n
2 , 22n 2n 22n
0
ℵ dan ⎢℘(A) ⎢ = . Oleh karena itu juga dapat dibentuk suatu barisan bilangan kardinal takhingga, yaitu , , , ..., dan berlaku pula < < < .... Menurut Definisi 4.1.3 dan Teorema 4.1.5, jika himpunan takhingga A berkorespondensi satu-satu dengan R, maka ⎢A ⎢ = ⎢R ⎢ = c atau dikatakan bahwa kardinalitas himpunan A adalah kardinalitas kontinuum. 0 2ℵ 0 ℵ 2ℵ0 22ℵ0 0 ℵ 2ℵ0 22ℵ0
Beberapa contoh himpunan yang mempunyai kardinalitas kontinuum adalah himpunan semua bilangan real, himpunan semua titik dalam interval terbuka (0,1), dan himpunan semua bilangan irasional dalam interval terbuka (0,1).
Berdasarkan hal-hal di atas, tumbuh sebuah dugaan yang kemudian dinamakan Hipotesis Kontinuum, yang akan dibahas sebagai berikut.
Berawal dari suatu masalah yang diungkapkan oleh George Cantor pada tahun 1874. Ia mendefinisikan kardinalitas dari N dan R, yang olehnya dilambangkan dengan dan c, dan ia juga telah menunjukkan bahwa berlaku sifat c = . Telah dibuktikan pula bahwa ℘(N) berkorespondensi satu-satu dengan R dan ⎢N ⎢ < ⎢℘(N) ⎢, sehingga
0 ℵ
0
2ℵ
0
ℵ < c. Cantor menduga bahwa tidak ada suatu bilangan kardinal x sedemikian hingga ℵ0 < x < c. Dugaan ini oleh Cantor diberi nama Hipotesis Kontinuum.
Hipotesis ini pertama kali dimunculkan oleh Cantor pada tahun 1877, setelah ia menemukan bahwa himpunan semua bilangan real R tidak dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan semua bilangan asli N. Cantor menduga bahwa kardinalitas himpunan semua bilangan real R merupakan ketakhinggaan yang terletak satu tingkat di atas kardinalitas himpunan semua bilangan asli N. adalah kardinalitas dari himpunan semua bilangan asli N atau kardinalitas dari sebarang himpunan tercacah. Tingkat selanjutnya dari ketakhinggaan adalah ,
0 ℵ
1
ℵ ℵ2, ℵ3, ... dan seterusnya. Telah diketahui bahwa himpunan semua bilangan real R berkorespondensi satu-satu dengan semua titik pada sebuah garis lurus, yaitu kontinuum, sehingga kardinalitas dari R oleh Cantor dilambangkan sebagai c (dari continuum).
Pernyataan-pernyataan asli dari Cantor tentang Hipotesis Kontinuum atau HK adalah sebagai berikut.
a. ⎢R ⎢ = ℵ1 b. c = ℵ
Cantor juga telah membuktikan bahwa ⎢℘(N) ⎢ = ⎢R ⎢, sehingga HK juga dinyatakan sebagai berikut.
c. ⎢℘(N) ⎢ = ℵ1
Untuk sebarang himpunan A yang diberikan, diketahui bahwa ⎢℘(A) ⎢ = A 2 , sehingga ⎢℘(N) ⎢ = 2ℵ0 dan HK juga dinyatakan sebagai berikut.
d. 2ℵ0 = ℵ1
Pernyataan di atas disebut juga versi aritmatika dari HK.
Pada tahun 1908 Felix Hausdorff menyusun suatu bentuk umum dari HK sebagai berikut.
Untuk sebarang bilangan kardinal ℵα berlaku ℵα
2 =ℵα+1.
Pernyataan di atas disebut Hipotesis Kontinuum Umum atau HKU. Hipotesis Kontinuum Umum juga dinyatakan sebagai berikut:
{ ⎢N ⎢, ⎢℘(N) ⎢, ⎢℘(℘(N)) ⎢, ⎢℘(℘(℘(N))) ⎢, ...} = { ℵ0, ℵ1, ℵ2, ℵ3, ...}. Bertahun-tahun lamanya Cantor dan para ahli matematika lain berusaha untuk membuktikan HK, bahkan lewat negasinya juga, yaitu ¬HK. Sampai pada akhirnya oleh Hilbert, Hipotesis Kontinuum diletakkan di tempat pertama dalam daftar 23 masalah matematika yang penting untuk diselesaikan oleh para ahli matematika abad ke-20.
Pada tahun 1938 Gödel membuat suatu perkembangan yang berarti dengan membuktikan bahwa HK konsisten dengan ZFC (Teori Himpunan Zermelo-Fraenkel dengan Aksioma Pilihan), dengan membentuk suatu model dari ZFC + HK.
Pada saat yang bersamaan Gödel juga membuktikan teoremanya yang terkenal, yaitu Teorema Ketaklengkapan (Incompleteness Theorem) dan menunjukkan bahwa ZFC adalah contoh dari suatu sistem yang tidak lengkap, yang berarti bahwa ada pernyataan-pernyataan dalam teori himpunan itu yang disebut pernyataan taktentu, yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya ataupun kesalahannya. Para ahli matematika menduga bahwa HK adalah suatu pernyataan taktentu dalam ZFC. Tetapi hal ini tinggal hanya sebagai dugaan sampai tahun 1963.
Paul Cohen membangun suatu model dari ZFC + ¬HK, dan dengan model Gödel yaitu ZFC + HK, menunjukkan bahwa HK adalah pernyataan yang bebas dalam ZFC. Hal ini berarti bahwa baik HK atau ¬HK dapat ditambahkan sebagai suatu teorema dari ZFC. Tetapi karena keduanya belum dapat dibuktikan kesahihannya, para ahli matematika sampai saat ini masih berusaha membuktikan teorema tersebut atau berusaha untuk menemukan teorema lain yang dengan tepat dapat membantu proses pembuktian HK dengan lebih sempurna.
Sampai saat ini HK tinggal sebagai hipotesis yang unik dalam teori himpunan, yaitu bahwa meskipun kesahihan pembuktian HK masih menjadi perbincangan, HK dengan konsep kardinalitas dari kontinuumnya telah menjadi inspirasi dalam pengembangan teori himpunan dan matematika pada umumnya.
BAB V PENUTUP
Himpunan, yang merupakan kumpulan dari obyek-obyek yang berbeda, dinyatakan berdasarkan kesamaan sifat elemen-elemennya. Dua kelompok besar himpunan adalah himpunan hingga dan himpunan takhingga. Himpunan A disebut himpunan hingga jika A ≠ φ atau A berkorespondensi satu-satu dengan himpunan {1,2,3,4,...., k} untuk suatu k ∈ N. Himpunan takhingga adalah himpunan tidak kosong yang tidak berkorespondensi satu-satu dengan {1,2,3,4,...., k} untuk suatu k ∈ N.
Himpunan tercacah dan himpunan taktercacah termasuk dalam himpunan takhingga. Himpunan A disebut himpunan tercacah bila A berkorespondensi satu-satu dengan himpunan semua bilangan asli N. Suatu himpunan apabila hingga atau tercacah disebut himpunan terbilang.
Himpunan semua himpunan bagian dari himpunan A disebut himpunan kuasa dari A. Dari setiap himpunan selalu dapat dibentuk himpunan kuasanya, dan himpunan kuasa ℘(N) adalah himpunan taktercacah.
Himpunan A dikatakan mempunyai kardinalitas (bilangan kardinal) yang sama dengan himpunan B, yaitu ⎢A ⎢= ⎢B ⎢, jika A berkorespondensi satu-satu dengan B. Jika A adalah himpunan hingga dengan m elemen, yaitu ⎢A ⎢= m, maka
⎢℘(A) ⎢ = . Kardinalitas himpunan takhingga didasarkan pada sifat tercacah
atau taktercacahnya himpunan takhingga tersebut. Pada himpunan tercacah A, ⎢A ⎢ = ⎢N ⎢ = . Pada himpunan taktercacah B, ⎢B ⎢ = ⎢R ⎢ = c. Kardinalitas himpunan taktercacah disebut kardinalitas kontinuum. Suatu hubungan antara c
m 2
0 ℵ
dan adalah c = . Timbul suatu dugaan bahwa tidak ada bilangan kardinal x sedemikian hingga < x < c. Dugaan ini pertama kali dicetuskan oleh George Cantor dan diberi nama Hipotesis Kontinuum. Pada Hipotesis Kontinuum Umum dinyatakan bahwa berlaku
0 ℵ 2ℵ0 0 ℵ 1 +
ℵα = atau selalu dapat ditemukan bilangan kardinal yang lebih besar daripada bilangan kardinal sebelumnya.
α ℵ 2
Anglin, W.S.(1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
Avelsgaard, Carol. (1990). Foundation for Advanced Mathematics. Illinois: Scott, Foresman and Company.
Ciesielsky, Krzystof. (1997). Set Theory for The Working Mathematician. New York: Cambridge University Press.
Dunham, William. (1990). Journey Through Genius. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Eccles, Peter. J. (1997). An Introduction to Mathematical Reasoning. New York: Cambridge University Press.
Fletcher, Peter. (1992). Foundation of Higher Mathematics. Massachussetts: PWS-Kent Publishing Company.
Gerstein, Larry J. (1996). Introduction to Mathematical Structure and Proofs. New York: Springer-Verlag.
Guillen, Michael. (1983). Bridges to Infinity. Los Angeles: Jeremy P. Tarcher, Inc.
Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory. New York: Springer-Verlag.
Hamilton, A.G. (1982). Numbers, Sets, and Axioms. Cambridge: Cambridge University Press.
Hazewinkel, M. (1995). Encyclopaedia of Mathematics. Singapore: Toppan Company(s) Pte. Ltd.
Lipschutz, Seymour. (1989). Teori Himpunan. Jakarta: Penerbit Erlangga. Lopez, Alex-Ortiz. (1998). The Continuum Hypothesis.
http://daisy.uwaterloo.ca/~alopez.o/math-faq/
Lucas, John F. (1986). Introduction to Abstract Mathematics. California: Wadsworth Publishing Company.
Maor Eli, (1991). To Infinity and Beyond. New Jersey: Princetown University Press.
http://www.ii.com/math/ch
McGough, Nancy. (1998). The Continuum Hypothesis FAQ.
http://www.ii.com/math/ch/faq
Singh, Jagjit. (1972). Mathematical Ideas. London: Hutchison & Co (Publishers) LTD.
Van Dalen, D. (1978). Sets: Naive, Axiomatic, and Applied. Oxford: Pergamon Press LTD.
