Dalam grup didefinisikan sebuah operasi bersifat umum, dapat berupa operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, komposisi, dan sebagainya. Jadi jika G adalah grup terhadap operasi penjumlahan, maka operasi tersebut yang dipakai.
Dalam gelanggang didefinisikan dua buah operasi, yaitu operasi + (penjumlahan) dan operasi ⋅ (perkalian), bahkan kombinasi dari kedua operasi tersebut. Ini membuat gelanggang sedikit lebih sulit daripada grup, tetapi hal ini justru membuat obyek-obyek gelanggang kurang bervariasi dibandingkan grup, dalam arti grup lebih mudah untuk dieksplorasi.
Definisi 2.3.1.
Himpunan (R, +, ⋅) disebut gelanggang jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat (i) (R, +) grup komutatif,
(ii) operasi ⋅ bersifat asosiatif,
(iii) kombinasi operasi + dan ⋅ bersifat distributif, yaitu
(a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c) dan c ⋅ (a + b) = (c ⋅ a) + (c ⋅ b) untuk ∀a, b, c ∈ R.
Dari definisi gelanggang di atas, akan diuraikan sifat (i) di mana R adalah grup aditif (grup dengan operasi penjumlahan) yang komutatif. Untuk setiap a, b, c ∈ R, maka sifat asosiatif berarti (a + b) + c = a + (b + c), sifat komutatif berarti a + b = b + a, kemudian elemen identitas adalah 0 di mana a + 0 = a, dan invers aditif dari a adalah −a di mana (−a) + a = 0. Selanjutnya dari definisi pangkat suatu elemen, maka di sini an adalah a + a + … + a = na.
Gelanggang (R, +, ⋅) disebut gelanggangkomutatif jika dan hanya jika operasi ⋅ bersifat komutatif.
Contoh 2.3.1.
Himpunan semua bilangan bulat (Z, +, ⋅), himpunan semua bilangan rasional (Q, +, ⋅), himpunan semua bilangan real (R, +, ⋅), himpunan semua bilangan kompleks (C, +, ⋅) adalah gelanggang-gelanggang komutatif.
Gelanggang R merupakan grup aditif. Jika operasi ∗ dalam Teorema 2.2.1 diganti dengan operasi +, maka dalam R berlaku hukum kanselasi aditif, penyelesaian tunggal dari persamaan linear aditif, ketunggalan elemen identitas, ketunggalan invers aditif,
sifat-sifat invers aditif, dan hukum eksponen aditif.
Proposisi 2.3.1.
Misalkan R gelanggang dengan elemen identitas 0 dan a, b, c ∈ R. Maka berlaku (i) 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0.
(ii) a ⋅ (−b) = (−a) ⋅ b =−(a ⋅ b). (iii) (−a) ⋅ (−b) = a ⋅ b.
BUKTI.
(i) Menurut Definisi 2.3.1, (0 ⋅ a) + (0 ⋅ a) = (0 + 0) ⋅ a = 0 ⋅ a = (0 ⋅ a) + 0. Dengan kanselasi aditif, maka 0 ⋅ a = 0. Dengan cara yang sama, maka a ⋅ 0 = 0.
(ii) (a ⋅ b) + (a ⋅ (−b)) = a ⋅ (b + (−b)) = a ⋅ 0 = 0. Jadi a ⋅ (−b) adalah invers aditif dari a ⋅ b, yaitu −(a ⋅ b) = a ⋅ (−b). Dengan cara yang sama, maka −(a ⋅ b) = (−a) ⋅ b. (iii) Dari (ii) dan sifat invers aditif, maka didapat (−a) ⋅ (−b) =−(a ⋅ (−b)) =−(−(a ⋅ b))
= a ⋅ b. ■
Definisi 2.3.3.
Misalkan R gelanggang dan S ⊆ R. Himpunan S disebut subgelanggang dari R jika dan hanya jika (S, +, ⋅) gelanggang di mana + dan ⋅ adalah operasi pada R.
Teorema 2.3.2 (Uji Subgelanggang).
Jika R gelanggang dan S ⊆ R, maka S subgelanggang dari R jika dan hanya jika (i) S ≠∅,
(ii) (∀a, b ∈ S) a + b ∈ S dan a ⋅ b ∈ S, (iii) (∀a ∈ S) −a ∈ S.
BUKTI.
( ⇒ ) Definisi 2.3.3.
( ⇐ ) Karena S ⊆R dan berlaku (ii), maka operasi + dan ⋅ bersifat asosiatif, tertutup, dan kombinasinya bersifat distributif. Jika diambil sembarang a ∈ S, maka dari (ii) dan (iii), a + (−a) = 0 ∈ S dan −a ∈ S. Di sini S grup aditif komutatif sebab operasi + pada R bersifat komutatif.
Elemen 1R dalam gelanggang R disebut elemensatuan jika dan hanya jika untuk setiap a ∈ R berlaku a ⋅ 1R = 1R ⋅ a = a. Jika R mempunyai elemen satuan, maka R disebut
gelanggang dengan elemen satuan.
Jadi elemen satuan merupakan elemen identitas terhadap operasi ⋅. Jika elemen identitas 0 adalah elemen satuan 1R, maka gelanggang R menjadi gelanggang nol {0}. Untuk selanjutnya gelanggang R dengan elemen satuan diasumsikan bukan {0}.
Definisi 2.3.5.
Misalkan R gelanggang dengan elemen satuan 1R. Elemen u ≠ 0 dalam R disebut unit, jika mempunyai invers multiplikatif u−1 sedemikian sehingga u−1⋅ u = u ⋅ u−1= 1R. Jika setiap elemen taknol dalam R merupakan unit, maka R disebut gelanggang pembagian.
Lema 2.3.3 (Ketunggalan Elemen Satuan dan Invers Multiplikatif).
Jika R gelanggang pembagian, maka elemen satuan tunggal. Juga invers multiplikatif dari setiap elemen taknol dalam R.
BUKTI.
Misalkan 1R dan 1R′ adalah elemen-elemen satuan dalam R sedemikian sehingga a ⋅ 1R= 1R ⋅ a = a dan a ⋅ 1R′ = 1R′ ⋅ a = a, untuk setiap a ∈ R. Maka 1R = 1R ⋅ 1R′ = 1R′. Kemudian ambil sembarang u ≠ 0 ∈ R. Misalkan u1−1 dan u2−1 adalah invers-invers multiplikatif dari u sedemikian sehingga u1−1⋅ u = u ⋅ u1−1= 1R dan u2−1⋅ u = u ⋅ u2−1=
1R. Karena elemen 1R tunggal, maka u1−1= u1−1⋅ 1R= u1−1⋅ (u ⋅ u2−1) = (u1−1⋅ u) ⋅ u2−1= 1R⋅ u2−1= u2−1.
Terbukti elemen satuan dan invers multiplikatif tunggal. ■
Definisi 2.3.6.
Misalkan R adalah gelanggang. Jika terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga na = a + a + … + a = 0 untuk ∀a ∈ R, maka n disebut karakteristik dari R. Jika tidak terdapat bilangan bulat positif terkecil n yang demikian itu, maka R dikatakan berkarakteristik 0.
Lema 2.3.4 (Karakteristik Gelanggang dengan Elemen Satuan).
Gelanggang R dengan elemen satuan berkarakteristik n jika dan hanya jika n1R= 0.
BUKTI.
( ⇒ ) Jika R berkarakteristik n, maka na = 0 untuk ∀a ∈ R. Jadi n1R= 0.
( ⇐ ) Jika diasumsikan n1R= 0, maka na = a + a + … + a = (1R+ 1R+ … + 1R) ⋅ a =
(n1R) ⋅ a = 0 ⋅ a = 0. ■
Selanjutnya definisi gelanggang diperluas lagi untuk mendapatkan struktur baru. Pada gelanggang R sudah didefinisikan R adalah grup aditif komutatif dan ditambahkan sifat asosiatif pada operasi ⋅ dan bersifat distributif (kombinasi + dan ⋅). Kemudian jika R juga merupakan grup multiplikatif (grup dengan operasi perkalian) yang komutatif,
Misalkan F adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan. Maka F disebut medan
jika dan hanya jika setiap elemen taknol dalam F mempunyai invers multiplikatif.
Dari definisi di atas, dapat dikatakan (dengan cara lebih baik) bahwa F adalah medan jika dan hanya jika
(i) (F, +) grup komutatif
1. Operasi + bersifat asosiatif dan komutatif. 2. Terdapat elemen identitas 0.
3. Setiap elemen a mempunyai invers −a. (ii) (F#, ⋅) dengan F#= F − {0} grup komutatif
1. Operasi ⋅ bersifat asosiatif dan komutatif. 2. Terdapat elemen satuan 1F.
3. Setiap elemen u mempunyai invers u−1. (iii) Kombinasi operasi + dan ⋅ bersifat distributif.
Contoh 2.3.2.
Gelanggang-gelanggang Q, R, dan C semuanya adalah medan. Tetapi gelanggang Z bukan medan sebab unit-unit dalam Z hanyalah −1 dan 1.
Definisi 2.3.8.
Jika a ≠ 0 dan b ≠ 0 adalah elemen-elemen dalam gelanggang komutatif R sedemikian sehingga a ⋅ b = 0, maka a dan b disebut pembagi nol.
Definisi 2.3.9.
Gelanggang komutatif D dengan elemen satuan disebut daerah integral jika dan hanya jika D tidak memuat pembagi nol (berarti jika a ⋅ b = 0, maka a = 0 atau b = 0 untuk setiap a, b ∈ D).
Contoh 2.3.3.
Gelanggang komutatif Z merupakan gelanggang dengan elemen satuan yang tidak memuat pembagi nol, sehingga Z adalah daerah integral. Juga gelanggang-gelanggang Q, R, dan C semuanya adalah daerah integral.
Definisi 2.3.10.
Misalkan a, b, c dalam gelanggang R dengan a ≠ 0. Hukum kanselasi multiplikatif
(disingkat kanselasi) dikatakan berlaku dalam R yaitu jika a ⋅ b = a ⋅ c, maka b = c, demikian pula jika b ⋅ a = c ⋅ a, maka b = c.
Teorema 2.3.5.
Gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah daerah integral jika dan hanya jika dalam R berlaku kanselasi.
BUKTI.
( ⇒ ) Misalkan a ≠ 0 dan a ⋅ b = a ⋅ c. Maka (a ⋅ b) + (−(a ⋅ c)) = a ⋅ (b + (−c)) = 0. Karena R daerah integral dan a ≠ 0, maka haruslah b + (−c) = 0, sehingga b = c. Jadi dalam R berlaku kanselasi.
persamaan a ⋅ b = 0 = a ⋅ 0 mengakibatkan b = 0, karena diasumsikan dalam R
berlaku kanselasi. Jadi R adalah daerah integral. ■
Sudah dibuktikan bahwa dalam daerah integral berlaku kanselasi. Berikutnya akan dibuktikan bahwa dalam medan juga berlaku kanselasi sehingga setiap medan adalah daerah integral.
Teorema 2.3.6.
Setiap medan F adalah daerah integral.
BUKTI.
Ambil sembarang a, b, c ∈ F. Dari Definisi 2.3.7, a ≠ 0 mempunyai invers multiplikatif a−1. Berarti jika a ⋅ b = a ⋅ c, maka b = c. Maka dari Definisi 2.3.10 dan Teorema 2.3.5,
F adalah daerah integral. ■
Teorema 2.3.7.
Jika D daerah integral, maka D berkarakteristik prima atau 0.
BUKTI.
Misalkan D berkarakteristik n ≠ 0. Jika n = 1, maka 11D = 1D ≠ 0. Ini berarti 1 bukan karakteristik dari D (Lema 2.3.4). Akan ditunjukkan bahwa jika n1D= 0, maka n harus prima. Perhatikan bahwa n1D = 1D + 1D + … + 1D. Andaikan n bukan prima. Maka
4 4 3 4 4 2 1 n D D D 1 ... 1 1 + + + = 4 4 4 3 4 4 4 2 1 4 4 4 3 4 4 4 2 1 t D D D s D D D 1 ... 1 ) . (1 1 ... 1 ) 1 ( + + + + + + , 1 < s < n dan 1 < t < n.
Sehingga jika n1D= (s1D) ⋅ (t1D) = 0, maka s1D= 0 atau t1D= 0 sebab D daerah integral. Ini menunjukkan bahwa D berkarakteristik s atau t. Terdapat suatu kontradiksi dengan D berkarakteristik n. Jadi haruslah n prima. ■
