136
PERLUASAN TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG
METRIK PARSIAL
Devi Arintika
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia Email : devi_arintika@rocketmail.com
Abstrak. Dalam skripsi ini dipelajari teorema titik tetap Banach pada ruang metrik parsial. Hasil dan pembahasan menunjukkan bahwa teorema titik tetap Banach berlaku pada ruang metrik parsial.
Kata kunci : ruang metrik parsial, titik tetap.
1. PENDAHULUAN
Dalam ilmu matematika, ruang metrik merupakan kesatuan jarak yang didefinisikan antara unsur-unsur dari suatu himpunan. Metode ruang metrik telah digunakan selama puluhan tahun dalam berbagai aplikasi, misalnya dalam mesin pencari internet, klasifikasi citra atau klasifikasi protein.
Diperkenalkan oleh Matthews pada tahun 1992, sebuah ruang metrik parsial merupakan generalisasi dari sebuah ruang metrik. Jarak suatu titik dari dirinya sendiri tidak selalu bernilai nol. Hal ini memotivasi seorang ahli komputer untuk mendalami tentang ruang metrik parsial (Bukatin, 2009).
Ruang metrik yang tidak selalu bernilai nol ketika berjarak dengan dirinya sendiri membuat teorema tentang pemetaan kontraksi sedikit mengalami perubahan. Dalam skripsi ini akan dibahas tentang teorema pemetaan kontraksi pada ruang metrik parsial.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1. Misalkan adalah pemetaan . Titik disebut titik tetap jika (Kreyzig, 1978).
Teorema 1. Misalkan adalah ruang metrik lengkap. Jika adalah pemetaan kontraksi pada , maka mempunyai titik tetap yang tunggal (Kreyzig, 1978).
Bukti : Ambil dan dibentuk barisan dengan suku-suku sebagai berikut
Akan ditunjukkan bahwa adalah barisan Cauchy. Ambil , karena kontraksi maka
( )
dimana . Ambil bilangan , dengan maka dengan sifat pertidaksamaan segitiga pada metrik, didapatkan
∑
(1)
karena , maka deret ∑ pada ketaksamaan (1) konvergen ke
sehingga diperoleh
untuk .
Misal , maka
Dengan demikian barisan Cauchy.
Karena lengkap, konvergen, katakan . Akan ditunjukkan bahwa adalah titik tetap dari pemetaan . Karena , berlaku :
( ) .
Karena sebarang, ( ) . Berdasarkan sifat metrik didapatkan . Jadi, menurut definisi kontraksi, merupakan titik tetap dari pemetaan kontraksi .
137
sehingga berlaku
) dan . Dengan demikian
( ) .
Karena sehingga . Sehingga berdasarkan sifat metrik didapatkan . Dengan demikian terbukti bahwa pemetaan konraksi pada yang lengkap mempunyai titik tetap yang tunggal.
Definisi 2.Diberikan himpunan yang tidak kosong. Fungsi → disebut metrik parsial pada jika memenuhi aksioma-aksioma dibawah ini:
P1. , untuk semua ;
P2. jika dan hanya jika ; P3. (simetri);
P4. (pertidaksamaan segitiga).
Sebuah ruang metrik parsial adalah pasangan dari yang mana adalah sebuah himpunan tidak kosong dan adalah suatu metrik parsial pada .
Contoh 1. Misalkan didefinisikan sehingga
| | | | | |
Maka adalah metrik parsial.
Contoh 2. Diberikan adalah ruang metrik parsial. Didefinisikan , sehingga
. Maka adalah ruang metrik.
Definisi 3. Sebuah barisan titik di dalam ruang metrik parsial adalah Cauchy jika terdapat
sedemikian sehingga untuk setiap terdapat sehingga untuk semua ,
| |
Dengan kata lain, adalah Cauchy jika barisan konvergen ke untuk , atau . Jika adalah ruang metrik maka .
Definisi 4. Sebuah barisan titik di dalam ruang metrik parsial konvergen ke , untuk setiap maka terdapat sedemikian sehingga berlaku
dan
. Barisan yang konvergen ke dapat ditulis
Jika sebuah barisan titik konvergen maka jarak terhadap dirinya sendiri adalah konvergen pada titik yang berjarak.
Teorema 2. Misal adalah ruang metrik parsial dan barisan di dalam . Jika konvergen, maka adalah barisan Cauchy.
Bukti : Misalkan barisan konvergen ke maka untuk sebarang terdapat sedemikian sehingga setiap , berlaku :
dan Untuk juga berlaku persamaan yang sama.
Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
| |
Jadi, terbukti bahwa suatu barisan yang konvergen dalam ruang metrik parsial adalah Cauchy.
139
(8)
Demikian juga dengan
( ) ( ) ( )
Karena , sehingga
atau
(9)
Berdasarkan persamaan (8) dan (9) diperoleh
.
Menurut aksioma P2 diperoleh . Sehingga titik tetap dari pemetaan adalah tunggal.
3. KESIMPULAN
Dari pembahasan didapatkan kesimpulan bahwa ruang metrik parsial merupakan generalisasi dari ruang metrik dan pada ruang metrik parsial berlaku teorema titik tetap Banach.
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Mohamad Muslikh, Ratno Bagus E. W., dan Sa’adatul Fitri atas segala bimbingan, saran, dan kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Bukatin, M., dkk., (2009), Partial Metric Spaces, Publ. Int. Math, 116, hal. 708-718.
