Alokasi Sumber Daya Air Optimal Menggunakan Pemrograman Matematika
Pemrograman matematika sebagai sarana untuk memecahkan masalah alokasi sumber daya air memerlukan suatu pernyataan yang tepat berkaitan dengan fungsi tujuan secara keseluruhan dan kendala yang terkait dengan masalah lingkungan. Pernyataan-pernyatan ini harus cukup akurat sehingga kita dapat menerjemahkan setiap fungsi tujuan dan kendala dalam bahasa Matematika (Roger and Fiering, 1986)
Salah satu kasus dalam penggunaan program Matematika untuk menentukan alokasi sumber daya air optimal terlihat contoh berikut. Apabila terdapat dua sumber daya x dan y pada kondisi pasokan air yang terbatas, maka perlu upaya untuk menentukan alokasi sumber daya air yang optimal. Terdapat beberapa kendala atau keterbatasan fisik, ekonomi, politik, hukum, dan etika yang berhubungan dengan penggunaan kedua sumber daya air tersebut. Gambar 4A menggambarkan kombinasi antara sumber daya air x dan y dengan kendala fisik, ekonomi, politik, hukum, dan etika yang terkait dengan penggunaan sumber daya secara terpisah dan bersama. Wilayah yang diarsir dinamakan feasible region. Pada dasarnya, feasible region merupakan solusi simultan dari persamaan lengkap yang menggambarkan kendala-kendala atau keterbatasan yang berhubungan dengan penggunaan sumber daya secara terpisah dan bersama. Feasible region berisi kemungkinan kombinasi sumber daya air x dan y dalam jumlah yang tak terbatas, yang semuanya merupakan solusi potensial untuk masalah alokasi sumber daya air karena memenuhi semua kendala. Penentuan keputusan dalam permasalahan sumber daya air adalah upaya untuk menentukan mana kemungkinan kombinasi yang layak dan optimal dari sumber daya air x dan y dalam kaitan dengan tujuan pemenuhan kebutuhan air.
Gambar 4 Suatu keputusan dalam permasalahan alokasi sumber daya air
Misalkan apabila kita mendefinisikan satu tujuan tentang alokasi dua sumber daya air (air permukaan dan airbumi), maka pencapaian kesepakatan tentang tujuan sering merupakan hal paling menantang yang berkaitan dengan implementasi program matematika atau apapun metode analisis sistem lainnya. Komputer membantu latihan dalam negosiasi untuk membantu mencapai tujuan yang terkait dengan ekonomi, hukum, politik, dan isu-isu kelembagaan yang kompleks yang muncul pada permasalahan alokasi sumber daya lingkungan yang langka, terutama di saat-saat krisis (Sheer, Baeck, & Wright, 1989 ). Untuk saat ini, perlu kesepakatan untuk mencapai tujuan yang berkaitan dengan alokasi sumber daya air x dan y. Misalkan tujuannya diukur dalam fungsi berikut:
x yf
Z , ………...………… (1)
dimana Z adalah ukuran utilitas atau nilai pengalokasian suatu jumlah x dan y dari masing-masing sumber daya x dan y. Pada dasarnya, x dan y adalah variabel keputusan yang merupakan nilai optimal yang dicari. Variabel Z adalah keuntungan bersih secara ekonomi, terkait dengan alokasi sumber daya air x dan y.
Gambar 4B menggambarkan nilai-nilai fungsi objektif Z sebagai fungsi dari jumlah sumber daya air x dan y yang dialokasikan. Masing-masing bentuk elips mewakili nilai konstan fungsi tujuan, dan peningkatan nilai fungsi obyektif menuju pusat elips tersebut. Gambar 4B seperti gunung, seperti apabila kita mendaki ke
puncak (dilambangkan oleh Z*), nilai Z meningkat. Jika fungsi objektif menggambarkan keuntungan bersih, maka kita mencari nilai maksimum, tetapi jika fungsi objektif menggambarkan biaya bersih, maka kita mencari nilai minimum.
Sedangkan Gambar 4C menggabungkan daerah yang diarsir dengan kontur fungsi tujuan dan menunjukkan bahwa solusi Z* adalah layak dan optimal. Oleh karena itu, alokasi sumber daya air optimal dalam hal ini adalah untuk mengalokasikan x* dari sumber daya x dan y* dari sumber daya y.
Ketika salah satu kendala pada masalah atau fungsi objektif tidak linier, maka didekati dengan pemrograman non linier. Gambar 4 merupakan representasi dari satu masalah pemrograman non linier karena fungsi tujuannya adalah non linier (misal elip). Dalam hal ini, feasible region adalah poligon yang dibentuk oleh titik pertemuan dari tujuh jalur. Masing-masing baris mewakili kendala yang unik (dalam hal ini linier) pada sumber daya air x dan y. Dalam masalah alokasi sumber daya aktual, sering kali ada ratusan atau bahkan ribuan kendala dan variabel keputusan, dalam hal ini feasible region menjadi poligon n-dimensi.
Ketika fungsi objektif dan kendala linier, maka untuk mengurangi masalah digunakan program linier. Algoritma yang kuat telah dikembangkan untuk memecahkan permasalahan. Algoritma tersebut tersedia dalam bentuk perangkat lunak komputer untuk digunakan pada mainframe dan komputer pribadi (Schrage, 1989 dalam Chechile and Carlisle, 1991).
Program Linear untuk Alokasi Sumber Daya Air
Contoh sederhana dari alokasi sumber daya air disajikan dengan menggunakan pendekatan grafis untuk memperjelas kerangka sistem untuk merumuskan dan memecahkan masalah alokasi sumber daya lingkungan. Ketika beberapa sumber air seperti akifer airbumi dan air permukaan, masing-masing dengan karakteristik yang berbeda tersedia, maka sangatlah mungkin untuk mengeksploitasi perbedaan tersebut untuk meningkatkan kualitas air di lingkungan secara keseluruhan yang didistribusikan ke pengguna. Penggunaan air permukaan dan air tanah bersama-sama dalam beberapa cara yang sistematis disebut penggunaan yang berhubungan (conjunctive use) (Buras, 1963; Maknoon & Burges, 1978; Coe, 1990). Penggunaan bersama sumber daya air permukaan dan airbumi dapat meningkatkan hasil dan keandalan sistem secara keseluruhan.
Gagasannya adalah untuk mengelola dan mengkoordinasikan sumber daya air sedemikian rupa sehingga hasil sistem total melebihi jumlah hasil komponen yang terpisah dari sistem ketika kegiatannya tidak terkoordinasi
Pemanfaatan secara optimal sumber daya alam ini dianggap penting untuk pembentukan struktur ekonomi dan sosial yang stabil pada suatu wilayah pada beberapa dekade ke depan. Istilah "optimal" selalu menimbulkan sejumlah pertanyaan penting. Optimal untuk siapa, untuk apa, dan dalam kondisi apa? Sejumlah pertanyaan ini digunakan untuk menentukan tujuan alokasi dari kedua sumber daya air tersebut. Untuk itu, perlu diasumsikan bahwa tujuannya adalah untuk memaksimalkan keuntungan bersih sesuai dengan alokasi airbumi dan air permukaan. Untuk itu perlu mendefinisikan sebuah fungsi objektif yaitu Z = bgG + bgS, di mana bg dan bs masing-masing menunjukkan keuntungan bersih dari satu unit pasokan airbumi dan air permukaan. Lalu Z menunjukkan keuntungan bersih yang dihasilkan dari keputusan untuk menggunakan G dan S. Keuntungan bersih didefinisikan sebagai keuntungan total proyek dikurangi biaya total proyek sesuai dengan alokasi sumber daya air G dan S. Biaya proyek meliputi biaya konstruksi (untuk sumur, waduk, pabrik pengolahan, dan jaringan distribusi yang berkaitan dengan sistem yang digunakan) dan biaya operasi dan pemeliharaan, dengan mengabaikan umur proyek untuk memperhitungkan nilai waktu uang (Loucks et al., 1981 dalam Chechile and Carlisle, 1991).
Masalah keputusan alokasi sumber daya air ini dinyatakan dalam rumus matematika dengan memaksimumkan Z, dimana:
S b G b Z g s ………...………… (2) Dengan kendala: maks G G ………...………… (3) maks S S ………...………… (4) K S G ………...………… (5) 0 S G ………...………… (6)
Selain itu, terdapat kendala G ≥ 0 dan S ≥ 0 yang tersirat. Masalah ini merupakan masalah pemrograman linier karena fungsi objektif Z, dan semua kendala merupakan fungsi linier dari variabel keputusan G dan S. Gambar 5 menggambarkan persamaan kendala 3 sampai 6, menggunakan panah untuk
menunjukkan arah setiap pertidaksamaan. Daerah yang diarsir memenuhi keempat kendala, sehingga, setiap kombinasi G dan S yang terdapat di daerah itu merupakan solusi layak untuk masalah tersebut. Persamaan 2 dapat ditulis kembali sebagai berikut:
Z b
b b
SG / g s/ g ………...………… (7)
Persamaan 7 adalah sebuah garis lurus yang memotong sumbu G di G = Z/bg dan memiliki kemiringan sama dengan bs/bg. Terdapat berbagai solusi optimal, tergantung pada besar dari keuntungan bersih yang terkait dengan masing-masing unit airbumi (bg ) dan air permukaan (bs).
Gambar 5 Grafik penggunaan air dengan solusi optimal jika bg > 0 and bs< 0
Gambar 6 merupakan plot persamaan fungsi tujuan pada persamaan 7 dengan superimpose garis tebal di atas feasible region. Gambar 6 menggambarkan solusi yang optimal untuk S* = Smax dan G* = K-Smax jika manfaat bersih dari air permukaan positif (bs> 0) dan manfaat bersih dari air tanah negatif (bg <0). Ini berarti bahwa biaya hukum, ekonomi, dan lingkungan dari pembangunan dan pengoperasian sistem pasokan airbumi lebih besar dibanding keuntungannya, sedangkan sebaliknya terjadi pada sistem pasokan air permukaan dimana biaya dari pembangunan dan pengoperasian sistem pasokan air permukaan lebih kecil dibanding keuntungannya. Solusi optimal adalah untuk menyediakan air permukaan selayak (Smax) dengan membatasi penggunaan airbumi ke jumlah minimum yang layak, yang dirumuskan K-Smax.
Dalam hal ini, tidak ada insentif untuk meningkatkan suplai air tanah ke titik
itu, hanya satu kendala yang berpengaruh pada masalah kendala proyeksi
permintaan G + S ≥ K, dan kendala hidrologi air permukaan S ≤ Smax.
Gambar 6 Grafik penggunaan air: feasible region
Gambar 7 merupakan plot fungsi objektif dengan superimpose garis tebal di atas feasible region. Dalam hal ini, keuntungan bersih air permukaan adalah negatif (bs <0) dan keuntungan bersih dari airbumi adalah positif (bg> 0). Solusi optimal tergantung pada rasio bs/bg. Gambar 6 menunjukkan bahwa solusi optimal adalah S* = K/2 dan G* = K/2 ketika bs > bg . Namun, jika bs < bg , maka solusi optimal adalah S* = Gmax dan G* = Gmax. Solusi untuk setiap persoalan linear programming akan menjadi salah satu sudut ruang terkait dengan daerah di feasible solution. Jika kemiringan fungsi objektif kurang dari 45°, maka sudut S* = K/2 dan G* = K/2 adalah solusi optimal. Namun, jika kemiringan lebih besar dari 45°, maka sudut G* = Gmax dan S* = Gmax adalah solusi optimal.
Kasus nyata alokasi sumber daya air biasanya melibatkan banyak kendala dan fungsi tujuan yang kompleks sehingga pendekatan grafik perlu diganti dengan metode pemrograman matematika. Contoh dua dimensi yang telah dibahas menunjukkan prinsip-prinsip pendekatan sistem analisis untuk alokasi sumber daya air. Selain itu, contoh di atas menunjukkan salah satu alternatif yang paling menjanjikan dalam penggunaan sistem analisis dalam praktek, yaitu untuk mengidentifikasi berbagai solusi optimal dalam suatu pengambilan keputusan. Pemahaman dari berbagai solusi tidak harus optimal, namun di lingkungan, solusi optimal dapat memberikan wawasan penting dalam proses pengambilan keputusan secara keseluruhan.
Gambar 7 Penggunaan air: solusi optimal jika bg < 0 and bs > 0
Tujuan Alternatif yang Menghasilkan Solusi Alternatif
Contoh kasus berikut merupakan jalan menuju solusi optimal yang tergantung pada kedua feasible region yaitu kendala dan sifat fungsi tujuan. Tujuan alternatif sering mengakibatkan solusi optimal alternatif. Misalnya, tujuan kita adalah untuk meminimalkan total biaya dalam hubungannya dengan alokasi bersama dari air permukaan dan airbumi. Kemudian masalah optimasi menjadi salah satu upaya untuk meminimalkan Z, di mana:
S c G c
Z g s ………...………… (8)
Kendala ditetapkan oleh persamaan 3 sampai 6, di mana cg dan cs masing-masing adalah biaya satuan penyediaan airbumi dan air permukaan. Dalam hal ini, solusi yang optimal adalah S* = Smax dan G* = K-Smax jika cs <cg dan S* = K/2 = G* jika cs> cg. Apabila tujuannya untuk menyediakan kapasitas yang melebihi dari yang diperlukan K, maka hal ini menjadi tidak menarik secara ekonomi.
