matematika kimia sistem koordinat

SISTEM KOORDINAT

DR. URIPTO TRISNO SANTOSO KIMIA FMIPA UNLAM

2024

1

MACAM SISTEM KOORDINAT

• Sistem koordinat kartesius

• Sistem koordinat polar bidang

• Sistem koordinat polar sferis

• Sistem bilangan kompleks

• Sistem koordinat silindris

2

3

Sistem koordinat kartesius 2D

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 3D

4

SISTEM KOORDINAT POLAR

5

Sistem koordinat polar bidang Sistem koordinat polar sferis

THE CYLINDRICAL COORDINATE SYSTEM

6

Sistem Koordinat Kartesius

7

EMPAT KUADRAN SISTEM KOORDINAT KARTESIUS.

8

nilai y nilai x

Kuadran

> 0

> 0 I

> 0

< 0 II

< 0

< 0 III

< 0

> 0

IV

CONTOH 1. PERS. GAS IDEAL

9

CONTOH 2. MENGGAMBARKAN LINGKARAN

10

Gambar Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.

Contoh 3. Presentasi Data

• Example: 53 Blood and urine measurements (wet chemistry) from 65 people (33 alcoholics, 32 non- alcoholics).

b. Spectral Format

H-WBC H-RBC H-Hgb H-Hct H-MCV H-MCH H-MCHCH-MCHC A1 8.0000 4.8200 14.1000 41.0000 85.0000 29.0000 34.0000 A2 7.3000 5.0200 14.7000 43.0000 86.0000 29.0000 34.0000 A3 4.3000 4.4800 14.1000 41.0000 91.0000 32.0000 35.0000 A4 7.5000 4.4700 14.9000 45.0000 101.0000 33.0000 33.0000 A5 7.3000 5.5200 15.4000 46.0000 84.0000 28.0000 33.0000 A6 6.9000 4.8600 16.0000 47.0000 97.0000 33.0000 34.0000 A7 7.8000 4.6800 14.7000 43.0000 92.0000 31.0000 34.0000 A8 8.6000 4.8200 15.8000 42.0000 88.0000 33.0000 37.0000 A9 5.1000 4.7100 14.0000 43.0000 92.0000 30.0000 32.0000

0 10 20 30 40 50 60

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

measurement

Value

Measurement

a. Matrix Format

CONTOH 4. MENGGAMBAR ORBITAL

12

THREE-DIMENSIONAL (3-D) COORDINATE SYSTEMS

• To locate a point in space, three numbers are required.

• We represent any point in space by an ordered triple (a, b, c) of real numbers.

• A fixed point O (the origin). Three directed lines through O that are perpendicular to each other, they are labeled:

• x-axis

• y-axis

• z-axis

COORDINATE AXES

• The direction of the z-axis is determined by the right- hand rule, illustrated as follows:

• Curl the fingers of your right hand around the z-axis in the

direction of a 90 ° counterclockwise rotation from the positive x-axis to the positive y-axis .

• Then, your thumb points in the positive direction of the z-axis.

COORDINATE PLANES

• The three coordinate axes determine the three coordinate planes.

• The xy-plane contains the x- and y-axes.

• The yz-plane contains the y- and z-axes.

• The xz-plane contains

the x- and z-axes.

3-D COORDINATE SYSTEMS

• Thus, to locate the point (a, b, c), we can start at the origin O and proceed as follows:

• First, move a units along the x-axis.

• Then, move b units parallel to the y-axis.

• Finally, move c units

parallel to the z-axis.

3-D COORDINATE SYSTEMS

• The point P(a, b, c) determines a rectangular box.

Fungsi Gelombang

1 8

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS FUNGSI GELOMBANG

1D… ?

19

Sinusoidal waves of various frequencies; the bottom waves have higher frequencies than those above. The horizontal axis represents time.

Spherical waves coming from a point

source.

A pulse traveling through a string with fixed endpoints as modeled by the wave equation.

PERSAMAAN GELOMBANG 1-D

In 1746, d’Alembert discovered the one-dimensional wave equation.

Jean-Baptiste le Rond d'Alembert

(16 November 1717 – 29 October 1783) was a French mathematician,

mechanician, physicist, philosopher, and music theorist.

1-d standing wave as a superposition of two waves traveling in opposite directions

SCALAR WAVE EQUATION IN TWO SPACE DIMENSION

In two space dimensions, the wave equation is

A solution of the wave equation in two dimensions with a zero-displacement boundary condition along the entire outer edge.

PERSAMAAN GELOMBANG 3-D

In 1756, Euler discovered the three-dimensional wave equation.

Leonhard Euler (15 April 1707 – 18 September 1783) was a

pioneering Swiss mathematicianand

physicist.

Cut-away of spherical wavefronts, with a wavelength of 10 units, propagating from a point source.

Sistem Koordinat Polar

2 4

KAIDAH

25

• Koordinat radial sering dilambangkan dengan r, dan koordinat angular

dilambangkan dengan φ, θ, atau t.

Koordinat angular ditetapkan

sebagai φ oleh standar ISO 31-11.

• Sudut dalam notasi polar biasanya dinyatakan

dalam derajat atau radian (2π rad = 360°). Dalam banyak konteks, suatu koordinat angular positif berarti

sudut φ diukur berlawanan dengan jarum jam dari aksis.

• Dalam literatur matematika, aksis polar sering digambar horizontal dan

mengarah ke kanan.

KONVERSI DARI ATAU KE KOORDINAT KARTESIUS

26

Koordinat polar r dan φ dapat dikonversi ke dalam sistem koordinat Kartesius x dan y menggunakan fungsi trigonometri sinus dan kosinus:

Koordinat Kartesian x dan y dapat dikonversi ke dalam koordinat polar r dan φ dengan r ≥ 0 dan φ dalam interval (−π, π] dengan:

MENGKONVERSI KOORDINAT KARTESIUS KE KOORDINAT KUTUB (POLAR)

27

MENGKONVERSI KOORDINAT KUTUB (POLAR) KOORDINAT CARTESIUS

28

CONTOH SOAL

29

Nyatakan titik P(4,4) ke dalam koordinat kutub.

Penyelesaian:

P(4,4)  x = 4 dan y = 4.

CONTOH GRAFIK PERSAMAAN POLAR

(BISA DENGAN MENGGUNAKAN MS. EXCEL)

kita tinjau persamaan yang berbentuk

r = a ± b cos r = a ± b sin

dengan a dan b positif. Grafik mereka dinamakan Limason, dengan khusus untuk a = b disebut sebagai Kardioda.

30

CONTOH SOAL

Analisis persamaan r = 2 + 4 cos untuk simetri dan sketsakan grafiknya.

31

PENYELESAIAN

Karena kosinus adalah fungsi genap (cos(- ) = cos ), grafik simetris terhadap sumbu-x. Pengujian simetri yang lain gagal.

32

Grafik dari:

R

²

= ± A COS 2 R

²

= ± A SIN 2

berupa kurva berbentuk-angka-delapan yang dinamakan Lemniskat.

33

CONTOH SOAL

Analisis persamaan r² = 8 cos 2 untuk simetri dan sketsakan grafiknya

PENYELESAIAN

Karena cos(-2 ) = cos 2 dan

cos [2 ( - ) ] = cos (2 - 2 ) = cos(-2 ) = cos 2

maka grafik simetris terhadap kedua sumbu.

Jelas, garfik simetri jga terdapat titik asal.

LEMNISKAT

34

PERSAMAAN POLAR YANG BERBENTUK

R = A COS N R = A SIN N

MENYATAKAN KURVA-KURVA BERBENTUK BUNGA YANG DINAMAKAN MAWAR.

MAWAR MEMILIKI N DAUN JIKA N GASAL DAN 2N DAUN JIKA N GENAP.

35

CONTOH 3

Analisis r = 4 sin 2 untuk simetri dan sketsakan grafiknya.

Mawar

36

37

38

Terima kasih

39

Any question?