Busur dan Juring Lingkaran
C. Hubungan Panjang Busur dan Luas Juring
9. Ayo Berpikir Kritis
Sebuah pabrik biskuit membuat biskuit sebanyak dua jenis yang berbentuk cakram dengan diameter yang berbeda, tetapi ketebalannya sama. Masing-masing kue kecil dan besar memiliki diameter 7 cm dan 10 cm.
Dua paket berbeda dibungkus dalam biskuit.
Sekotak kecil berisi 10 biskuit tersedia seharga Rp7.000,00, sedangkan paket besar berisi sebanyak 7 biskuit untuk dijual dengan harga Rp10.000,00. Manakah yang lebih menguntungkan, kemasan biskuit kecil ataukah kemasan biskuit besar? Jelaskan alasannya.
Tahukah Kalian
Pelabelan Busur dan Juring Lingkaran
Juring AOB Segitiga AOB Garis AB Busur AB O
A
B
O
A
B
O A
B
O A
B
Kalian mungkin menemukan busur dan juring yang masing-masing gambar disebut sebagai "panjang busur AB" dan "juring AOB". Beberapa orang menjadi bingung dan berpikir bahwa AB harus berupa ruas garis lurus dan AOB harus berupa segitiga. Petunjuknya ada di susunan kata. Segitiga AOB tidak sama dengan besar juring AOB.
Ayo Bereksplorasi
Ayo menggali informasi agar bisa menjawab Pertanyaan Pemantik dan informasi pada bagian Tahukah Kalian? Amati dengan cermat Tabel 2.3 tentang hubungan sudut pusat lingkaran, panjang busur, dan luas juringnya.
Tabel 2.3 Hubungan Sudut Pusat Lingkaran dengan Panjang Busur dan Luas Juringnya
Lingkaran (L) Panjang Busur (\AB ) Luas Juring (L) L1 (r, 180o)
A O B
AB 2
= 1
[ × keliling lingkaran atau
AB\= 180o
360o × keliling lingkaran
LAOB = 2
1 × luas lingkaran atau
LAOB = 180o
360o × luas lingkaran L1 (r, 90o)
A
O B
AB 4
= 1
[ × keliling lingkaran atau
AB\= 90o
360o × keliling lingkaran
LAOB = 4
1 × luas lingkaran atau
LAOB = 90o
360o × luas lingkaran
Lingkaran (L) Panjang Busur (AB\) Luas Juring (L) L1 (r, 45o)
A O 45o B
AB 8
= 1
[ × keliling lingkaran atau
\AB = 45o
360o × keliling lingkaran
LAOB = 8
1 × luas lingkaran atau
LAOB = 45o
360o × luas lingkaran L1 (r, αO)
A O
B
a \AB = 360αo × keliling lingkaran LAOB = α
360o × luas lingkaran
Simpulan penting adalah luas juring sebanding dengan ukuran sudut pusat dan panjang busurnya. Berdasarkan Tabel 2.3 di atas kalian temukan bahwa apabila titik A dan B pada L(r, α), maka dapat disimpulkan sebagai berikut.
(i) Panjang Busur AB:
\AB = α
360o × keliling lingkaran atau \AB = α
360o × 2πr (ii) Luas Juring AOB:
LAOB = α
360o × luas lingkaran atau LAOB = α
360o × πr2 Petunjuk
1. Dua busur dikatakan kongruen pada lingkaran yang sama atau kongruen asalkan sudut pusat yang bersesuaian adalah sama.
2. Panjang busur yang dibuat oleh dua busur yang berdekatan (salah satu titik ujungnya berhimpitan satu sama lain) ujungnya sama dengan jumlah kedua busur tersebut.
Ayo Mengerjakan Projek 2.2
Ayo selesaikan tahapan kegiatan projek berikut untuk memiliki pengetahuan yang lebih baik tentang hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring lingkaran.
1. Sediakan jangka, spidol, penggaris, gunting, karton.
2. Buatlah sebuah lingkaran pada selembar karton dengan pusat di titik O dan jari-jari sebarang.
3. Lukislah beberapa juring lingkaran yang berukuran sama. Misalnya, juring tersebut dibagi menjadi 8 bagian yang sama seperti pada gambar di samping dengan besar sudut pusat 45o. Kemudian, potonglah kedelapan juring lingkaran tersebut.
4. Selanjutnya, amati dengan cermat kedelapan bagian juring lingkaran yang telah dipotong. Fokus pengamatannya pada besar sudut pusat, panjang busur, dan luas juringnya.
5. Kemudian, lengkapi perbandingan-perbandingan berikut pada lembar kegiatanmu.
a. sudut pusat
sudut satu putaran = 45360oo = ....
b. panjang busur AB keliling lingkaran = ....
c. luas juring AOB luas lingkaran = ....
6. Berikutnya, buatlah juga sebuah lingkaran pada kertas karton dengan jari-jari sesuai dengan keinginanmu (sebarang). Kemudian, bagilah lingkaran tersebut menjadi 16 juring lingkaran yang sama besar, lalu potonglah keenam belas bagian juring tersebut seperti kegiatan pada langkah keempat dan kelima.
Kesimpulan apa yang dapat kalian ambil dari menganalisis ketiga perbandingan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas lingkaran?
Setelah menyelesaikan pekerjaan projek dengan sukses, kalian akan mendapatkan nilai perbandingan sudut pusat dan sudut satu putaran, panjang busur dan lingkaran lingkaran, dan luas lingkaran dan luas lingkaran.
Akibatnya, dapat dituliskan seperti berikut ini.
sudut pusat
sudut satu putaran = panjang busur AB
keliling lingkaran = luas juring AOB luas lingkaran
B H A
G F
E D
C O
45o
Mari pahami contoh soal dan alternatif penyelesaian berikut ini untuk meningkatkan pemahaman kalian tentang hubungan sudut pusat lingkaran, panjang busur, dan luas juringnya.
Contoh Soal 2.5
Pada gambar lingkaran di samping, diketahui besar
∠POQ = 60o, OQ = 21 cm. Tentukan panjang busur PQ dan luas juring POQ!
Alternatif penyelesaian:
Panjang busur PQ = α
360o × keliling lingkaran
= 60o
360o × 2πr
= 6
1 × 2 × 7 22 × 21
= 22
Jadi, panjang busur PQ = 22 cm.
Luas juring POQ = α
360o × luas lingkaran
= 60o
360o × πr2
= 6
1 × 7
22 × 21 × 21
= 231
Jadi, luas juring POQ = 231 cm2 Ayo Mengingat Kembali
TEMBERENG Ciri-ciri
Suatu daerah yang terdapat pada lingkaran
Suatu daerah yang dibatasi oleh satu busur dan tali busur lingkaran
P R S T U
Q B C
A minor
mayor
P
O
Q
Tembereng adalah luas daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan sebuah busur lingkaran di depan tali busur tersebut sehingga luas tembereng lingkaran adalah besar luas juring lingkaran dikurangi oleh luas segitiga yang kaki-kaki sudutnya merupakan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran yang menghubungkan batas tembereng tersebut.
Definisi 2.3
Ayo Bereksplorasi
Berdasarkan definisi tembereng di atas, maka tembereng merupakan suatu daerah yang berada di dalam lingkaran yang dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran. Gambar 2.13 menggambarkan lingkaran dengan pusat O, garis lurus AB merupakan tali busur lingkaran, dan garis lengkung AB merupakan busur lingkaran. Sementara itu, daerah arsiran adalah daerah yang dibatasi oleh tali busur AB dan busur AB. Prosedur untuk menghitung luas tembereng adalah sebagai berikut.
1. Carilah luas juring AOB berdasarkan ukuran yang diketahui.
2. Carilah panjang tali busur AB dengan memperhatikan sudut pusatnya.
3. Carilah panjang garis apotema OC dengan memperhatikan segitiga yang terbentuk.
4. Hitung luas segitiga AOB dengan memperhatikan panjang apotemanya.
Luas segitiga = 2
1 × panjang tali busur AB × panjang apotema OC.
5. Hitung luas tembereng yang didapat dari luas juring dikurangi dengan luas segitiga AOB.
Luas tembereng = luas juring AOB – luas segitiga AOB, Untuk lebih jelasnya, pelajari dan pahami contoh soal 2.6 berikut.
Gambar 2.13 Tembereng O
A
C
B
Contoh Soal 2.6
Perhatikan lingkaran pada gambar berikut!
Pada gambar tersebut diketahui besar ∠AOB adalah 90o dan jari-jari lingkaran adalah 10 cm. Hitunglah:
a. panjang busur, b. luas juring, c. luas tembereng.
Alternatif penyelesaian:
Panjang busur AB = α
360o × keliling lingkaran
= 90o
360o × 2πr
= 4
1 × 2 × 7 22 × 10
= 15,714 cm Jadi, panjang busur AB = 15,714 cm.
Luas juring AOB = α
360o × luas lingkaran
= 90o
360o × πr2
= 4
1 × 7
22 × 10 × 10
= 78,571 cm2 Jadi, luas juring AOB = 78,571 cm2
Luas tembereng = luas juring AOB – luas segitiga ABO.
= 78,571 – 2
1 × alas × tinggi
= 78,571 – 2
1 × 10 × 10
= 78,571 – 50
= 28,571
Jadi, luas tembereng adalah 28,571 cm2
O
A
B
Idris mengatakan bahwa apabila dua juring lingkaran memiliki sudut pusat busur yang sama, maka kedua panjang busurnya akan sama panjang. Setujukah kalian dengan pernyataan Idris? Jelaskan jawaban kalian!
Ayo Berpikir Kritis
Ayo Berpikir Kreatif
Papan dart standar ditampilkan. Setiap bagian papan dikelilingi oleh kawat dan angka menunjukkan skor untuk permainan. Untuk satu lemparan, skor setinggi mungkin dapat dicapai dengan mendaratkan anak panah di bagian paling tengah atau tepat sasaran pada papan dart.
Luas juring lingkaran adalah suatu daerah ruang tertutup di dalam batas suatu juring. Papan dart dapat dibagi menjadi juring-juring yang kongruen.
a) Tentukan jumlah juring yang terdapat pada lingkaran terluar (perhatikan gambar di samping).
b) Tentukan besar sudut pusat dan besar busur potong yang dibentuk oleh masing-masing sektor.
c) Tentukan perbandingan panjang setiap busur yang dipotong dengan kelilingnya.
d) Tentukan perbandingan luas setiap bagian dengan luas lingkaran.
e) Tentukan luas yang dibentuk oleh masing-masing juring lingkaran tersebut.
Ayo Menggunakan Teknologi
Setelah mempelajari hubungan panjang busur dan luas juring yang dibahas pada buku ini, sekarang kembangkan pengetahuan kalian tentang hubungan
besar sudut pusat lingkaran, panjang busur, dan luas juringnya dengan cara mengunjungi laman di samping. Lakukan percobaan dengan besar sudut dan panjang jari-jari berbeda sebanyak 5 kali percobaan, kemudian tuliskan apa yang dapat kalian simpulkan dari kelima percobaan tersebut.
Latihan 2.3
1. Berdasarkan gambar di samping, tentukan per- bandingan antara:
a. besar ∠POQ dengan ∠AOB b. panjang PQ\ dengan \AB c. luas juring POQ dengan AOB
Kemudian, kesimpulan apa yang didapat dari hasil a, b, dan c?
2. Diketahui panjang busur AB adalah 6,28 cm, maka bagaimana cara kalian menemukan panjang jari-jari lingkaran tersebut? Jelaskan.
3. Pada gambar di samping diketahui panjang jari-jari lingkaran 14 cm, panjang tali busur RS = 16 cm, dan besar sudut ROS = 90o, maka tentukan panjang dan luas terbentuk:
a. apotema TO, b. apotema OU, c. juring ROS, d. segitiga ROS, e. tembereng RS.
4. Ayo Berpikir Kreatif
Sebuah lingkaran dengan titik pusatnya di titik O memiliki luas daerah yang diarsir sebesar 20% dari luas lingkaran tersebut. Berapa besar ∠AOB?
https://s.id/
HubunganSudutBusurJuring
P Q
A B O 28 cm90
o
45o
A B
O
72o
P
T
Q
S
R
O U
O
A
B
5. Ayo Berpikir Kritis
Menurut Ahmad, makin besar sudut pusat lingkaran, maka makin besar panjang busur dan luas juringnya. Sementara itu, Durahman menyatakan bahwa makin sempit sudut pusat lingkaran, maka makin kecil panjang busur dan ukuran luas juring lingkarannya. Apakah kalian setuju dengan pendapat Ahmad atau Durahman? Nyatakan sudut pandang kalian yang didukung dengan bukti.
Buatlah daftar hal-hal penting yang telah kalian temukan setelah mempelajari panjang busur lingkaran dan juringnya.
1. Bagaimana hubungan sudut pusat lingkaran dengan sudut kelilingnya yang menghadap busur yang sama?
2. Bagaimana hubungan sudut pusat lingkaran dengan panjang busurnya?
3. Bagaimana hubungan sudut pusat lingkaran dengan luas juringnya?
4. Bagaimana hubungan sudut pusat lingkran, panjang busur, dan luas juringnya?
Ayo Berefleksi
Uji Kompetensi 2