SISTEM DINAMIK PERTEMUAN 4: FLOW, SUB RUANG STABIL, TIDAK STABIL DAN CENTER

SISTEM DINAMIK

PERTEMUAN 4: FLOW, SUB RUANG STABIL, TIDAK STABIL DAN CENTER

DR. YUDI ARI ADI

KESTABILAN TITIK EKUILIBRIUM

Sistem ODE

ሶ𝒙 = 𝒇 𝒙 , 𝒙 𝑡₀ = 𝒙₀ Dengan 𝑓: 𝐸 → ℝ^𝑛, 𝐸 himpunan terbuka, 𝐸 ⊆ ℝ^𝑛.

➢ Titik ekuilibrium, katakan x ̅ dari suatu sistem ODE dikatakan stabil jika semua trayektori dengan kondisi awal dekat dengan x ̅ tidak akan jauh menyimpang dari x ̅.

➢ Solusi ekuilibrium, katakan x ̅ dari suatu sistem ODE dikatakan stabil asimtotik jika semua trayektori dengan kondisi awal dekat dengan x ̅ akan mendekat ke x ̅ untuk t→∞.

➢ Solusi ekuilibrium, katakan x ̅ dari suatu sistem ODE dikatakan stabil marginal, jika stabil tetapi tidak asimtotik.

➢ Solusi ekuilibrium, katakan x ̅ dari suatu sistem ODE dikatakan unstabil (unstable) jika tidak stabil.

Sitem Linear ሶ𝒙 = 𝐴𝒙

( 1 )

KESTABILAN TITIK EKUILIBRIUM

Contoh 4.1 Jika titik ekuilibrium (0,0) adalah center, makai ia stabil tetapi tidak stabil asimtotik. Jika titik ekuilibrium (0,0) adalah sadle, makai ia tidak stabil (unstable).

.. DARI ALJABAR LINEAR

• Definisi 4.1 Misalkan 𝒗₁, 𝒗₂, … , 𝒗_𝑘 ∈ ℝ^𝑛. Rentang (span) vektor ini adalah himpunan semua kombinasi linear 𝑐₁𝒗₁, 𝑐₂𝒗₂ + ⋯ + 𝑐_𝑘𝒗_𝑘, dengan 𝑐₁, 𝑐₂, … , 𝑐_𝑘 bilangan real.

• Contoh 4.2 Rentang dari vektor 1 0 0

dan 1 1 0

di ℝ³ adalah bidang XY. (Kita sering mengatakan …

‘ruang yang dibangun/direntang’…).

SUB RUANG STABIL,..

• Definisi 4.2. Diberikan Sistem ሶ𝒙 = 𝐴𝒙. Misalkan 𝒘_𝑗 = 𝒖_𝑗 + 𝑖𝒗_𝑗 adalah vektor eigen (vektor eigen yang diperumum) dari matriks 𝐴 yang besesuaian dengan nilai eigen 𝜆_𝑗 = 𝛼_𝑗 + 𝑖𝛽_𝑗. Maka Sub ruang stabil, subruang center, dan subruang tidak stabil,

𝐸^𝑠 = 𝑆𝑝𝑎𝑛 𝒖_𝑗, 𝒗_𝑗 𝑎_𝑗 < 0 , 𝐸^𝑐 = 𝑆𝑝𝑎𝑛 𝒖_𝑗, 𝒗_𝑗 𝑎_𝑗 = 0 ,

dan

𝐸^𝑢 = 𝑆𝑝𝑎𝑛 𝒖_𝑗, 𝒗_𝑗 𝑎_𝑗 > 0 .

• Dalam hal ini 𝐸^𝑠, 𝐸^𝑐, dan 𝐸^𝑢adalah subruang dari ℝ^𝑛 yang direntang (spanned) oleh bagian real dan bagian imajiner dari vektor eigen𝒘_𝑗 yang bersesuaian berturut-turut dengan nilai eigen yang bagian realnya negatif, nol, dan positif.

SUB RUANG STABIL,..

Contoh 4.3Diberikan Sistem (4.1) dengan𝐴 = 1 1

4 −2 ,𝒙 = 𝑥 𝑦 .

Diperoleh nilai eigen𝜆 = −3dan𝜆 = 2dan vektor eigen yang bersesuaian adalah 1

−4 dan 1 1 . Berdasar Definisi 4.2 diperoleh

𝐸^𝑠 = 𝑆𝑝𝑎𝑛 1

−4

dan

𝐸^𝑢 = 𝑆𝑝𝑎𝑛 1 1 .

Perhatikan bahwa 𝐸^𝑆 dan𝐸^𝑢 merupakan subruang dariℝ², masing-masing berupa ruas garis yang melalui titik (0,0)(Pada kasus ini 0,0 merupakan sadle). Ruas garis ini membentuk separatrik, lihat Gambar. Pada kasus ini, subruang center𝐸^𝑐 hanya memuat vektor nol.

SUB RUANG STABIL,..

Contoh 4.4 Diberikan Sistem ሶ𝒙 = 𝐴𝒙 dengan 𝐴 = 1 −8 8 1 .

Pada kasus ini, perhatikan matriks sudah dalam bentuk kanonik real 𝛼 −𝛽

𝛽 𝛼 . Sehingga tanpa mencari kita tahu nilai eigennya 1 ± 8𝑖. Karena kedua nilai eigen memiliki bagian real positif, maka 𝐸^𝑢 = ℝ².

Tidak hanya untuk sistem planar, konsep subruang ini juga dapat untuk sistem yang lebih tinggi, seperti Contoh 4.5 berikut.

SUB RUANG STABIL,..

Contoh 4.5 Diberikan Sistem ሶ𝒙 = 𝐴𝒙 dengan 𝐴 =

−2 −1 0 1 −2 0

0 0 3

.

Nilai eigen dari 𝐴 adalah 𝜆 = 3 dan 𝜆 = −2 ± 𝑖 . Vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆 = 3adalah 0 0 1

dan

vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆 = −2 + 𝑖 adalah 𝒘₂ = 𝒖₂ + 𝑖𝒗₂ dengan 𝒖₂ = 0 1 0

dan 𝒗₂ = 1 0 0

. Dengan demikian diperoleh subruang tidak stabil dan subruang stabil

𝐸^𝑢 = 𝑆𝑝𝑎𝑛 0 0 1

, 𝐸^𝑠 = 𝑆𝑝𝑎𝑛 0 1 0

, 1 0 0

. Subruang stabil merupakan bidang 𝑥₁𝑥₂ ,

sedangkan subruang tidak stabil adalah sumbu 𝑥₃.

[Catatan. Sulit untuk menggambarkan, tetapi dapat disketsakan].

[Lebih jelas Lihat Perko,2001. Chapter 1.9).

FLOW

• Sistem linear 𝒙 = 𝐴𝒙, 𝒙 0 = 𝒙ሶ ₀ memiliki solusi berbetuk𝒙 𝑡 = 𝑒^𝑡𝐴𝒙₀.

• Definisi 4.3. Himpunan fungsi 𝜙_𝑡 = 𝑒^𝑡𝐴 disebutflowdari system ODE ሶ𝒙 = 𝐴𝒙.

• Penggunaan istilah flow (aliran) didasari karena 𝜙_𝑡 mendeskripsikan pergerakan sepanjang trayektori pada bidang fase yang dimulai dari variasi pemilihan kondisi awal𝒙₀.

• Definisi 4.4. Jika semua nilai eigen dari 𝐴memiliki bagian real tidak sama dengan nol, makaflow-nya disebut flow hiperbolik (hyperbolic flow), sistem 𝒙 = 𝐴𝒙ሶ disebutsistem hiperbolik, dan titik(0,0)disebut titik ekuilibrium

hiperbolik

• Contoh 4.6. Sistem ሶ𝒙 = 𝐴𝒙dengan𝐴 = 0 1

−9 0 merupakan sistem non-hiperbolik karena nilai eigen 𝐴 adalah𝜆 =

± 3𝑖(mempunyai bagian real sama dengan nol).Titik(0,0)(yang merupakan center pada kasus ini) adalah titik ekuilibrium nonhiperbolik.

FLOW

• Teorema 4.1. Jika 𝐴 matrik real berukuran 𝑛 × 𝑛, maka

ℝ^𝑛 = 𝐸^𝑠 ⨁ 𝐸^𝑢 ⨁ 𝐸^𝑐,

• Dengan 𝐸^𝑠, 𝐸^𝑐, dan 𝐸^𝑢adalah subruang stabil, center, dan tidak stabil dari system ሶ𝒙 = 𝐴𝒙. Lebih lanjut, 𝐸^𝑠, 𝐸^𝑐, dan 𝐸^𝑢 invariant terhadap flow 𝜙_𝑡 = 𝑒^𝑡𝐴 ( dalam arti : jika 𝒙₀ adalah kondisi awal di 𝐸^𝑠 maka 𝑒^𝑡𝐴𝒙₀ tetap berada dalam 𝐸^𝑠untuk setiap 𝑡. Demikian juga untuk 𝐸^𝑐 dan 𝐸^𝑢).

• Perhatikan bahwa pada contoh-contoh di atas irisan antara 𝐸^𝑠, 𝐸^𝑐,dan𝐸^𝑢hamya memuat vektor nol.

• Definisi 3.2.8. (Verhulst, 1990). Himpunan 𝑈 ⊆ 𝐸 disebut invarian untuk Sistem (1) jika dan hanya jika untuk setiap 𝒙₀ ∈ 𝑈, 𝒙 𝑡 ∈ 𝑈 untuk setiap −∞ < t < ∞. Selanjutnya jika 𝒙 𝑡 ∈ 𝑈 untuk t ≥ 0 maka 𝑈 disebut himpunan invarian positif.

FLOW

• Teorema 4.2. Diberikan sistem ሶ𝒙 = 𝐴𝒙, 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛. Pernyataan berikut ekuilvalen:

(i) Untuk setiap 𝒙₀ ∈ ℝ^𝑛, lim

𝑡→∞𝑒^𝑡𝐴𝒙₀ = 0 dan untuk 𝒙₀ ≠ 0, , lim

𝑡→−∞ 𝑒^𝑡𝐴𝒙₀ = ∞.

(ii) Semua nilai eigen dari 𝐴 memiliki bagian real negatif.

(iii) Subruang stabil 𝐸^𝑠adalah seluruh ruang ℝ^𝑛.

• Dengan kata lain, jika semua nilai eigen mempunyai bagian real negatif, maka flow menuju ke (0,0) untuk 𝑡 → ∞ (atraktor) dan menjauh dari 0,0 untuk 𝑡 → −∞ (repeller).

KRITERIA KESTABILAN

• Titik ekuilibriumSitem Linear ሶ𝒙 = 𝐴𝒙

➢ Stabil asimtotikjika semua nilai eigen dari𝐴 memiliki bagian real negatif.

➢ Stabiljika tidak ada nilai eigen yang mempunyai bagian real positif.

➢ Tidak stabil jika terdapat nilai eigen yang bagian realnya positif.

• Contoh 4.7 Jika𝐴 = 1 0

0 −2 maka(0,0)tidak stabil, karena salah satu nilai eigennya positif.

• Jika A= 0 1

−1 0 maka(0,0) stabil, tetapi tidak stabil asimtotik.

• Jika 𝐴 = −1 0

0 −2 maka(0,0) stabil asimtotik, karena semua nilai eigennya negatif.

LATIHAN

A. Tentukan subruang stabil,, tidak stabil, dan center dari sistem linear ሶ𝒙 = 𝐴𝒙jika

1. 𝑨 = 1 0

0 1 2. 𝑨 = −1 −1

1 −1

3. 𝑨 = 2 4

0 −2

Buatlah sketsa potret fasenya. Mana yang merupakan flow hiperbolik?

B. Sama dengan soal A, untuk matriks 3× 3:

1. 𝐴 =

0 −1 0

1 0 0

0 0 8

2. 𝐴 =

−1 −3 0

0 2 0

0 0 −1