PROSEDUR PERAMALAN

SISTEM PENDUKUNG PERAMALAN MENURUT EXPONENTIAL SMOOTHING

8.5 PROSEDUR PERAMALAN

Setelah parameter dalam model telah diestimasi, kita dapat mempertimbangkan untuk memperoleh prakiraan, baik prakiraan titik maupun interval prediksi, untuk nilai masa depan dari deret waktu yang diteliti. Hal ini juga penting di sini untuk membedakan antara metode dan model pemulusan eksponensial, karena dalam kasus terakhir ketika interval prediksi dapat dihitung pada basis statistik yang kuat.

Peramalan dengan Metode Exponential Smoothing

Perkiraan Titik. Masalah menghitung perkiraan titik sangat mudah. Bahkan, jika perkiraan titik saja diperlukan, tidak penting untuk mengidentifikasi model yang mendasarinya. Misalkan adalah vektor dari estimasi kondisi awal, dan vektor dari estimasi redaman dan parameter penghalusan. Prakiraan h-step- ahead untuk bentuk musiman tambahan dari prosedur Holt-Winters kemudian dapat dihitung sebagai:

Demikian pula, untuk efek musiman perkalian, persamaan di atas menjadi:

dimana estimasi level, tren dan komponen musiman pada waktu dan masing- masing dihitung dengan menerapkan persamaan pemutakhiran secara rekursif, menggantikan 𝜔̂ dan 𝜃̂ untuk 𝜔 dan 𝜃.

Interval Prediksi. Interval prediksi terdiri dari batas atas dan bawah di mana nilai masa depan diharapkan terletak dengan probabilitas yang ditentukan. Jadi mereka membantu untuk menunjukkan kemungkinan ketidakpastian dalam perkiraan titik [10]. Untuk menghitung interval prediksi, biasanya diasumsikan bahwa kesalahan ramalan terdistribusi Normal sehingga interval prediksi 100(1-α)% untuk yn+h diberikan oleh:

di mana Var(en+h) adalah varians dari kesalahan perkiraan langkah ke-h dan zq menunjukkan kuantil ke-q dari distribusi Normal standar. Oleh karena itu interval prediksi memerlukan varians dari kesalahan ramalan untuk diketahui.

Secara tradisional, interval prediksi untuk metode pemulusan eksponensial telah ditemukan melalui pendekatan heuristik atau dengan menggunakan model ARIMA yang setara atau mendekati. Ekspresi varians analitik untuk bentuk musiman aditif dari metode Holt-Winters dapat ditemukan dengan mengasumsikan bahwa kesalahan perkiraan satu langkah ke depan tidak berkorelasi dengan varians yang sama [29]. Varians ini ternyata sama dengan model ARIMA yang ekuivalen. Dengan asumsi yang sama untuk kesalahan perkiraan satu langkah ke depan, rumus perkiraan untuk varian kesalahan juga dapat diturunkan untuk bentuk perkalian [12]. Berbeda dengan kasus aditif, lebar interval prediksi perkalian ini akan bergantung pada asal waktu prakiraan dan dapat menurun (mendekati palung musiman) serta meningkat (mendekati puncak musiman) dengan waktu tunggu.

Baru-baru ini, kami telah mengembangkan SIOPRED sebagai sistem pendukung peramalan berdasarkan skema pemulusan eksponensial Holt-Winters yang digeneralisasi untuk meramalkan rangkaian waktu dari tingkat permintaan. Sistem ini memperkenalkan metodologi baru untuk memperoleh prakiraan yang kuat dan interval prediksi yang andal.

Pada tahap pertama, menggunakan skema berbasis optimasi yang diperkenalkan pada [4]

yang menyatukan tahapan estimasi parameter dan pemilihan metode, lihat Bagian. 3.1, sistem mencari spesifikasi model yang dapat mereplikasi pola seri yang diamati. Kemudian, setelah menentukan metode untuk membangun prakiraan di atas cakrawala tertentu, prakiraan titik yang andal dan interval prediksi dihasilkan secara otomatis. Prakiraan titik diperoleh dengan menggunakan persamaan prediksi yang sesuai, menggantikan semua yang tidak diketahui dengan perkiraannya. Melihat (21) untuk bentuk musiman aditif dari metode Holt-Winters. Interval prediksi dihitung dengan menggunakan prosedur bootstrap non-

parametrik tanpa asumsi pada distribusi kesalahan perkiraan. Untuk setiap h dari 1 ke cakrawala prediksi k, sistem memperkirakan distribusi kesalahan perkiraan h-langkah-depan dengan cara distribusi empiris kesalahan pemasangan h-langkah-depan yang diamati

Untuk menambahkan gangguan acak yang serupa dengan yang diharapkan pada perkiraan h-langkah-depan yang dihitung sebelumnya, realisasi N disimulasikan dari distribusi empiris kesalahan pemasangan h-langkah-depan yang diamati. Hasilnya adalah sampel simulasi ukuran N dari perkiraan distribusi prediksi yang akan digunakan untuk menghitung persentil yang sesuai dan oleh karena itu interval prediksi yang diperlukan.

Peramalan dengan Model Exponential Smoothing

Sementara prakiraan titik adalah sama secara independen dari apakah metode atau model pemulusan eksponensial telah digunakan untuk perhitungannya, ini tidak terjadi ketika menghitung interval prediksi, yang memerlukan keberadaan model statistik yang mendasari untuk dihitung secara teoritis.

Pengenalan kelas model ruang-negara dengan satu sumber kesalahan yang metode pemulusan eksponensialnya optimal memberikan dasar statistik yang kuat untuk perhitungan interval prediksi. Secara khusus, kesetaraan ini memungkinkan penurunan ekspresi analitik yang tepat untuk varians kesalahan perkiraan yang dapat digunakan untuk membangun interval prediksi satu atau beberapa langkah ke depan [18]. Setelah varians untuk kesalahan perkiraan dihitung, interval prediksi biasanya ditentukan menurut (22) dengan yang tidak diketahui diganti dengan perkiraan mereka. Karena pengaruh kesalahan estimasi pada prediksi diabaikan, interval prediksi tersebut cenderung terlalu sempit.

Masalah kesalahan estimasi ini sebagian dapat diatasi dengan menggunakan formulasi linier untuk model aditif Holt-Winters [5]. Perhatikan bahwa dalam bab ini kita bekerja dengan tren teredam, 𝜃 = (𝛼 , 𝛽 , 𝛾 , 𝜙)′ menjadi vektor parameter redaman dan pemulusan. Namun demikian, hasil serupa dapat diperoleh dengan menggunakan formulasi linier yang sesuai dengan model aditif Holt-Winters dengan tren teredam, yang diberikan oleh (16). Biarkan yobs

menjadi n x 1 vektor data yang diamati dan ypred vektor h x 1 data masa depan. Pertimbangkan sendi (n + h) x 1 vektor (y′obs, y′pred) ′ dan misalkan masih mengikuti distribusi yang diberikan oleh (16), di mana vector 𝜀 dan matriks M dan L dipartisi dengan cara yang sama dengan vektor (yo∗ bs, yp∗ red)∗, yaitu:

Berdasarkan asumsi tersebut, distribusi kondisional ypred yang diberikan yobs adalah multivariat Normal dengan mean 𝜇2.1 dan matriks kovarians ∑ 2.1 diberikan oleh [5]:

Prakiraan titik kemudian diberikan oleh penaksir dari rata-rata prediksi 2.1, misalnya penaksir dihitung sebagai:

Perhatikan itu adalah vektor kesalahan yang diamati satu langkah di depan, sehingga vektor peramalan yang diberikan oleh (23) setuju dengan prediktor Holt-Winters biasa, tetapi dihitung menggunakan perkiraan kemungkinan maksimum 𝜓 dan 𝜗 yang diperoleh di Bagian. 3.2, lihat (18) dan (19).

Untuk menghitung interval prediksi, distribusi vektor acak ypred - 𝜇̂2.1 harus dihitung.

Misalkan vektor parameter pemulusan 𝜃 diketahui, vektor ypred - 𝜇̂2.1 diberikan oleh:

Dimana

Dalam hal itu, dengan 𝜃 diketahui 𝜓̂, adalah penduga kuadrat terkecil biasa, sehingga tidak bias dan variansnya diberikan oleh 𝜎²(X′X)⁻¹. Selain itu, karena ini semata-mata merupakan fungsi dari vektor acak 𝜀1, tidak bergantung pada 𝜀2, kedua penjumlahan pada (24) adalah bebas. Karenanya:

Misalkan 𝑣 ≠ 0 sembarang vektor konstanta yang diketahui, dan Distribusi variabel acak tv didefinisikan sebagai:

adalah distribusi t-Student dengan n - s - 1 derajat kebebasan [5]. Hasil ini memungkinkan diperolehnya interval prediksi yang tepat untuk tujuan yang berbeda. Misalnya, interval prediksi satu langkah ke depan dibangun menggunakan v = (1, 0,..., 0)′, sedangkan interval prediksi kumulatif untuk h langkah pertama diperoleh dengan menggunakan v = (1, 1,..., 1)′.

Interval untuk kombinasi linear lainnya dari prediksi dapat diperoleh dengan cara yang sama.

Dalam kasus biasa di mana 𝜃 tidak diketahui, penulis mengusulkan untuk mendapatkan perkiraan interval prediksi menggunakan (25) dengan bukan , pendekatan V (ypred - 𝜇̂2.1) dengan:

Perhatikan bahwa penjumlahan kedua dalam matriks kovarians ini, 𝜎̂²𝐿̂2𝐿̂2′, adalah varians biasa yang diusulkan untuk menghitung interval prediksi yang digunakan untuk memberikan interval yang terlalu sempit. Varians di atas lebih besar karena mereka memasukkan ketidakpastian tentang kondisi awal deret, dan karenanya intervalnya harus lebih lebar.

Gambar 4 menunjukkan perkiraan titik, garis padat, dan interval prediksi 80%, garis putus-putus, dari 1 Oktober hingga 14 Oktober untuk kumpulan data konsumsi air rata-rata harian. Data yang diamati diplot sebagai lingkaran kecil; semua kecuali tiga dari mereka berada di dalam interval prediksi.

Gambar 8.4 Prakiraan titik dan interval prediksi 80% menggunakan formulasi linier kami untuk model aditif Holt-Winters tanpa tren teredam