BAB II LANDASAN TEORI
2.5 Logika Fuzzy (Fuzzy Logic)
Fuzzy Logic secara bahasa diartikan sebagai logika kabur atau logika
samar-samar. Logika fuzzy adalah peningkatan dari logika boolean (true atau
false) yang berhadapan dengan konsep kebenaran sebagian. Saat logika klasik
menyatakan bahwa segala hal dapat diekspresikan dalam istilah biner (0 atau 1, hitam atau putih, ya atau tidak), logika fuzzy menggantikan kebenaran boolean dengan tingkat kebenaran. Logika fuzzy memungkinkan nilai keanggotaan antara 0 dan 1, tingkat keabuan dan juga hitam dan putih, dan dalam bentuk linguistik, konsep tidak pasti seperti “sedikit”, “lumayan”, dan “sangat”. Logika ini berhubungan dengan set fuzzy dan teori kemungkinan. Logika fuzzy diperkenalkan oleh Dr. Lotfi Zadeh dari Universitas California, Berkeley pada
12 1965.
Logika fuzzy dan logika probabilitas secara matematis sama - keduanya mempunyai nilai kebenaran yang berkisar antara 0 dan 1 - namun secara konsep berbeda. Logika fuzzy berbicara mengenai “derajat kebenaran”, sedangkan logika probabilitas mengenai “probabilitas, kecenderungan”. Karena kedua hal itu berbeda, logika fuzzy dan logika probabilitas mempunyai contoh penerapan dalam dunia nyata yang berbeda.
Logika fuzzy adalah suatu cara yang tepat untuk memetakan suatu ruang input kedalam suatu ruang output, mempunyai nilai kontinyu. Fuzzy dinyatakan dalam derajat dari suatu keanggotaan dan derajat dari kebenaran. Oleh sebab itu sesuatu hal dapat dikatakan sebagian benar dan sebagian salah pada waktu yang sama. Berikut adalah mekanisme dari Fuzzy Logic.
Gambar 2.3 Mekanisme Fuzzy Logic
Dari tiga tahap utama dalam mekanisme Fuzzy Logic tersebut, berikut adalah bentuk penjelasan dari tahapan tersebut dengan tahap Fuzzyfication berisi pembuatan fungsi keanggotaan beserta aturan fuzzy, lalu untuk Inference berisi penggunaan aturan fuzzy di system inferensi fuzzy, dan untuk Defuzzyfication berisikan operasi logika untuk membuat nilai fuzzy menjadi nilai tegas/yang dapat dipakai selanjutnya.
13 2.5.1 Fungsi Keanggotaan
Setiap himpunan kabur dapat dinyatakan dengan suatu fungsi keanggotaan. Ada beberapa cara untuk menyatakan himpunan kabur dengan fungsi keanggotaannya. Untuk semesta berhingga yang diskret biasanya dipakai cara
daftar, yaitu daftar anggota-anggota semesta bersama dengan derajat
keanggotaannya [5].
Contoh 2.1 : Dalam semesta X = {Rudi, Eny, Linda, Anton, Ika} yang terdiri dari para mahasiswa dengan indeks prestasi berturut-turut 3.2, 2.4, 3.6, 1.6 dan 2.8 (dalam skala 0 - 4), himpunan kabur à = “himpunan mahasiswa yang pandai” dapat dinyatakan dengan cara daftar sebagai berikut :
à = 0.8 / Rudi + 0.6 / Eny + 0.9 / Linda + 0.4 / Anton + 0.7 / Ika.
Untuk semesta takhingga yang kontinu, cara yang paling sering digunakan adalah cara analitik untuk merepresentasikan fungsi keanggotaan himpunan kabur yang bersangkutan dalam bentuk suatu fungsi matematis yang dapat disajikan dalam bentuk grafik (seperti dalam Gambar 2.3).
Contoh 2.2 : Himpunan kabur à = “bilangan real yang dekat dengan 2” itu dapat pula dinyatakan dengan menggunakan fungsi keanggotaan yang lain sebagai berikut
𝜇Ã(𝑥) = {
𝑥 − 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 3 − 𝑥 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 yang grafiknya adalah sebagai berikut:
14
Gambar 2.4 Grafik Fungsi Keanggotaan “Bilangan Real yang Dekat dengan 2 Dengan fungsi keanggotaan ini, 𝜇Ã(2) = 1, 𝜇Ã(1.5) = 𝜇Ã(2.5) = 0.5, 𝜇Ã(1) = 𝜇Ã(3) = 0.
Kebanyakan himpunan kabur berada dalam semesta himpunan semua bilangan real R dengan fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam bentuk suatu fungsi matematis [5]. Berikut akan diperkenalkan beberapa himpunan kabur macam itu yang sering digunakan.
1. Fungsi Keanggotaan Segitiga
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga jika mempunyai tiga parameter, yaitu a,b,c ∈ 𝐑 dengan a < b < c, dan dinyatakan dengan Segitiga(x;a,b,c) dengan aturan:
𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) = { 𝑥 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑐 − 𝑥 𝑐 − 𝑏 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 Rumus 2.1 Rumus Fungsi Keanggotaan Segitiga
Grafik fungsi keanggotaan tersebut berupa suatu segitiga. Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan secara lain sebagai berikut:
𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑚𝑎𝑥 (𝑚𝑖𝑛 (𝑥 − 𝑎 𝑏 − 𝑎,
𝑐 − 𝑥 𝑐 − 𝑏) , 0).
15
Gambar 2.5 Fungsi Keanggotaan Segitiga (x; 2, 4, 12)
2. Fungsi Keanggotaan Trapesium
Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trapesium jika mempunyai empat parameter, yaitu a,b,c,d ∈ 𝑹 dengan a < b < c < d, dan dinyatakan dengan Trapesium(x;a,b,c,d) dengan aturan : 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = { 𝑥 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐 𝑑 − 𝑥 𝑑 − 𝑐 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 Rumus 2.2 Rumus Fungsi Keanggotaan Trapesium
Grafik fungsi keanggotaan tersebut berupa suatu trapesium. Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan secara lain sebagai berikut :
𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = 𝑚𝑎𝑥 (𝑚𝑖𝑛 (𝑥 − 𝑎 𝑏 − 𝑎, 1,
𝑑 − 𝑥 𝑑 − 𝑐) , 0). Gambar 2.5 menyajikan grafik fungsi keanggotaan Trapesium(x; 2, 4, 7, 12).
16
Gambar 2.6 Fungsi Keanggotaan Trapesium(x; 2, 4, 7, 12).
Secara umum, ada enam bentuk umum fungsi keanggotaan: Fungsi Keanggotaan Segitiga, Fungsi Keanggotaan Trapesium, Fungsi Keanggotaan Gauss, Fungsi Keanggotaan Cauchy, Fungsi Keanggotaan Sigmoid, dan Fungsi Keanggotaan Kiri-Kanan. Terlepas dari bentuk keanggotaan, satu Membership Function hanya dapat mendefinisikan satu
fuzzy set. Biasanya, lebih dari satu Membership Function digunakan untuk
itu mendeskripsikan variabel input tunggal. Misalnya konsumsi bahan bakar mobil, a sistem fuzzy tiga tingkat dengan fuzzy set 'Low', 'Medium' dan 'High' berlaku untuk mewakili seluruh situasi.
2.5.2 Operasi Logika
Karena standar logika biner adalah kasus khusus pada fuzzy logic dimana nilai keanggotaan selalu 1 (sepenuhnya benar) atau 0 (sepenuhnya salah), fuzzy
logic harus memegang operasi logis yang konsisten sebagai standar operasi
logis. Yang paling mendasari operasi logis adalah AND, OR dan NOT. Tidak seperti operasi logis standar, operator A dan B adalah nilai keanggotaan dalam interval [0, 1]. Dalam operasi logis pada fuzzy logic, operator logika AND diekspresikan oleh fungsi min, jadi pernyataan A AND B sama dengan min (A,
B). Logical OR didefinisikan oleh function max, sehingga A OR B menjadi
setara dengan max (A, B). Dan operator logika NOT membuat operasi NOT A menjadi operasi 1 – A.
17
Gambar 2.7 Operasi Logika Fuzzy
2.5.3 Aturan Fuzzy (Fuzzy Rules)
Dalam proses 𝑓𝑢𝑧𝑧𝑦 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒, aturan If-Then paralel membentuk mekanisme deduksi yang menunjukkan bagaimana memproyeksikan variabel input ke ruang output. Sebuah aturan fuzzy If-Then mempunyai bentuk sebagai berikut: 𝒊𝒇 𝑥 𝒊𝒔 𝐴, 𝒕𝒉𝒆𝒏 𝑦 𝒊𝒔 𝐵
Rumus 2.3 Contoh Rumus Aturan if-then Fuzzy
Bagian if yang pertama disebut anteseden [6], di mana x adalah variabel input. Sisanya, bagian selanjutnya adalah disebut konsekuensi [6], dan y adalah variabel output. Alasan mengapa pernyataan yang bersyarat If-Then dapat diterapkan secara universal adalah karena A dan B adalah nilai linguistik, atau kata sifat dalam banyak kasus, dan bentuk pernyataan bersyarat ini bekerja dengan cara yang sesuai dengan penilaian manusia. Sebagai contoh, aturan If-Then yang tepat mungkin adalah “Jika material kekerasan itu sulit, Maka kecepatan potong lambat”. A dapat dianggap sebagai fuzzy set dan didefinisikan oleh fungsi keanggotaan tertentu, dan B dapat berupa fuzzy set atau polinomial dengan sehubungan dengan input x tergantung pada metode inferensi fuzzy tertentu. Dalam anteseden, IF bagian ini bertujuan untuk mengetahui nilai keanggotaan dari variabel input x yang sesuai dengan fuzzy set A. Sementara di bagian konsekuen, bagian-Then memberikan nilai himpunan tegas ke output variabel y [6].
18 2.5.4 Sistem Inferensi Fuzzy
Fuzzy Inference (Inferensi Fuzzy) adalah proses pemetaan variabel input
yang diberikan ke ruang output melalui mekanisme deduksi berbasis fuzzy logic yang terdiri dari aturan If-Then, fungsi keanggotaan dan operasi logika fuzzy. Karena bentuk aturan If-Then cocok pada penalaran manusia, dan fuzzy logic mendekati kebiasaan linguistik manusia, proses inferensi ini memproyeksikan himpunan tegas ke dalam bahasa manusia dan segera menghasilkan nilai yang tepat sebagai hasilnya diadopsi secara luas [6].
Sistem Inferensi Fuzzy merupakan suatu kerangka komputasi yang didasarkan pada teori himpunan Fuzzy, aturan Fuzzy berbentuk IF-THEN, dan penalaran Fuzzy. Secara garis besar, diagram blok proses inferensi Fuzzy. Sistem inferensi fuzzy menerima input crisp. Input ini kemudian dikirim ke basis pengetahuan yang berisi n aturan fuzzy dalam bentuk IF-THEN. Fire
strength akan dicari pada setiap aturan. Apabila jumlah aturan lebih dari satu,
maka akan dilakukan agregasi dari semua aturan. Selanjutnya, pada hasil agregasi akan dilakukan defuzzy untuk mendapatkan nilai crisp sebagai output sistem. Output hasil inferensi dari tiap-tiap aturan diberikan secara tegas (crisp) bedasarkan α-predikat (fire strength). Proses agregasi antar aturan dilakukan, dan hasil akhirnya diperoleh dengan menggunakan defuzzy dengan konsep rata-rata terbobot.
Secara umum, ada tiga jenis metode fuzzy inference diusulkan dalam literatur: Mamdani Fuzzy Inference, Sugeno Fuzzy Inference, and Tsukamoto
Fuzzy Inference. Ketiganya metode dapat dibagi menjadi dua proses [6]. Proses
pertama adalah 𝑓𝑢𝑧𝑧𝑖𝑓𝑖𝑘𝑎𝑠𝑖 [6] nilai-nilai tegas variabel input ke dalam fungsi keanggotaan sesuai dengan fuzzy set yang sesuai, dan ini tiga metode persis sama dalam proses ini. Sedangkan perbedaan terjadi pada proses kedua ketika hasil semua aturan diintegrasikan ke dalam nilai tunggal yang tepat untuk keluaran. Dalam inferensi Mamdani, konsekuensi dari aturan If-Then didefinisikan oleh himpunan fuzzy. Output dari fuzzy set setiap aturan tersebut
19
akan dibentuk kembali dengan nomor yang cocok, dan defuzzifikasi [6] diperlukan setelah menggabungkan semua fuzzy set yang dibentuk sudah kembali. Berikut adalah implementasi dari mekanisme metode inferensi fuzzy, dengan tanda kotak garis putus-putus.
Gambar 2.8 Mekanisme Metode Inferensi
Proses defuzzifikasi adalah proses terakhir Inferensi fuzzy yang melaluinya dikombinasikan fuzzy set dari proses agregasi akan menghasilkan kuantitas skalar tunggal. Defuzzifikasi adalah proses kebalikan dari fuzzifikasi. Sejak dulu prosedur nilai nilai yang tajam dari variabel input fuzzifikasi ke dalam derajat keanggotaan sehubungan dengan fuzzy set. Prosedur terakhir yang tepat dari kisaran fuzzy diatur ke variabel output. Defuzzifikasi adalah proses pemetaan variabel input yang diberikan ke ruang output melalui mekanisme deduksi berbasis logika fuzzy yang terdiri dari aturan IF-Then, fungsi keanggotaan, dan juga operator logika fuzzy bias dilihat pada Gambar 2.5 menunjukan gambaran proses agreagsi pada setiap aturan. Evaluasi aturan
Fuzzy mengimplementasi operator MIN untuk operasi AND. Karena bentuk
aturan IF-Then cocok pada penalaran manusia, dan fuzzy logic mendekati kebiasaan lingusitik seseorang, proses inferensi ini memproyeksikan jumlah bilangan himpunan tegas ke dalam bahasa manusia dan segera menghasilkan nilai yang tepat sebagai hasilnya untuk diadopsi secara luas. Defuzzifikasi menggunakan metode Centroid of Area dengan rumus sebagai berikut:
𝒛𝑪𝑶𝑨= ∑ 𝝁𝒛 𝑨(𝒛) ∙ 𝒛𝒅𝒛 ∑ 𝝁𝑨(𝒛) 𝒁𝑪𝑶𝑨 = 𝑶𝒖𝒕𝒑𝒖𝒕