Bab II Peluang
B. Fungsi Komposisi
Kalian tentu tahu bahwa kertas dibuat dari kayu. Misalkan mesin
A adalah mesin pengolah kayu menjadi pulp, sedangkan B adalah mesin pengolah pulp menjadi kertas. Jika diilustrasikan dengan bagan, tampak sebagai berikut.
Kayu Proses I Pulp (pada mesin A) Pulp Proses II Kertas (pada mesin B)
Misalkan mesin C adalah mesin yang mampu mengolah kayu langsung menjadi kertas, tentu dalam mesin C terjadi proses I dan II.
Kayu Proses I Pulp Proses II Kertas
Jadi, pada mesin C terjadi komposisi antara proses I dan proses II. Analog dengan ilustrasi di atas, tentu kalian akan dapat memahami komposisi fungsi.
1. Pengertian dan Aturan Fungsi Komposisi
Jika f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, sedangkan g adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C, fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kemudian dilanjutkan
Mesin C Tentukan a. f + g, f + h, dan g + h; c. f g, f h, dan g h; b. f – g, f – h, dan g – h; d. f× g, f× h, dan g× h.
6. Diketahui fungsi f dan g didefinisikan sebagai himpunan pasangan berurutan seperti berikut.
f = {(1, 6), (2, 12), (3, 24), (4, 32)}
g = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} Tentukan fungsi-fungsi berikut ini.
a. f + g d. g – f b. f× g e. f – g c. f g f. g f
7. Jika f(x) = x2 + 3 dan (f ×g)(x) = 2x4+6x2, tentukan rumus fungsi g. 8. Misalkan f(x) = 1 3 x dan f g £ ¤ ² ¥¦´(x) = 2 5 x , tentukan g(x).
fungsi dari himpunan B ke himpunan C dinamakan fungsi komposisi dari f dan g yang dilambangkan dengan g º f
(dibaca g bundaran f). Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di samping.
Diketahui himpunan A, B, dan C seperti pada gambar di samping. Jika aDA, bD B, cDC, f(a) = b, dan f(b) = c
maka (gº f)(a) = g(f(a)) = c. Secara umum, fungsi komposisi didefinisikan sebagai berikut.
Gambar 3.1
a b c
A B C
f g
g º f
Misalkan fungsi f : AAB ditentukan oleh aturan f(a) = b, sedangkan fungsi g : BAC ditentukan oleh aturan g(b) = c. Fungsi komposisi g dan f, ditulis g º f adalah sebuah fungsi yang ditentukan dengan aturan (g º f)(a) = g(f(a)).
Fungsi g º f adalah komposisi fungsi g dan f yang pengerjaan-nya dilakukan pada fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjut-kan fungsi g.
1. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dalam diagram panah sebagai berikut.
Tentukan (g º f)(1), (g º f)(2), dan (g º f)(3).
Penyelesaian:
Dari gambar di samping, tampak bahwa (g º f)(1) = g(f(1)) = g(m) = 12; (g º f)(2) = g(f(2)) = g(m) = 12; (g º f)(3) = g(f(3)) = g(k) = 10. Gambar 3.2 1 2 3 m l k 10 11 12 A f B g C
2. Diketahui fungsi-fungsi f dan g pada bilangan real ditentukan oleh aturan f(x) = 3x – 2 dan g(x) = 2x. Tentukan komposisi fungsi berikut ini.
a. (g º f)(x) b. (f º g)(x) c. Apakah f º g = g º f? Penyelesaian: a. (g º f)(x) = g(f(x)) = g(3x – 2) = 2(3x – 2) = 6x – 4 b. (f º g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = 3(2x) – 2 = 6x – 2
c. Karena (g º f)(x) = 6x – 4, sedangkan (f º g)(x) = 6x – 2 maka g º f& f º g. Menurutmu, apakah
setiap fungsi aljabar dapat dikomposisi-kan? Jika tidak, sya-rat apa yang harus dipenuhi? Berikan contoh kasus fungsi-fungsi yang tidak dapat dikomposisi-kan.
Diskusi
Berpikir Kritis
2. Nilai Fungsi Komposisi
Nilai dari suatu fungsi komposisi dapat ditentukan dengan menggunakan dua cara, yaitu
a. dengan langsung mengoperasikan fungsi-fungsi tersebut secara berurutan;
b. dengan menentukan rumus komposisi fungsi terlebih dahulu, kemudian menyubstitusikan nilai-nilai pada domainnya ke dalam rumus komposisi itu.
1. Diketahui fungsi-fungsi f dan g pada himpunan bilangan real yang didefinisikan dengan
f(x) = 4x dan g(x) =
3 2
x – 2. Tentukan nilai (f º g)(2) dengan dua cara di atas.
Penyelesaian: b. Cara 2: (f º g)(x) = f(g(x)) = f(2 3x – 2) = 4(2 3x – 2) = 8 3x – 8 (f º g)(2) = 8 3(2) – 8 = –8 3 a. Cara 1: (f º g)(2) = f(g(2)) = f 2 3( )2 <2 £ ¤ ¥¦ = f£¤<2¥¦ 3 = 4(–2 3) = –8 3
2. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan berikut.
f = {(1, 3), (2, 6), (3, 9)}
g = {(3, 4), (6, 7), (9, 10)} Tentukan g º f dan (g º f)(2).
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 3.3 A f B g C 1 2 3 3 6 9 4 7 10
Pada gambar di samping, tampak bahwa • g º f = {(1, 4), (2, 7), (3, 10)}; • (g º f)(2) = 7.
Tujuan:
Memahami sifat-sifat yang berlaku pada komposisi fungsi. Permasalahan:
Sifat-sifat apakah yang berlaku pada komposisi fungsi? Langkah-Langkah:
Jawablah soal-soal berikut.
1. Misalkan fungsi f dan g pada himpunan bilangan real didefinisikan oleh f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x – 3. Tentukan a. (g º f)(x);
b. (f º g)(x);
c. Apakah g º f = f º g?
2. Misalkan fungsi-fungsi f, g, dan h pada bilangan real didefinisikan oleh f(x) = x2, g(x) = 2x – 2, dan h(x) = 3x. a. Tentukan (f º g)(x), ((f º g) º h)(x), (g º h)(x), dan
(f º (g º h))(x).
b. Apakah ((f º g) º h)(x) = (f º (g º h))(x)?
3. Misalkan f dan I adalah fungsi pada himpunan bilangan real yang didefinisikan f(x) = x2 + 3x – 4 dan I(x) = x. a. Tentukan (f º I)(x) dan (I º f)(x).
b. Apakah (f º I)(x) = (I º f)(x)? Kesimpulan:
Dari langkah-langkah di atas, dapat ditemukan sifat-sifat komposisi fungsi.
Dari kegiatan di atas, diperoleh beberapa sifat komposisi fungsi sebagai berikut.
Sifat-sifat komposisi fungsi
a. Komposisi fungsi pada umumnya tidak bersifat komutatif: (f º g)(x) & (g º f)(x).
b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif: ((f º g) º h)(x) = (f º (g º h))(x).
c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga (f º I)(x) = (I º f)(x) = f(x).
3. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Untuk dapat mengetahui sifat-sifat dari komposisi fungsi, lakukan kegiatan berikut.
Kegiatan Kerjakan di buku tugas
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas
NFungsi f : RA R. Diketahui f(x) = 2 – 3 dan g(x) = x2 + 2x – 3. Nilai dari (f º g)(2) = .... a. 0 d. 8 b. 1 e. 11 c. 7
Soal Ebtanas SMA, 1990
Gambar 3.5 Dari gambar di samping, yaitu f : A A B dan
g : B A C tampak bahwa f(a1) = b1 dan g(b1) = c1 sehingga (g º f)(a1) = c1; f(a2) = b1 dan g(b1) = c1 sehingga (g º f)(a2) = c1; f(a3) = b3 dan g(b3) = c3 sehingga (g º f)(a3) = c3; f(a4) = b3 dan g(b3) = c3 sehingga (g º f)(a4) = c3; f(a5) = b4 dan g(b4) = c4 sehingga (g º f)(a5) = c4. Dengan demikian, disimpulkan bahwa
(g º f): AAC merupakan sebuah fungsi atau
fungsi komposisi. Gambar 3.4
A f B g C a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4
Dari gambar tersebut, terlihat bahwa
g adalah fungsi dengan domain himpunan
B, sedangkan f adalah fungsi dengan daerah kawan himpunan B. Range f adalah {b1, b3, b4} sehingga range f merupakan himpunan bagian dari himpunan B. Dengan kata lain, range f merupakan himpunan bagian dari domain g. Sekarang, perhatikan fungsi f dan g yang didefinisi-kan seperti Gambar 3.5.
Pada gambar tersebut, fungsi f: AAB dan fungsi g: DA C
dengan D B. Jika dibuat komposisi fungsi g º f, komposisi fungsi tersebut bukan merupakan sebuah fungsi karena f(a3) = b3
bukan anggota domain g sehingga b3 oleh g tidak dipetakan. Jika kita perhatikan, ternyata domain g merupakan himpunan bagian dari range f. Oleh karena itu, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
Fungsi g dapat dikomposisikan dengan fungsi f sehingga komposisi fungsi g º f merupakan sebuah fungsi apabila range f merupakan himpunan bagian dari domain g atau dapat ditulis Rf Dg.
5. Komposisi dari Dua Fungsi atau Lebih
Suatu fungsi komposisi dapat tersusun atas dua fungsi atau lebih. Jika komposisi fungsi terdiri atas 3 fungsi atau lebih, pengerjaannya harus dilakukan secara berurutan atau tidak boleh terbalik (ingat: komposisi fungsi pada umumnya bersifat komutatif). Perhatikan contoh berikut.
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 A f B g C D
4. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan
Tidak setiap dua fungsi dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi. Untuk mengetahui syarat agar komposisi dua buah fungsi merupakan sebuah fungsi komposisi, perhatikan gambar berikut.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas
Jika f: RA R, dengan f(x) = 2x – 2 dan g : RA R, dengan g(x) = x2 – 1 maka (f º g)(x + 1) = .... a. 2x2 – 4 b. 2x2 – 5 c. 2x2 + 4x – 2 d. 2x2 – 4x + 1 e. 2x2 – 2
Soal UMPTN, Kemam-puan Dasar 1996
Diketahui fungsi f, g, dan h pada bilangan real dan didefinisikan f(x) = x2, g(x) = 5x + 3, dan h(x) = x+1. Tentukan komposisi fungsi berikut ini.
a. (f º g)(x) b. (g º f º h)(x) Penyelesaian: a. (f º g)(x) = f(g(x)) = f(5x + 3) = (5x + 3)2 = 25x2 + 30x + 9 b. (g º f º h)(x) = (g º f)(h(x)) = (g º f)( x+1) = g(f( x+1)) = g(( x+1)2) = g(x + 1) = 5(x + 1) + 3 = 5x + 8
6. Menentukan Fungsi Penyusun dari Fungsi
Komposisi
Jika suatu fungsi f diketahui dan fungsi komposisi f º g atau
g º f juga diketahui maka fungsi g dapat ditentukan. Demikian juga jika yang diketahui fungsi g dan fungsi komposisi f º g atau
g º f, fungsi f dapat ditentukan. Untuk memahami cara menentu-kan sebuah fungsi jika diketahui fungsi komposisi dan fungsi yang lain, perhatikan contoh-contoh berikut.
Diketahui fungsi (f º g)(x) = 4 – 2x dan g(x) = x + 6. Tentukan fungsi f(x).
Penyelesaian:
(f º g)(x) = 4 – 2x
f(g(x)) = 4 – 2x
f(x + 6) = 4 – 2x
Misalkan x + 6 = y maka x = y – 6. Akibatnya,
f(y) = 4 – 2(y – 6) = 4 – 2y + 12 = 16 – 2y Jadi, f(x) = 16 – 2x. Contoh: Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas
Dari fungsi f: RA R diketahui bahwa f(x) = x + 3 dan (f º g)(x) = x2 + 6x + 7, maka g(x) = .... a. x2 + 6x – 4 b. x2 + 3x – 2 c. x2 – 6x + 4 d. x2 + 6x + 4 e. x2 – 3x + 2
Soal Ebtanas SMA, 1993
1. Diketahui fungsi f : AAB dan g : BAC
yang ditentukan dengan aturan seperti pada diagram di samping.
a. Nyatakan fungsi f dan g dalam himpunan pasangan berurutan. b. Tentukan nilai (g º f)(a), (g º f)(b),
dan (g º f)(c).
2. Diketahui fungsi f dan g yang ditentukan sebagai himpunan pasangan berurutan berikut.
f = {(1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 4)}
g = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
Diketahui fungsi f(x) = 4x – 1 dan (f º g )(x) = 2x2 – x + 3. Tentukan fungsi g(x).
Penyelesaian: (f º g)(x) = 2x2 – x + 3 f(g(x)) = 2x2 – x + 3 4g(x) – 1 = 2x2 – x + 3 4g(x) = 2x2 – x + 4 g(x) = 1 4(2x 2 – x + 4) Jadi, g(x) = 1 2x 2 – 1 4x + 1. Problem Solving
1. Fungsi f, g, dan h terdefinisi pada bilangan real, dengan f(x) = 1 – 3x dan g(x) = 5x + 2. Tentukan rumus fungsi h(x) jika diketahui komposisi fungsi sebagai berikut.
a. (f º g º h)(x) = 15 – 30x
b. (g º h º f)(x) = –45x – 17 c. (h º g º f)(x) = 15x2 – 65 d. (f º g º h)(x) = 30x + 13
2. Diketahui fungsi f : R A R dan g : R A R. Jika f(x) = x<5 dan (g º f)(x) = x – 2, tentukan g(x2 – 1).
Diketahui f(x) = x + 1 dan (f º g)(x) = 3x2 + 4. Tentukan rumus fungsi g(x).
Soal Terbuka Kerjakan di buku tugas
Gambar 3.6 a b c 1 2 3 4 p q r s g f A B C
a. Tentukan (g º f)(1), (g º f)(3), (f º g)(2), dan (f º g)(4).
b. Nyatakan f º g dan g º f dalam himpunan pasangan berurutan.
3. Jika f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, tentukan rumus f º g dan g º f berikut. a. f(x) = 2x – 1; g(x) = x2 + x b. f(x) = x + x2; g(x) = x + 1 c. f(x) = 2x + 3; g(x) = x2 – x + 1 d. f(x) = x2 + 1; g(x) = 3x – 1 e. f(x) = –3x; g(x) = x3 – 3x f. f(x) = x2; g(x) = 2x2 + 1
4. Diketahui g(x) = 2x2 + 3x dan (g º f)(x) = 2x2 + 23x + 35. Jika fungsi f dan g pada bilangan real, tentukan rumus fungsi f(x).
5. Fungsi f dan g didefinisikan pada bilangan real, dengan g(x) = x – 2 dan komposisi fungsi (f º g)(x) = 2x2 – 8x – 11.
a. Tentukan rumus fungsi f(x). b. Tentukan nilai (f º g)(3).
c. Tentukan nilai a jika diketahui (f º g)(a) = 5.
6. Fungsi f, g, dan h pada bilangan real ditentukan dengan aturan f(x) = x + 3, g(x) = 2x
– 1, dan h(x) = x2. Tentukan berikut ini. a. (f º g º h)(x)
b. (h º g º f)(x) c. (f º g º h)(3) d. (h º g º f)(3)
7. Didefinisikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x. Tentukan domain dari f dan g agar kedua fungsi tersebut dapat dikomposisikan menjadi f º g dan g º f.
8. Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x x
<
+ 1
4. Jika (f º g)(a) = 5, tentukan nilai a.