Struktur Simplektik pada Aljabar Lie Affine aff(2,R)

(1)

RESEARCH ARTICLE • OPEN ACCESS

Struktur Simplektik pada Aljabar Lie Affine aff(2, R )

Aurillya Queency, Edi Kurniadi, dan Firdaniza Firdaniza

Volume 6, Issue 1, Pages 62–67, February 2024

Submit 4 Desember 2023, Direvisi 20 Januari 2024, Disetujui 22 Januari 2024

To Cite this Article : A. Queency, E. Kurniadi, dan F. Firdaniza,“Struktur Simplektik pada Aljabar Lie Affine aff(2,R)”, Jambura J. Math, vol. 6, no. 1, pp. 62–67, 2024, https://doi.org/10.37905/jjom.v6i1.23254

JOURNAL INFO • JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS

u Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/index Ǽ Journal Abbreviation : Jambura J. Math.

Х Frequency : Biannual (February and August) Ŷ Publication Language : English (preferable), Indonesia

 DOI : https://doi.org/10.37905/jjom

ʢ Online ISSN : 2656-1344

ǽ Editor-in-Chief : Hasan S. Panigoro

Ÿ Publisher : Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo

ƒ Country : Indonesia

̰ OAI Address : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/oai

 Google Scholar ID : iWLjgaUAAAAJ

Ͳ Email : [email protected]

JAMBURA JOURNAL • FIND OUR OTHER JOURNALS

Jambura Journal of Biomathematics

Jambura Journal of Mathematics Education

Jambura Journal of Probability and Statistics

EULER : Jurnal Ilmiah Matematika, Sains, dan

Teknologi

(2)

Struktur Simplektik pada Aljabar Lie Affine aff(2, R )

Aurillya Queency

^1,^∗

, Edi Kurniadi

¹

 , dan Firdaniza Firdaniza

¹



1Departemen Matematika, Universitas Padjadjaran, Indonesia

ABSTRAK. Pada penelitian ini dipelajari tentang aljabar Lie affineaff(2,R). Penelitian ini bertujuan untuk menen- tukan 1-form pada aljabar Lie affineaff(2,R)yang dikaitkan dengan struktur simplektiknya sedemikian sehingga aljabar Lie affineaff(2,R)merupakan aljabar Lie Frobenius. Elemen-elemen dari aljabar Lie affineaff(2,R)didefin- isikan dalam bentuk matriks kemudian dihitung bracket Lie dan dibentuk matriks struktur dari aljabar Lie affine aff(2,R). 1-form dari aljabar Lie affineaff(2,R)diperoleh dari determinan matriks struktur aljabar Lie affine aff(2,R). Selanjutnya, dibuktikan bahwa 2-form-nya bersifat simplektik dan berkaitan dengan 1-form-nya. Hasil yang diperoleh adalah aljabar Lie affineaff(2,R)mempunyai 1-formα=ε^∗12+ε^∗23padaaff(2,R)^∗yang berkai- tan dengan symplectic form-nya, yaituβ=ε^∗₁₁∧ε^∗₁₂+ε^∗₁₂∧ε^∗₂₂+ε^∗₂₁∧ε^∗₁₃+ε^∗₂₂∧ε^∗₂₃sedemikian sehingga aljabar Lie affineaff(2,R)merupakan aljabar Lie Frobenius. Untuk penelitian selanjutnya, dapat dikembangkan pada aljabar Lie affine dengan dimensin(n+ 1).

ABSTRACT. In this research, we studied the affine Lie algebraaff(2,R). The aim of this research is to determine the 1-form in affine Lie algebraaff(2,R)which is associated with its symplectic structure so that affine Lie algebra aff(2,R)is a Frobenius Lie algebra. Realized the elements of the affine Lie algebraaff(2,R)in matrix form, then calculated the Lie brackets and formed the structure matrix of the affine Lie algebraaff(2,R). 1-form of the affine Lie algebraaff(2,R)is obtained from the determinant of the structure matrix of the affine Lie algebraaff(2,R).

Furthermore, proved that the 2-form is symplectic and related to the 1-form. The result obtained is that the affine Lie algebraaff(2,R)has 1-formα=ε^∗12+ε^∗23onaff(2,R)^∗which is related to its symplectic structure,β = ε^∗₁₁∧ε^∗₁₂+ε^∗₁₂∧ε^∗₂₂+ε^∗₂₁∧ε^∗₁₃+ε^∗₂₂∧ε^∗₂₃such that the affine Lie algebraaff(2,R)is a Frobenius Lie algebra.

For further research, it can be developed into an affine Lie algebra with dimensionsn(n+ 1).

This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonComercial 4.0 International License.Editorial of JJBM:Department of Mathematics, Uni- versitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B. J. Habibie, Bone Bolango 96554, Indonesia.

1. Pendahuluan

Aljabar Lie merupakan salah satu jenis aljabar yang diperke- nalkan pertama kali pada tahun 1873-1874 oleh Sophus Lie, se- orang matematikawan asal Norwegia[1]. Aljabar Lie adalah ruang vektor atas lapanganFdenganbracketLie yang memenuhi kondisi-kondisi pemetaan bilinear,skew-symmetric, dan identitas Jacobi[2]. Penelitian tentang aljabar Lie sudah banyak dilakukan, seperti representasi aljabar Lie[3–6], aljabar Lie nilpoten[7–9], dan penggunaan aljabar Lie untuk menyelesaikan model populasi biologis[10].

Aljabar Lie mempunyai beberapa jenis kelas, salah satunya adalah aljabar Lie Frobenius, yaitu jika indeks suatu aljabar Lie sama dengan nol[11]atau jika orbitcoadjointsuatu grup Lie buka di ruang dual aljabar Lie-nya[12]. Aljabar Lie Frobenius banyak dibahas dalam beberapa penelitian lebih lanjut, sepertialternat- ing bilinear formdari aljabar Lie Frobenius adalahnondegenerate [13], klasifikasi dari kelas isomorfisma pada aljabar Lie Frobenius untuk dimensi≤6[14], dan representasi grup Lie dari aljabar Lie Frobenius berdimensi 4 memiliki representasi unitar yang bersi- fatsquare-integrable[15].

Aljabar Lie affine aff(n,R) merupakan salah satu contoh

∗Penulis Korespondensi.

ARTICLE HISTORY

Submit 4 Desember 2023 Direvisi 20 Januari 2024 Disetujui 22 Januari 2024

KATA KUNCI

1-form 2-form Aljabar Lie Affine Aljabar Lie Frobenius Struktur Simplektik

KEYWORDS

1-form 2-form Affine Lie Algebra Frobenius Lie Algebra Symplectic Structure

dari aljabar Lie Frobenius yang elemen-elemennya dapat ditulis dalam bentuk matriks

A b 0 0

|A∈gl(n,R), b∈Rⁿ

.

Sudah banyak hasil penelitian yang diperoleh mengenai aljabar Lie affine, misalnya tentang semua turunan dari aljabar Lie affine akan selalu inner [16] dan aljabar simetrik kiri dari aljabar Lie affine aff(1,R) merupakan aljabar Lie Frobenius berdimensi 2 dengan 1-formα = ε^∗₁₂ yang berkorespondensi dengan 2-form β=−ε^∗₁₁∧ε^∗₁₂dan hubungan antara keduanya dinyatakan oleh β(x,y) =−α([x,y])untuk setiapx,y∈aff(1,R)[17].

Hubungan antara 1-formαdan 2-formβ pada aljabar Lie affineaff(n,R)berdimensin(n+1)didefinisikan pada[12]dalam bentukβ(x,y) =α([x,y])untuk setiapx,y ∈ aff(n,R). Na- mun demikian, hasil yang diperoleh dalam[12]hanya formula untuk 1-formαtetapi belum diberikan formula untuk 2-formβyang bersifatskew-symmetricdannondegenerate. Oleh karena itu, dalam penelitian ini dikonstruksi bentuk 2-form β yang bersifat skew- symmetricdannondegeneratekhususnya untuk kasusn= 2, yaitu aljabar Lieaff(2,R)berdimensi 6. Dalam hal ini, 1-formαdan 2-formβ memenuhi hubunganβ(x,y) =α([x,y])untuk setiap

Email : [email protected](A. Queency)

(3)

A. Queency, E. Kurniadi, dan F. Firdaniza–Struktur Simplektik pada Aljabar Lie Affineaff(2,R)… 63

x,y∈aff(2,R)dan 2-formβ bersifatskew-symmetricdannonde- generatesehingga aljabar Lie affineaff(2,R)merupakan aljabar Lie Frobenius. Bentuk 1-formαtersebut dinamakan fungsional Frobenius dan 2-formβdinamakansymplectic form.Penelitian ini sangat penting untuk memotivasi penelitian selanjutnya, yaitu untuk mengonstruksi bentuk 2-form skew-symmetricdannondegen- eratepada aljabar Lie affineaff(n,R) dan membuktikan bahwa aljabar Lie affineaff(n,R)merupakan aljabar Lie Frobenius.

2. Metode

Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi literatur mengenaisymplectic form, aljabar Lie, dan aljabar Lie Frobe- nius. Secara eksplisit, penelitian dilakukan mengikuti langkah- langkah berikut:

1. Mendefinisikan aljabar Lie affineaff(2,R).

2. MendefinisikanB ={ε11, . . . ,ε23}basis aljabar Lie affine aff(2,R) danB^∗ = {ε^∗₁₁, . . . ,ε^∗₂₃} basis aff(2,R)^∗, yaitu dual basis aljabar Lie affineaff(2,R)dimanaεij adalah ma- triks3×3dengan elemen 1 pada baris ke-idan kolom ke-j.

3. MengonstruksibracketLie[εij,εkl]tak nol.

4. Menentukan matriks struktur dan determinannya.

5. Menentukan 1-formαpada aljabar Lie affineaff(2,R), dengan mengacu pada determinan matriks struktur yang telah diperoleh.

6. Menentukan 2-formβ pada aljabar Lie affineaff(2,R)dan menunjukkan bahwa β(x,y) = α([x,y]) untuk setiap x,y ∈ aff(2,R) atau 1-form αberkorespondensi dengan 2-formβ.

7. Menunjukkan bahwa β merupakan symplectic form, yaitu dengan menunjukkan 2-formβskew-symmetricdannondegen- eratesehingga dapat disimpulkan bahwa aljabar Lie affine aff(2,R)mempunyai fungsional Frobeniusαyang berkorespondensi dengansymplectic formβsedemikian sehingga aljabar Lie affineaff(2,R)merupakan aljabar Lie Frobenius.

Berikut adalah teori-teori dasar yang digunakan pada penelitian ini. Definisi1-4yang merujuk pada[2], Teorema1yang merujuk pada[6], serta Definisi5 dan Definisi6yang masing- masing merujuk pada [11, 12] digunakan untuk membuktikan hasil utama pada penelitian ini.

Definisi 1.MisalkanB = {ε1, . . . ,εn} basis dariV. Him- punanB^∗={ε^∗₁, . . . ,ε^∗_n}, di manaε^∗_i :V →Rsuatu 1-form yang didefinisikan oleh

ε^∗_i (εj) =

1, jika i=j 0, jika i̸=j, disebut basis untukV^∗dual terhadap basisB.

Definisi 2.MisalkanV ruang vektor atas lapanganR. Symplec- tic form padaV adalah pemetaan bilinearω:V×V →Ryang memenuhi kondisi-kondisi berikut:

1. ωadalah bilinear form padaV,

2. ω skew-symmetric: Untuk setiap v,w ∈ V, berlaku ω(w,v) =−ω(v,w),

3. ω nondegenerate: Jika v ∈ V memiliki sifat bahwa ω(v,w) = 0,untuk setiapw∈V,makav= 0.

Pasangan(V, ω)disebut sebagai ruang vektor simplektik.

Definisi 3.MisalkanV ruang vektor berdimensindengan basis B = {ε₁, . . . ,ε_n} dan B^∗ = {ε^∗₁, . . . ,ε^∗_n} basisV^∗ dual terhadapB. Untuk setiap1 ≤ i₁, . . . , i_k ≤ n, didefinisikan k-form padaV, yaituε^∗_i

1∧ · · · ∧ε^∗_i

ksebagai

ε^∗_i₁∧ · · · ∧ε^∗_i_k

(v1, . . . ,vk) =

ε^∗_i₁(v1) . . . ε^∗_i₁(vk) ... . .. ... ε^∗_i_k(v1) . . . ε^∗_i_k(vk)

untuk setiapv₁, . . . ,v_k ∈V dan∧suatu wedge product antar 1-form.

Definisi 4. MisalkanV ruang vektor berdimensindenganB= {ε1, . . . ,εn}danB^∗ ={ε^∗₁, . . . ,ε^∗_n}basisV^∗dual terhadap B. Penjumlahan 2-form padaV didefinisikan sebagai

ε^∗_i₁∧ε^∗_i₂+· · ·+ε^∗_i_k−1∧ε^∗_i_k

(v1,v2) = ε^∗_i₁∧ε^∗_i₂

(v1,v2) +. . . +

ε^∗_i_k−1∧ε^∗_i_k

(v1,v2) untuk setiapv₁,v₂∈V dan1≤i₁, . . . , i_k ≤n.

Teorema 1. Misalkangaljabar Lie atas lapanganRdengan basis B={x₁, . . . ,x_n}. Skew-symmetric 2-formβpadagdikatakan nondegenerate jika dan hanya jika

|M_β|=

β(x₁,x₁) . . . β(x₁,x_n) ... . .. ... β(xn,x1) . . . β(xn,xn)

̸= 0, 1≤i, j≤n denganM_βmatriks representasi untukβ.

Bukti. (⇒)Diketahui bahwagaljabar Lie atas lapanganRden- gan basisB ={x1, . . . ,xn}danskew-symmetric2-formβ padag nondegenerate.

Akan dibuktikan bahwa det(Mβ)̸=0 . Untuk melihat ini, claimbahwa matriks persegiM_β = (β(x_i,x_j)),1 ≤ i, j ≤ n merupakan matriks representasi dariβ. Ambilu,v ∈ gsembarang yang dapat ditulis sebagai berikut:

u=α1x1+α2x2+· · ·+αkxk+· · ·+αnxn, v=γ₁x₁+γ₂x₂+· · ·+γ_kx_k+· · ·+γ_nx_n,

untuk suatu skalarα_k, γ_k ∈Rdengan1 ≤k≤n. Berdasarkan

JJoM|Jambura J. Math Volume 6 | Issue 1 | February 2024

(4)

pendefinisian tersebut, diperoleh β(u,v) = α1 α2 . . . αn







β(x1,x1) β(x1,x2) · · · β(x1,xj) β(x2,x1) β(x2,x2) · · · β(x2,xj)

... ... . .. ...

β(xi,x1) β(xi,x2) · · · β(xn,xn)











 γ1

γ2

... γn





.

Jadi,Mβ = (β(xi,xj)),1≤i, j≤nmerupakan matriks representasi dariβ. Kemudian, asumsikan bahwaBbasis standar un- tukg, makaβ(u,v) =u^TMβv.Karena 2-formβskew-symmetric dannondegenerate, makaβ(u,v) =v^TMβu = 0. Berdasarkan sifatnondegeneracy,β(u,v) =v^TMβu= 0terpenuhi untuk setiapv ∈ gjikau =0. Artinya, untuk setiapv ∈g,M_βu =0 hanya memiliki solusi trivial u = 0 atau M_β invertible. Jadi, det(Mβ)̸=0.

(⇐)Diketahui bahwa galjabar Lie atas lapanganRden- gan basisB = {x₁, . . . ,x_n}dan det(Mβ)̸=0 , artinya matriks Mβ invertible. Akan dibuktikan bahwaskew-symmetric2-form β nondegenerate. Untuk melihat ini, ambilu,v ∈ gsembarang.

Berdasarkan pembuktian sebelumnya, jikaβ(u,v) =v^TMβu= 0, makav^TMβu = 0hanya dipenuhi olehMβu =0untuk setiapv∈g. KarenaMβinvertible, makaMβu=0hanya memiliki solusi trivialu =0. Berdasarkan Definisi2bagian 3, dapat disimpulkan jikaβ(u,v) = 0terpenuhi untuk setiapv ∈ g, maka u=0. Jadi,skew-symmetric2-formβnondegenerate.

Definisi 5.Misalkangaljabar Lie atas lapanganRdengan basis {x1, . . . ,xn},gdikatakan aljabar Lie Frobenius jika salah satu kondisi berikut dipenuhi:

1. det([xi,xj]) ̸= 0, dengan[xi,xj]merupakan entri dari aljabar simetrikS(g),

2. det(f([x_i,x_j])) ̸= 0untuk suatuf ∈g^∗,

3. Terdapat fungsional linearf ∈g^∗sedemikian sehingga al- ternating bilinear form padag,(x,y)→f([x,y])nonde- generate,

4. gadalah aljabar Lie dengan indeks 0.

Definisi 6.Pasangan (g, α)dengangaljabar Lie danαfung- sional linear dikatakan Frobenius jika terdapat skew-symmetric 2-formβsedemikian sehingga untuk setiapx,y∈gpemetaan

β(x,y) =α([x,y]) adalah nondegenerate.

Contoh 1.Aljabar Lie affine aff(1,R) dapat dinyatakan dalam bentuk

aff(1,R) =

A b 0 0

|A∈gl(1,R), b∈R

.

Dapat ditunjukkan bahwa aljabar Lie affine aff(1,R)mempunyai fungsional Frobenius padaaff(1,R)^∗yang berkorespondensi dengansymplectic form-nya sedemikian sehingga aljabar Lie affine aff(1,R)merupakan aljabar Lie Frobenius. Basis standar dari aljabar Lie affineaff(1,R)adalah

ε11=

1 0 0 0

,ε12=

0 1 0 0

(1) dan basis dual dari aljabar Lie affineaff(1,R)adalah

ε^∗₁₁=

1 0 0 0

,ε^∗₁₂=

0 0 1 0

.

Dengan komutator matriks [x,y] = xy −yx, untuk setiap x,y∈aff(1,R)dan basis standar pada persamaan(1), diperoleh bracketLie tak nol dari aljabar Lie affineaff(1,R), yaitu

[ε₁₁,ε₁₂] =ε₁₂. (2) Selanjutnya, diperoleh determinan matriks dari struktur aljabar Lie affineaff(1,R)dengan menggunakanbracketLie tak nol pada persamaan(2)yaitu

det(Maff(1,R)) =

[ε₁₁,ε₁₁] [ε₁₁,ε₁₂] [ε12,ε11] [ε12,ε12]

=

0 ε12

−ε12 0

=ε²₁₂.

(3)

Berdasarkan determinan pada persamaan(3), pilih 1-formαdengan bentuk

α=ε^∗₁₂. (4)

Kemudian, pilih 2-formβdengan bentuk

β =ε^∗₁₁∧ε^∗₁₂. (5)

Dengan menggunakan 1-formdan 2-formyang telah ditentukan pada persamaan(4)dan persamaan(5), diperoleh hasil perhitungan pada Tabel1.

Tabel 1.Hasil perhitunganβ(x,y)danα([x,y])untuk setiapx,y∈aff(1,R)

[x,y] β(x,y) α([x,y])

[ε11,ε11] 0 0

[ε11,ε12] 1 1

[ε12,ε11] -1 -1

[ε12,ε12] 0 0

(5)

Perhatikan Tabel1 kolom 2 dan 3. Terlihat bahwaβ(x,y) = α([x,y]) untuk setiap x,y ∈ aff(1,R)atau 1-form α = ε^∗₁₂ berkorespondensi dengan 2-formβ=ε^∗₁₁∧ε^∗₁₂. Selain itu, hasil pada Tabel1menunjukkan bahwaβ(x,y) =−β(y,x)untuk setiapx,y∈aff(1,R)atauβbersifatskew-symmetric. Selanjutnya, dengan menggunakan hasil perhitungan β(x,y) pada Tabel 1 kolom 2, diperoleh determinan matriks representasi dari aljabar Lie affineaff(1,R), yaitu

det(Mβ) =

β(ε₁₁,ε₁₁) β(ε₁₁,ε₁₂) β(ε₁₂,ε₁₁) β(ε₁₂,ε₁₂)

= 0 1

−1 0

= 1.

(6)

Perhatikan hasil determinan pada persamaan(6). Terlihat bahwa det(Mβ) ̸= 0, sehingga β nondegenerate. Berdasarkan Defin- isi5dan Definisi6, dapat disimpulkan bahwa aljabar Lie affine aff(1,R) mempunyai fungsional Frobenius α = ε^∗₁₂ pada aff(1,R)^∗ yang berkorespondensi dengan symplectic form-nya β = ε^∗₁₁∧ε^∗₁₂ sedemikian sehingga aljabar Lie affineaff(1,R) merupakan aljabar Lie Frobenius.

3. Hasil dan Pembahasan

Hasil utama pada penelitian ini dinyatakan dalam Proposisi 1. Berbeda dengan hasil dalam[12], pada penelitian ini dikonstruksi 2-formβ yang bersifatskew-symmetricdannondegenerate serta memenuhi hubungan β(x,y) = α([x,y]) untuk setiap x,y ∈ aff(2,R). Kondisi ini mengakibatkan aljabar Lie affine aff(2,R)merupakan aljabar Lie Frobenius.

Proposisi 1.Misalkan aff(2,R) aljabar Lie affine berdimensi 6 dengan basis B = {ε11,ε12,ε13,ε21,ε22,ε23} dan mis- alkanaff(2,R)^∗dual ruang vektor dariaff(2,R)dengan basis B^∗ = {ε^∗₁₁,ε^∗₁₂,ε^∗₁₃,ε^∗₂₁,ε^∗₂₂,ε^∗₂₃}. Maka untuk suatu fung- sional Frobeniusα=ε^∗₁₂+ε^∗₂₃∈aff(2,R)^∗,terdapat symplec- tic form

β=ε^∗₁₁∧ε^∗₁₂+ε^∗₁₂∧ε^∗₂₂+ε^∗₂₁∧ε^∗₁₃+ε^∗₂₂∧ε^∗₂₃∈ ∧2(aff(2,R)) yang hubungan keduanya diberikan oleh persamaan

β(x,y) =α([x,y])

untuk setiapx, y ∈ aff(2,R). Lebih jauh, kondisi ini mengaki- batkan aljabar Lie affineaff(2,R)adalah aljabar Lie Frobenius.

Bukti. Aljabar Lie affineaff(2,R)dapat dinyatakan sebagai

aff(2,R) = A b 0 0

|A∈gl(2,R),b∈R²

.

MisalkanB ={ε₁₁,ε₁₂,ε₁₃,ε₂₁,ε₂₂,ε₂₃}basis standar aljabar Lie affineaff(2,R)yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

ε₁₁=



 1 0 0 0 0 0 0 0 0



,ε₁₂=



 0 1 0 0 0 0 0 0 0



,

ε13=



 0 0 1 0 0 0 0 0 0



,ε21=



 0 0 0 1 0 0 0 0 0



,

ε22=



 0 0 0 0 1 0 0 0 0



,ε23=



 0 0 0 0 0 1 0 0 0



.

(7)

Kemudian, misalkan B^∗ = {ε^∗₁₁,ε^∗₁₂,ε^∗₁₃,ε^∗₂₁,ε^∗₂₂,ε^∗₂₃} dual basis aljabar Lie affineaff(2,R). Elemen-elemenB^∗ dapat dinyatakan sebagai berikut:

ε^∗₁₁=



 1 0 0 0 0 0 0 0 0



,ε^∗₁₂=



 0 0 0 1 0 0 0 0 0



,

ε^∗₁₃=



 0 0 0 0 0 0 1 0 0



,ε^∗₂₁=



 0 1 0 0 0 0 0 0 0



,

ε^∗₂₂=



 0 0 0 0 1 0 0 0 0



,ε^∗₂₃=



 0 0 0 0 0 0 0 1 0



.

Dengan komutator matriks, yaitu[x,y] = xy−yx,untuk setiapx,y ∈ aff(2,R)dan basis standar yang dinyatakan pada persamaan(7), diperolehbracketLie tak nol dari aljabar Lie affine aff(2,R)sebagai berikut:

[ε₁₁,ε₁₂] =ε₁₂,[ε₁₁,ε₁₃] =ε₁₃,[ε₁₁,ε₂₁] =−ε₂₁, [ε12,ε11] =−ε12,[ε12,ε21] =ε11−ε22,[ε12,ε22] =ε12, [ε12,ε23] =ε13,[ε13,ε11] =−ε13,[ε13,ε21] =−ε23, [ε21,ε11] =ε21,[ε21,ε12] =ε22−ε11,[ε21,ε13] =ε23, [ε21,ε22] =−ε21,[ε22,ε12] =−ε12,[ε22,ε21] =ε21, [ε₂₂,ε₂₃] =ε₂₃,[ε₂₃,ε₁₂] =−ε₁₃,[ε₂₃,ε₂₂] =−ε₂₃.

(8)

Selanjutnya, diperoleh determinan matriks struktur dari aljabar Lie affineaff(2,R)dengan menggunakanbracketLie tak nol pada persamaan(8), yaitu

det M_aff(2,_R₎

=

[ε₁₁,ε₁₁] . . . [ε₁₁,ε₂₃] ... . .. ... [ε₂₃,ε₁₁] . . . [ε₂₃,ε₂₃]

= ε11ε13ε23+ε²₂₃ε12−ε²₁₃ε21−ε13ε22ε23

2

(9) Berdasarkan determinan pada persamaan(9), dipilih 1-form αdengan bentuk

α=ε^∗₁₂+ε^∗₂₃. (10)

Dengan kata lain, persamaan (10)adalah fungsional Frobenius.

Selanjutnya, kitaclaim2-formβyang berbentuk

(6)

β =ε^∗₁₁∧ε^∗₁₂+ε^∗₁₂∧ε^∗₂₂+ε^∗₂₁∧ε^∗₁₃+ε^∗₂₂∧ε^∗₂₃ (11)

adalah symplectic form. Dengan menggunakan fakta bahwa α dalam persamaan (10) adalah fungsional Frobenius, diperoleh hasil perhitungan pada Tabel2.

Tabel 2.Hasil perhitunganβ(x,y)danα([x,y])untuk setiapx,y∈aff(2,R)

[x,y] β(x,y) α([x,y])

[ε11,ε11] 0 0

[ε11,ε12] 1 1

[ε11,ε13] 0 0

[ε11,ε21] 0 0

[ε11,ε22] 0 0

[ε11,ε23] 0 0

[ε12,ε11] -1 -1

[ε12,ε12] 0 0

[ε12,ε13] 0 0

[ε12,ε21] 0 0

[ε12,ε22] 1 1

[ε12,ε23] 0 0

[ε13,ε11] 0 0

[ε13,ε12] 0 0

[ε13,ε13] 0 0

[ε13,ε21] -1 -1

[ε13,ε22] 0 0

[ε13,ε23] 0 0

[ε21,ε11] 0 0

[ε21,ε12] 0 0

[ε21,ε13] 1 1

[ε21,ε21] 0 0

[ε21,ε22] 0 0

[ε21,ε23] 0 0

[ε22,ε11] 0 0

[ε22,ε12] -1 -1

[ε22,ε13] 0 0

[ε22,ε21] 0 0

[ε22,ε22] 0 0

[ε22,ε23] 1 1

[ε23,ε11] 0 0

[ε23,ε12] 0 0

[ε23,ε13] 0 0

[ε23,ε21] 0 0

[ε23,ε22] -1 -1

[ε23,ε23] 0 0

Perhatikan Tabel 2pada kolom 2 dan 3. Terlihat bahwa β(x,y) = α([x,y]) untuk setiapx,y ∈ aff(2,R)atau fungsional Frobeniusα=ε^∗₁₂+ε^∗₂₃berkorespondensi dengan 2-form β=ε^∗₁₁∧ε^∗₁₂+ε^∗₁₂∧ε^∗₂₂+ε^∗₂₁∧ε^∗₁₃+ε^∗₂₂∧ε^∗₂₃. Selain itu, hasil pada Tabel2menunjukkan bahwaβ(x,y) = −β(y,x)atau β bersifatskew-symmetric. Selanjutnya, dengan menggunakan hasil perhitunganβ(x,y)pada Tabel2kolom 2, diperoleh determinan dari matriks representasi aljabar Lie affineaff(2,R), yaitu

det(Mβ) =

β(ε11,ε11) . . . β(ε11,ε23) ... . .. ... β(ε23,ε11) . . . β(ε23,ε23)

=

0 1 0 0 0 0

−1 0 0 0 1 0

0 0 0 −1 0 0

0 0 1 0 0 0

0 −1 0 0 0 1

0 0 0 0 −1 0

= 1.

(12)

Perhatikan hasil determinan pada persamaan(12). Terlihat bahwa det(Mβ) ̸= 0, sehingga 2-formβ nondegenerate. Berdasarkan Definisi2, Definisi5bagian 2, dan Definisi6, dapat disimpulkan bahwa aljabar Lie affineaff(2,R)mempunyai fungsional Frobe- niusα=ε^∗₁₂+ε^∗₂₃padaaff(2,R)^∗yang berkorespondensi dengansymplectic formβ=ε^∗₁₁∧ε^∗₁₂+ε^∗₁₂∧ε^∗₂₂+ε^∗₂₁∧ε^∗₁₃+ε^∗₂₂∧ε^∗₂₃ sedemikian sehingga aljabar Lie affineaff(2,R) merupakan aljabar Lie Frobenius.

4. Kesimpulan

Pada penelitian ini telah dikonstruksi bentuk2-form skew- symmetricdannondegenerateatausymplectic formpada aljabar Lie affineaff(2,R)berdimensi 6, yaitu

β=ε^∗₁₁∧ε^∗₁₂+ε^∗₁₂∧ε^∗₂₂+ε^∗₂₁∧ε^∗₁₃+ε^∗₂₂∧ε^∗₂₃∈ ∧2(aff(2,R)).

Dalam hal ini, fungsional Frobeniusα=ε^∗₁₂+ε^∗₂₃padaaff(2,R)^∗ dansymplectic formβ memenuhi hubunganβ(x,y) =α([x,y]) untuk setiapx,y∈aff(2,R)sehingga aljabar Lie affineaff(2,R) merupakan aljabar Lie Frobenius.

Untuk penelitian selanjutnya, dapat dikonstruksi bentuk 2-form skew-symmetric dannondegenerate pada aljabar Lie affine aff(n,R)dengan dimensin(n+1)serta membuktikan bahwa aljabar Lie affineaff(n,R)merupakan aljabar Lie Frobenius.

Konstribusi Penulis. Aurillya Queency:Konseptualisasi, studi literatur, analisis formal, dan penulisan draft naskah. Edi Kurniadi: Konseptual- isasi, validasi, tinjauan penulisan, dan supervisi. Firdaniza: Konseptu- alisasi, validasi, tinjauan penulisan, dan supervisi. Semua penulis telah membaca dan menyetujui versi naskah yang telah dipublikasikan.

Konflik Kepentingan. Para penulis menyatakan tidak ada konflik kepentingan yang berkaitan dengan artikel ini.

Referensi

[1] T. Hawkins,Emergence of the Theory of Lie Groups. New York, NY: Springer New York, 2000. doi:10.1007/978-1-4612-1202-7.

[2] A. McInerney,First Steps in Differential Geometry. New York, NY: Springer New York, 2013. doi:10.1007/978-1-4614-7732-7.

[3] B. Muraleetharan, K. Thirulogasanthar, and I. Sabadini, “A representation of Weyl-Heisenberg Lie algebra in the quaternionic setting,”Ann Phys (N Y), vol.

385, pp. 180–213, Oct. 2017, doi:10.1016/j.aop.2017.07.014.

[4] J. Jiang, “Representations of the q-Klein-bottle Lie algebra,”J Algebra, vol.

591, pp. 36–58, Feb. 2022, doi:10.1016/j.jalgebra.2021.10.028.

[5] R. N. Cahn,Semi-simple Lie algebras and their representations. Courier Corpo- ration, 2014.

[6] J. E. Humphreys,Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Third printing. New York: Springer-Verlag, 1980.

(7)

[7] M. J. Evans, “Nilpotent Lie algebras in which all proper subalgebras have class at most n,” J Algebra, vol. 591, pp. 1–14, Feb. 2022, doi:

10.1016/j.jalgebra.2021.09.031.

[8] P. Benito, D. de-la-Concepcion, and J. Laliena, “Free nilpotent and nilpotent quadratic Lie algebras,”Linear Algebra Appl, vol. 519, pp. 296–326, Apr. 2017, doi:10.1016/j.laa.2017.01.007.

[9] I. Beltita and D. Beltita, “On Kirillov’s lemma for nilpotent Lie algebras,”J Al- gebra, vol. 427, pp. 85–103, Apr. 2015, doi:10.1016/j.jalgebra.2014.12.026.

[10] Y. Shang, “Lie algebra method for solving biological population model,”

Journal of Theoretical and Applied Physics, vol. 7, no. 1, p. 67, 2013, doi:

10.1186/2251-7235-7-67.

[11] A. I. Ooms, “On frobenius lie algebras,”Commun Algebra, vol. 8, no. 1, pp.

13–52, Jan. 1980, doi:10.1080/00927878008822445.

[12] D. N. Pham, “g-quasi-Frobenius Lie algebras,”Archivum Mathematicum, no. 4,

pp. 233–262, 2016, doi:10.5817/AM2016-4-233.

[13] M. A. Alvarez, M. C. Rodríguez-Vallarte, and G. Salgado, “Contact and Frobe- nius solvable Lie algebras with abelian nilradical,”Commun Algebra, vol. 46, no. 10, pp. 4344–4354, Oct. 2018, doi:10.1080/00927872.2018.1439048.

[14] B. Csikos and L. Verhoczki, “Classification of Frobenius Lie algebras of di- mension≤6,”Publicationes Mathematicae-Debrecen, vol. 70, pp. 427–451, 2007.

[15] E. Kurniadi and H. Ishi, “Harmonic Analysis for 4-Dimensional Real Frobenius Lie Algebras,” 2019, pp. 95–109. doi:10.1007/978-3-030-26562-5_4.

[16] M. Gerstenhaber and A. Giaquinto, “The Principal Element of a Frobenius Lie Algebra,”Lett Math Phys, vol. 88, no. 1–3, pp. 333–341, Jun. 2009, doi:

10.1007/s11005-009-0321-8.

[17] A. Diatta and B. Manga, “On properties of principal elements of Frobenius Lie algebras,” Dec. 2012, [Online]. Available:https://arxiv.org/abs/1212.5380