2.3 Peubah Acak 43
2.3.3 Kovariansi dan korelasi
Sebagaimana telah dijelaskan di atas, variansi digunakan untuk mengukur tingkat variasi, namun hanya untuk satu peubah acak saja, X saja atau Y saja. Untuk mengukur tingkat variasi dua peubah acak X dan Y secara bersama-sama (simultan) dapa digunakan kovariansi. Kovariansi dua peubah acakXdanY adalah ukuran keeratan hubungan atau ukuran asosiasi antara kedua peubah acak X danY. Takrif kovariansi dua peubah acak X dan Y adalah
Cov(X, Y) = E(XY)−E(X)E(Y). (2.54) Kovariansi yang positif menunjukkan kenaikan X diikuti oleh kenaikan Y dan penurunan X diikuti penurunan Y. Persama-an kovariPersama-ansi di atas menunjukkPersama-an kemiripPersama-an bentuk dengPersama-an persamaan variansi (2.53). Seandainya peubah acakY diganti dengan peubah acak X maka kovariansi dua peubah acak X
merupakan variansinya sendiri. Dengan menggunakan kaitan ini dan andaikan X dan Y merupakan peubah acak dengan rataanE(X), E(Y) dan variansiσ2
X, σ2
Y, maka dari sini dapat dibentuk peubah acak baru yakni
X′ = x−E(X)
σX Y
′ = y−E(Y)
σY
yang dengan mudah dapat dicari nilai kovariansinya, yaitu
Cov(X′, Y′) = E(X′Y′)−E(X)E(Y) = Cov(X, Y)
σXσY
Nisbah antaraCov(X, Y)danσXσY dalam persamaan di atas disebut koefisien korelasi, diberi lambangr, sehingga
r = Cov(X, Y)
σXσY
. (2.56)
Koefisien korelasi merupakan nilai untuk mengukur kuatnya hubungan (corelation) antara peubah acak X danY sekaligus arah hubungan itu. Spektrum nilainya membentang antara 0
dan±1. Nilai ini sebanding dengan tingkat keeratan hubung-an. Tanda(±)hanya menunjukkan arah hubungan, yakni(+)
menunjukkan hubungan yang searah dimana jika satu peubah naik maka akan diikuti kenaikan peubah yang lain, sedangkan tanda(−)menyatakan hubungan yang berlawanan arah. Saat nilai koefisien korelasi sama dengan nol, kedua peubah acak
X dan Y disebut peubah acak yang tidak berkorelasi (tidak ada hubungan). Ini terjadi ketikaCov(XY) sama dengan nol atau peubah acakX, Y keduanya saling bebas. Namun, bila
r= 0, hal ini tidak selalu menunjukkan bahwa peubah acak
X, Y keduanya saling bebas.
Dengan demikian, untuk dua peubah acak X, Y yang tak berkorelasi berlaku persamaan
E(XY) = E(X)E(Y). (2.57) Dua peubah acak X, Y dapat saling tak berkorelasi tanpa keduanya harus bebas, tapi semua peubah acak bebas selalu tidak berkorelasi. Jadi ketiadaan korelasi merupakan sifat yang lebih lemah dari kebebasan.
3 — Proses Stokastik
Kata stokastik (stochastic) merupakan jargon untuk keacakan (Kim, 2005, hlm. 50). Oxford dictionary (1993)
menakrifk-an proses stokastik sebagai suatu barisan kejadian yang
memenuhi hukum-hukum peluang. Hull (1989, hlm. 62) me-nyatakan bahwa setiap nilai yang berubah terhadap waktu dengan cara yang tidak tertentu (dalam ketidakpastian) di-katakan mengikuti proses stokastik. Dengan demikian, jika dari pengalaman yang lalu keadaan yang akan datang su-atu barisan kejadian dapat diramalkan secara pasti, maka barisan kejadian itu dinamakan deterministik. Sebaliknya jika pengalaman yang lalu hanya dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang, maka barisan kejadian yang demikian disebut stokastik.
evolusi suatu sistem yang mengandung suatu ketidakpastian atau sistem yang dijalankan pada suatu lingkungan yang tak dapat diduga, dimana model deterministik tidak lagi cocok dipakai untuk menelisik (menganalisis) sistem.
Secara baku (formal), proses stokastik{X(t), t∈T}1
di-takrifkan sebagai sebuah barisan peubah acak, yaitu untuk setiap t ∈T mempunyai peubah acak X(t). Seringkali penju-rus (index, indeks)t ditafsirkan sebagai waktu, karena banyak sekali proses stokastik yang terjadi pada suatu selang waktu. Nilai peubah acakX(t)atauXtdisebut sebagai keadaan pada saatt. HimpunanT disebut ruang parameter atau ruang pen-jurus dari proses stokastik X dan himpunan semua nilai X(t)
yang mungkin disebut ruang keadaan dariX. Nilai himpunan penjurus T dapat berupa himpunan yang anggotanya terca-cah ataupun malar. Jika T merupakan himpunan tercacah, misalnya N, maka proses stokastik dikatakan sebagai proses waktu tercacah(discrete time process) atau juga dikenal se-bagai rantai (chain). JikaT merupakan sub himpunan pada garis bilangan riil, baik dengan selang terbuka atau tertutup, maka proses stokastik yang demikian merupakan proses waktu kontinu (continuous time process).
Setiap realisasi dariX dinamakan lintasan sampel (sample path) dari X. Sebagai contoh, jika peristiwa terjadi secara acak dalam waktu dan X(t)mewakili jumlah peristiwa yang terjadi dalam [0, t], maka gambar 3.1 menyajikan sample path
1
Dalam buku ini, lambang peubah acak X(t)seringkali ditulis juga sebagai Xt. Sedangkan lambang penjurus t, acapkali ditulis dengan huruf yang lain. Penggunaan lambang yang berbeda ini tidak akan mengakibatkan kesalahan yang serius dalam memahami proses stokastik dan keseluruhan buku ini.
X yang berhubungan terhadap peristiwa awal yang terjadi pada saat t = 1, peristiwa berikutnya pada saat t = 3 dan peristiwa ketiga pada saatt = 4.
Gambar 3.1: Sebuah lintasan dariX(t) = jumlah peristiwa dalam[0, t]
Yang menjadi perhatian dari proses ini adalah kelakuk-an proses setelah proses tersebut berjalkelakuk-an lama. Mengingat proses tersebut memuat suatu ketidakpastian, maka secara matematis kelakuan dari proses tersebut dapat digambarkan oleh agihan peluang dari X(t) atau fungsi dari X(t), untuk
t → ∞. Dari agihan peluang ini akan didapat beberapa nilai harap dari beberapa besaran yang mungkin menjadi perhatian.
Proses-proses stokastik dapat dikelompokkan berdasarkan jenis ruang parameternya, ruang keadaannya, dan kaitan antara peubah-peubah acak yang membentuk proses stokastik tersebut.
Berdasarkan jenis ruang parameter dan ruang keadaannya, proses-proses stokastik dapat dibedakan menjadi:
1. Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan tercacah
Contoh: stasiun televisi yang paling banyak ditonton di Indonesia atas survey bulanan, banyaknya sepatu yang dibeli dari sebuah toko per hari.
2. Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan tercacah
Contoh: banyaknya kertas fotokopi yang dibutuhkan sebuah kantor dalam selang waktu tertentu, banyaknya tikus yang sudah terperangkap di suatu perangkap pada selang waktu t sebarang.
3. Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan malar
Contoh: volume air di suatu bendungan yang diteliti tiap pukul 7 pagi, waktu untuk melayani mahasiswa
ke-n yang datang untuk meminta pelayanan administrasi akademik.
4. Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan malar
Contoh: volume air di suatu bendungan yang diteliti pada waktu t sebarang.
Berdasarkan kaitan antara peubah-peubah acak yang mem-bentuknya, proses stokastik dapat dibedakan menjadi bebera-pa kelas seperti proses Levy, proses Bernoulli, proses Markov, proses martinggil, dan proses titik (point process). Dalam bu-ku ini kelas proses stokastik yang hendak disajikan hanyalah proses martinggil dan proses Markov.