ESTIMASI PARAMETER DAN PEMASANGAN MODEL

SISTEM PENDUKUNG PERAMALAN MENURUT EXPONENTIAL SMOOTHING

8.3 ESTIMASI PARAMETER DAN PEMASANGAN MODEL

Gambar 8.1 Plot waktu deret waktu yang sesuai dengan konsumsi air rata-rata harian (dalam liter per detik) di Valencia dari 1 April hingga 30 September 2006

di mana 𝑦̅₂ adalah rata-rata aritmatika dari data untuk siklus musiman kedua. Untuk versi perkalian dari metode Holt-Winters, persamaan yang sesuai dengan faktor musiman mengadopsi bentuk ci−s = yi/𝑦̅₁. Pendekatan lain dapat ditemukan di [28, 11].

Setelah nilai awal ditetapkan, parameter pemulusan biasanya diestimasi dengan meminimalkan fungsi tertentu dari kesalahan peramalan satu langkah ke depan dari data historis. Nilai parameter pemulusan sangat sensitif terhadap rumus khusus yang digunakan untuk menghitung nilai awal tingkat lokal, tren dan faktor musiman pada awal rangkaian, yang dapat menghasilkan prakiraan yang sangat berbeda [11, 27].

Namun, hasil yang lebih memuaskan dapat diperoleh dengan mempertimbangkan kondisi awal sebagai parameter metode dan secara bersamaan menentukan nilainya bersama dengan parameter pemulusan dengan meminimalkan kesalahan prediksi satu langkah ke depan [3, 25, 19]. Misalkan = (a0, b0, c1−s, c2−s,..., c0)∗ adalah vektor kondisi awal, dan = (𝛼 , 𝛽 , 𝛾 , 𝜑)∗ vektor parameter ing dan smoothing. Secara khusus, kriteria model-fitting yang diusulkan dalam [3] adalah RMSE (akar kuadrat dari kesalahan kuadrat rata-rata):

di mana adalah kesalahan prakiraan

selangkah lebih maju untuk versi musiman aditif. Dalam bentuk perkalian kesalahan ini

diberikan oleh . Persamaan memperbarui

setiap metode dan kendala yang berlaku untuk komponen awal dan parameter pemulusan menentukan himpunan kendala dari masalah optimasi. Misalnya, masalah optimasi yang terkait dengan metode aditif Holt-Winters dapat dirumuskan sebagai berikut:

Demikian pula, masalah optimasi yang sesuai dengan bentuk perkalian dari metode Holt- Winters diberikan oleh:

Aplikasi Solver yang disertakan dalam spreadsheet Microsoft Excel dapat digunaka n untuk menyelesaikan masalah pengoptimalan di atas. Gambar 2 menunjukkan spesifikasi model spreadsheet untuk versi aditif dari metode Holt-Winters untuk deret waktu konsumsi air.

Karena kriteria pas adalah fungsi parameter yang sangat nonlinier, rutinitas optimasi numerik tidak dapat menjamin optimal global, dalam hal ini strategi multi-start direkomendasikan. Hal ini mengarah pada identifikasi himpunan minima lokal alternatif daripada mengidentifikasi solusi optimal tunggal. Solusi 'praktik terbaik' kemudian dipilih menjadi solusi dengan kesalahan pemasangan terendah.

Telah diketahui dengan baik bahwa untuk setiap versi pemulusan eksponensial, perkiraan titik dan akurasi prakiraan pasca-sampel mungkin juga berbeda tergantung pada kriteria yang dipilih untuk mengukur kesalahan pemasangan dalam sampel. Dalam upaya untuk mengatasi masalah ini, kami mengusulkan untuk bersama-sama memperkirakan semua yang tidak diketahui, yaitu kondisi awal dan parameter pemulusan, melalui skema estimasi yang bekerja secara paralel dengan tiga ukuran fit: MAPE (mean absolute presentase error) , RMSE (akar kuadrat dari kesalahan kuadrat rata-rata) dan MAD (deviasi absolut rata-rata), dilambangkan dengan 1, 2 dan 3 masing-masing, dan didefinisikan sebagai:

Gambar 8.2 Model spreadsheet Holt-Winters Multiplicative dan jendela Solver Parameters.

Ini menunjukkan algoritme pengoptimalan untuk deret waktu konsumsi air, yang muncul di kolom berjudul Konsumsi

Dimana,

adalah kesalahan perkiraan selangkah lebih maju dari sejarah data.

Pada tahap pertama, dengan menggunakan strategi multi-start, satu set minimum lokal untuk setiap ukuran kesalahan dihitung. Solusi kompromi kemudian ditemukan dengan mengoptimalkan kembali semua tujuan secara bersamaan menggunakan formulasi multi- tujuan. Usulan penulis untuk memecahkan masalah multi-tujuan non-linier menggabungkan semua informasi yang diperoleh sebelumnya pada tahap pertama melalui pendekatan fuzzy berdasarkan operator max-min Zimmermann (lihat [4] untuk penjelasan rinci). Perlu ditunjukkan bahwa pendekatan estimasi dan pemilihan model ini, di mana nilai kondisi awal ditentukan dalam proses model-fitting, memungkinkan penulis untuk mencapai pengurangan yang cukup besar dalam kesalahan perkiraan untuk kasus yang dipelajari.

Gambar 8.3 Jendela hasil dari SIOPRED untuk metode Holt-Winters perkalian dengan tren teredam

Gambar 3 menunjukkan hasil dari prosedur di atas, seperti yang diperoleh aplikasi SIOPRED, ketika diterapkan pada kumpulan data konsumsi air rata-rata harian menggunakan metode Holt-Winters perkalian. Solusi yang diperoleh dengan prosedur ini menunjukkan

RSME pas 189,9, yang lebih besar dari yang ditunjukkan pada Gambar 2, yaitu 125,84.

Perhatikan bahwa prosedur multi-tujuan kabur ini meminimalkan kompromi antara ukuran MAPE, MAD dan RMSE, tetapi bukan RMSE.

Estimasi Parameter Ketika Komponen Stochastic Ditambahkan

Pengenalan kelas model ruang keadaan nonlinier dinamis, yang dicirikan oleh satu sumber keacakan, prosedur pemulusan eksponensial yang mendasari memberikan landasan statistik untuk metode tersebut [25, 19]. Untuk setiap metode pemulusan eksponensial, dimungkinkan untuk memperoleh formulasi ruang keadaan ekuivalen yang memungkinkan penghitungan interval kemungkinan dan prediksi dengan mudah. Sebenarnya ada dua kemungkinan model state-space yang sesuai dengan asumsi kesalahan aditif dan multiplikatif.

Jadi model Holt-Winters dengan aditif musiman dan kesalahan aditif diperoleh dengan mengasumsikan bahwa pengamatan pada waktu t berasal dari variabel acak Yt didefinisikan sebagai:

di mana dan adalah error, biasanya diasumsikan sebagai homoskedastis independen Variabel acak normal, . Model ini dapat dirumuskan sebagai model state-space dengan sumber kesalahan tunggal sebagai berikut:

Persamaan Observasi

Persamaan transisi

di mana persamaan memperbarui metode Holt-Winters aditif, Persamaan. (1)- (3), telah ditulis dalam formulir koreksi kesalahannya. Perhatikan bahwa persamaan di atas (11) untuk memperbarui indeks musiman tidak setara dengan yang asli diusulkan dalam [28], Persamaan.

(3), tetapi untuk persamaan yang dimodifikasi yang diusulkan dalam [25]:

Secara analog, model Holt-Winters dengan musiman aditif dan kesalahan perkalian dapat ditulis dengan cara yang sama, di mana persamaan observasi menjadi:

sedangkan persamaan transisi dapat dibuat dalam bentuk berikut:

Formulasi state-space serupa diperoleh untuk metode pemulusan eksponensial yang tersisa [19].

Untuk setiap model pemulusan eksponensial, misalkan dua kali logaritma negatif dari fungsi kemungkinan terkonsentrasi dengan suku konstan dihilangkan, di mana = (a0, b0, c1−s, c2−s,..., c0)∗ adalah vektor dari kondisi awal, 𝜃= (α, 𝛽 , 𝛾 , 𝜙 )′ adalah vektor parameter redaman dan pemulusan, t mewakili ramalan satu langkah yang dibuat pada waktu t - 1, et = yt - 𝜇_𝑡 adalah satu langkah -ahead forecast error, dan k(μt) adalah fungsi yang mengambil nilai 1 untuk model dengan kesalahan aditif, dan nilai t untuk model dengan kesalahan perkalian [25, 19].

Kondisi awal dan parameter pemulusan kemudian dapat diestimasi secara bersamaan dengan meminimalkan L∗(ω, 𝜃 ).

Di sisi lain, Bermu´dez et al merumuskan versi aditif dari model Holt-Winters, yaitu model dengan musiman aditif dan kesalahan aditif, sebagai model linier heteroskedastis [5].

Berdasarkan pekerjaan ini, kami memperoleh formulasi linier untuk model Holt-Winters aditif dengan tren teredam. Dengan menggunakan persamaan observasi (8) secara rekursif bersama dengan persamaan transisi (9)-(11), vektor data y = (y1, y2,..., yn)′ dapat dinyatakan sebagai berikut:

di mana 𝜓 = (b0, c1−s, c2−s,... , c0)∗ adalah (s + 1) x 1 vektor dari kondisi awal dengan batasan a0+b0 = 0. Perhatikan bahwa batasan ini, diperlukan agar model dapat diidentifikasi, merupakan alternatif meskipun kendala yang setara dengan yang umum digunakan c1−s+c2−s+...+c0 = 0; M adalah n×(s+1) , matriks desain berpangkat lengkap, yang kolom pertamanya adalah vektor dan yang kolom terakhirnya terdiri dari blok matriks identitas s x s yang dirakit untuk menutupi n baris; L adalah n x n matriks segitiga bawah, fungsi dari parameter redaman dan pemulusan 𝜃= (α, 𝛽 , 𝛾 , 𝜙 )′, yang elemen- elemennya pada diagonal utama sama dengan 1 dan li,j jika i

> j; adalah vektor kesalahan, biasanya diasumsikan terdistribusi Normal dengan vektor rata - rata 0 dan matriks kovarians 𝜎²In.

Oleh karena itu, fungsi kemungkinan log dari vektor data diberikan oleh:

dimana adalah estimator kuadrat terkecil dari 𝜓 ketika nilai 𝜃 diketahui, dan adalah ortogonal matriks proyeksi pada ruang vektor yang dihasilkan oleh kolom-kolom X.

Bentuk kuadrat kedua pada (17) selalu dapat dianulir, berapa pun nilai 𝜃, sedangkan bentuk kuadrat pertama hanya melibatkan parameter 𝜃 , yang muncul dalam matriks L dan akibatnya dalam matriks X dan PX . Jadi estimator kemungkinan maksimum dari parameter pemulusan 𝜃, 𝜃̂, diperoleh dengan menyelesaikan masalah optimasi berikut

Setelah diperoleh 𝜃̂, misalkan 𝐿̂ adalah matriks L yang dihitung pada 𝜃̂ dan 𝑋̂ = 𝐿̂⁻¹M . Penduga kemungkinan maksimum dari 𝜓 kemudian diberikan oleh vektor 𝜓 yang dihitung pada 𝜃̂, yaitu:

Akhirnya, penduga kemungkinan maksimum dari 𝜎² adalah:

Tabel 8.2 Estimasi kemungkinan maksimum dari parameter model aditif Holt-Winters untuk kumpulan data konsumsi air rata-rata harian

Parameter Kondisi awal

𝛼 0,59 Senin 81.17 Sabtu -197.14

𝛽 0.00 Selasa 136.95 Minggu -413,99

𝛾 0.00 Rabu 151,52

𝜑 0,50 Kamis 131.63 Tingkat 3717.38

𝜎 130.39 Jumat 109,86 Kecenderungan 78,79

Perhatikan bahwa formulasi ini, alternatif meskipun secara matematis setara dengan model ruang-negara dengan sumber kesalahan tunggal yang diberikan oleh Persamaan. (8)- (11), menyederhanakan perhitungan estimasi kemungkinan maksimum dari semua yang tidak diketahui: parameter redaman dan pemulusan, kondisi awal dan varians. Faktanya, hanya satu masalah optimasi yang melibatkan empat parameter, yang diberikan oleh (18), yang harus diselesaikan, optimasi parameter lainnya bersifat analitik. Meskipun skema ini tidak tepat jika efek musiman atau varians kesalahan bergantung pada tingkat deret, skema ini dapat berguna setelah transformasi data yang memadai seperti logaritmik.

Tabel 2 menunjukkan perkiraan kemungkinan maksimum dari parameter model Holt- Winters aditif untuk kumpulan data konsumsi air rata-rata harian. Solusi ini menunjukkan RSME 126,75, yang lebih kecil daripada yang diperoleh dengan Holt-Winters multiplikasi atau Holt-Winters aditif setelah transformasi log data. Minggu menunjukkan konsumsi terendah sementara yang tertinggi diperkirakan pada hari kerja. Perhatikan bahwa estimasi parameter pemulusan musiman adalah nol, yang berarti bahwa komponen musiman awal akan tetap.

Estimasi parameter tren juga nol, tetapi karena estimasi parameter teredam lebih kecil dari satu, kondisi tren awal akan menjadi semakin kecil dan tren akan cepat konvergen ke nol.