Rafli Kurniawan turunan_K1321065.pdf - Spada UNS

BAHAN PROYEK KALKULUS

“TURUNAN”

RAFLI KURNIAWAN K1321065

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET TAHUN AKADEMIK 2021/2022

Tugas Individu Bahan Proyek Turunan

NAMA : RAFLI KURNIAWAN NIM : K1321065

A. Definisi Turunan

Turunan fungsi 𝑓 adalah fungsi lain 𝑓′ yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah : 𝑓^′(𝑐) = lim 𝑓

(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)ℎ→0 ℎ

Asalkan limit ini ada dan bukan merupakan ∞ 𝑎𝑡𝑎𝑢 − ∞. Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa 𝑓 terdiferensiasi di c. Pencarian turunan disebut diferensial.

B. Aturan Pencarian Turunan

1) Aturan konstanta dan pangkat (Teorema A)

Jika 𝒇(𝒙) = 𝒌, dengan 𝒌 suatu konstanta maka untuk sebarang 𝒙 , 𝒇^′(𝒙) = 𝟎

2) Aturan fungsi satuan (Teorema B) Jika 𝒇(𝒙) = 𝒙 maka

𝒇′(𝒙) = 𝟏 _3) Aturan Pangkat (Teorema C)

Jika 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝒏 dengan n bilangan bulat positif, maka 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙^𝒏−𝟏

4) Aturan kelipatan konstanta (Teorema D)

Jika 𝒌 suatu konstantsa dan 𝒇 suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝒌𝒇)^′(𝒙) = 𝒌. 𝒇′(𝒙)

5) Aturan jumlah (Teorema E)

Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝒇 + 𝒈)^′(𝒙) = 𝒇^′(𝒙) + 𝒈′(𝒙)

6) Aturan selisih (Teorema F)

Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝒇 − 𝒈)^′(𝒙) = 𝒇^′(𝒙) − 𝒈′(𝒙)

7) Aturan hasil kali (Teorema G)

Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝒇. 𝒈)^′(𝒙) = 𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙) + 𝒈(𝒙)𝒇′(𝒙)

8) Aturan hasil kali (Teorema H)

Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, dengan 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎, maka 𝒇 ^′ 𝒇^′(𝒙)𝒈(𝒙) − 𝒈′(𝒙)𝒇(𝒙)

( ) (𝒙) = 𝟐(𝒙)

𝒈 𝒈

9) Turunan Fungsi Trigonometri (Teorema A)

Jika fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒂𝒏 𝒈(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 keduanya terdiferensiasikan, maka 𝒇^′(𝒔𝒊𝒏 𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 dan 𝒈^′(𝒄𝒐𝒔 𝒙) = − 𝐬𝐢𝐧 𝒙

10) Aturan Rantai

Misalkan 𝒚 = 𝒇(𝒖) dan 𝒖 = 𝒈(𝒙). Jika 𝒈 terdiferensiasikan di 𝒙 dan 𝒇 terdiferensiasikan di 𝒖 = 𝒈(𝒙), maka fungsi komposit 𝒇𝒐𝒈, yang terdiferensiasikan oleh (𝒇𝒐𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)), adalah terdiferensiasikan di 𝒙 dan

(𝒇𝒐𝒈)^′(𝒙) = 𝒇′(𝒈(𝒙))𝒈′(𝒙)

C. Turunan Tingkat Tinggi

Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi 𝑓 dan menghasilkan sebuah fungsi baru 𝑓′.

Jika 𝑓′ sekarang kita diferensiasikan, kita masih tetap menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh 𝑓′′ dan disebut turunan kedua dari 𝑓. Pada gilirannya, dia boleh didiferensiasikan lagi, dengan demikian menghasilkan 𝑓′′′ yang disebut turunan ketiga dari

𝑓. Turunan keempat dinyatakan 𝑓⁽⁴⁾, turunan kelima dinyatakan 𝑓⁽⁵⁾ dan seterusnya.

Notasi Leibniz untuk turunan kedua dibaca turunan kedua dari y terhadap x

Memakai Notasi Leibniz

Turunan Ke- Notasi 𝑓^′ Notasi 𝑦^′ Notasi 𝐷𝑥 Notasi Leibniz

1 𝑓^′(𝑥) 𝑦′ Dx dy

dx

2 𝑓′′(𝑥) 𝑦′′ D2x 𝑦 d²y

dx²

3 𝑓′′′(𝑥) 𝑦′′′ D3x 𝑦 d³y

dx³

4 𝑓(4)(𝑥) y(4) D4x 𝑦 d⁴y

dx⁴

…

n 𝑓^𝑛(𝑥) y(𝑛) Dnx 𝑦 dⁿy

dxⁿ

Contoh:

Carilah D3x 𝑦 dari fungsi 𝑦 = x³ + 3x² + 6𝑥 Penyelesaian: Dx𝑦(x³ + 3x² + 6𝑥) = 3x² + 6𝑥 + 6 D2x𝑦(3x² + 6𝑥 + 6) = 6𝑥 + 6

D3x𝑦(6𝑥 + 6) = 6

Diferensiasi Implisit Metode untuk mencari ^dy tanpa terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang persamaan yang

dx

diberikan untuk 𝑦 dalam 𝑥.

Contoh:

Carilah ^dy jika 9x² + 4y² = 36 dx

Penyelesaian: ^d (9x² + 4y²) = ^d (36) dx dy

dy 18𝑥 + 8𝑦 = 0 dx

dy 18x = dx

8y

Laju yang Berkaitan Jika suatu variable 𝑦 bergantung pada waktu 𝑡

, maka turunannya ^dy .

dx

Contoh:

Seorang pria berdiri diatas tebing mengawasi perahu motor menggunakan teropong Ketika perahu mendekati pantai tepat dibawahnya. Jika teropong berada 250 feet di atas permukaan laut dan jika perahu mendekat dengan laju 20 feet/detik, berapa laju perubahan sudut teropong pada saat perahu berada 250 feet dari pantai.

Penyelesaian:

Langkah 1: Mengilustrasikan soal pada gambar

Langkah 2: Diketahui bahwa ^dx = −20 tanda adalah negative karena 𝑥 berkurang dengan

dy

berlalunya waktu. Akan dicari ^d𝜃 pada saat 𝑥 = 250

dy

Langkah 3: Dari ilmu segitiga

x 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 250

250

x y

Langkah 4: Cari Dx dari 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 250 x

2 𝜃 d𝜃 = 1 dx

Sec

dt 250 dt

Langkah 5: pada saat x = 250, 𝜃 adalah ^𝜋 radian dan Sec²𝜃 = Sec² (^𝜋) = 2

4 4

Sehingga diperoleh 2 ^d𝜃 = ¹ (−20) → ^{d 𝜃} = −0,04

dt 250 dt

Diferensial dan Aproksimasi Definisi Diferensial

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah fungsi terdiferensiasi dari variable bebas 𝑥

∆𝑥 adalah pertambahan sembarang dalam variable bebas 𝑥 𝑑𝑥 disebut diferensial variable bebas 𝑥 , adalah sama dengan ∆𝑥

∆𝑦 adalah perubahan sebenarnya dalam variable 𝑦 Ketika 𝑥 berubah dari 𝑥 ke 𝑥 + ∆𝑥 yakni 𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

𝑑𝑦 disebut diferensial variable tak-bebas 𝑦 , didefinisikan oleh 𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥 Contoh:

Carilah 𝑑𝑦 ketika 𝑦

= x² + 𝑥 – 3

3

𝑦 = (7x² + 3𝑥 − 1)⁻2 Penyelesaian:

Jika kita mengetahui bagaimana menghitung turunan, maka kita tahu bagaimana menghitung diferensial. Kita cukup menghitung turunan dan mengalikannya 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑥 + 1

5

𝑑𝑦 = −(7x² + 3𝑥 − 1)-2(14x² + 3)