RUMUS PERKALIAN KE PENJUMLAHAN DARI EKSPRESI TRIGONOMETRI

2.3

RUMUS PERKALIAN KE PENJUMLAHAN DARI EKSPRESI TRIGONOMETRI

Masih ingatkah kalian dengan rumus-rumus berikut!

sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽

Rumus-rumus tersebut akan dijadikan dasar sebagai pembuktian rumus perkalian ke penjumlahan dari ekspresi trigonometri.

2.3.1.Rumus 𝐬𝐢𝐧 𝛂 𝐜𝐨𝐬 𝛃 𝐝𝐚𝐧 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐢𝐧 𝛃

Dengan melakukan penjumlahan antara sin(𝛼 + 𝛽) dan sin(𝛼 − 𝛽), diperoleh sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽

sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 +

…

Sehingga,

Apabila dituliskan sin 𝛼 cos 𝛽 =¹

2[sin(𝛼 − 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)], benarkah jawaban itu?

Apabila dilakukan pengurangan antara sin(𝛼 + 𝛽) dan sin(𝛼 − 𝛽), diperoleh sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽

sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 −

…

Apabila dituliskan cos 𝛼 sin 𝛽 = −¹

2[sin(𝛼 − 𝛽) − sin(𝛼 + 𝛽)] , benarkah jawaban itu?

2.3.2.Rumus 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐜𝐨𝐬 𝛃 𝐝𝐚𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝛂 𝐬𝐢𝐧 𝛃

Dengan melakukan penjumlahan antara cos(𝛼 + 𝛽) dan cos(𝛼 − 𝛽), diperoleh cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽

cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 +

…

Sehingga,

Apabila dituliskan cos 𝛼 cos 𝛽 =¹

2[cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)], benarkah jawaban itu?

Apabila dilakukan pengurangan antara cos(𝛼 + 𝛽) dan cos(𝛼 − 𝛽), diperoleh cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽

cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 −

…

Apabila dituliskan sin 𝛼 sin 𝛽 =¹

2[cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)] , benarkah jawaban itu?

Rumus perkalian ke penjumlahan (i) sin 𝛼 sin 𝛽 =¹

2[cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)]

(ii) sin 𝛼 cos 𝛽 =¹

2[sin(𝛼 − 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)]

(iii) cos 𝛼 cos 𝛽 =¹

2[cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)]

(iv) cos 𝛼 sin 𝛽 = −¹

2[sin(𝛼 − 𝛽) − sin(𝛼 + 𝛽)]

Contoh soal:

1. Nyatakan setiap bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih kosinus.

a. 2 cos 2𝑥 cos 𝑦 b. 6 sin 3𝑥 sin 𝑥 2. Buktikanlah 2 cos (^𝜋

4+ 𝜃) cos (^3𝜋

4 − 𝜃) = sin 2𝜃 − 1 a. Penyelesaian:

1. Penyelesaian jumlah atau selisih kosinus a. 2 cos 2𝑥 cos 𝑦 = cos(2𝑥 − 𝑦) cos(2𝑥 + 𝑦) b. 6 sin 3𝑥 sin 𝑥 = 3(2 sin 3𝑥 sin 𝑥)

 3(cos(3𝑥 − 𝑥) − cos(3𝑥 + 𝑥))  3[cos 2𝑥 − cos 4𝑥]

 3 cos 2𝑥 − 3 cos 4𝑥 2. Bukti.

2 cos (𝜋

4+ 𝜃) cos (3𝜋

4 − 𝜃) = cos (𝜋

4+ 𝜃 − (3𝜋

4 − 𝜃)) + cos (𝜋

4+ 𝜃 +3𝜋 4 − 𝜃)

 cos (2𝜃 −^𝜋

2) + cos 𝜋

 cos (2𝜃 −^𝜋

2) + (−1)

 (cos 2𝜃 cos^𝜋

2 + sin 2𝜃 sin^𝜋

2) − 1

 (cos 2𝜃. 0 + sin 2𝜃 . 1) − 1

 sin 2𝜃 − 1

TUGAS 01:

1. Nyatakan setiap bentuk sebagai jumlah atau selisih kosinus.

a. sin 75^𝑜cos 15^𝑜

b. 2 sin(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) sin(𝑎 − 𝑏 + 𝑐) 2. Buktikanlah!

a. 2 sin(315^𝑜+ 𝐴) sin(45^𝑜− 𝐴) = sin 2𝐴 − 1 b. sin 3𝑏 + (cos 𝑏 + sin 𝑏)(1 − 2 sin 2𝑏) = cos 3𝑏

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN COSINUS

Berdasarkan rumus perkalian sinus dan cosinus, kita dapat menurunkan lagi menjadi rumus jumlah dan selisih pada sinus dan cosinus, yaitu dengan cara memisalkan: 𝛼 + 𝛽 = 𝐴 dan 𝛼 − 𝛽 = 𝐵, sehingga diperoleh hubungan antara 𝛼 dan 𝛽 dengan 𝐴 dan 𝐵 sebagai berikut.

𝛼 + 𝛽 = 𝐴 𝛼 − 𝛽 = 𝐵 + 2𝛼 = 𝐴 + 𝐵

𝛼 =𝐴 + 𝐵 2

𝛼 + 𝛽 = 𝐴

𝛼 − 𝛽 = 𝐵 − 2𝛽 = 𝐴 − 𝐵

𝛽 =𝐴 − 𝐵 2

Dengan mengganti masing-masing 𝛼 dan 𝛽 pada rumus sinus dan cosinus pada memo, dapat dituliskan:

Rumus penjumlahan ke perkalian

 sin 𝐴 + sin 𝐵 = 2 sin¹

2(𝐴 + 𝐵) cos¹

2(𝐴 − 𝐵)

 sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos¹₂(𝐴 + 𝐵) sin¹

2(𝐴 − 𝐵)

 cos 𝐴 + cos 𝐵 = 2 cos¹

2(𝐴 + 𝐵) cos¹

2(𝐴 − 𝐵)

 cos 𝐴 − cos 𝐵 = −2 sin¹

2(𝐴 + 𝐵) sin¹

2(𝐴 − 𝐵)

Magic Spells

Untuk mengingat materi tersebut, coba hafalkan mnemonik berikut.

Sayang + Sayang = Semakin Cinta Sayang – Sayang = Cinta Sirna Cinta + Cinta = Cenat Cenat

Cinta – Cinta = Aduh Sayang Sekali

Contoh soal:

1. Sederhanakan bentuk penjumlahan dan pengurangan dari sinus dan cosinus berikut.

a. sin 160^𝑜+ sin 40^𝑜 b. cos 2𝑥 + cos 8𝑥 2. Buktikanlah sin (^5𝜋

12) + sin ^𝜋

12=¹

2√6 b. Penyelesaian:

1. Penyederhanaan bentuk penjumlahan dan pengurangan dari sinus dan cosinus a. sin 160^𝑜+ sin 40^𝑜

2 sin1

2(160^𝑜+40^𝑜) cos1

2(160^𝑜−40^𝑜)

 2 sin¹

2(200^𝑜) cos¹₂(120^𝑜)

 2 sin 100^𝑜cos 60^𝑜

 2.¹

2. sin 100^𝑜 = sin 100^𝑜 b. cos 2𝑥 + cos 8𝑥

2 cos1

2(2𝑥+8𝑥) cos1

2(2𝑥−8𝑥)

 2 cos¹

2(10𝑥) cos¹

2(−6𝑥)

 2 cos 5𝑥 cos(−3𝑥)

 2 cos 5𝑥 cos 3𝑥 2. Bukti.

sin (^5𝜋

12) + sin (^𝜋

12) =2 sin¹

2(^5𝜋

12+ ^𝜋

12)cos¹

2(^5𝜋

12− ^𝜋

12)

 2 sin¹

2(^𝜋₂) cos¹

2(^𝜋₃)  2 sin (^𝜋

4) cos (^𝜋

6)

 2 (¹

2√2) (¹₂√3)  ¹

2√6 TUGAS 02:

1. Sederhanakan bentuk penjumlahan dan pengurangan dari sinus dan cosinus berikut.

a. sin 3𝑥 − sin 𝑥 b. cos 105^𝑜+ cos 15^𝑜

2. Buktikanlah cos 2𝛼 + cos 5𝛼 + cos 8𝛼 + cos 11𝛼 = 4 cos³

2𝛼 cos 3𝛼 cos¹³

2 𝛼!