(2.17.a) 4 e b c b P M f A S = − + (2.17.b)
Persamaan 2.8 dan 2.9 harus memberikan hasil yang sama apakah diterapkan di penampang tumpuan, tengah bentang atau di penampang lain di sepanjang bentang asalkan perjanjian tanda yang benar digunakan.
2.5 Kehilangan prategang
Pratengang efektif pada beton mengalami pengurangan secara berangsur- angsur sejak dari tahap transfer akibat berbagai sebab. Secara umum ini dinyatakan sebagai “kehilangan prategang”. Penentuan secara tepat besarnya semua kehilangan tersebut-khususnya yang bergantung pada waktu-sulit dilakukan karena kehilangan tersebut bergantung pada berbagai faktor yang saling berkaitan. Metode-metode empiris untuk memperkiraan kehilangan berbeda beda menurut peraturan atau rekomendasi, seperti metode Prestressed Concrete Institute, cara komite gabungan ACI-ASCE, cara lump-sum ASSHTO, cara Comité Eurointernationale du Béton (CEB), dan FIP (Federation Internationale de la Précontrainte). Derajat kerumitan masing-masing metode bergantung pada pendekatan yang dipilih dan catatan praktek yang telah diterima. Perkiraan kehilangan yang sangat teliti tidak saja dihindari melainkan juga tidak dijamin karena adanya faktor-faktror yang saling berkaitan yang mempengaruhi perkiraan tersebut. Dengan demikian, perkiraan lump-sum
kehilangan lebih realistis, khususnya dalam desain rutin dan kondisi rata-rata lainnya. Kehilangan lump-sum seperti dirangkum di dalam Tabel 2.3 yang dikutip dari AASHTO dan Tabel 2.4 yang dikutip dari PTI. Kehilangan yang
Dicantumkan meliputi perpendekan elastis, relaksasi baja pratengan, rangkak dan susut, dan tabel tersebut berlaku hanya untuk kondisi pembebanan standar,mkondisi lingkungan, prosedur, konstruksi, kontrol kualitas dan beton normal, dan pentingnya serta besarnya system. Analisis lebih rinci harus dilakukan jika kondisi-kondisi standar tidak terpenuhi.
Tabel 2.3 Kehilangan lump-sum dari AASHTO. (Nawy, 2001)
Jenis baja prategang Kehilangan Total
f’c = 4000Psi (27,6 N/mm²)
f’c = 5000Psi (34,5 N/mm²)
Strand pratarik 45.000 Psi (310 N/mm²)
Kawat atau strand pascatarik*
32.000 Psi (221N/mm²) 33.000 Psi (228 N/mm²)
Batang 22.000 Psi (152 N/mm²) 23.000 Psi (159 N/mm²)
*. Kehilangan karena gesekan tidak termasuk. Kehilangan seperti ini harus dihitung Tabel 2.4 Perkiraan Kehilangan Prategang Untuk Pascatarik (Nawy, 2001)
Bahan tendon pasca tarik Kehilangan prategang, Psi
Slab Balok dan Joists
Strand 270K stress-relieved dan
Kawat 240K stress-relieved
30.000 Psi (207 N/ mm²) 35.000 Psi (241 N/ mm²)
Batang 20.000 Psi (221 N/mm²) 25.000 Psi (228 N/mm²)
Catatan: Tabel perkiraan kehilangan prategang dimaksudkan untuk memberikan basis industry pascatarik yang umum untuk menentukan persyaratan tendon di proyek-proyek di mana besar kehilangan prategang tidak ditetapkan oleh perencana. Nilai-nilai kehilangan ini didasarkan atas penggunaan beton berbobot normal dan atas nilai rata-rata dari kuat beton, level prategang dan kondisi pengeksposan. Nilai aktual kehilangan dapat sangat bervariasi di atats atau di bawah nilai di tabel ini, jika beton mengalami tegangan pada kekuatan rendah, jika beton mengalami prategang tinggi, atau jika kondisi ekposnya sangat kering atau sangat basah. Nilai di tabel ini tidak mencakup kehilangan akibat friksi.
Rangkuman sumber-sumber untuk mendapatkan nilai kehilangan prategang dan tahapan terjadinya dicantumkan dalam Tabel 2.5, di mana subskripi menunjukkan “awal” dan subskrip j menunjukkan taraf pembebanan sesudah pendongkrakan. Dari tabel ini, kehilangan total pratengang dapat dihitung untuk komponen struktur pascatarik sebagai berikut:
∆fpT = ∆fpA + ∆fpF + ∆fpES + ∆fpR + ∆fpCR + ∆fpSH
Di mana ∆fpES hanya berlaku apabila tendon didongkrak secara sekuensial, dan bukan secara simultan. Dalam hal pascatarik, perhitungan kehilangan akibat relaksasi dimulai antara waktu transfer t1 = ttr dan akhir selang waktu t2 yang sedang ditinjau, jadi
fpi = fpJ - ∆fpA - ∆fpF Tabel 2.5 Jenis-jenis Kehilangan Prategang (Nawy, 2001)
Jenis kehilangan prategang
Tahap terjadinya Kehilangan tegangan tendon
Perpendekan elastis beton
Saat transfer Saat
pendongkrakan ∆ fpES Relaksasi tendon (R) Sebelum dan sesudah transfer
Sesudah transfer ∆ fpR (ti, tj) ∆ fpR
Rangkak beton (CR)
Sesudah transfer Sesudah transfer ∆ fpC (ti, tj) ∆ fpCR
Susut beton (SH)
Sesudah transfer ∆ fpS (ti, tj) ∆ fpSH
Friksi (F) ---- Saat
pendongkrakan
Kehilangan karena pengangkeran
(A)
--- Sesudah transfer --- ∆ fpA
Total Hidup Hidup ∆ fpT (ti, tj) ∆ fpT
2.5.1 Perpendekan Elastis Beton (ES)
Beton memendek pada saat gaya prategang bekerja padanya. Karena tendon yang melekat pada beton di sekitarnya secara simultan juga memendek, maka tendon tersebut akan kehilangan sebagian dari gaya prategang yang dipikulnya. Untuk elemen pascatarik, kehilangan akibat perpendekan elastis bervariasi dari nol jika semua tendon didongkrak secara simultan, hingga setengah dari nilai yang dihitung pada kasus pratarik dengan beberapa pendongkrak sekuensial digunakan, seperti pendongkrakan dua tendin sekaligus. Jika n adalah banyaknya tendon atau pasangan tendon yang ditarik secara sekuensial, maka:
( )
1 1 n pES pES j j f f n = ∆ =∑
∆ (2.18)Yang mana j menunjukkan nomor operasi pendongkrakan. Perhatikan bahwa tendon yang ditarik terakhir tidak mengalami kehilangan akibat perpendekan elastis, sedangkan tendon yang ditarik pertama mengalami banyak kehilangan yang maksimum.
2.5.2 Relaksasi Tegangan Baja (R)
Tendon stress-relieved mengalami kehilangan pada gaya prategang sebagai akibat dari perpanjangan konstan terhadap waktu. Besar pengurangan prategang bergantung tidak hanya pada durasi gaya prategang yang ditahan, melainkan juga pada rasio antara prategang awal dan kuat leleh baja pratengang fpi/fpy. Kehilangan
tegangan seperti ini disebut relaksasi tegangan. Peraturan ACI 318-99 membatasi tegangan tarik di tendon prategang sebagai berikut:
(a)Untuk tegangan akibat gaya pendongkrakan tendon, fpJ = 0,94 fpy (b) Segera setelah transfer prategang, fpi = 0,82 fpy, tetapi tidak lebih besar dari pada 0,74 fpu.
(c) Pada tendon pascatarik, di pengakeran dan perangkai segera setelah transfer gaya = 0,70 fpu.
Nilai fpy dapat dihitung dari Batang prategang: fpy = 0,80 fpu Tendon stress-relieved, fpy = 0,85 fpu Tendon relaksasi rendah, fpy = 0,90 fpu
Jika fpR adalah tegangan prategang yang tersisa pada baja sesudah relaksasi, maka rumus berikut dapat digunakan untuk mendapatkan fpR untuk baja stress-relieved:
2 1 log log 1 0,55 10 pR pi pi py f t t f f f − = − − (2.19)
Di dalam rumus tersebut, t dinyatakan dalam jam dan log t mempunyai basis 10, fpi/fpy melebihi 0,55, dan t = t2 – t1. Juga, untuk baja relaksasi rendah, penyebut di dalam suku log dalam persamaan tersebut dibagi dengan 45, bukan 10.
Pendekatan untuk suku (log t2 – log t1) dalam Persamaan 2.19 dapat dilakukan sedemikian hingga log t = log (t2 – t1) tanpa kehilangan ketelitian yang berarti. Dalam hal ini, kehilangan karena relaksasi tegangan menjadi:
log ' 0,55 10 pi pR pi py f t f f f ∆ = − (2.20)
Jika analisis kehilangan dengan cara langkah demi langkah dibutuhkan, maka inkremen kehilangan pada suatu tahap dapat didefinisikan sebagai:
2 1 log log ' 0,55 10 pi pR pi py f t t f f f − ∆ = − (2.21)
Di mana t1 adalah waktu pada awal suatu interval dan t2 adalah waktu di akhir interval, yang keduanya dihitung dari saat pendongkrakan.
2.5.3 Kehilangan yang Disebabkan oleh Rangkak (CR)
Penelitian eksperimental yang dilakukan selama setengah abad yang lalu mengindikasikan bahwa aliran di material terjadi di sepanjang waktu apabila ada beban atau tegangan. Deformasi atau aliran lateral akibat tegangan longitudinal disebut rangkak (creep). Perlu ditekankan bahwa tegangan rangkak dan kehilangan tegangan hanya terjadi akibat beban yang terus menerus selama riwayat pembebanan suatu elemen struktural. Deformasi atau regangan yang berasal dari perilaku yang bergantung pada waktu ini merupakan fungsi dari besarnya beban yang bekerja, lamanya, serta sifat beton yang meliputi proporsi campurannya, kondisi perawatannya, umur elemen pada saat dibebani pertama kali, dan kondisi lingkungan. Karena hubungan tegangan-regangan akibat rangkak pada dasarnya linier, maka reganganrangkak ∈CR dan rengangan elastis ∈EL dapat dihubungkan linier sedemikan hingga koefisien rangkak Cu dapat didefinisikan sebagai:
CR u
EL
C =∈
∈ (2.22)
Dengan demikian, koefisien rangkak pada waktu sembarang t dalam hari dapat didefinisikan sebagai: 0,60 0,60 10 t u t C C t = + (2.23)
Nilai Cu bervariasi di antara 2 dan 4 dengan rata-rata 2,35 untuk rangkak ultimit. Kehilangan prategang di komponen struktur prategang akibat rangkak dapat didefinisikan untuk komponen struktur bonded.
ps PCR t cs c E f C f E ∆ = (2.24)
Di mana fcs adalah tegangan di beton pada level pusat berat tendon prategang. Pada umumnya, kehilangan ini merupakan fungsi dari tegangan di tendon pada penampang yang sedang ditinjau. Pada komponen struktur pascatarik nonbonded, pada dasarnya kehilangan dapat dipandang seragam di sepanjang bentangnya. Dengan demikian, nilai rata-rata untuk tegangan beton
Di antara titik-titik angker dapat digunakan untuk menghitung rangkak di komponen struktur pascatarik. Rumus komite ACI-ASCE untuk menghitung kehilangan akibat rangkak pada dasarnya sama dengan Persamaan 2.24
ps PCR CR cs csd c E f K f f E − − ∆ = − (2.25.a) Atau PCR CR cs csd f ηK f− f− ∆ = − (2.25.b)
Di mana KCR = 2,0 untuk komponen struktur pratarik
= 1,60 untuk komponen struktur pascatarik (keduanya untuk beton normal)
= tegangan di beton pada level pusat berat baja segera setelah transfer
= tegangan di beton pada level pusat berat baja akibat semua beban mati tambahan yang bekerja setelah prategang diberikan
n = rasio modulus
Perhatikan bahwa KCR harus dikurangi 20 persen untuk beton ringan. 2.5.4 Kehilangan yang Disebabkan oleh Susut (SH)
Seperti halnya pada rangkak beton, besarnya susut beton dipengaruhi oleh beberapa faktor. Faktor-faktro tersebut meliputi proporsi campuran, tipe agregat, tipe semen, waktu perawatan, waktu antara akhir perawatan eksternal dan pemberian prategang, ukuran komponen struktur dan kondisi lingkungan. Ukuran dan betuk komponen struktur juga mempengaruhi susut. Kira-kira 80 persen dari susut terjadi pada tahun pertama. Nilai rata-rata regangan susut ultimit pada beton yang dirawat basah maupun yang dirawat uap dilaporkan sebesar 780 x 10 -6 in./in. di dalam ACI 209 R-92 Report. Nilai rata-rata ini dipengaruhi oleh panjang perawatan basah awal, kelembaban relative sekitar, rasio volume-permukaan, temperatur dan komposisi beton. Untuk memperhitungkan pengaruh-pengaruh tersebut, nilai rata-rata regangan susut harus dikalikan dengan faktor koreksi γSH sebagai berikut :
6
780 10
SH x − γSH
∈ = (2.26)
Untuk kondisi standar, Prestressed Concrete Institute menetapkan nilai rata-rata untuk regangan susut ultimit nominal (∈SH)u = 820 x 10-6 in./in. (mm/mm). jika ∈SH adalah regangan susut sesudah menyesuaikan untuk kelembaban relative pada rasio volume-permukaan V/S, kehilangan prategang pada komponen struktur pratarik adalah:
pSH SH PS
f xE
∆ =∈
(2.27)
Untuk komponen struktur pascatarik, kehilangan prategang akibat susut agak lebih kecil karena sebagian susut telah terjadi sebelum pemberian pascatarik. Jika kelembaban relatif diambil sebagai nilai persen dan efek rasio V/S ditinjau, rumus
umum Prestressed Concrete Institute untuk menghitung kehilangan prategang akibat susut menjadi :
( )
6 8, 2 10 1 0, 06 100 pSH SH PS v f x K E RH s − ∆ = − − (2.28)Di mana KSH = 1,0 untuk komponen struktur pratarik. Tabel 2.6 memberikan nilai KSH untuk komponen struktur pascatarik.
Tabel 2.6 Nilai KSH untuk Komponen Struktur Pascatarik (Nawy, 2001) Waktu dari akhir perawatan
basah hingga pemberian prategang, hari
1 3 5 7 10 20 30 60
KSH 0,92 0,85 0,80 0,77 0,73 0,64 0,58 0,45
Penyesuaian kehilangan susut untuk kondisi standar sebagai fungsi dari waktu t dalam hari sesudah 7 hari untuk perawatan basah dan 3 hari untuk perawatan uap dapat diperoleh dari rumus-rumus berikut :
(a) Perawatan basah, sesudah 7 hari
( ) ( ) 35 SH t SH u t t ∈ = ∈ + (2.29)
Di mana (∈SH)u adalah regangan susut ulitimit, t = waktu dalam hari sesudah susut ditinjau.
(b) Perawatan uap, sesudah 1 sampai 3 hari
( ) ( ) 35 SH t SH u t t ∈ = ∈ + (2.30)
Perlu diperhatikan bahwa memisahkan perhitungan rangkak tersebut merupakan hal yang lazim dilakukan di dalam praktek. Juga, variasi secara signifikan terjadi di dalam nilai susut dan rangkak akibat variasi dalam besarn komponen material dari berbagai sumber, meskipun produknya adalah yang diproduksi di lapangan, seperti balok pratarik. Jadi, disarankan untuk mendapatkan informasi dari pengujian aktaul, khususnya pada produk-produk manufaktur, kasus-kasus rasio bentan/tinggi besar dan/atau pembebanan sangat besar.
2.5.5 Kehilangan yang Disebabkan Friksi (F)
Kehilangan prategang terjadi pada komponen struktur pascatarik akibat adanya gesekan antara tendon dan beton di sekelilingnya. Besarnya kehilangan ini merupakan fungsi dari alinyemen tendon, yang disebut efek kelengkungan, dan deviasi local di dalam alinyemen tendon, yang disebut efek “wobble”. Besarnya koefisien kehilangan sering dihitung dengan teliti dalam menyiapkan gambar kerja dengan memvariasikan tipe tendon dan ketepatan alinyemen saluran. Efek kelengkungan dapat ditetapkan terlebih dahulu, sedangkan efek wobble merupakan hasil dari penyimpangan alinyemen yang tak sengaja atau yang tak dapat dihindari, karena saluran tidak dapat secara sempurna diletakkan.
Perlu diperhatikan bahwa kehilangan tegangan friksional maksimum terjadi di ujung balok jika pendongkrakan dilakukan dari satu ujung. Dengan demikian, kehilangan akibat adanya gesekan bervariasi secara linier di sepanjang bentang balok dan dapat diinterpolasikan untuk lokasi tertentu jika dikehendaki perhitungan yang lebih teliti.
Efek Wobble
Misalkan bahwa K adalah koefisien gesek antar tendon dan beton di sekitarnya akibat efek wobble atau efek panjang. Kehilangan gesekan yang diakibatkan oleh ketidaksempurnaan dalam alinyemen di seluruh panjang tendon, tak perduli apakah alinyemennya lurus atau draped. Kemudian, dengan menggunakan prinsip-prinsip yang sama dengan yang telah digunakan dalam menurunkan Persamaan 2.31, 1 e Log F = −KL (2.31.a) Atau 2 1 KL F =F e− (2.31.b)
Dengan menggabungkan efek wobble dengan efek kelengungan, maka :
2 1
KL
F =F e−µα− (2.32)
Atau, jika dinyatakan dalam tegangan,
2 1
KL
f = f e−µα− (2.33)
Jadi, kehilangan tegangan ∆fpF akibat gesekan dapat dinyatakan dengan
1 2 (1 KL)
pF
f f f e−µα−
∆ = − = −
(2.34)
Dengan mengasumsikan bahwa gaya prategang antara bagian awal dari porsi yang melengkung dan ujungnya kecil (kira-kira 15 persen), maka adalah cukup akurat untuk menggunkan tarik awal untuk seluruh kelengkungan dalam Persamaan 2.26. Jadi, Persamaan 2.26 dapat disederhanakan menjadi,
1( )
pF
f f µα KL
∆ = − +
(2.35) Di mana : L dinyatakan dalam feet.
X/2 X a a/2 a/2 Y m
Karena rasio tinggi balok terhadap bentangnya kecil, maka panjang proyeksi tendon dapat digunakan untuk menghitung α. Dengan mengasumsikan bahwa kelengkungan tendon sesuai dengan busur lingkaran, maka sudut pusat α di sepanjang segmen yang melengkung besarnya dua kali kemiringan di ujung segmen. Jadi, 2 tan 2 / 2 m m x x α = = Jika 1/ 2 / 2 4 / y≅ mdanα = y x Maka 8 /y xradian α = (2.36)
Gambar 2.11 Evaluasi pendekatan sudut pusat tendon
Tabel 2.7 memberikan nilai-nilai desain untuk koefisien gesek kelengkungan µ dan koefisien gesek panjang atau wobble K yang dikutip dari ACI 318 Commentary.
Tabel 2.7 Koefisien Gesek Kelengkungan dan Wobble (Nawy,2001)
Jenis Tendon Koefisien wobble,
(K per foot)
Koefisien kelengkungan, (µ)
Tendon di selubung metal fleksibel
Tendon kawat 0,0010-0,0015 0,15-0,25
Strand 7 kawat 0,0005-0,0020 0,15-0,25
Batang mutu tinggi 0,0001-0,0006 0,08-0,30
Tendon di saluran metal yang rigid
Strand 7 kawat 0,0002 0,15-0,25
Tendon yang dilapisi mastic
Tendon kawat dan Strand 7 kawat
0,0010-0,0020 0,05-0,15
Tendon yang dilumasi dahulu
Tendon kawat dan Strand 7 kawat
0,0003-0,0020 0,05-0,15
2.5.6 Kehilangan Karena Dudukan Angker
Kehilangan karena dudukan angker pada komponen struktur pascatarik diakibatkan adanya blok-blok pada angker pada saat gaya pendongkrakan ditransfer ke angker. Kehilangan ini juga terjadi pada landasan cetakan prategang pada komponen struktur pratarik akibat dilakukannya penyesuaian pada saat gaya prategang ditransfer ke landasan. Cara mudah untuk mengatasi kehilangan ini adalah dengan memberikan kelebihan tegangan. Pada umumnya besarnya kehilangan karena dudukan angker bervariasi antara ¼ in dan 3/8 in. (6,35 mm dan 9,53 mm) untuk
angker dengan dua blok. Besar pemberian kelebihan tegangan yang dibutuhkan bergantung pada system pengangkeran yang digunakan karena system mempunyai kebutuhan penyesuaian sendiri-sendiri, dan pembuatnya diharapkan mensuplai data mengenai gelincir yang dapat terjadi akibat penyesuaian angker. Jika ∆A adalah besar gelincir, L adalah panjang tendon, dan Eps adalah modulus kawat prategang, maka kehilangan prategang akibat gelincir angker menjadi,
A PA PS f E L ∆ ∆ = (2.37)
2.5.7 Perubahan Prategang Akibat Lentur Pada Suatu Komponen Struktur
Pada saat melentur akibat prategang atau beban eksternal, suatu balok menjadi cembung atau cekung bergantung pada bebanya, seperti terlihat dalam Gambar 2.11. apabila regangan tekan satuan di beton sepanjang level tendon adalah ∈c, maka perubahan prategang di baja yang berkaitan dengan itu adalah.
pB c PS
f E
∆ =∈
(2.38)
Di mana Es adalah modulus elastisitas baja. Perhatikan bahwa kehilangan akibat lentur tidak perlu diperhitungkan jika level tegangan prategang diukur sesudah suatu balok melentur, sebagaimana yang biasa terjadi.
Gambar 2.12 Perubahan pada bentuk longitudinal balok. (a) Akibat pemberian prategang. (b) Akibat beban eksternal.
2.5.8 Kehilangan Total Untuk Desain
Di dalam desain batang beton prategang sudah menjadi kebiasaan untuk mengasumsikan kehilangan tegangan total sebagai persentase dari tegangan awal serta memasukkannya dalam perhitungan desain. Oleh karena kehilangan prategang tergantung dari beberapa faktor, seperti misalnya sifat-sifat beton dan baja, metode perawatan, tingkat prategang, serta metode pemberian prategang, adalah sulit untuk menyama-ratakan jumlah kehilangan prategang total yang pasti. Namun, nilai-nilai yang khas dari kehilangan tegangan total yang dapat dijumpai dalam kondisi-kondisi kerja normal sebagai yang dianjurkan oleh T. Y. Lin seperti terlihat dalam Tabel 2.8. Tabel 2.8 Persentase Kehilangan Tegangan yang dianjurkan oleh T.Y. Lin
Tipe Kehilangan Persentase kehilangan tegangan
Pratarik Pascatarik
Per pendekan elastis dan
lentur an beton 3 1
Rangkak beton 6 5
Susut beton 7 6
Rangkak pada baja 2 3
Jumlah 18 15
Dalam rekomendasi ini dianggap bahwa telah dilakukan pemberian tegangan berlebihan secara sementara untuk mengurangi relaksasi, dan untuk mengimbangi kehilangan-kehilangan gesekan dan angkur.
Kalau fpe = tegangan efektif pada tendon setelah kehilangan fpi = tegangan pada tendon pada saat transfer
η = faktor reduksi untuk kehilangan prategang pe pi f f η=
Nilai-nilai η pada umumnya diambil sama dengan 0,85 untuk batang pratarik dan 0,80 untuk pascatarik.