ANALISIS FREKUENSI REGIONAL HUJAN MAKSIMUM
regional suatu wilayah akan sangat membantu dalam menyelesaikan permasalahan tersebut, karena distribusi frekuensi regional terpilih nantinya akan menjadi ‘parent distribution’ bagi lokasi spesifik di wilayah itu. Melalui rekaman data hujan dengan rentang 13 – 19 tahun di DAS Ciujung dan Cidurian yang tersebar di 18 lokasi stasiun hujan, analisis frekuensi regional untuk hujan maksimum tahunan perlu untuk dilakukan dengan metode L-Moment, LQ- Moment, dan LH-Moment. Sedangkan metode moment digunakan untuk analisis frekuensi at-site untuk hujan maksimum tahunan. Dari seluruh metode yang digunakan, hanya akan diambil satu metode yang dianggap terbaik menurut uji model dan tingkat kesalahannya beserta persamaan frekuensi regionalnya
Kajian Pustaka Uji Homogeneity
Metode untuk mengukur keseragaman data dalam satu wilayah adalah dengan Homogneity Test (Darlymple, 1960). Metode ini dikembangkan untuk analisis mengenai banjir yaitu index flood, namun dapat pula diaplikasikan untuk data hujan. Inti dari prosedur metode ini adalah mengamati nilai kala ulang dari perkalian antara hujan rancangan 10 tahun dengan rerata rasio terhadap batas kepercayaan tertentu. Rerata rasio merupakan rerata dari perbandingan hujan rancangan 10 tahun dan 2,33 tahun untuk seluruh stasiun hujan.
Metode L-Moment
Formula umum untuk parameter PWM adalah(Maidment, 1993) :
(1) dengan :
: parameter estimasi populasi data, n : jumlah data,
X(j) : data ke-j pada data yang telah diurutkan dari besar ke kecil, r : 0,1,2,3.
Untuk distribusi apapun, parameter L-Moment dapat dihitung dengan mudah dari metode PWM diatas :
(2)
(3)
(4)
(5)
dengan :
: parameter L-Moments
Parameter L-Moment kemudian digunakan untuk mencari rasio L-Moment dengan (Hosking & Wallis, 1997) :
(6)
(7)
(8)
dengan :
: coefficient of L-variation (L-Cv),
: coefficient of L-skewness (L-Cs),
: coefficient of L-kurtosis (L-Ck).
Metode LQ-Moment
Parameter umum LQ-Moment adalah (Mudholkar & Huston, 1998):
(9) Sehingga untuk empat parameter LQ-Moment adalah :
(10)
(11) (12) (13)
: parameter LQ-Moments 0 ≤≤ 1/2,
0 ≤ p ≤1/2, dan
(14)
p, merupakan quick estimator. Fungsi pembangkitan untuk quick estimator yang umum didapat dari persamaan antara lain :
Median (15)
Trimean (16) Gastwirth (17) Persamaan (9) apabila disubtitusikan dengan masing-masing quick estimator maka akan didapat persamaan :
(18) ci : koefisien quick estimator,
ui : letak data yang telah diurutkan terhadap i,
Qx : data terletak di ui pada data yang telah diurutkan dari besar ke kecil.
LQ-Skewness dan LQ-Kurtosis didapat dari persamaan :
(19)
Metode LH-Moment
Parameter umum LH-Moment adalah (Wang, 1997) :
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
dengan :
: parameter LH-Moments
: ordo LH-Moments (0,1,2…)
: parameter estimasi populasi data (PWM)
(25)
(26)
(27)
dengan :
: rasio LH-Moment Uji Kecocokan
Setelah melakukan pengamatan visual pada Diagram L-Moment, LQ-Moment, dan LH-Moment, langkah selanjutnya adalah melakukan pencocokan seluruh sampel data dengan distribusi regional terpilih menggunakan uji kecocokan atau goodness-of-fit test (ZDIST). Distribusi diterima apabila | ZDIST | ≤ 1,64. Untuk mendapatkan ZDIST didapat dengan persamaan berikut (Hosking & Wallis, 1997):
(28)
dengan :
4DIST : fitted distribution L-Ck,
4 : standar deviasi4R.
Persamaan diatas adalah untuk metode L-Moment, akan tetapi juga diaplikasikan untuk metode LQ-Moment dan LH-Moment sesuai parameter dan rasionya.
Uji Model
Pengujian model dilakukan pada stasiun yang tidak dilibatkan dalam analisis regional. Pada stasiun tersebut dicari besaran hujan rancangan (at-sitequantile) dengan menggunakan regional growth factor dan metode konvensional momen.
Selanjutnya dari kedua hasil tersebut dibandingkan dengan relative root mean square error (RMSE) dengan persamaan berikut :
(29)
dengan :
Ri(F) : relative RMSE (RRMSE)
Xi(F)L : at-site quantile lokasi i metode L-Moment, LQ-Moment, LH-Moment Xi(F)m : at-site quantile lokasi i metode Momen
Landasan Teori
Metode moment merupakan metode yang paling merupakan metode yang banyak digunakan dalam analisis frekuensi. Vogel dan Fennessey (1993) mengemukakan bahwa metode moment merupakan metode yang paling tua dan teknik yang paling mudah dimengerti untuk mencocokkan distribusi frekuensi terhadap data terukur.
Namun untuk jumlah data kecil, metode moment menunjukkan bias, varian, dan kemencengan yang luar biasa. Keterbatasan lain dari metode Moment adalah parameternya terbatas pada interval tertentu. Terkait dengan kelemahan transformasi non linier, Soewarno (1995) menambahkan bahwa metode moment biasanya untuk menjelaskan kestabilan sampel, namun makin tinggi moment berarti tidak stabil dan perlu menambah informasi lain yang dapat dipercaya.
Teori dalam penelitian berlandaskan pada metode L-Moment dimana hampir tidak terjadi bias untuk semua distribusi dan besaran jumlah sampel. Selain itu metode L-Moment menghindari transformasi data nonlinier karena penggunaan transformasi nonlinier dapat menyebabkan penyimpangan dan estimasi parameter yang buruk ketika terdapat nilai yang jauh dari mayoritas data (Pearson, 1991).
Seiring dengan perkembangan teknologi, L-Moment telah banyak dikembangkan diantaranya LQ-Moment dan LH-Moment untuk meningkatakn akurasi dalam analisis frekuensi regional. Metodologi penelitian dimulai dari uji Homogeneity, pemilihan distribusi yang paling mewakili terhadap garis teoritis distribusi, dan penentuan persamaan umum hujan rancangan yang mewakili seluruh wilayah kedua DAS atau regional. Pengujian hasil analisis frekuensi regional adalah membandingkan kesalahan kuadrat terkecil antara metode moment (metode non linier) dan metode L-Moment, LQ-Moment, dan LH-Moment (metode linier) HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan parameter statistik yang didapatkan, maka dilakukan plotting terhadap kurva distribusi teoritik dan dilakukan uji kecocokan. Selanjutnya dilakukan uji model sesuai distribusi terpilih hasil uji kecocokan.
Uji Homogeneity
Gambar 1. Hasil Uji Homogeneity
1 10 100
5 10 15 20
Kala Ulang (Tahun)
Panjang Rekaman Data (Tahun)
L-Moment
Gambar 2. Diagram Rasio L-Moment LQ-Moment
Gambar 3. Diagram Rasio LQ-Moment LH-Moment
Gambar 4. Diagram Rasio LH-Moment Ordo 1(=1)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
L-CS (4)
L-CS (3)
GPA GEV
GLO P3
LN Data
Weighted Average Uniform
Exponential Gumbel
Logistic Normal
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
LQ-CK (4)
LQ-CS (3)
GPA GEV
GLO P3
LN Data
Weighted Average
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
L1-CK (4)
L1-CS (3) GPA GEV
GLO Data
Weighted Avarage
Gambar 5. Diagram Rasio LH-Moment Ordo 2 (=2) Uji Kecocokan
Kedekatan weighted average akan diuji kecocokannya terhadap kurva distribusi teoritik terdekat. Hasil uji pada tabel di bawah menunjukkan bahwa average weighted LH-Moment ordo 2 paling dekat dengan kurva distribusi teoritik.
Tabel 1. Uji Kecocokan Distribusi Terpilih
Metode Distribusi ZDist
L-Moment Generalized Logistic 0.062 LQ-Moment Generalized Logistic 0.36 LH-Moment ordo 1 Generalized Extreme Value [-0.069]
LH-Moment ordo 2 Generalized Extreme Value [-0.019]
Uji Model
Uji model dilakukan dengan melihat RRMSE antara hujan rancangan regional dari ketiga metode dan hujan rancangan at-site (metode momen) pada stasiun hujan yang sama dimana stasiun hujan tersebut tidak dilibatkan dalam analisis frekuensi regional. Hasil uji pada tabel dan gambar di bawah menunjukkan bahwa hujan rancangan dari LH-Moment ordo 2 memiliki RRMSE paling kecil.
Gambar 6. Relative Root Mean Square Error Ketiga Metode
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
L2-CK (4)
L2-CS (3) GPA
GEV GLO Data
Weighted Avarage
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
0 20 40 60 80 100
RRMSE (%)
Kala Ulang (Tahun)
L-Moment vs Moment LQ-Moment vs Moment LH-Moment vs Moment
Gambar 7. Perbandingan Hujan Rancangan At-site dan Hujan Rancangan Regional
Pembahasan Hasil Penelitian
Hasil penelitian menunjukkan tendensi RRMSE yang berbeda pada ketiga metode. Tendensi yang cukup wajar ditunjukkan RRMSE antara L-Moment dan momen dimana nilai kesalahan meningkat seiring dengan meningkatnya kala ulang. Kemungkinan ekstrapolasi terhadap garis distribusi teoritik tidak stabil apabila terlalu jauh. Tendensi yang tidak wajar ditunjukkan RRMSE antara LQ- Moment dan momen dimana nilai kesalahan paling dekat hanya untuk kala ulang 10 tahun, selebihnya nilai kesalahan menunjukkan angka yang tinggi.
Kemungkinan ’quick estimator’ dari metode LQ-Moment menjadikan akurasi tidak cukup stabil. Tendensi yang paling stabil ditunjukkan RRMSE LH-Moment dan momen untuk seluruh kala ulang dimana rerata kesalahan hanya 5,7%.
Kemungkinan pengembangan ‘higher order’ dari metode LH-Moment meningkatkan akurasi untuk ‘upper part’ dari distribusi teoritik sehingga ekstrapolasi lebih dapat diandalkan. Pada gambar diatas tampak bahwa variasi sebaran metode LH-Moment paling kecil, sehingga dapat disimpulkan secara statistik metode LH-Moment merupakan metode yang paling cocok dan stabil untuk analisis frekuensi regional di DAS Ciujung dan DAS Cidurian.
Persamaan Kurva Regional Terpilih
Sesuai hasil anlisis dan uji, distribusi yang terpilih adalah Generalized Extreme Value. Berikut adalah persamaan invers cdf LH-Moment
Hasil normalisasi parameter LH-Moment adalah:
=1 = 0,122 = 0,041 = 0,326
0 50 100 150 200 250 300
0 50 100 150 200 250 300
RRegional (mm)
RAt-site (mm)
L-Moment LQ-Moment LH-Moment
Selanjutnya dari parameter ternormalisasi diatas dan dilakukan fitting ke distribusi Generalized Extreme Value. Untuk mendapatkan invers cdf yang selanjutnya digunakan sebagai growth factor. Hasil perhitungan fitting distribusi adalah sebagai berikut (Deka et al., 2011):
menggunakan trial and error maka diperoleh nilai k = -0,107
Dari parameter distribusi Generalized Extreme Value diatas didapatkan persamaan growth factor berikut
Sesuai invers cdf dan growth factor untuk kala ulang 2, 5, 10, 50, dan 100 tahun disajikan pada tabel berikut.
Tabel 2. Nilai Growth Factor Distribusi Generalized Extreme Value (LH-Moment)
Kala Ulang Growth Factor
2 0.728
5 0.945
10 1.104
20 1.269
50 1.502
100 1.693
KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan
Kesimpulan dari penelitian ini adalah,
1. Distribusi regional yang paling cocok untuk DAS Ciujung dan DAS Cidurian adalah distribusi Generalized Extreme Value yang diperoleh dari metode LH-Moment ordo 2 dengan kesalahan prediksi relatif terhadap metode Moment paling minimum dan paling stabil untuk semua kala ulang.
2. Persamaan frekuensi regional curah hujan maksimum untuk DAS Ciujung dan DAS Cidurian sesuai dengan persamaan regional growth curve distribusi Generalized Extreme Value yang diperoleh dari metode LH-Moment ordo 2.
Rekomendasi
Rekomendasi dari penelitian ini adalah karakteristik fisik lokasi penakar hujan seperti elevasi dan letak geografis dapat dipertimbangkan sebagai variabel dalam penelitian selanjutnya yang dapat dikembangkan ke arah analisis frekuensi regional dengan index rainfall untuk lokasi yang tidak tercatat (ungauged location) dan pemetaan hujan regional (regional rainfall mapping). Untuk penelitian selanjutnya simulasi Monte Carlo dapat diaplikasikan untuk mengetahui unjuk kerja metode.
UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis menyampaikan terima kasih kepada Kepala BBWS Ciujung-Cidanau- Cidurian atas izin penggunaan dan bantuan kelengkapan data, serta terima kasih kepada Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada atas bimbingan dan kemudahan dalam melakukan studi literatur.
REFERENSI
Darlymple, T., 1960. Flood-Frequency Analyses. Geologycal Survey Water- Supply, pp.1543-A.
Deka, S., Borah, M. & Kakaty, S.C., 2011. Statistical Analysis of Annual Maximum Rainfall in North-East India: an Application of LH-moments.
Theor Appl Climatol, 104, pp.111-22.
Hosking, J.R.M. & Wallis, J.R., 1997. Regional Frequency Analysis An Approach Based on L-Moments. New York: Cambridge University Press.
Maidment, D.R., ed., 1993. Handbook of Hydrology. New York: McGraw-Hill, Inc.
Mudholkar, G.S. & Huston, A.D., 1998. LQ-moments: Analogs of L-moments.
Journal of Statistical Planning and Inference, 71, pp.191-208.
Pearson, C.P., 1991. New Zealand Regional Flood Frequency Analysis Using L- Moments. Journal of Hydrology, 30, p.2.
Soewarno, 1995. Hidrologi - Aplikasi Metode Statistik Untuk Analisa Data.
Bandung: Nova.
Vogel, R.M. & Fennessey, N.M., 1993. L Moment Diagrams Should Replace Product Moment Diagrams. Water Resources Research, 29, pp.1745-52.
Wang, Q.J., 1997. LH Moments for Statistical Analysis of Extreme Events. Water Resources Research, 33(12), pp.2841-48.