Penyelesaian numerik model tumor otak glioblastoma multiforme dengan pengaruh pengobatan menggunakan metode runge kutta Fehlberg

PENYELESAIAN NUMERIK MODEL TUMOR OTAK GLIOBLASTOMA MULTIFORME DENGAN PENGARUH PENGOBATAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE KUTTA FEHLBERG. SKRIPSI. OLEH MARWAN DESKY ISMANSYAH NIM. 12610041. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2017.

PENYELESAIAN NUMERIK MODEL TUMOR OTAK GLIOBLASTOMA MULTIFORME DENGAN PENGARUH PENGOBATAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE KUTTA FEHLBERG. SKRIPSI. Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si). Oleh Marwan Desky Ismansyah NIM. 12610041. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2017.

PENYELESAIAN NUMERIK MODEL TUMOR OTAK GLIOBLASTOMA MULTIFORME DENGAN PENGARUH PENGOBATAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE KUTTA FEHLBERG. SKRIPSI. Oleh Marwan Desky Ismansyah NIM. 12610041. Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji Tanggal 03 Maret 2017. Pembimbing I,. Pembimbing II,. Dr. Usman Pagalay, M.Si NIP. 19650414 200312 1 001. Evawati Alisah, M.Pd NIP. 19720604 199903 2 001. Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika. Dr. Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001.

PENYELESAIAN NUMERIK MODEL TUMOR OTAK GLIOBLASTOMA MULTIFORME DENGAN PENGARUH PENGOBATAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE KUTTA FEHLBERG. SKRIPSI. Oleh Marwan Desky Ismansyah NIM. 12610041. Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal 28 Maret 2017. Penguji Utama. :. Ari Kusumastuti, M.Si., M.Pd. …………………... Ketua Penguji. :. Mohammad Jamhuri, M.Si. …………………... Sekretaris Penguji. :. Dr. Usman Pagalay, M.Si. …………………... Anggota Penguji. :. Evawati Alisah, M.Pd. …………………... Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika. Dr. Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001.

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN. Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama. : Marwan Desky Ismansyah. NIM. : 12610041. Jurusan. : Matematika. Fakultas. : Sains dan Teknologi. Judul Skripsi. : Penyelesaian Numerik Model Tumor Otak Glioblastoma Multiforme dengan Pengaruh Pengobatan Menggunakan Metode Runge Kutta Fehlberg. menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan pengambilalihan data, tulisan, atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri, kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar rujukan. Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.. Malang, 28 Maret 2017 Yang membuat pernyataan,. Marwan Desky Ismansyah NIM. 12610041.

MOTO. Tidak ada kata besok untuk meraih masa depan, karena percayalah bahwa hari ini adalah besok dari kemarin yang tertunda..

PERSEMBAHAN. Skripsi ini penulis persembahkan kepada bapak Muhtar yang telah mengajarkan kemandirian, memberikan ketegaran, serta mengajarkan rasa tanggung jawab sebagai seorang pelajar pada penulis. Ibu Nurmawan yang selalu mendo‟akan, memberi dukungan, motivasi, dan memberikan restunya kepada penulis dalam menuntut ilmu. Kakak Arwansyah Ade Pratama Putra yang tak lupa memberi semangat serta dorongan kepada penulis. Adik Jannatun Mardiah tercinta yang selalu hadir dan menemani di saat-saat terpenting sehingga penulis dapat menyelesaikan kuliah hingga akhir. Serta seluruh keluarga besar yang berada di Seloto yang telah membantu memberikan semangat dan dorongan kepada penulis..

KATA PENGANTAR Assalamu‟alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Segala puji bagi Allah Swt. yang telah melimpahkan rahmat serta hidayahNya kepada penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi dengan judul “Penyelesaian Numerik Model Tumor Otak Glioblastoma Multiforme dengan Pengaruh Pengobatan Menggunakan Metode Runge Kutta Fehlberg ”. Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada nabi Muhammad Saw. yang telah menunjukkan manusia dari jalan yang gelap menuju jalan yang terang benderang yaitu agama Islam. Dalam proses penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bimbingan dan arahan dari berbagai pihak. Untuk itu ucapan terima kasih yang sebesarbesarnya penulis sampaikan terutama kepada: 1. Prof. Dr. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku rektor Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 2. Dr. drh. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 3. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku ketua Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 4. Dr. Usman Pagalay, M.Si, sebagai dosen pembimbing matematika yang telah banyak memberikan arahan, nasihat, dan pengalaman yang berharga, sekaligus sebagai dosen wali yang telah memberi bimbingan selama di Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 5. Evawati Alisah, M.Pd, selaku dosen pembimbing keagamaan yang telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis. viii.

6. Seluruh dosen di Jurusan Matematika Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang yang telah memberikan ilmu dan bimbingan selama belajar. 7. Bapak dan ibu dengan segala ketulusan do‟a dan usaha beliau yang tak pernah lelah memperjuangkan pendidikan penulis. 8. Saudara-saudara tersayang yang selalu mendukung dan memberikan semangatnya kepada penulis. 9. Seluruh teman-teman di Jurusan Matematika khususnya angkatan 2012, yang telah memberikan dukungan dan semangat luar biasa. 10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang turut membantu baik moril maupun materiil dan memberikan semangat dalam penyelesaian skripsi ini. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat dan wawasan yang lebih luas bagi penulis dan pembaca. Wassalamu‟alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh. Malang, Maret 2017. Penulis. ix.

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR ...................................................................................... viii DAFTAR ISI ...................................................................................................... x. DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiii ABSTRAK ........................................................................................................ xiv ABSTRACT ...................................................................................................... xv ‫ ملخص‬................................................................................................................... xvi BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ..................................................................................... 1.2 Rumusan Masalah ................................................................................ 1.3 Tujuan Penelitian .................................................................................. 1.4 Batasan Masalah ................................................................................... 1.5 Manfaat Penelitian ................................................................................ 1.6 Metode Penelitian ................................................................................. 1.7 Sistematika Penulisan ............................................................................ 1 4 4 4 5 5 7. BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Biasa Linier dan Nonlinier Bergantung Waktu .................................................................................................. 9 2.2 Model Tumor Otak Glioblastoma Multiforme (GBM) ....................... 10 2.3 Metode Runge Kutta Felhberg ........................................................... 14 2.4 Kajian Islam ........................................................................................ 16 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Penyelesaian Numerik Model Tumor Otak GBM .............................. 19 3.1.1 Penyelesaian Numerik dengan Efek Pengobatan dan ..................................................................................... 19 3.1.2 Penyelesaian Numerik tanpa Efek Pengobatan. x. ................. 34.

3.1.3 Penyelesaian Numerik tanpa Efek Pengobatan. ................. 45. 3.1.4 Interpretasi Hasil Penyelesaian Numerik dengan Pengaruh Pengobatan ................................................................................ 56 3.2 Kajian Agama Islam tentang pengaruh Pengobatan ........................... 57 BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan .......................................................................................... 61 4.2 Saran ..................................................................................................... 63 DAFTAR RUJUKAN ....................................................................................... 64 LAMPIRAN-LAMPIRAN RIWAYAT HIDUP. xi.

DAFTAR GAMBAR. Gambar 3.1. (a) Grafik Solusi Eksak Persamaan Tumor Otak GBM (b) Grafik Solusi Numerik Persamaan Tumor Otak GBM ............. 29. Gambar 3.2. (a) Grafik terhadap Error dan Waktu (b) Grafik terhadap Error dan Waktu ......................................................... 31. Gambar 3.3. | terhadap Waktu (b) Grafik (a) Grafik Error | | terhadap Waktu ........................................ 32 Error |. Gambar 3.4. Grafik Perbandingan Solusi Eksak dan Solusi Numerik Persamaan Tumor Otak GBM dengan Efek Pengobatan ( ) dan ( ) ..................................................................................... 33. Gambar 3.5. (a) Grafik Solusi Eksak Persamaan Tumor Otak GBM saat (b) Grafik Solusi Numerik Persamaan Tumor Otak GBM saat ............................................................ 40. Gambar 3.6. (a) Grafik terhadap Error dan Waktu saat Grafik terhadap Error dan Waktu saat. Gambar 3.7. (a) Grafik Error | Grafik Error |. Gambar 3.8. Grafik Perbandingan Solusi Eksak dan Solusi Numerik Persamaan Tumor Otak GBM saat ............................... 44. Gambar 3.9. (a) Grafik Solusi Eksak Persamaan Tumor Otak GBM saat (b) Grafik Solusi Numerik Persamaan Tumor Otak GBM saat ............................................................ 51. Gambar 3.10. (a) Grafik terhadap Error dan Waktu saat Grafik terhadap Error dan Waktu saat. Gambar 3.11. (a) Grafik Error | Grafik Error |. Gambar 3.12. Grafik Perbandingan Solusi Eksak dan Solusi Numerik Persamaan Tumor Otak GBM saat ............................... 55. | terhadap Waktu saat | terhadap Waktu saat. | terhadap Waktu saat | terhadap Waktu saat. xii. (b) ................ 42 (b) .......... 43. (b) ................ 53 (b) .......... 54.

DAFTAR TABEL. Tabel 2.1. Nilai Awal Variabel ..................................................................... 12. Tabel 2.2. Nilai Parameter ............................................................................ 13. Tabel 2.3. Koefisien. dan. Tabel 2.4. Koefisien. untuk Metode Runge Kutta Fehlberg ..................... 15. Tabel 3.1. Solusi Numerik dan Solusi Eksak pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) dengan Efek Pengobatan ( ) dan ( ) ............................. 28. Tabel 3.2. Besar Galat (Error) pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) dengan Efek Pengobatan ( ) dan ( ) .................................................... 30. Tabel 3.3. Solusi Numerik dan Solusi Eksak pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) tanpa Efek Pengobatan ( ) ............................................... 38. Tabel 3.4. Besar Galat (Error) pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) tanpa Efek Pengobatan ( ) ................................................................... 41. Tabel 3.5. Solusi Numerik dan Solusi Eksak pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) Tanpa Efek Pengobatan ( ) ............................................. 49. Tabel 3.6. Besar Galat (Error) pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) tanpa Efek Pengobatan ( ) ................................................................... 52. untuk Metode Runge Kutta Fehlberg ..... 15. xiii.

ABSTRAK. Ismansyah, Marwan Desky. 2017. Penyelesaian Numerik Model Tumor Otak Glioblastoma Multiforme dengan Pengaruh Pengobatan Menggunakan Metode Runge Kutta Fehlberg. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) Dr. Usman Pagalay, M.Si (II) Evawati Alisah, M.Pd Kata Kunci: Penyelesaian numerik Runge Kutta Fehlberg, model tumor otak glioblastoma multiforme (GBM). Permasalahan yang melibatkan model matematika banyak muncul di bidang ilmu kedokteran. Salah satu permasalahan yang melibatkan model matematika yaitu pada tumor otak. Penyakit tumor merupakan salah satu penyebab kematian utama di seluruh dunia berdasarkan data International Agency for Research on Cancer (IARC). Model matematika pada tumor otak glioblastoma multiforme (GBM) merupakan persamaan yang terdiri dari dua subpopulasi diferensial biasa nonlinier yang terdiri dari populasi sel-sel tumor yang sensitif dan populasi sel-sel yang rentan terhadap tumor . Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana penyelesaian numerik model tumor otak GBM dengan metode Runge Kutta Fehlberg pada pasien yang berobat dan yang tidak berobat. Hasil penelitian ini menunjukkan pertumbuhan populasi tumor pada saat hari dan diperoleh solusi saat populasi sel-sel tumor yang sensitif dipengaruhi oleh efek pengobatan ( ), saat populasi sel-sel tumor yang sensitif tidak dipengaruhi oleh efek pengobatan ( ), saat populasi sel-sel yang rentan terhadap tumor dipengaruhi oleh efek pengobatan ( ), saat populasi sel-sel yang rentan terhadap tumor tidak dipengaruhi oleh efek pengobatan ( ). Hasil galat ( ) dengan menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg mencapai . Berdasarkan hasil tersebut diperoleh bahwa metode Runge Kutta Fehlberg merupakan metode numerik dengan ketelitian yang tinggi dalam menyelesaikan persamaan diferensial nonlinier. Hasil simulasi menunjukkan dinamika pada model tumor otak GBM dengan interaksi antara kedua populasi memiliki pengaruh efek pengobatan dan yang sangat signifikan.. xiv.

ABSTRACT. Ismansyah, Marwan Desky. 2017. Numerical Solution of Brain Tumor Model Glioblastoma Multiforme with Treatment Effect Using Runge Kutta Fehlberg Method. Thesis. Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, State Islamic University of Maulana Malik Ibrahim Malang. Supervisor: (I) Dr. Usman Pagalay, M.Si (II) Evawati Alisah, M.Pd Keywords: Numerical solution Runge Kutta Fehlberg, the model of brain tumor glioblastoma multiforme (GBM). Problem involving mathematical models appear in the field of medical science. One of the problems involving mathematical models is in brain tumors. Tumor disease is one of the leading causes of death worldwide based on International Agency for Research on Cancer (IARC) data. The mathematical model of glioblastoma multiforme (GBM) brain tumor is an equation consisting of two nonlinear differential individual sub-populations consisting of a population of tumor cells that are sensitive and the delicate tumor cells ). This study aims to find out how to solve the numerical model of brain tumor GBM with Runge Kutta Fehlberg method in patients who seek treatment and who do not seek treatment. The results of this study showed tumor population growth at days and obtained solution when the population of sensitive tumor cells was affected by treatment effect when the population of sensitive tumor cells is not affected by the treatment effect when the population of susceptible tumor cells is affected by the treatment effect during the population susceptible tumor cells are not affected by treatment effects The result of error ( ) analysis of Runge Kutta Fehlberg method reaches . Based on these results can be concluded that the method Runge Kutta Fehlberg is a numerical method with high accuracy in solving nonlinear differential equations. The result of numeric simulation showing the dynamics in GBM brain tumor model with the interaction between the two populations having a significant effect of treatment effects. xv.

‫ملخص‬ ‫اسَْشااااابٓ ‪ٍ,‬ااااادٗاُ‬. ‫ااااان‪ .ٕٓٔ٠ٓ .ٜ‬الحلللللد ال للللل‬. ‫‪Multiforme Glioblastoma‬‬. ‫مع تأثير العالج‬. ‫ورم الللللل موذ للللل‬ ‫استالدامار نج الو ا تالس‬. ‫فلبالالالرل القر الالال ‪ .‬بعاااذ صااابٍ‪ .ٜ‬ااااٌ اىد‪ٝ‬بكااا‪ٞ‬بثع مي‪ٞ‬ااات اىعياااً٘‬ ‫ٗاىخنْ٘ى٘ص‪ٞ‬ابع اىضبٍعات ٗة‪ٝ‬ات امسا ٍ‪ٞ‬ت اىعندٍ‪ٞ‬اد ٍ٘ةّاب ٍبىال اباادإ‪ٌٞ‬‬ ‫ٔ) اىااتمخ٘ع مزَاابُ ي ا اىَبصاااخ‪ٞ‬د ع)ٕ( مفاائح‬ ‫ٍاابةّش‪ .‬اىَشااد‬ ‫اىئاظ اىَبصاخ‪ٞ‬د ‪.‬‬ ‫الكل وت الرأبية حغي‪ٞ‬و اةسخقداعع اىغو اىعت ‪ٛ‬ع اىَعب ةث َّ٘ذس ٗعً اىتٍبغ‬ ‫‪.)GBM Multiforme Glioblastoma‬‬ ‫حظٖد اىَشبمو اىخ‪ ٜ‬حْط٘‪ ٛ‬مي‪َّ ٚ‬بذس ع‪ٝ‬بك‪ٞ‬ت ‪ٍ ٜ‬ضبه اىعيً٘ اىطب‪ٞ‬ت‪ٗ .‬اعتة‬ ‫ٍِ اىَشبمو اىخ‪ ٜ‬حْط٘‪ ٛ‬مي‪َّ ٚ‬بذس ع‪ٝ‬بك‪ٞ‬ت ‪ ٜ‬أٗعاً اىتٍبغ‪ٍ .‬دض اى٘عً ٕ٘‬ ‫ٗاعت ٍِ األسببة اىدئ‪ٞ‬ا‪ٞ‬ت ىي٘ بة ‪ ٜ‬صَ‪ٞ‬ع أّغبء اىعبىٌ اسخْب ا اى‪ ٚ‬ب‪ٞ‬بّبث اى٘مبىت‬ ‫اىتٗى‪ٞ‬ت ىبغ٘د اىادطبُ ااعك)‪ .‬اىَْ٘ذس اىد‪ٝ‬بك‪glioblastoma multiforme ٜ‬‬ ‫)‪ ٕ٘ (GBM‬مببعة مِ ٍعب ىت حخنُ٘ ٍِ ئخ‪ ِٞ‬دم‪ٞ‬خ‪ ِٞ‬غ‪ٞ‬د خط‪ٞ‬خ‪ ِٞ‬حفبكي‪ٞ‬خ‪ِٞ‬‬ ‫ٗعً اىخ ‪ٝ‬ب اىادطبّ‪ٞ‬ت‬ ‫ٍنّ٘خ‪ ٍِ ِٞ‬مت ٍِ اىخ ‪ٝ‬ب اىادطبّ‪ٞ‬ت اىغابست‬ ‫‪ٗ .‬حٖت ٕذٓ اىتعاست ىَعد ت م‪ٞ‬ف‪ٞ‬ت عو اىَْ٘ذس اىعت ‪ ٍِ ٛ‬غٌ‬ ‫اىغابست‬ ‫ٗعً اىتٍبغ ٍع طد‪ٝ‬قت عّٗش‪-‬م٘حب يبدغ ‪ ٜ‬اىَدك‪ ٚ‬اىذ‪ٝ ِٝ‬اعُ٘ اىع س‬ ‫ٗاىذ‪ ِٝ‬ة ‪ٝ‬اعُ٘ اىع س‪ .‬اظٖدث ّخبئش ٕذٓ اىتعاست َّ٘ مت اى٘عً مْت‬ ‫مْتٍب‬ ‫عو حٌ اىغص٘ه مي‪ٔٞ‬‬ ‫‪ٗ ً٘ٝ‬‬ ‫ع‬ ‫حضدعث خ ‪ٝ‬ب اىخ ‪ٝ‬ب اىادطبّ‪ٞ‬ت اىغابست ٍِ حأر‪ٞ‬د اىع س‬ ‫مْتٍب ة ‪ٝ‬خأرد سنبُ اىخ ‪ٝ‬ب اىادطبّ‪ٞ‬ت اىغابست ٍِ حأر‪ٞ‬د‬ ‫مْتٍب ‪ٝ‬خأرد مت اىخ ‪ٝ‬ب اىادطبّ‪ٞ‬ت‬ ‫ع‬ ‫اىع س‬ ‫خ ه اىانبُ ة‬ ‫ع‬ ‫اىغابست ٍِ حأر‪ٞ‬د اىع س‬ ‫ىطد‪ٝ‬قت‬ ‫حخأرد خ ‪ٝ‬ب اى٘عً مدكت ىخأر‪ٞ‬داث اىع س )‪ّ .‬خ‪ٞ‬ضت حغي‪ٞ‬و اىخطأ‬ ‫‪ٗ .‬اسخْب ا اى‪ٕ ٚ‬ذٓ اىْخبئش ‪َٝ‬نِ اسخْخبس‬ ‫عّٗش‪-‬م٘حب يبدغ حصو اى‪ٚ‬‬ ‫أُ طد‪ٝ‬قت عّٗش‪-‬م٘حب بىبدغ ٕ٘ أسي٘ة ع َ‪ٍ ٜ‬ع ت مبى‪ٞ‬ت ‪ ٜ‬عو اىَعب ةث‬ ‫اىخفبكي‪ٞ‬ت غ‪ٞ‬د اىخط‪ٞ‬ت‪ٝ .‬خٌ مدض ّخ‪ٞ‬ضت ٍغبمبة ٍٍ٘‪ٞ‬د‪ٝ‬ل مي‪ ٚ‬اىَْ٘ذس‬ ‫اىد‪ٝ‬بك‪ GBM ٜ‬ببسخختاً‪ .‬حٌ اىغص٘ه مي‪ّ ٚ‬خبئش اىدسٍ٘بث اىخ‪ ٜ‬حب‪ْٝ ِٞ‬بٍ‪ٞ‬ن‪ٞ‬ت‬ ‫‪َّ٘ ٜ‬ذس ٗعً اىتٍبغ ‪ٍ GBM‬ع اىخفبمو ب‪ ِٞ‬اىَضَ٘مخ‪ ِٞ‬ىٖب حأر‪ٞ‬د مب‪ٞ‬د ٍِ آربع‬ ‫اىع س ) ٗ )‪.‬‬. ‫‪xvi‬‬.

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Salah satu cabang dari ilmu matematika yang dapat diaplikasikan dalam bidang kesehatan adalah pemodelan matematika. Suatu konsep pemodelan telah menjadi alat analisis yang penting dalam menunjukkan suatu gejala dan fenomena yang terjadi. Dalam al-Quran surat Thaa Haa ayat ke 50 berbunyi:. ُ. ۡ. َ ‫ُذ‬. َ. ‫ذ‬. َ َ. ۡ ٓ َ ‫ۡ َ َُ ذ‬ َ َ٥٠َ‫َو َد ٰى‬ ‫ِيَأخ َط ٰىَُكََش ٍءَخنق َهۥَثه‬ َ ‫الَ َر ُّب َناَٱَّل‬ َ ‫ق‬. “Musa berkata: "Tuhan kami ialah (Tuhan) yang telah memberikan kepada tiaptiap sesuatu bentuk kejadiannya, kemudian memberinya petunjuk”. (QS. Thaa Haa/20: 50). Shihab (2002) menjelaskan kandungan ayat tersebut adalah tentang Tuhan yang menciptakan semua makhluk dan memberikan kepada tiap-tiap sesuatu yang terbentang di alam raya ini bentuk kejadiannya yang sempurna serta sesuai dengan fungsi yang dituntut dari masing-masing, kemudian memberinya petunjuk yakni potensi untuk melaksanakan fungsi tersebut. Permasalahan-permasalahan yang melibatkan model matematika banyak muncul di berbagai ilmu kedokteran. Salah satu permasalahan yang melibatkan model matematika yaitu pada tumor otak. Menurut Louis dkk. (2007), penyakit tumor merupakan salah satu penyebab kematian utama di seluruh dunia berdasarkan data International Agency for Research on Cancer (IARC). Schmitz dkk. (2002) memberikan sebuah sistem dari persamaan tumor otak glioblastoma multiforme (GBM) yang selanjutnya telah dikembangkan oleh Bozkurt (2014) dengan menggunakan piecewise constant argument.. 1.

2. Selanjutnya, Schmitz dkk. (2002) mengatakan bahwa terdapat hubungan antara pertumbuhan tumor otak glioblastoma multiforme (GBM) yang dapat dimodelkan dalam bentuk model matematika. Di dalam al-Quran menyebutkan beberapa ayat tentang penyakit yang berat dalam surat Yusuf ayat 85-86 yang berbunyi:               ََ.             . “Mereka berkata: "Demi Allah, senantiasa kamu mengingati Yusuf, sehingga kamu mengidapkan penyakit yang berat atau termasuk orang-orang yang binasa". Ya´qub menjawab: "Sesungguhnya hanyalah kepada Allah aku mengadukan kesusahan dan kesedihanku, dan aku mengetahui dari Allah apa yang kamu tiada mengetahuinya". (QS. Yusuf/12: 85-86). Salah satu cara memodelkan persamaan matematika dalam dunia biologi adalah dengan menggunakan piecewise constant argument. Piecewise constant argument merupakan sistem perilaku yang kompleks pada persamaan diferensial. Sistem konstan piecewise sangat unik dalam hal memodelkan, pengembangan solusi dan pola perilaku pada sistem persamaan. Sistem persamaan diatur oleh persamaan diferensial kontinu dan sistem konstan diatur oleh persamaan diferensial yang terdiri dari argumen konstan dengan [. ] bernilai konstan yang bergantung pada waktu. [ ]. [. ]. (Dai, 2008).. Model matematika pada tumor otak glioblastoma multiforme (GBM) dengan piecewise constant argument telah dikemukakan oleh Bozkurt (2014). Model sistem dari persamaan tumor otak GBM yaitu populasi pertumbuhan selsel yang sensitif terhadap tumor rentan terhadap tumor. .. dan populasi pertumbuhan sel-sel yang.

3. Pada populasi pertumbuhan sel-sel yang sensitif terhadap tumor tumbuh dengan laju pertumbuhan tumor sebesar pengobatan sebesar. . Efek pengobatan. dan ditekan oleh laju. merupakan fenomena yang kompleks. dengan menggunakan chemoresistant dengan satu pengobatan atau menggunakan pleotropic resistance dengan multi pengobatan. Populasi sel-sel yang sensitif menggunakan. [ ] dan. populasi sebesar sel-sel yang sensitif. [. ] bernilai konstan dengan besar daya tampung. . Terdapat interaksi nonlinier. sebagai laju perubahan dari. menjadi sel-sel yang rentan. laju pembelahan sel-sel tumor sebesar. dan dipengaruhi oleh. (Bozkurt, 2014).. Selanjutnya, pada populasi pertumbuhan sel-sel yang rentan terhadap tumor tumbuh dengan laju pertumbuhan tumor sebesar pengobatan sebesar. . Efek pengobatan. dan ditekan oleh laju. merupakan prosedur awal pengobatan. atau langkah-langkah awal pencegahan dalam penyembuhan penderita tumor otak. Populasi sel-sel yang rentan menggunakan dengan daya tampung sebesar rentan. [ ] dan. [. ] bernilai konstan. . Terdapat laju perubahan dari sel-sel yang. menjadi sel-sel yang sensitif. sebesar. (Bozkurt, 2014).. Dalam bidang matematika, Kreyzig (2003) menyatakan bahwa metode Runge Kutta orde kelima merupakan metode Runge Kutta Fehlberg merupakan metode Runge Kutta orde kelima yang memiliki enam evaluasi fungsi dan dapat mencapai ketelitian yang akurat dengan menghasilkan nilai hampiran yang mendekati nilai penyelesaian analitik. Dalam penelitian-penelitian sebelumnya tidak menunjukkan adanya perbedaan pengaruh pada penderita tumor otak GBM pada pasien yang berobat (menggunakan pengaruh pengobatan. dan. ) dan tanpa berobat (tidak.

4. menggunakan pengaruh sebelumnya. penulis. pengobatan. tertarik. untuk. dan mengkaji. ). Berdasarkan secara. penelitian. mendalam model. persamaan tumor otak GBM menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial nonlinier. Akhirnya, penelitian ini mengambil judul “Penyelesaian Numerik Model Tumor Otak Glioblastoma Multiforme dengan Pengaruh Pengobatan Menggunakan Metode Runge Kutta Fehlberg”.. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang, maka rumusan masalah penelitian ini adalah bagaimana penyelesaian numerik dan simulasi model tumor otak GBM pada pasien yang berobat dan yang tidak berobat menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg?. 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini sadalah untuk mengetahui penyelesaian numerik dan simulasi model tumor otak GBM pada pasien yang berobat dan yang tidak berobat menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg.. 1.4 Batasan Masalah Batasan masalah yang terdapat dalam penelitian ini ditentukan sebagai berikut: 1. Persamaan tumor otak GBM yang dibahas pada penelitian ini adalah sebagai berikut:.

5. [. (. ] ). [. ]. [ ] [. ( saat. ] ). [ ]. [ ]. ,. dan. untuk. adalah nilai riil yang konstan (Bozkurt, 2014).. 2. Penelitian berfokus untuk menunjukkan pengaruh pengobatan. dan. .. 1.5 Manfaat Penelitian Beberapa manfaat yang terdapat dalam penelitian ini, di antaranya sebagai berikut: 1. Memperoleh penyelesaian secara numerik menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg pada model tumor otak GBM sebagai tambahan literatur pada dunia pemodelan matematika. 2. Untuk mengetahui perbandingan penyelesaian numerik model tumor otak GBM dengan pengaruh pengobatan. 3. Sebagai referensi yang dapat dikembangkan untuk penelitian lebih lanjut dalam menyelesaikan persamaan tumor otak GBM menggunakan metode numerik.. 1.6 Metode Penelitian Metode yang digunakan penulis adalah studi literatur dengan mempelajari dan menelaah beberapa buku, jurnal, dan referensi lain yang mendukung.

6. penelitian ini. Adapun metode penelitian yang penulis gunakan yaitu mengumpulkan, merangkum serta menginterpretasikan data-data yang diperoleh menggunakan studi kepustakaan dan studi laboratorium. Langkah-langkah penelitian yang penulis gunakan adalah: 1. Penyelesaian numerik model tumor otak GBM menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg dengan pengaruh pengobatan sebagai berikut: a) Menyelesaikan model tumor otak GBM pada pasien yang berobat (menggunakan efek pengobatan 1. Menentukan 2. Menentukan. dan dan. dan. ), yakni: .. ketika. hingga. hari.. 3. Membandingkan solusi numerik dengan solusi eksaknya. 4. Mencari. ( ) persamaan.. 5. Simulasi hasil dengan besar pengaruh pengobatan [. sel/hari ketika. sel/hari dan. ] hari.. b) Menyelesaikan model tumor otak GBM pada pasien yang tidak dipengaruhi pengobatan. yakni:. 1. Menentukan 2. Menentukan. dan dan. ketika. . hingga. hari.. 3. Membandingkan solusi numerik yang diperoleh dengan solusi eksaknya. 4. Mencari. ( ) persamaan.. 5. Simulasi dengan besar efek pengobatan sel/hari ketika. [. ] hari. sel/hari dan.

7. c) Menyelesaikan model tumor otak GBM pada pasien yang tidak dipengaruhi pengobatan. yakni:. 1. Menentukan. dan. 2. Menentukan. dan. ketika. . hingga. hari. 3. Membandingkan solusi numerik dengan solusi eksaknya. 4. Mencari. ( ) persamaan.. 5. Simulasi dengan besar efek pengobatan sel/hari ketika. [. sel/hari dan. ] hari. 2. Interpretasi hasil penyelesaian numerik pada pasien yang berobat dan tanpa berobat. 3. Menarik kesimpulan. 1.7 Sistematika Penulisan Agar pembahasan dalam penelitian ini tersaji secara sistematis dan mempermudah pembaca untuk memahaminya, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut: Bab I Pendahuluan Pada bab ini diuraikan tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, batasan masalah, metode penelitian, dan sistematika penulisan. Bab II Kajian Pustaka Bagian ini menjelaskan tentang gambaran umum dari teori yang mendasari pembahasan. Di antaranya tentang persamaan diferensial, model tumor otak GBM, Metode Runge Kutta Fehlberg, dan kajian dalam agama Islam..

8. Bab III Pembahasan Bab ini merupakan bab inti dari penulisan skripsi yang dilakukan yaitu berisi penyelesaian numerik pada persamaan tumor otak GBM serta analisis perbandingan hasil simulasi model matematika pada pasien yang berobat dan tanpa berobat. Bab IV Penutup Pada bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan yang telah diperoleh, serta dilengkapi saran-saran yang berkaitan dengan penelitian yang dilakukan..

BAB II KAJIAN PUSTAKA. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa Linier dan Nonlinier Bergantung Waktu Persamaan diferensial biasa berbentuk linier jika F adalah linier dalam variabel-variabel. ̇ ̈ ̇ ̈. ̇. dikatakan ̇. Secara umum. persamaan diferensial biasa linier dapat diberikan sebagai berikut. ̇. ̈. ̈. (2.1). Persamaan (2.1) merupakan persamaan diferensial berorde-n dapat dikatakan linier jika memiliki ciri-ciri sebagai berikut: a. Variabel terikat dan derivatifnya hanya berderajat satu. b. Tidak ada perkalian antara variabel terikat dan derivatifnya. c. Variabel terikat bukan merupakan fungsi transenden (Waluya, 2006). Finizio dan Ladas (1988) menyatakan bahwa koefisien-koefisien dan fungsi Jika fungsi. merupakan fungsi-fungsi yang kontinu.. , maka persamaan (2.1) disebut persamaan linier homogen.. Jika fungsi. maka persamaan (2.1) disebut persamaan linier. nonhomogen. Jika semua koefisien. adalah suatu. konstanta, maka persamaan (2.1) disebut persamaan linier koefisien konstanta. Bila semua variabelnya berupa fungsi, maka disebut persamaan linier koefisien variabel. Persamaan diferensial biasa orde satu mempunyai bentuk umum: (2.2) dengan. adalah fungsi dalam dua variabel yang diberikan. Apabila suatu. persamaan tidak memenuhi syarat yang telah disebutkan maka persamaan 9.

10 dinyatakan sebagai suatu persamaan tidak linier atau nonlinier. Suatu persamaan diferensial dikatakan linier apabila persamaan (2.2) terdiri lebih dari satu persamaan linier yang saling terkait. Sedangkan koefisiennya dapat berupa konstanta ataupun fungsi. Sedangkan sistem persamaan diferensial dikatakan nonlinier atau tak linier apabila persamaan (2.2) terdiri lebih dari satu persamaan nonlinier yang saling terkait (Boyce dan DiPrima, 2000). Contoh dari persamaan diferensial biasa adalah: (2.3). (2.4) Persamaan (2.3) merupakan persamaan linier untuk. dan. merupakan fungsi-. fungsi konstan. Sedangkan persamaan (2.4) merupakan persamaan diferensial tak linier karena terdapat variabel terikat merupakan suku nonlinier dan. pada bentuk. dengan. merupakan fungsi-fungsi konstannya.. 2.2 Model Tumor Otak Glioblastoma Multiforme (GBM) Salah satu bentuk dari tumor otak adalah tumor otak glioblastoma multiforme (GBM). Bozkurt (2014) menjelaskan bahwa glioblastoma multiforme merupakan tumor otak primer kelompok neuroepitel tersering dan neoplasma yang paling ganas. Selanjutnya, Bozkurt (2014) memberikan suatu model tumor otak sebagai berikut: [. (. ] ) (2.5). [. ]. [ ].

11 [. (. ] ). [ ]. [ ] Selanjutnya, persamaan (2.5) dapat dituliskan menjadi: [ ]. (. [. ]. [. ] ). (2.6) [. (. ]. [ ]. [ ] ). Persamaan (2.6) dapat dimodifikasi menjadi persamaan logistik sebagai berikut: [ ]. (. [. ]. [. ] ) (2.7a). (. [ ]. [. (. [. ]. ]. [ ]. [. ]. ). [ ] ) (2.7b). (. [. ]. [. ]. [ ]. ). saat [. ]. [ ]. dan [ dengan. [ ]. [. ]. yang konstan. Nilai untuk. ]. [ ] dan. [ ] [. ] ,. didefinisikan sebagai fungsi dan. .. dan. merupakan populasi pertumbuhan sel-sel yang sensitif terhadap tumor dan populasi pertumbuhan sel-sel yang rentan terhadap tumor..

12 Persamaan (2.7a) merupakan pertumbuhan populasi sel-sel tumor yang sensitif yang bergantung waktu.. merupakan laju pembelahan sel-sel tumor.. merupakan laju pertumbuhan tumor pada sel-sel yang sensitif. besar daya tampung dari sel-sel yang sensitif.. merupakan. merupakan konstanta yang. menyatakan nilai pengobatan yang diperkenankan untuk sel-sel yang sensitif. merupakan ambang bawah dan sel-sel yang sensitif.. merupakan ambang atas dari laju populasi. merupakan laju mutasi sel-sel tumor yang rentan menjadi. sel tumor yang sensitif Persamaan (2.7b) merupakan pertumbuhan populasi sel-sel tumor yang rentan yang bergantung waktu. yang rentan.. merupakan laju pertumbuhan tumor pada sel-sel. merupakan besar daya tampung dari sel-sel yang sensitif.. merupakan konstanta yang menyatakan nilai pengobatan yang diperkenankan untuk sel-sel yang sensitif.. merupakan ambang bawah dan. ambang atas dari laju populasi sel-sel yang rentan.. merupakan. merupakan laju mutasi sel-. sel tumor yang rentan menjadi sel tumor yang sensitif Parameter dan nilai-nilai untuk masalah pada persamaan (2.7a) dan (2.7b) ditunjukkan sebagai berikut:. Tabel 2.1 Nilai Awal Variabel No. Variabel. 1 [ ]. 2. 3. [. ]. Deskripsi Variabel Populasi sel-sel tumor otak GBM yang sensitif Konstanta yang menyatakan banyaknya populasi sel-sel tumor otak yang sensitif Konstanta yang menyatakan banyaknya populasi sel-sel tumor otak yang sensitif pada waktu. Nilai Awal. Satuan. 3,5. Sel/ml/hari. 3,5. Sel/ml/hari. 0. Sel/ml/hari.

13 sebelumnya 4 [ ]. 5. 6. [. ]. Populasi sel-sel tumor otak GBM yang rentan Konstanta yang menyatakan banyaknya populasi sel-sel tumor otak yang rentan Konstanta yang menyatakan banyaknya populasi sel-sel tumor otak yang sensitif pada waktu sebelumnya. 2,5. Sel/ml/hari. 2,5. Sel/ml/hari. 0. Sel/ml/hari (Bozkurt, 2014). Tabel 2.2 Nilai Parameter No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Parameter. Deskripsi Parameter. Nilai Awal. Satuan. Laju pembelahan sel tumor. 0,192. Sel/hari. 4,704. Sel/ml/hari. 1,232. Sel/ml/hari. 0,51. Sel/ml/hari. 0,555. Sel/ml/hari. 1,5. Sel/ml/hari. 0,2. Sel/ml/hari. 0,01. Sel/hari. 0,6. Sel/hari. 0,006. Sel/hari. 1,08. Sel/hari. Besar daya tampung dari sel-sel yang sensitif Besar daya tampung dari sel-sel yang rentan Ambang bawah laju populasi selsel yang sensitif Ambang atas laju populasi sel-sel yang sensitif Ambang bawah laju populasi selsel yang rentan Ambang atas laju populasi sel sel yang rentan Laju mutasi sel-sel tumor yang rentan menjadi sel tumor yang sensitif Nilai pengobatan untuk sel-sel yang sensitif Nilai pengobatan untuk sel-sel yang rentan Laju pertumbuhan tumor pada selsel yang sensitif Laju pertumbuhan tumor pada selsel yang rentan. 1,08. Sel/hari (Bozkurt, 2014). 2.3 Metode Runge Kutta Fehlberg Metode Runge Kutta merupakan metode numerik satu langkah yang digunakan untuk menyelesaikan PDB orde satu. Metode Runge Kutta adalah.

14 alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidak memerlukan perhitungan turunan. Metode Runge Kutta mengevaluasi fungsi dalam setiap ukuran langkah. pada titik terpilih. . Metode Runge Kutta memiliki beberapa orde,. salah satunya adalah metode Runge Kutta Fehlberg. Menurut Kreyzig (2003) metode Runge Kutta Fehlberg merupakan metode Runge Kutta orde kelima yang memiliki enam evaluasi fungsi dan dapat mencapai ketelitian yang akurat dengan menghasilkan nilai hampiran yang mendekati nilai penyelesaian analitik. Rumus umum metode Runge Kutta orde kelima adalah: ∑. dengan. ;. (2.8). adalah konstanta dan. merupakan evaluasi fungsi. yang diperoleh dari:. dengan. adalah suatu ukuran langkah yang dinyatakan dengan. sedangkan. dan. merupakan konstanta yang diberikan pada persamaan. sebagai berikut: ∑. (2.9). Dari persamaan (2.8) dan (2.9), maka metode Runge Kutta Fehlberg dapat diformulasikan sebagai berikut: (2.10) ( untuk dan Tabel 2.4.. ∑. +. dengan koefisien-koefisiennya ditunjukkan dalam Tabel 2.3.

15. Tabel 2.3 Koefisien. dan. untuk Metode Runge Kutta Fehlberg. 2. 3. 4. 5. 6 (Ritschel, 2013:17). Tabel 2.4 Koefisien. untuk Metode Runge Kutta Fehlberg. (Ritschel, 2013:17). Berdasarkan penghitungan variabel-variabel persamaan (2.10), dapat dikatakan bahwa dalam menyelesaikan masalah matematika dengan menggunakan metode numerik dilakukan secara berulang-ulang (menggunakan beberapa iterasi) dimulai dari bilangan yang sangat kecil sampai yang paling besar. Metode Runge Kutta Fehlberg pertama kali diperkenalkan oleh E. Fehlberg pada tahun 1970. Kreyzig (2003) menyebutkan rumus umum metode Runge Kutta Fehlberg orde kelima dengan 6 hampiran perhitungan adalah sebagai berikut:.

16 (2.11) dengan (. ). (. *. (. * (2.12). ( ( (. * * *. 2.4 Kajian Agama Islam Adapun kajian agama Islam yang akan dibahas, didapatkan dari al-Quran dan sesuai dengan tema tentang penyakit, matematika, dan pemodelan. Al-Quran membahas tentang penyakit pada beberapa ayat di dalamnya. Pada al-Quran surat Yusuf ayat ke 85-86 yang berbunyi:. ۡ َ َ ُ َ َۡ ً َ َ َ ُ َ ‫َ ُ ْ َ ذ َۡ َُْ َ ۡ ُ ُ ُ ُ َ َ ذ‬ َ َ َ َ ٰ ٰ ‫ّلل ِ َتفجؤا َثذكر َييشف َح‬ َ‫ال‬ َ ‫ َق‬٨٥َ ‫ِي‬ َ ‫َّت َثكين َحرضاَأو َثكين َوِي َٱمهنِك‬ َ ‫يا ََثٱ‬ َ ‫قال‬ َ َ َ ََُۡ َ َ ‫ذَٓ ۡ ُ ْ َّ َ ُ ۡ ٓ َ ذ َ َُۡ َ ذ‬ َ َ٨٦َ‫ين‬ ‫ّللَِواََلَتعنى‬ َ ‫ّللَِوأعن َهَوِيَٱ‬ َ ‫إِجىاَأشكياَب ِّثَوحز ِِنَإَِلَٱ‬ “Mereka berkata: "Demi Allah, senantiasa kamu mengingati Yusuf, sehingga kamu mengidapkan penyakit yang berat atau termasuk orang-orang yang binasa". Ya´qub menjawab: "Sesungguhnya hanyalah kepada Allah aku mengadukan kesusahan dan kesedihanku, dan aku mengetahui dari Allah apa yang kamu tiada mengetahuinya". (QS. Yusuf /12: 85-86). Abu Ja‟far berkata: maksud firman-Nya ”Demi Allah, senantiasa kamu mengingati Yusuf” adalah merupakan perkataan anak-anak Yakub As. yang datang.

17 kepadanya dari Mesir karena kecintaan Yakub As. kepada Yusuf As. sehingga anak-anak Yakub As. berkata “janganlah kamu terlalu letih mencintainya”. Kemudian “Sehingga aku mengidap penyakit yang berat” mengartikan kerusakan pada badan dan pikiran karena kesedihan dan keasyikan. Menurut Muhammad bin Sa‟ad dan Al-Mutsanna hal tersebut mengartikan benar-benar dalam kondisi sakit yang melumpuhkan dan mematikan. Dan firman-Nya yang berbunyi “Termasuk orang-orang yang binasa” mengartikan bahwa seseorang yang binasa karena kematian. atau. juga. dikembalikan. pada. keadaannya. dan. kehilangan. kemampuannya. Maksud dari firman-Nya yang berbunyi “Sesungguhnya hanyalah kepada Allah aku mengadukan kesusahan dan kesedihanku” adalah kebutuhan dan kesedihan Yakub As. yang dilimpahkan hanya kepada Allah Swt. Yakub As. berkata bahwa ia mengadukan kabar kesedihannya dan memberitahukan cerita dan kesedihannya kepada Allah Swt. Kemudian “Aku mengetahui dari Allah apa yang kamu tiada mengetahuinya” berartikan bahwa Yakub As. mengetahui bahwa mimpi Yusuf As. itu benar dan aku akan bersujud karenanya. Dan tidak ada di dunia ini orang yang sangat jujur lagi dapat dipercaya kecuali ia adalah seorang nabi (Ath-Thabari, 2009). Bentuk dan ukuran dalam matematika sangat penting termasuk di dalamnya adalah pemodelan. Firman Allah Swt. dalam al-Quran tentang bentuk, terdapat pada surat Thaa Haa ayat ke 50 yang berbunyi:. ُ. ۡ. َ ‫ُذ‬. َ. ‫ذ‬. َ َ. ۡ ٓ َ ‫ۡ َ َُ ذ‬ َ َ٥٠َ‫َو َد ٰى‬ ‫ِيَأخ َط ٰىَُكََش ٍءَخنقهَثه‬ َ ‫الَ َر ُّب َناَٱَّل‬ َ ‫ق‬. “Musa berkata: "Tuhan kami ialah (Tuhan) yang telah memberikan kepada tiaptiap sesuatu bentuk kejadiannya, kemudian memberinya petunjuk”. (QS. Thaa Haa/20: 50).

18 Ayat tersebut menegaskan tentang wujud Allah Swt. yang berbeda dengan apa yang diduga oleh Fir‟aun. Maka nabi Musa As. menjawab pertanyaan Fir‟aun dengan mengatakan bahwa Tuhan kita semua adalah Tuhan yang menciptakan semua makhluk dan memberikan kepada tiap-tiap sesuatu yang terbentang di alam raya ini bentuk kejadiannya yang sempurna serta sesuai dengan fungsi yang dituntut dari masing-masing, kemudian memberinya petunjuk yakni potensi untuk melaksanakan fungsi tersebut. Ayat tersebut juga mengandung makna bahwa setiap makhluk memiliki ciri dan sifat tertentu yang membedakan dari makhluk yang lain, dengan ciri dan sifat itu ia dapat menjalankan fungsinya dalam kehidupan ini. Kemudian, pemberian kepada tiap-tiap sesuatu bentuk terjadi pula penciptaan nurani serta fitrah yang melekat pada diri setiap ciptaan-Nya. Selanjutnya mengisyaratkan bahwa peringkat pemberian hidayah lebih tinggi kedudukannya daripada pemberian bentuk. Maksudnya, bentuk yang indah yaitu bentuk yang dapat berfungsi dengan baik dan jika ia tidak dapat memfungsikannya dengan sebagaimana dikehendaki oleh sang Pencipta, maka dapat diartikan tidak berarti (Shihab, 2002)..

BAB III PEMBAHASAN. 3.1 Penyelesaian Numerik Model Tumor Otak GBM Penyelesaian numerik pada model tumor otak GBM yaitu dengan menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg. Persamaan tumor otak GBM yang digunakan merujuk pada persamaan (2.7a) dan (2.7b).. 3.1.1 Penyelesaian Numerik dengan Efek Pengobatan. dan. Diberikan persamaan diferensial GBM persamaan (2.7a) dengan efek pengobatan (. ) sebagai berikut: [ ]. (. (. [. ]. [ ]. [. [. ]. ] ). [. ]. ). Diketahui bahwa solusi eksak masalah nilai awal persamaan tumor otak GBM dengan efek pengobatan ( [ ]. (. ((. (. ) tersebut adalah: [. ). (. ]. [ ]. [. ] ). [. [ ]. ]. [. [. ] ). ]. [. ]. ),. (3.1). Penurunan solusi eksak persamaan (3.1) dapat dilihat di Lampiran 1. Dengan nilai awal. dan lebar step size (langkah). numerik persamaan (2.7a) untuk. , maka solusi dan. berikut: (. ). 19. sebagai.

20 (. *. (. ). (. *. (. *. (. (. )( (. *. ). (. ). ). (. ). (. (. *(. (. ). *. (. )(. (. ((. ). (. (. ). (( *. (. )+ ). (. ). ( (. ). ) ((. *. (. *. )+. *. )+.

21 (. ((. ). (. ). )+. (. ) (. *. (. (. ). *. ((. (. (. ((. *. (. ). (. *. )+. ). (. ). (. )+. ). (. ). (. ). (. ((. *. (. (. *. ((. (. ). *. (. )+. ). (. ). (. ). (. *. (. (. )+. ). ((. *. (. *. (. *. +).

22 (. ). ((. (. ). (. ). (. )+. ). (. ). (. ). (. ((. *. (. (. ((. *. ). (. *. +). (. ). (. ). )+. (. ). (. *. (. (. ). (( *. (. (. ((. *. ). (. (. *. ). (. (. *. ). )+. (. (. ). )+. ). (. ). (. (. ). ((. *. (. (. ((. *. ). (. (. (. *. ). (. (. *. +). ). (. ). )+. ). (. ). (. *.

23. Sehingga diperoleh nilai ((. *. (. ). = (. untuk (. dan. *. (. (. ). * (. adalah:. *. (. ( *. ( * ). *. *. = 0,492368760703149 Hasil penyelesaian numerik menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg ketika. diperoleh nilai. dengan menggunakan nilai. Sehingga ketika. dan. sebelumnya.. dapat dikerjakan secara iteratif untuk. mendapatkan. .. Diberikan persamaan diferensial GBM persamaan (2.7b) dengan efek pengobatan (. ) adalah sebagai berikut: [. (. (. ]. [. [ ]. ]. [ ] ). [. ]. [ ]. ). Diketahui bahwa solusi eksak masalah nilai awal persamaan tumor otak GBM dengan efek pengobatan (. ) untuk persamaan (2.7b) adalah:. (. ). ((. (. (. ). (. ). (. )). ),. (3.2).

24 Penurunan solusi eksak persamaan (3.2) dapat dilihat di Lampiran 1. Nilai awal. dan lebar step size (langkah). persamaan (2.7b) untuk. , maka solusi numerik. ,. dan. (. sebagai berikut:. ). (. ). (. ). (. ). (. *. ( (. (. ). *. ). ( (. (. (. ). *. ). *.

25 (. (. (( ). (. ). ((. *. (. ). (. ) (. (. ((. ). (. ). (( *. ) (. ((. *. (. (. *. *. (. ). ((. * )+. (. ). (. ). (. )+. ). (. ). = ((. *. ( ( (. ( *. )+. (. (. )+. )+. (. (. *. (. ((. *. ). (. (. * )+. ). (. ). )+ ) ). )+.

26 (. *. (. (. ). ((. *. (. (. ((. *. (. ). (. *. ). )+. (. (. ). )+. ). (. (. ). ((. *. (. (. ((. *. ). (. (. *. +). ). (. ). (. )+ ). (. ). (. *. (. (. ). ((. *. (. (. ((. *. ). (. (. *. ). (. (. *. ). +). (. (. (. ). )+. ). ((. *. (. *. (. *. (. *. +).

27 (. ((. ). (. ). (. ). (. ). )+. (. ). (. Sehingga diperoleh nilai ((. =. *. ( (. *. untuk (. *. *. (. (. *. (. dan. adalah:. *. ( *. ( * ). * (. *. *. = Hasil penyelesaian numerik menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg ketika. diperoleh nilai. dengan menggunakan nilai. Sehingga ketika mendapatkan. dan. sebelumnya.. dapat dikerjakan secara iteratif untuk .. Selanjutnya hasil solusi numerik dengan metode Runge Kutta Fehlberg dan solusi eksak yang merujuk pada persamaan (3.1) dan (3.2) untuk masalah persamaan (2.7a) dan (2.7b) diberikan pada Tabel 3.1 berikut:.

28 Tabel 3.1 Solusi Numerik dan Solusi Eksak pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) dengan Efek Pengobatan ( ) dan ( ). Solusi eksak. Metode Runge Kutta Fehlberg. 0,35. 0,25. 0,35. 0,25. 0,4923687. 0,2768933. 0,4923675. 0,2768933. 0,8068508. 1,8001714. 0,8068508. 1,8001712. 0,7857699. 3,0356904. 0,7857699. 3,0356904. 0,7836339. 3,1396240. 0,7836339. 3,1396240. 0,7835318. 3,1444950. 0,7835318. 3,1444950. 0,7835272. 3,1447147. 0,7835272. 3,1447147. 50. 0,7835270. 3,1447246. 0,7835270. 3,1447246. 75. 0,7835270. 3,1447251. 0,7835270. 3,1447251. 0,7835270. 3,1447251. 0,7835270. 3,1447251. Simulasi model tumor otak GBM dengan efek pengobatan yang diberikan adalah untuk. [. ] dan parameter berdasarkan Tabel 2.1 dan Tabel 2.2 pada. sel-sel tumor yang sensitif. dan sel-sel tumor yang rentan. (a). sebagai berikut:.

29. (b) Gambar 3.1 (a) Grafik Solusi Eksak Persamaan Tumor Otak GBM (b) Grafik Solusi Numerik Persamaan Tumor Otak GBM. Gambar 3.1 (a) menjelaskan grafik pertumbuhan sel-sel tumor yang sensitif. dan sel-sel tumor yang rentan. sel tumor yang sensitif. . Nampak pada pertumbuhan sel-. pada hari ke-1 hingga ke-10 pertumbuhan tumor. bernilai positif dan meningkat dengan besar pertumbuhan tumor pada hari ke-10 mencapai. sel/ml. Pada hari ke-11 pertumbuhan tumor relatif. menurun dan cenderung stabil hingga hari ke-200 dengan pertumbuhan sel sebesar. sel/ml. Dari toleransi error yang diberikan sebesar. ( ). maka diperoleh bahwa persamaan sel-sel tumor yang sensitif. akan stabil pada hari ke-141 hingga hari ke-200 dengan besar sel-sel tumor berada di antara. sel/ml hingga. Pada pertumbuhan sel-sel tumor yang rentan. sel/ml. bernilai positif dan. monoton meningkat denganbesar pertumbuhan tumor hingga hari ke-200 mencapai sel/ml. Dari toleransi error yang diberikan sebesar. maka diperolehbahwa pertumbuhan sel-sel tumor yang rentan. akan stabil pada.

30 hari ke-167 hingga hari ke-200 dengan besar sel-sel tumor berada di antara sel/ml hingga. sel/ml.. Gambar 3.1 (b) menjelaskan pergerakan laju secara numerik pada pertumbuhan populasi sel-sel tumor sensitif. dan sel-sel yang rentan. menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg dengan laju [. ketika. ]. Besar galat (error) untuk masalah persamaan (2.7a) dan (2.7b) ditunjukkan. pada Tabel 3.2 berikut:. Tabel 3.2 Besar Galat (Error) pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) dengan Efek Pengobatan ( ( ). ) dan. Galat (error) |. |. |. |. 00. Besar error yang diberikan pada Tabel 3.2 secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 3.2 sebagai berikut:.

31. (a). (b) terhadap Error | |. Gambar 3.2 (a) Grafik. | dan Waktu (b) Grafik | dan Waktu. terhadap Error. Gambar 3.2 (a) menunjukkan laju perubahan error untuk setiap penyelesaian numerik efek pengobatan. pada sel-sel yang sensitif saat. ] dengan. . Selanjutnya, Gambar 3.2 (b) menunjukkan laju perubahan. error untuk setiap penyelesaian numerik [. [. ] dengan efek pengobatan. pada sel-sel tumor yang rentan saat . Perubahan error terhadap waktu. ditunjukkan pada Gambar 3.3 sebagai berikut:.

32. (a). (b) Gambar 3.3 (a) Grafik Error |. | terhadap Waktu (b) Grafik Error | Waktu. | terhadap. Gambar 3.3 (a) menjelaskan besar error pada kasus pertumbuhan sel-sel tumor yang sensitif. . Pada iterasi ke-1 hingga ke-3, error relatif meningkat. dengan besar error tertinggi berada pada iterasi ke-3 yaitu mencapai . Setelah iterasi ke-3, error perlahan menurun hingga iterasi ke-. 200. Dari toleransi error yang diberikan sebesar ( ) persamaan sel-sel tumor yang sensitif. maka diperoleh bahwa. akan stabil pada iterasi ke-7 hingga.

33 iterasi ke-200 dengan besar error berada di antara. hingga. . Gambar 3.3 (b) menjelaskan besar error pada kasus pertumbuhan sel-sel rentan terhadap tumor. . Gambar 3.3 (b) menunjukkan bahwa pada iterasi ke-1. hingga ke-14 besar error telah memenuhi toleransi error. Namun pada iterasi ke15 error meningkat hingga iterasi ke-34 dan puncak error berada pada iterasi ke23 dengan error mencapai. . Error relatif menurun dan. kembali memenuhi toleransi error hingga iterasi ke-200. Diperoleh bahwa persamaan sel-sel tumor yang rentan. akan stabil pada iterasi ke-34 hingga. iterasi ke-200 dengan besar error berada di antara 0,976556 x. hingga. . Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik menggunakan persamaan Runge Kutta Fehlberg ditunjukkan pada Gambar 3.4 berikut:. Gambar 3.4 Grafik Perbandingan Solusi Eksak dan Solusi Numerik Persamaan Tumor Otak GBM dengan Efek Pengobatan ( ) dan ( ).

34 Perbandingan antara solusi eksak dan solusi numerik pada Gambar 3.4 menjelaskan bahwa pendekatan solusi dengan metode Runge Kutta Fehlberg dapat digunakan untuk mendekati solusi eksak persamaan (3.1) dan (3.2). Dengan toleransi error sebesar ( ) dan persamaan. diperoleh persamaan akan stabil saat. akan stabil saat. .. 3.1.2 Penyelesaian Numerik Tanpa Efek Pengobatan Diberikan persamaan diferensial GBM persamaan (2.7a) dengan sebagai berikut: [. (. (. ]. [. [. ] ). ]. [. ]. ). Diketahui bahwa solusi eksak masalah nilai awal persamaan tumor otak GBM tanpa efek pengobatan (. ) adalah:. [. (. (. (. (. ]. [. ] ). [. ]. [. [. ]. ] ). [. ]. +). (3.3). Penurunan solusi eksak persamaan (3.3) dapat dilihat di Lampiran 1. Nilai awal. dan lebar step size (langkah). persamaan (2.7a) tanpa efek pengobatan ( dan (. sebagai berikut: ). , maka solusi numerik ) untuk.

35 (. *. (. ). (. *. (. =. *. (. (. )( (. *. ). (. ). ). (. ). (. (. *(. (. =. )(. ((. ). (. (. ). ((. *. (. *. )+ ). (. ). ( (. ). *. (. (. ). ) ((. *. (. *. )+. )+.

36 (. ((. ). (. ). )+. (. ) (. =. *. (. (. ). ((. *. (. (. *. ((. (. ). *. (. )+. ). (. (. ). )+. ). (. ). ( (. ) ((. *. (. (. *. (. ((. ). (. *. ). )+. (. ). (. ). (. =. *. (. (. )+. ). ((. *. (. *. (. *. +).

37 (. ). ((. (. ). (. (. ). )+. ). (. ). (. (. ). ((. *. (. (. ((. *. (. ). *. (. +). ). (. ). )+. (. ). (. =. *. (. (. ). (( *. (. (. ((. *. ). (. (. *. ). (. (. *. ). (. )+. (. ). )+. ). (. ). (. (. ). ((. *. (. (. ((. *. (. ). (. (. *. ). (. (. *. +). ). (. )+. ). (. =. ). ). (. *.

38. Sehingga diperoleh nilai ((. *. (. *. = ( (. persamaan tersebut untuk (. *. (. (. *. *. adalah:. ( *. ( * ). * (. *. *. = Hasil penyelesaian numerik menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg ketika. diperoleh nilai. ketika. dengan mnggunakan nilai. dan. . Sehingga. dapat dikerjakan secara iteratif untuk mendapatkan . Selanjutnya hasil solusi numerik dengan metode Runge Kutta Fehlberg. dan solusi eksak yang merujuk pada persamaan (3.3) dan (3.2) diberikan pada Tabel 3.3 sebagai berikut:. Tabel 3.3 Solusi Numerik dan Solusi Eksak pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) tanpa Efek Pengobatan ( ). Solusi eksak. Metode Runge Kutta Fehlberg. 0,35. 0,25. 0,35. 0,25. 0,6062059. 0,2768933. 0,6061977. 0,2768933. 6,3221270. 3,4539832. 6,3221284. 3,4539766. 6,1262809. 4,6433032. 6,1262809. 4,6433031.

39 6,1242601. 4,6533453. 6,1242601. 4,6533453. 6,1242484. 4,6534031. 6,1242484. 4,6534031. 6,1242484. 4,6534035. 6,1242484. 4,6534035. 50. 6,1242484. 4,6534035. 6,1242484. 4,6534035. 75. 6,1242484. 4,6534035. 6,1242484. 4,6534035. 6,1242484. 4,6534035. 6,1242484. 4,6534035. Simulasi model tumor otak GBM tanpa efek pengobatan ( diberikan ketika. [. ) yang. ] dan parameter berdasarkan Tabel 2.1 dan Tabel 2.2. pada sel-sel tumor yang sensitif. dan sel sel tumor yang rentan. ditunjukkan pada Gambar 3.5 sebagai berikut:. (a).

40. (b) Gambar 3.5 (a) Grafik Solusi Eksak Persamaan Tumor Otak GBM saat Numerik Persamaan Tumor Otak GBM saat. (b) Grafik Solusi. Gambar 3.5 (a) menjelaskan grafik pertumbuhan sel-sel tumor yang sensitif. dan sel-sel tumor yang rentan. yang sensitif. . Pada pertumbuhan sel-sel tumor. tanpa efek pengobatan, menunjukkan pertumbuhan tumor yang. bernilai positif dan relatif meningkat hingga 9 kali lipat dibandingkan dengan dipengaruhi pengobatan. . Pertumbuhan tumor monoton meningkat dengan. besar pertumbuhan pada hari ke-1 mencapai pada. hari. ke-17.. Pertumbuhan. tumor. sel/ml hingga pada. hari. ke-17. mencapai. sel/ml. Pada hari ke-18 pertumbuhan tumor perlahan menurun hingga hari ke-200 dan mencapai. sel/ml. Dari. toleransi error yang diberikan sebesar ( ). maka diperoleh bahwa. persamaan sel-sel tumor yang sensitif. tanpa efek pengobatan (. ) akan stabil. pada hari ke-99 hingga hari ke-200 dengan besar sel-sel tumor berada di antara sel/ml hingga. sel/ml.. Pertumbuhan sel-sel tumor yang rentan meningkat dengan besar pertumbuhan tumor mencapai. bernilai positif dan relatif sel/ml.

41 pada hari ke-42. Pada hari ke-43 hingga hari ke-200 pertubahan besar tumor cenderung bernilai stabil. Dari toleransi error yang diberikan sebesar ( ) maka diperoleh bahwa persamaan sel-sel tumor yang rentan. ,. akan stabil pada. hari ke-119 hingga hari ke-200 dengan besar sel-sel tumor berada di antara sel/ml hingga. sel/ml.. Gambar 3.5 (b) menjelaskan pergerakan laju secara numerik pada pertumbuhan populasi sel-sel tumor sensitif. dan sel-sel yang rentan. menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg dengan laju [. ketika. ]. Besar galat (error) untuk masalah persamaan (2.7a) tanpa efek pengobatan. (. ) ditunjukkan pada Tabel 3.4 sebagai berikut:. Tabel 3.4 Besar Galat (Error) pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) tanpa Efek Pengobatan (. Galat (error) |. 00. |. |. |. ).

42 Besar error yang diberikan pada Tabel 3.4 secara keseluruhan ditampilkan pada Gambar 3.6 sebagai berikut:. (a). (b) Gambar 3.6 (a) Grafik terhadap Error | terhadap Error |. | dan Waktu saat | dan Waktu saat. (b) Grafik. Gambar 3.6 (a) menunjukkan laju perubahan error untuk setiap penyelesaian numerik pengobatan. pada sel-sel yang sensitif saat. [. ] tanpa efek. . Gambar 3.6 (b) menunjukkan laju perubahan error untuk setiap. penyelesaian numerik dengan efek pengobatan. pada sel-sel tumor yang rentan saat. [. ]. . Perubahan error terhadap waktu selanjutnya. ditampilkan pada Gambar 3.7 sebagai berikut:.

43. (a). (b) Gambar 3.7 (a) Grafik Error |. | terhadap Waktu saat terhadap Waktu saat. (b) Grafik Error |. |. Gambar 3.7 (a) menjelaskan error pada kasus pertumbuhan sel-sel tumor yang sensitif. tanpa pengaruh pengobatan (. ). Gambar 3.7 (a) Menunjukkan. bahwa pada iterasi ke-1 hingga ke-6 error relatif meningkat dengan besar error tertinggi berada pada iterasi ke-6 yaitu mencapai. . Setelah. iterasi ke-6, besar error perlahan-lahan menurun hingga iterasi ke-200. Kemudian dengan toleransi error yang diberikan sebesar ( ) persamaan sel-sel tumor yang sensitif. maka diperoleh bahwa. tanpa efek pengobatan. akan stabil.

44 pada iterasi ke-43 hingga iterasi ke-200 dengan error berada di antara hingga. .. Gambar 3.7 (b) menjelaskan error pada kasus pertumbuhan sel-sel rentan terhadap tumor. . Iterasi ke-1 hingga ke-23 error meningkat dengan besar. error tertinggi berada di iterasi ke-23 yaitu mencapai. . Error. relatif menurun pada iterasi-iterasi berikutnya hingga hingga iterasi ke-200. Dari toleransi error yang diberikan sebesar ( ) persamaan sel-sel tumor yang rentan iterasi ke-200 dengan error berada di antara. maka diperoleh bahwa. akan stabil pada iterasi ke-49 hingga hingga. .. Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik menggunakan persamaan Runge Kutta Felhberg ditunjukkan pada Gambar 3.8 sebagai berikut:. Gambar 3.8 Grafik Perbandingan Solusi Eksak dan Solusi Numerik Persamaan Tumor Otak GBM saat.

45 Perbandingan antara solusi eksak dan solusi numerik Gambar 3.8 menjelaskan bahwa pendekatan solusi dengan metode Runge Kutta Fehlberg dapat digunakan untuk mendekati solusi eksak persamaan (3.2) dan (3.3). Dengan toleransi error sebesar ( ) dan persamaan. diperoleh persamaan akan stabil saat. akan stabil saat. hingga. .. 3.1.3 Penyelesaian Numerik tanpa Efek Pengobatan Diberikan persamaan diferensial GBM persamaan (2.7b) dengan sebagai berikut: [. (. ]. (. [. [ ] ). ]. [ ]. ). Diketahui bahwa solusi eksak masalah nilai awal persamaan tumor otak GBM tanpa efek pengobatan (. ) adalah: [. (. ]. [ ] ). [. (. (. (. [. ]. (3.4). [] ). ]. [ ]. ),. Penurunan solusi eksak persamaan (3.4) dapat dilihat di Lampiran 1. Nilai awal. dan lebar step size (langkah). persamaan (2.7b) tanpa efek pengobatan ( dan. adalah:. ) untuk. , maka solusi numerik.

46 (. ). (. ). (. ). (. ). (. *. (. (. (. *. ). ). (. (. (. ). *. ). (. *. (. ((. *. (. *. )+.

47 (. (( ). (. ). )+. (. ). (. ) (. (. ((. ). (( *. (. ). ( *. )+. (. ) (. *. (. (. ((. ). ((. (. *. ). (. (. (. *. ). (. )+. ). (. ). = (. )+. ((. *. (. (. ((. *. ). (. (. (. * )+. ). (. ). )+. ). (. ). (. *. * )+.

48 (. )(. (. ((. ((. ). (. *. (. ). (. (. ). *. ). )+. ). ((. *. (. ((. *. ). (. (. *. +). ). (. ). (. )+. ). (. ). (. (. *. ). ((. *. (. (. ((. *. ). (. (. *. ). (. (. (. *. +). ). (. ). (. (. ). ((. *. (. (. )+. ). (. (. *. )+. (. (. (. (. ((. ). *. (. (. *. ). (. (. *. +). ). (. ). )+. ).

49 (. Sehingga diperoleh nilai ((. =. *. ( (. *. untuk (. dan. *. *. (. (. *. ( *. ( * ). *. *. (. adalah:. (. *. *. = Hasil penyelesaian numerik menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg ketika. diperoleh nilai. dengan menggunakan nilai. Sehingga ketika. dan. sebelumnya.. dapat dikerjakan secara iteratif untuk. mendapatkan. .. Hasil solusi numerik dengan metode Runge Kutta Fehlberg dan solusi eksak yang merujuk pada persamaan (3.1) dan (3.4), untuk masalah persamaan (2.7b) tanpa efek pengobatan (. ) diberikan pada Tabel 3.5 sebagai berikut:. Tabel 3.5 Solusi Numerik dan Solusi Eksak pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) tanpa Efek Pengobatan ( ). Solusi eksak. Metode Runge Kutta Fehlberg. 0,35. 0,25. 0,35. 0,25. 0,4923687. 0,2773082. 0,4923675. 0,2773082.

50 0,8050510. 1,9749312. 0,8050510. 1,9749310. 0,7774610. 3,6254604. 0,7774610. 3,6254604. 0,7743595. 3,7761033. 0,7743595. 3,7761033. 0,7742137. 3,7830188. 0,7742137. 3,7830188. 0,7742073. 3,7833218. 0,7742073. 3,7833218. 50. 0,7742070. 3,7833351. 0,7742070. 3,7833351. 75. 0,7742070. 3,7833356. 0,7742070. 3,7833356. 0,7742070. 3,7833357. 0,7742070. 3,7833357. Simulasi model tumor otak GBM tanpa efek pengobatan ( diberikan ketika. [. ) yang. ] dan parameter berdasarkan Tabel 2.1 dan Tabel 2.2. sebagai berikut:. (a).

51. (b) Gambar 3.9 (a) Grafik Solusi Eksak Persamaan Tumor Otak GBM saat Numerik Persamaan Tumor Otak GBM saat. (b) Grafik Solusi. Gambar 3.9 (a) menjelaskan grafik pertumbuhan sel-sel tumor yang sensitif dan sel-sel tumor yang rentan. . Pertumbuhan sel-sel tumor yang sensitif. pada hari ke-1 hingga ke-10 mengalami pertumbuhan tumor yang bernilai positif dan relatif meningkat. Pertumbuhan tumor pada hari ke-10 mencapai sel/ml. Pada hari ke-11 pertumbuhan tumor monoton menurun hingga hari ke-200. Dari ( ). toleransi error yang diberikan sebesar. maka diperoleh bahwa pertumbuhan sel-sel tumor yang sensitif. bernilai stabil pada hari ke-135 hingga hari ke-200 dengan besar sel-sel tumor berada di antara. sel/ml hingga. sel/ml.. Pada pertumbuhan sel-sel tumor yang rentan. tanpa efek pengobatan. tumbuh dengan laju pertumbuhan yang bernilai positif dan relatif meningkat dengan pertumbuhan tumor mencapai. sel/ml pada hari ke-59.. Pada hari ke-60 pertumbuhan tumor terus tumbuh hingga hari ke-200.Dari toleransi error yang diberikan sebesar ( ) tumor yangrentan. maka diperoleh bahwa persamaan sel-sel. tanpa efek pengobatan. tidak bernilai stabil hingga hari.

52 ke-200 karena cenderung mengalami pertumbuhan akibat dihentikannya faktor pengobatan. . Besar pertumbuhan sel-sel tumor pada hari ke-200 adalah. sebesar. sel/ml. Gambar 3.9 (b) menjelaskan pergerakan laju secara numerik pada. pertumbuhan populasi sel-sel tumor sensitif. dan sel-sel yang rentan. menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg dengan laju [. ketika. ]. Besar galat (error) untuk masalah persamaan (2.7a) dan (2.7b) tanpa efek. pengobatan (. ) ditunjukkan pada Tabel 3.6 berikut:. Tabel 3.6 Besar Galat (Error) pada Persamaan (2.7a) dan (2.7b) tanpa Efek Pengobatan (. ). Galat (error) |. |. |. |. 00. Besar error yang diberikan pada Tabel 3.6 secara keseluruhan ditampilkan pada Gambar 3.10 berikut:.

53. (a). (b) Gambar 3.10 (a) Grafik terhadap Error | terhadap Error |. | dan Waktu saat | dan Waktu saat. (b) Grafik. Gambar 3.10 (a) menunjukkan laju perubahan error untuk setiap penyelesaian numerik efek pengobatan. pada sel-sel yang sensitif saat. ] dengan. . Selanjutnya, gambar 3.10 (b) menunjukkan laju perubahan. error untuk setiap penyelesaian numerik [. [. ] tanpa efek pengobatan. pada sel-sel tumor yang rentan saat . Perubahan error terhadap waktu. selanjutnya ditunjukkan pada Gambar 3.11 sebagai berikut:.

54. (a). (b) Gambar 3.11 (a) Grafik Error |. | terhadap Waktu saat | terhadap Waktu saat. (b) Grafik Error |. Gambar 3.11 (a) menjelaskan error pada kasus pertumbuhan sel-sel tumor yang sensitif. . Gambar 3.11 (a) menjelaskan bahwa pada iterasi ke-1 hingga. ke-6 error telah melewati batas toleransi error dengan besar error tertinggi berada pada iterasi ke-3 yaitu mencapai. . Setelah iterasi ke-6, besar. error perlahan menurun hingga hari ke-200 dan memenuhi toleransi error yang diberikan sebesar. .Maka diperoleh bahwa persamaan sel-sel tumor yang.

55 sensitif. akan stabil pada iterasi ke-7 hingga iterasi ke-200 dengan besar error. berada di antara. hingga. .. Gambar 3.11 (b) menjelaskan error pada kasus pertumbuhan sel-sel rentan terhadap tumor. tanpa efek pengobatan. . Gambar 3.11 (b) menunjukkan. bahwa pada iterasi ke-1 hingga ke-12 error telah memenuhi toleransi error sebesar ( ). , namun setelah iterasi ke-12 sampai iterasi ke-39 besar error. tidak memenuhi besar toleransi error. Selanjutnya, pada iterasi ke-40 hingga ke200 besar error perlahan-lahan menurun. Sehingga diperoleh bahwa persamaan sel-sel tumor yang rentan dengan error berada di antara. akan stabil pada iterasi ke-40 hingga iterasi ke-200 hingga. .. Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik menggunakan persamaan Runge Kutta Fehlberg diberikan pada Gambar 3.12 berikut:. Gambar 3.12 Grafik Perbandingan Solusi Eksak dan Solusi Numerik Persamaan Tumor Otak GBM saat.

56. Perbandingan antara solusi eksak dan solusi numerik pada Gambar 3.12 menjelaskan bahwa pendekatan solusi dengan metode Runge Kutta Fehlberg dapat digunakan untuk mendekati solusi eksak persamaan (3.1) dan (3.4). Dengan toleransi error sebesar ( ) hingga. diperoleh persamaan dan persamaan. akan stabil saat. tidak bernilai stabil dan terus. meningkat hingga. 3.1.4 Interpretasi hasil Penyelesaian Persamaan Tumor pada Pasien yang Berobat dan Tidak Berobat. Bedasarkan. paparan. pembahasan. 3.1.1,. pembahasan. 3.1.2,. dan. pembahasan 3.1.3 diperoleh pengaruh pengobatan pada pasien penderita tumor yang menggunakan efek pengobatan. sebesar. ml/sel/hari akan mengalami. kestabilan pada hari ke-141 dengan besar tumor mencapai 0,7835270999203 ml/sel. Pengaruh pengobatan pada pasien yang menggunakan. sebesar. ml/sel/hari akan mengalami kestabilan pada saat hari ke-167 dengan besar tumor 3,14472510434 ml/hari. Selanjutnya, pertumbuhan tumor pada pasien yang tidak menggunakan efek pengobatan ( sensitif. atau efek pengobatan (. ml/sel/hari, sel-sel yang. akan mengalami pertumbuhan tumor 9 kali lebih tinggi dibandingkan. dengan adanya efek pengobatan ( hari ke-. sebesar. . Kestabilan pertumbuhan tumor berada pada. dengan besar sel-sel tumor mencapai 6,1242484819109 ml/sel. Efek. pengobatan (. ) berpengaruh pada pertumbuhan sel-sel tumor yang rentan. .. Pengaruh pengobatan berakibat pertumbuhan sel-sel tumor yang rentan mengalami.

57 peningkatan dan stabil pada hari ke-119 dengan besar tumor mencapai 4,6534035003691 ml/hari. Pada kasus pengobatan. sebesar. pertumbuhan tumor sel-sel yang sensitif. ml/sel/hari akan berdampak pada stabil pada hari ke-135 dengan besar. sel-sel tumor yang sensitif adalah pertumbuhan sel-sel yang rentan. sel/ml. Sedangkan pada tanpa pengobatan (. ) terus mengalami. pertumbuhan hingga hari ke-200. Sehingga dengan tidak adanya pengaruh pengobatan akan berakibat sel-sel yang rentan akan terus mengalami pertumbuhan. Pertumbuhan sel-sel yang rentan pada hari ke-200 adalah sebesar ml/sel. Dengan toleransi error sebesar ( ). diperoleh nilai-nilai error pada. penyelesaian numerik menggunakan metode Runge Kutta Felhberg bernilai hingga. pada iterasi ke-200.. 3.2 Kajian Agama Islam tentang Pengaruh Pengobatan Kajian al-Quran membahas tentang mengisi waktu yang diberikan oleh Allah Swt. dengan sebaik mungkin didapatkan dalam QS. al-Furqan ayat 62 sebagai berikut:. ُ. َ َ ‫ذ ذ‬. َ. َ. ّ ٗ ۡ. َ ‫َ ذ‬. ‫ذ‬. ُ َ َ ۡ َ َ َ َ ۡ َ َ َ َ‫ۡ َ ذ‬ ُ ٗ ‫َشك‬ َ َ٦٢َ‫يرا‬ ‫ارَخِنفةَل ِىيَأرادَأنَي َذكرَأوَأراد‬ َ ‫لَ َوٱنلى‬ َ ‫َوو ََيَٱَّلِيَ َج َعلَٱَّل‬. “Dan. Dia (pula) yang menjadikan malam dan siang silih berganti bagi orang yang ingin mengambil pelajaran atau orang yang ingin bersyukur”. (QS. AlFurqan /25: 62). Mengingat berkaitan dengan masa lampau, menuntut introspeksi dan kesadaran menyangkut semua hal yang telah terjadi, sehingga mengantarkan manusia. untuk. melakukan perbaikan dan peningkatan. Sedangkan bersyukur,.

58 dalam definisi agama, adalah "menggunakan segala potensi yang dianugerahkan Allah Swt. sesuai dengan tujuan penganugerahannya," dan ini menuntut upaya serta kerja keras. Selanjutnya, tentang pengaruh pengobatan hadits Rasullullah Saw. berbunyi:. َّ َّٚ‫صي‬ ِٔ ْٞ َ‫َّللاُ َمي‬ َ ‫لٍ َب َه َ ِٖتْثُ ْاألَم َْد‬ٝ‫سب ٍَتَ ب ِِْ َِد‬ َ ُ ‫َم ِْ أ‬ َ ٜ َّ ‫ ْاأَىَُُ٘ اىَّْ ِب‬َٝ ‫اة‬ َّ ‫ك َع‬ َّ َ ‫ َمذَا َقَب َه ىَ ُٖ ٌْ ِمبَب‬ِٜ ‫َْب َع َد ٌس‬ْٞ َ‫ َمذَا أ َ َمي‬ِٜ ‫َْب َع َد ٌس‬ْٞ َ‫سيَّ ٌَ أ َ َمي‬ ُ‫َّللا‬ َ َٗ ِ‫َّللا‬ َ َٗ ‫َب‬ٝ ‫ َع ِد َس َقَبىُ٘ا‬ِٛ‫اك اىَّذ‬ َ َ‫ئًب َذ‬ْٞ َ ِٔ ٞ‫ض أ َ ِخ‬ ِ ‫ض ٍِ ِْ ِم ْد‬ َ ‫ْاى َغ َد َس ِا َّة ٍَ ِْ ا ْخ َ َد‬ َّ َُّ ِ ‫َّللاِ َب‬ َّ َ ‫ َب َه حَتَ َاٗ ْٗا ِمبَب‬ٙٗ‫َْب ُصَْب ٌط أ َ ُْ َة َّخَتَ َا‬ْٞ َ‫َّللاِ ٕ َْو َمي‬ َّ ‫س٘ َه‬ ُ ‫َع‬ َ‫َّللا‬ َّ ‫س٘ َه‬ ‫َّللاِ ٍَب‬ ُ ‫ب َع‬َٝ ‫ك َع ٍَ َعُٔ ِ فَب ًء ِا َّة ْاى َٖ َد ًَ َبىُ٘ا‬ ُ َ َٗ ‫ض ْع َا ًء اِ َّة‬ َ َٝ ٌْ َ‫س ْب َغبَُّٔ ى‬ ٌِ ‫ا‬ ِ ‫ ُْد ٍَب أُم‬ٞ‫َخ‬ َ ‫ ْاى َع ْبتُ َب َه ُخيُ ٌق َع‬ٜ َ ‫ْط‬ “Dari Usamah bin Syarik, ia berkata, "Aku menyaksikan seorang Arab Badui bertanya kepada Nabi SAW, 'Apakah bagi kami larangan dalam masalah ini? ' Beliau bersabda kepada mereka, 'Wahai hamba Allah, sesungguhnya Allah telah menentukan larangan, kecuali orang yang memfitnah harga diri saudaranya maka itulah yang dilarang (diharamkan).' Mereka bertanya, „Wahai Rasulullah, apakah bagi kami sanksi jika kami tidak berobat?' Beliau menjawab, 'Wahai hamba Allah, berobatlah kalian. Karena sesungguhnya Allah SWT tidak menjadikan penyakit kecuali menjadikan padanya kesembuhan, selain masalah ketuaan.' Mereka berkata, 'Wahai Rasulullah, apa yang terbaik yang diberikan kepada seorang hamba?' Beliau menjawab, 'Akhlak mulia'." Shahih: Ghayah Al Maram (292), Ash-Shahihah (433), Al Misykah (4532 dan 5079).” Pengobatan atau penanganan pada penyakit adalah salah satu usaha manusia untuk menjadikan diri kembali menjadi manusia yang sembuh dan sehat. Adapun sabda Nabi Saw. “Setiap penyakit ada obatnya”, merupakan motivasi bagi jiwa orang yang sakit dan seorang dokter sebagai seorang yang membantu menyembuhkan orang lain. Ini juga merupakan anjuran untuk mencari tahu dan menganalisa obat dari penyakit tersebut, karena pada saat itu orang sakit tahu bahwa ada obat yang menyembuhkan penyakitnya, akan timbul harapan dalam hatinya,. dan. padamlah. keputusasaan. terbukalah pintu harapan (Al-Jauziyyah, 2008).. dalam. hatinya,. sehingga.

59 Dalam agama Islam manusia seharusnya tidak mengeluh atas penyakit yang dideritanya, berdasarkan hadits Rasulullah Saw. yang berbunyi:. َّ َّٚ‫صي‬ َّ ‫س٘ ُه‬ ‫ث‬ َ ْ٘ ََ ‫ أ َ َعتُ ُم ٌْ ْاى‬َََّْٚ َ ‫َخ‬ٝ ‫سيَّ ٌَ َة‬ ُ ‫َم ِْ أَّ ٍَس َب َه َب َه َع‬ َ َٗ ِٔ ْٞ َ‫َّللاُ َمي‬ َ ِ‫َّللا‬ ْ ّ‫ ٍَب َمب‬ِِْٜٞ ‫َقُ ْو اىيَّ ُٖ ٌَّ أ َ ْع‬ٞ‫ث َ ْي‬ ‫َج‬ َ ْ٘ ََ ‫ًب ْاى‬ِّْٞ ََ َ ‫ض ٍ ّد َّزَ َه ِب ِٔ َب ِ ُْ َمبَُ َة بُتَّ ٍُخ‬ ُ ‫ِى‬ ْ ّ‫ ِاذَا َمب‬َِّْٜ َ٘ َ ‫ َٗح‬ٜ‫ ًْدا ِى‬ٞ‫َبة ُ َخ‬ٞ‫ْاى َغ‬ ٜ‫ ًْدا ِى‬ٞ‫َج ْاى َ٘ َبة ُ َخ‬. “Dari Anas RA, ia berkata, "Rasulullah SAW bersabda, 'Janganlah seseorang di antara kalian berangan-angan akan kematian karena kesusahan yang menimpanya. Namun jika terpaksa berangan-angan terhadap kematian, maka hendaknya ia berdoa, 'Ya Allah, hidupkanlah aku selama kehidupan itu baik bagi diriku, dan matikanlah aku jika kematian itu baik bagi diriku'." Shahih: Al Irwa" (683), Ar-Raudh An-Nadhir (142), Ahkam Al Jana'iz (4). Muttafaq 'Alaih. Berdasarkan hadits tersebut manusia seharusnya tidak berkeluh kesah atas musibah yang menimpanya. Manusia harus selalu berserah diri kepada Allah Swt. dan mempersiapkan bekal iman sehingga siap menghadap kepada Allah Swt.. Demikian pula ayat-ayat yang memerintahkan manusia mempersiapkan diri untuk menghadapi masa depan. Allah Swt. berfirman dalam QS. al-Hasyr ayat 18 yang berbunyi:. ُ ‫ ذ َ ذ َ ۡ َ َ ذ‬ٞ ۡ َ ۡ ُ َ ۡ َ َ ‫َ َٰٓ َ ُّ َ ذ َ َ َ ُ ْ ذ ُ ْ ذ‬ َ ‫ٱّلل َإ ذن َ ذ‬ َ ‫يا َْ ذ‬ ُ ‫ٱّلل َ َخب‬ َُۢ‫ي‬ َ َ َ ‫ق‬ ‫َوٱت‬ َ ٖۖ‫ٱّلل َوۡلنظر َجفس َواَقدوت َم ِغد‬ َ َ ‫يا‬ َ ‫ِيي َءاونيا َٱتق‬ َ ‫يأحىا َٱَّل‬ ِ ‫ه‬ ِ َ ََُۡ َ َ َ١٨َ‫ين‬ ‫بِىاَتعىن‬ “Hai orang-orang yang beriman, bertakwalah kepada Allah dan hendaklah setiap diri memperhatikan apa yang telah diperbuatnya untuk hari esok (akhirat); dan bertakwalah kepada Allah, sesungguhnya Allah Maha Mengetahui apa yang kamu kerjakan”. (QS.Al-Hasyr/59:18). QS. al-Hasyr ayat 18 dimulai dengan perintah bertakwa dan diakhiri dengan perintah yang sama. Ini mengisyaratkan bahwa landasan berpikir serta tempat bertolak untuk mempersiapkan hari esok haruslah ketakwaan dan hasil akhir yang diperoleh pun adalah ketakwaan. Hari esok yang dimaksud oleh ayat ini tidak hanya terbatas pengertiannya pada hari esok di akhirat kelak, melainkan.

60 termasuk juga hari esok menurut pengertian dimensi waktu yang dialami. Kata „ghad‟ dalam QS. al-Hasyr ayat 18 yang diterjemahkan dengan esok, ditemukan dalam al-Quran sebanyak lima kali. Tiga di antaranya secara jelas digunakan dalam konteks hari esok duniawi dan dua sisanya dapat mencakup esok (masa depan) baik yang dekat maupun yang jauh. Sehingga ada baiknya manusia mempersiapkan apapun yang akan dihadapi untuk hari esok (Shihab, 2002)..

BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil penelitian, maka diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut: a. Pengaruh pengobatan pada sel-sel tumor yang sensitif faktor pengobatan. sebesar. karena adanya. ml/sel/hari mengalami perubahan dari nilai. awal sel tumor 0,35 sel/ml hingga berada pada titik stabil sebesar sel/ml dalam rentan waktu 141 hari. Selanjutnya, pertumbuhan sel-sel tumor yang rentan. mengalami perubahan dari nilai. awal 0,25 menuju ke titik stabil. sel/ml dalam waktu 167 hari.. Sedangkan perndekatan secara numerik laju pertumbuhan populasi sel-sel tumor sensitif dan sel-sel tumor yang rentan dengan menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg dengan laju error sebesar (. memberikan solusi dengan toleransi. diperoleh persamaan. dan persamaan b. Pengaruh pengobatan. stabil saat sebesar. telah stabil pada saat. .. ml/sel/hari pada sel-sel tumor yang sensitif. mengalami perubahan dari nilai awal sel tumor 0,35 sel/ml hingga berada pada titik stabil sebesar 6,1242484819109 sel/ml dalam rentan waktu 99 hari. Selanjutnya, pertumbuhan sel-sel tumor yang rentan. mengalami. perubahan dari nilai awal 0,25 menuju ke titik stabil 4,6534035003691 sel/ml dalam waktu 119 hari. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pengaruh pengobatan dari. berdampak pada pertumbuhan tumor hingga meningkat 9. kali lipat. 61.