Himpunan Terbilang dan Himpunan Tak Terbilang a. Himpunan Terbilang

BILANGAN KARDINAL

3. Himpunan Terbilang dan Himpunan Tak Terbilang a. Himpunan Terbilang

Misalkan S suatu, himpunan, maka S disebut himpunan berhingga, jika dan hanya jika ada suatu bilangan asli k, sehingga S ek Datum hal ini S dikatakan mempunyai k buah unsur. Dalam hal yang lain dikatakan bahwa S suatu himpunan tak hingga.

Misalkan S suatu himpunan, maka S disebut himpunan tak hingga jika S mempunyai suatu himpunan bagian murni S* sedemikian hingga S.ek S*. Dalam hal yang lain S disebut himpunan berhingga.

Definisi 7.4

Contoh 7.2

1) Selidikilah apakah himpunan semua bilangan bulat adalah himpunan terbilang?

Penyelesaian:

N: 1 2 3 4 5 6 …

| | | | | | Z : 0 -1 1 -2 2 -3 ...

Ternyata Z ekivalen dengan N, jadi Z himpunan terbilang.

2) Misalkan K adalah himpunan semua bilangan kelipatan k, Selidikilah apakah K himpunan terbilang?

Penyelesaian:

N : 1 2 3 4 5 6 7 …

| | | | | | | K : 0 -k k -2k 2k -3k 3k ...

Ternyata K ekivalen dengan N, jadi K himpunan terbilang. Contoh 7.3

Misalkan Q himpunan semua bilangan rasional, tunjukanlah bahwa Q himpunan terbilang!

Penyelesaian:

Disefinisikan dahulu bahwa bilangan rasional adalah suatu bilangan yang berbentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat, q>0, serta p dan q koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan). Untuk semua bilangan bulat a/1 ditulis dengan a, dan 0 ditulis dengan 0/1. Bilangan-bilangan rasional tersebut dapat dikelompokkan menurut indeks yang didefinisikan sebagai berikut:

Indeks dari p/q = |p| + q, dengan demikian didapat: Indeks 1 memuat: 0, sebab p = 0,

q = 1, |p| + q = 1. Indeks 2 memuat: -1, 1,

Indeks 3 memuat: -1/2, 1/2, -2, 2, Suatu himpunan S disebut terbilang jika dan hanya jika S ekivalen dengan N himpunan semua bilangan asli.

Indeks 4 memuat: -1/3, 1/3, -3, 3, Indeks 5 memuat: -1/4, 1/4, -2/3, 2/3, - 3/2, 3/2, -4,.4. dan seterusnya.

Tampak bahwa setiap indeks memuat bilangan -bilangan yang terhingga banyaknya. Sebaliknya setiap bilangan rasional mempunyai indeks tertentu. Urutan penulisan bilangan -bilangan di dalam kelompok adalah sedemikian hingga bilanganbilangan yang nilai mutlaknya lebih kecil mendahului bilangan yang nilai mutlaknya lebih besar. Untuk sepasang bilangan rasional yang nilai mutlaknya sama, maka bilangan negatif mendahului bilangan positif. Dengan cara demikian diperoleh barisan panjang sebagai berikut.

0, -1, 1, -1/2, 1/2, -2, 2, -1/3, 1/3, -3, 3, -1/4, 1/4, -2/3, 2/3, -3/2, 3/2, -4, 4, .... Unsur-unsur barisan tersebut dapat dinomori sehingga bariszin tersebut ekivalen dengan N.

Jadi himpunan semua bilangan rasional Q adalah himpunan terbilang. Contoh 7.4

Misalkan Q adalah himpunan semua bilangan rasional, buktikanlah bahwa Q adalah himpunan terbilang.

Bukti:

Disefinisikan dahulu bahwa bilangan rasional adalah suatu bilangan yang. berbentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat, q > 0, serta p dan q koprima (tidak mempunyai faktor persekutuan). Untuk semua bilangan bulat a/1 ditulis dengan a, dan 0 ditulis dengan 0/1. Bilangan-bilangan rasional tersebut dapat dikelompokkan menurut indeks yang didefinisikan sebagai berikut:

Indeks Persamaan Akar Ket 2 x = 0 0 ya 3 x+1=0, x -1=0 -1,1 ya 2x = 0 0 tdk X² = 0 0 tdk 4 3x = 0 0 tdk 2x +1 = 0 , 2x - 1 = 0 -1/2, 1/2 ya x² - i = 0 -1,1 tdk x³ = 0 t d k 0 x+2=0, x-2 = 0 -2,2 ya 5 4x = 0 0 tdk 3x+I = 0 , 3x-1 = 0 -1/3, 1/3 ya x²-2 = 0 _-√ , √ ya 2x+2 = 0, 2x-2 = 0 -2, 2 tdk dan seterusnya.

Dapat dikatakan bahwa setiap persamaan aljabar mempunyai indeks tertentu clan sebaliknya setiap i n d e k s m e n u n j u k b e b e r a p a p e r sa m a a n ya n g banyaknya berhingga.

Akar-akar persamaan aljabar tersebut diurutkan sedemikian hingga didapat barisan Sebagai berikut:

0, -1, 1, -1/2, 1/2, -1/3, 1/3.

Barisan tersebut dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan N. Ini berarti bahwa himpunan semua bilangan aljabar real terbilang.

Catatan:

Himpunan semua bilangan aljabar kompleks (real dan imajiner) juga terbilang. Teorema 7.1

Bukti:

Misalkan A = {a₁, a₂, a3, … , an}, B= {b₁, b₂, b₃, ..., b_m} A B = {a₁, a₂, a3, … , a_n, b₂, b3, …, bm}

Jika b, diganti an+1, maka didapat:

A B {a1, a2, a3, … , an, an+1, an+2, an+3, …, an+m}.

Ternyata A B ekivalen dengan N_n+m jadi A B himpunan berhingga. Teorema 7.2

Bukti:

Misalkan A = {a1, a2, a3, ..., an, …}, B = { b1, b2, b3, ..., bk} Jika a1 pada A diganti dengan bk+1, maka didapat: A B = { b₁, b₂, b3, … , bk, b_k+1, bk+2, …, bk+n, …}

Maka A B ekivalen dengan N, jadi A B himpunan terbilang. Jika A dan B himpunan berhingga

maka A B suatu himpunan berhingga.

Jika A himpunan terbilang dan B himpunan berhingga maka A B himpunan terbilang.

Teorema 7.3

Bukti:

Misalkan A = {a₁, a₂, a₃, ...}, B = {b₁, b₂, b₃, ...} Maka A B = { a1, b1, a2, b2, a3, b3, ...}.

Himpunan A B ekivalen dengan N. Jadi A B himpunan terbilang. Teorema 7.4

Bukti:

Misalkan S himpunan tak hingga, jadi tak kosong.

Maka ada a₁ S demikian juga S - {a₁} tak kosong, sebab sekiranya kosong maka S = {a1} dan ekivalen dengan N1 yang berarti S himpunan berhingga, hal ini tidak benar. Jadi haruslah ada a2 S - {a1} juga S - {a1} tidak kosong. Proses ini dapat diteruskan tanpa akhir. Jika unsur-unsur a₁, a₂, a3, …, a_n telah terpilih, maka masih ada suatu a_n+1 S - {a₁, a₂, a₃, …, a_n} sehingga S - {a₁, a₂, a3, …, a_n} tak kosong dan seterusnya. Misalkan S*= {a1, a2, a3, …, an, …} jelaslah bahwa S* suatu subset dari S yang terbilang (S - S* mungkin saja kosong). Dengan ini teorema 7.4 terbukti.

Teorema 7.5

Bukti:

Kita nyatakan unsur-unsur A_i sebagai a_il, a_i2, a_i3, untuk i = 1, 2, 3, ..., n. Didefinisikan indeks p untuk unsur sebagai suatu bilangan bulat positif p = i + k. Dengan demikian p ≥ 2, sehingga didapat:

Indeks 2 memuat a₁₁. Indeks 2 memuat a12, a21.

Jika A₁, A₂, …, A_n masing-masing

himpunan terbilang maka

A₁ A₂ … A_n himpunan

terbilang.

ika A himpunan terbilang dan B himpunan terbilang maka B himpunan terbilang.

Setiap himpunan tak hingga mempunyai suatu subset yang terbilang.

Indeks 2 memuat a₁₃, a₂₂, a₃₁. Indeks 2 memuat a₁₄, a₂₃, a₃₂, a₄₁.

dan seterusnya.

Setiap dari gabungan mempunyai indeks tertentu dan sebaliknya pada setiap indeks

p≥2 terdapat sejumlah unsur yang berhingga banyaknya. Jadi setiap indeks

menentukan suatu kelompok unsur-unsur yang sama indeksnya, dan unsur-unsur di dalam masing-masing kelompok juga diurutkan. Pada indeks p=i+k terdapat (p-1) atau (i+k-1) buah unsur yang kita urutkan sebagai berikut:

a_1,i+k-1, a_2,i+k-2, …, a_i+k-1,1, …

Perhatikanlah indeks dari a, indeks pertama naik dari 1 sampai dengan sedangkan indeks ke dua turun dari (i+k-1) sampai 1, namun jumlah kedua indeks tetap p=i+k. Jika semua unsur gabungan dari n buah himpunan A tersebut dibariskan didapat barisan sebagai berikut.

a11, a12, a21, a13, a22, a31, a14, a23, a32, a41, …

Jelas bahwa semua unsur dari A1 A2 ... An tersebut di atas ekivalen dengan semua unsur dari N. Jadi A₁ A₂ … A_n adalah himpunan terbilang.

Teorema 7.6

Teorema 7.7

Bukti:

Diketahui S adalah himpunan tak hingga, dan S' himpunan terbilang.

Menurut teorema 7.8 S mengandung subset terbilang S. Misalkan M = S-S* maka S* dan M saling asing dan S = M S*.

S S' = (M S*) S'

= M (S* S')

Misalkan 𝒜suatu koleksi terbilang dari himpunan-himpunan terbilang, maka gabungan semua unsur koleksi tersebut adalah himpunan terbilang.

Jika S suatu himpunan tak hingga dan S' suatu himpunan terbilang, maka ada korespondensi satu-satu antara S dan S S'.

S' dan S* masing-masing himpunan terbilang, maka menurut teorema 7.6 S* S' himpunan terbilang. Bandingkan kedua himpunan S = M S * d a n S S ' = M ( S S ' ) .

Ada korespondensi satu-satu T1 : M→M dan T2: S*→(S* u S').

Gabungan kedua korespondensi ini memberikan korespondensi satu-satu antara M S* dan M (S* S'). Ini berarti ada korespondensi satu-satu antara S dan S S'. Dengan ini teorema terbukti.

b. Himpunan Tak Terbilang Definisi 7.5

Contoh 7.5

Misalkan R himpunan semua hilangan real, maka R adalah himpunan tak terbilang, buktikanlah:

Bukti:

Misalkan R adalah himpunan yang dapat ditulis dengan pecahan desimal tanpa

akhir, sedemikian hingga tidak terdapat digit c ≠ 0 yang diikuti oleh berhingga

banyaknya digit nol.

Jadi 0,5 atau diganti 0,4999..., dan 7 diganti 6,999....

Misalkan r menyatakan bilangan real, maka: r =k1k2k3 … kn, a1a2a3 … an …bagian bulat bagian desimal

Umpamakan R adalah himpunan terbilang, yang berarti ekivalen N. Jadi R dapat dibariskan sebagai berikut:

r1 = B1, a11 a12 a13 a14 a15… r₂ = B₂, a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ a₂₅… r₃ = B₃, a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ a35 …

r4 =B4, a41 a42 a13 a44 a45…

r5 = B5, a51 a52 a53 0554 a55…

Perhatikanlah digit-digit yang terletak pada diagonal utama matriks di atas. Dibentuk suatu bilangan real r* sebagai berikut.

r* = B*, b1 b2 b3 b4 b5…

dengan bi = 1 jika a_ii ≠ 1

bi = 2 jika a_ii = 1

Ini berarti bahwa bi = ai;∀ i N. Jika S suatu himpunan tak hingga dan tidak ada korespondensi ^.satu-satu antara S dan N, maka dikatakan S suatu himpunan tak terbilang.

Juga r*≠ri ∀ i N.

Kita lihat bahwa:

a. r* suatu bilangan real yang berarti r* terdapat pada matriks tersebut di atas, atau r* = ri untuk i tertentu.

b. Dilain pihak r* berbeda dengan setiap r, dari matriks. Ini berarti r* tidak terdapat. dalam matriks.

Hal di atas adalah suatu kontradiksi yang tidak dapat diterima. Hal ini muncul karena kita misalkan R terbilang. Kesimpulan R haruslah himpunan tak terbilang. (cara ini disebut metode Diagonal Cantor).

Contoh 7.6

Misalkan I adalah himpunan semua bilangan irasional, maka I adalah himpunan tak terbilang, buktikanlah!

Bukti:

Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, Q himpunan semua bilangan rasional, dan I himpunan semua bilangan rrasional, maka R = Q I.

Jelas bahwa Q dan I dua himpunan yang saling lepas. Misalkan I himpunan terbilang. Menurut contoh 7.3, Q himpunan terbilang, oleh karena itu menurut teorema 7.6, Q I himpunan terbilang. Ini berarti R himpunan terbilang, hal ini suatu kontradiksi dengan contoh 7.5. Jadi haruslah I himpunan tak terbilang.

4. Bilangan Kardinal