut (merupakan pecahan senilai) yakni
2 2 3 1 2 2 3 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 .
Jadi bentuk sederhananya adalah 32 2.
Logaritma
Pembahasan pada modul ini, semesta pembicaraan dibatasi pada himpunan semua bilangan riel.
Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan. Untuk itu, sebelum membahas tentang logaritma perlu melakukan reviu mengenai perpangkatan dan sifat-sifatnya.
Definisi 1 : Misalkan m dan n adalah bilangan-bilangan asli dan a adalah bilangan riel positip yang tidak sama dengan 1.
(1)
faktor m a a a m
a
(2) m
a m a 1
(3) ao 1, a1 a.
Berdasarkan definisi di atas dapat diturunkan beberapa sifat seperti berikut ini :
Untuk bilangan-bilangan asli m dan n berlaku
(1.2) n m n m a a a
(1.3) (am)n amn
(1.4)(ab)n anbn
(1.5) n n n b a b a ) (
Contoh 4 : Ada berapa digit hasil dari413527 ? Jawab : 27 digit.
Selanjutnya perhatikan persamaan berikut ini . 1 dan 0 dengan
c a a
x a
Apabila solusinya ada, maka solusinya adalah suatu bilangan riel yang dinotasikan dengan c
a
log ( logaritma dari c dengan bilangan pokok a ) atau dituliskan xalogc. (Kapan
solusinya ada? Sehingga bentuk alogc akan bermakna manakala ...)
Secara umum didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2 : ab c b alogc dengan a 0 dan a 1.
Sifat-sifat yang dapat diturunkan berdasarkan definisi di atas adalah :
(2.1) aalogc c
(2.2) alogab b
(2.3) aloga 1
(2.4) alog10
(2.5) am n mn a log
(2.6) alogxy alogx alog y
(2.6a) alogbn n alogb
(2.7) x y
y
x a a
a
log log
log
(2.8) dengan 0 dan 1 log
log
log p p
a b b a p p
Catatan : Logaritma dengan bilangan pokok e yakni e logx dituliskan ln ( logaritma x natural ). Bilangan e adalah bilangan irasional yang didefinisikan sebagai hasil limit dari
n)n untuk n 1
( 1
.
Contoh 5: Hitunglah 81log3 3. Bentuk ini dapat dituliskan sebagai 2 3 3 log 4
3 .
Contoh 6: (UN SMK 2009/2010) Nilai 2log12 2log62 2log2 adalah ...
Contoh 7: (UN SMK 2005/2006) Jika 7log2 p, 7log3q, 7log5r maka
150 log 7
...
Contoh 8: (UN SMK 2008/2009) 3log5m dan 3log2n maka 4log45 adalah ...
Contoh 9: Jika 2log3a, nyatakan 27log32 dalam bentuk a. Berdasarkan sifat (2.8) , (2.2) dan (2.6a) dapat ditulis
a 3
5 3 log 3
5 3
log 2 log 27
log 32 log 32
log 2 3 2
5 2
2 2
27 .
Jadi
a 3
5 32 log
27
.
Contoh 10: (UM UGM )Jika 2x a dan 2y b dengan x,y0 maka
y x
y x
2 3 2
dapat
dituliskan
dalam bentuk
2 2
2
log log 1
ab ab
(penjabarannya sebagai latihan)
Daftar Pustaka
Purcell, E. J. and Varberg, D (1987), Kalkulus dan Geometri Analitis, terjemahan edisi ke-5, Jakarta : Erlangga
Forbes, J. E. and Eicholz, R. E. (1971) Mathematics for Elementary Teachers, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing Company
