BAB II KAJIAN PUSTAKA
E. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat
Sebelum mempelajari materi ini, siswa diharapkan mengetahui bilangan bulat dan lambangnya.
1. Bilangan bulat dan lambangnya
Kita sudah pernah mempelajari beberapa macam bilangan, seperti bilangan asli dan bilangan cacah.
a. Bilangan asli, yaitu, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya. b. Bilangan cacah yaitu, 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya.
Kedua macam bilangan tersebut belum bisa digunakan untuk menyatakan hal-hal yang ada, misalnya untuk menuliskan suhu yang sangat dingin atau suhu yang berada di bawah nol derajat. Untuk itu, diperlukan bilangan negatif. Sebagai contoh, untuk menyatakan suhu 6° C di bawah nol, maka akan ditulis -6° C.
Bilangan-bilangan seperti -1, -2, -3, -4, -5, … disebut bilangan bulat negatif. Sedangkan bilangan-bilangan seperti +1, +2, +3, +4, +5, … disebut bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat negatif, nol, dan himpunan bilangan bulat positif membentuk himpunan bilangan bulat.
Bilangan bulat dapat dinyatakan dengan garis bilangan, yaitu sebagai berikut:
Gambar 2.1Garis bilangan
Pada umumnya, pada garis bilangan, bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol, dan bilangan positif terletak di sebelah kanan nol.
2. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat
Penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dapat ditunjukkan dengan menggunakan garis bilangan, keping, dan mistar hitung.
a. Mistar Hitung
Mistar hitung adalah alat yang digunakan untuk menghitung penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat. Mistar hitung yang digunakan terdiri dari dua buah mistar dengan skala yang sama dan terdiri dari bilangan bulat. Dimisalkan, kita mempunyai dua buah pita, yaitu pita AB dan pita CD. Pita AB sepanjang a cm dan pita CD sepanjang c cm. Masing-masing pita memiliki ujung dan pangkal.
Pangkal pita AB adalah A, dan ujungnya adalah B. Sedangkan pangkal pita CD adalah C dan ujungnya adalah D.
Gambar 2.2 Menyatakan pita AB sepanjang a cm dan pita CD sepanjang c cm
Kita akan menjumlahkan panjang kedua pita tersebut. Maka dari itu, pita akan kita sambung. Ujung B akan dihimpitkan dengan C.
Gambar 2.3 Penjumlahan panjang pita AB dengan pita CD (a+b)
Maka dapat dihitung jumlah panjang kedua pita tersebut. Hasil penjumlahan dari pita tersebut dapat diukur pangkal A sampai ujung D. Sehingga AD merupakan hasil penjumlahannya. Sedangkan untuk pengurangan, panjang pita AB akan dikurangi dengan panjang pita CD. Hal ini sama saja dengan memotong pita AB sepanjang c cm. Maka, himpitkan ujung B dengan pangkal C, sedemikian hingga pita AB dan CD saling berhimpit seperti pada gambar.
a + c D C A B a cm c cm A B C D
Gambar 2.4 Pengurangan pita CD dari pita AB (a-c)
Setelah dihimpitkan, maka akan diperoleh sisa dari hasil potongan tersebut, yaitu pita sepanjang d cm. Jika pita diganti dengan tali, maka tali ini dapat digunakan sebagai contoh nyata untuk menggambarkan pemakaian garis bilangan.
Berikut ini adalah pemakaian mistar hitung pada operasi penjumlahan. Misalnya, bilangan pertama ditambah bilangan kedua. Seperti yang sudah dikatakan di atas, menjumlahkan berarti menyambung. Maka pasangkan 0 pada mistar atas dengan bilangan pertama yang akan dijumlahkan pada mistar bawah, kemudian akan dicari pasangan dari penjumlahnya (mistar atas) yang terletak pada mistar bawah, yang merupakan hasil dari penjumlahan bilangan-bilangan tersebut. Sedangkan untuk pengurangan, caranya yaitu, memasangkan bilangan pertama (mistar bawah) dengan pengurangnya (mistar atas). Kemudian lihat bilangan yang berpasangan dengan 0 pada mistar atas dengan bilangan pada mistar bawah, maka itu merupakan hasil dari pengurangan kedua bilangan tersebut.
Atau sama saja dengan : A D C a cm c cm B d cm C D a cm c cm A B d cm
Gambar 2.5 Mistar hitung
b. Garis Bilangan
Untuk garis bilangan, misalkan dibuat suatu perjanjian (aturan) sebagai berikut:
1) Bilangan bulat positif sepadan dengan melangkah ke kanan. Misalnya, jika ada bilangan positif 3, maka dari titik nol, melangkah ke kanan sebanyak 3 langkah.
2) Bilangan bulat negatif sepadan dengan melangkah ke kiri. Misalnya, jika ada bilangan bulat negatif 3, maka dari titik nol, melangkah ke kiri sebanyak 3 langkah.
3) Ditambah berarti maju, maka melangkah searah dengan penambahnya. Jika suatu bilangan ditambah dengan bilangan bulat positif, maka melangkah ke kanan. Sedangkan jika suatu bilangan ditambah dengan bilangan bulat negatif, maka melangkah ke kiri. 4) Dikurangi berarti mundur, maka melangkah berlawanan arah
dengan pengurangnya. Jika suatu bilangan dikurangi dengan bilangan bulat positif, maka melangkah ke kiri. Sedangkan jika suatu bilangan dikurangi dengan bilangan bulat negatif, maka melangkah ke kanan. -1 0 6 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 0 -1
c. Keping
Keping yang digunakan terdiri dari 2 warna yang berbeda. Asumsikan bahwa keping tersebut bermuatan positif dan negatif. Akan dibuat kesepakatan terlebih dahulu bahwa satu warna mewakili nilai +1, satu warna yang lain mewakili nilai -1, dan sepasang keping yang bernilai +1 dan -1 tersebut bernilai nol. Kesepakatan yang akan dibuat adalah sebagai berikut:
a. = +1
b. = -1
c. = 0
Jika pada garis bilangan:
a. Penjumlahan Bilangan Bulat 1) Penjumlahan -3 + 6
a) Menggunakan mistar hitung
Penjumlahan pada mistar hitung berarti menyambung. Sebagai contoh -3+6, artinya, menyambung -3 dengan 6. Letakkan titik 0 (pada mistar atas) bersesuaian dengan bilangan -3 pada mistar hitung bawah. Lalu lihat bilangan 6 pada mistar hitung atas, ternyata bersesuaian dengan bilangan 3 pada mistar hitung bawah. Sehingga -3 + 6 = 3.
6
-3
Gambar 2.7 Penjumlahan -3+6
b) Menggunakan garis bilangan
Untuk menjumlahkan -3 dengan 6, maka langkahkan ke arah kiri 3 satuan dari titik nol. Ditambah berarti searah dengan penambahnya. Sedangkan penambahnya merupakan bilangan bulat positif, maka harus melangkah ke kanan 6 satuan. Sehingga hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu, 3. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 3
Gambar 2.8 Penjumlahan -3+6 Jadi, -3+6 = 3
c) Menggunakan keping
Penjumlahan dengan menggunakan keping sama artinya dengan menggabungkan keping-keping tersebut menjadi satu.
Ambil tiga keping yang bermuatan negatif dan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.9 Menyatakan -3
Karena penjumlahan maka terjadi proses penambahan atau penggabungan. Maka ambil 6 keping yang bermuatan positif kemudian masukkan ke dalam kotak.
Sebelumnya telah disepakati bahwa sepasang keping negatif dan positif bernilai 0. Maka ambil semua pasangan keping yang bernilai 0.
Gambar 2.10 Penjumlahan -3 + 5
Terdapat 3 pasang keping yang bernilai nol. Setelah ketiga pasang keping diambil, diperoleh 3 keping positif yang masih ada di dalam kotak. Sehingga, -3 + 6 = 3
Gambar 2.11 Menyatakan hasil dari penjumlahan -3+6=3
2) Penjumlahan 5 + (-4)
a) Menggunakan mistar hitung
Letakkan titik 0 (pada mistar atas) bersesuaian dengan bilangan 5 pada mistar hitung bawah. Lalu lihat bilangan -4 pada mistar hitung atas, ternyata bersesuaian dengan bilangan 1 pada mistar hitung bawah. Sehingga 5 + (-4) = 1.
-4 Gambar 2.12 Penjumlahan 5+(-4) 1 5 -6 -5 6 1 0 -1 -2 -3 -4 5 4 3 2 1 0 -1 Ambil pasangan keping yang bernilai 0
b) Menggunakan garis bilangan
Untuk menjumlahkan 5 dengan -4, maka langkahkan ke arah kanan 5 satuan dari titik nol. Ditambah berarti searah dengan penambahnya. Sedangkan penambahnya merupakan bilangan bulat negatif, maka harus melangkah ke kiri 4 satuan. Sehingga hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu 1.
Gambar 2.13 Penjumlahan 5+(-4) Jadi, 5+(-4) = 1
c) Menggunakan keping
Ambil lima keping yang bermuatan positif dan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.14 Menyatakan bilangan 5
Karena penjumlahan maka terjadi proses penambahan atau penggabungan. Maka ambil 4 keping yang bermuatan negatif kemudian masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.15Penjumlahan 5+(-4)
Terdapat 5 keping positif dan 4 keping negatif. Ambil 4 pasang keping yang bernilai 0. Setelah pasangan keping yang bernilai 0 diambil, didapatkan 1 keping bermuatan positif yang ada di dalam kotak. Sehingga, 5+(-4) = 1
Gambar 2.16 Menyatakan hasil penjumlahan 5+(-4)=1
3) Penjumlahan -4 + (-2)
a) Menggunakan mistar hitung
Letakkan titik 0 (pada mistar atas) bersesuaian dengan bilangan -4 pada mistar hitung bawah. Lalu lihat bilangan -2 pada mistar hitung atas, ternyata bersesuaian dengan bilangan -6 pada mistar hitung bawah. Sehingga -4 + (-2) = -6.
Ambil 4 pasang keping yang bernilai 0
-2
Gambar 2.17 Penjumlahan -4+(-2)
b) Menggunakan garis bilangan
Untuk menjumlahkan -4 dengan -2, maka langkahkan ke arah kiri 4 satuan dari titik nol. Ditambah berarti searah dengan penambahnya. Sedangkan penambahnya merupakan bilangan bulat negatif, maka harus melangkah ke kiri 2 satuan. Sehingga hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung langkah kedua yaitu -6. Gambar 2.18 Penjumlahan -4+(-2) Jadi, -4+(-2) = -6 -4 2 3 4 5 1 0 -1 -2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -6
c) Menggunakan keping
Ambil 4 keping yang bermuatan negatif dan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.19 Menyatakan bilangan 4
Karena penjumlahan maka terjadi proses penambahan atau penggabungan. Maka ambil 2 keping yang bermuatan negatif kemudian masukkan ke dalam kotak. Dari hasil penggabungan tersebut, didapatkan 6 keping bermuatan negatif. Sehingga, -4 + (-2) = -6
Gambar 2.20 Menyatakan hasil penjumlahan -4+(-2) = -6
b. Sifat-sifat Penjumlahan pada Bilangan Bulat 1) Sifat komutatif (pertukaran)
Contoh:
1. Apakah 2 + 3 = 3 + 2?
2 + 3 = 5 sedangkan 3 + 2= 5, maka 2 + 3 = 3 + 2 = 5 2. Apakah -3 + 5 = 5 + (-3) ?
Hasil penjumlahan dari dua bilangan bulat di atas ternyata selalu memperoleh hasil yang sama walaupun dipertukarkan tempatnya.
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a+b=b+ a. Sifat ini disebut sifat komutatif.
2) Sifat Asosiatif (pengelompokan)
Contoh:
1. Misalkan ada 3 sembarang bilangan bulat, yaitu, 3, -5, dan 6. Apakah (3+(-5))+6 = 3+((-5)+6) ? (3+(-5))+6 = -2+6 = 4 3+((-5)+6) = 3+1 = 4 Maka, (3+(-5))+6 = 3+((-5)+6) = 4 2. Apakah (-4+(-7))+2 = -4+(-7+2) ? (-4+(-7))+2 = -11+2 = -9 -4+(-7+2) = -4 + (-5) = -9 Maka, (-4+(-7))+2 = -4+(-7+2)= -9
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku:
(a + b) + c = a + (b + c). Sifat ini disebut sifat asosiatif penjumlahan.
3) Unsur Identitas
0 + (-3) = -3 2 + 0 = 2
Dari penjumlahan bilangan di atas, ternyata jika 0 ditambah dengan suatu bilangan atau suatu bilangan ditambah dengan 0, maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. sehingga 0 disebut unsur identitas.
4) Sifat Tertutup
Contoh :
1. -8 + 6 = -2, -8 dan 6 adalah bilangan bulat. -2 juga bilangan bulat
2. -9 + (-10) = -19 -9 dan -10 adalah bilangan bulat. -19 juga bilangan bulat.
Dari contoh di atas ternyata penjumlahan bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Sifat ini disebut sifat tertutup.
c. Pengurangan Bilangan Bulat
Bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif dapat diatur berpasangan seperti ditunjukkan pada gambar berikut:
Tiap anggota dari pasangan bilangan disebut lawan atau invers jumlah dari anggota yang lain.
-3 lawan dari 3 atau lawan dari 3 adalah -3 -2 lawan dari 2 atau lawan dari 2 adalah -2
Lawan (invers) dari a adalah –a Lawan (invers) dari –a adalah a
Mengurangi artinya mengambil. Mengurangi dengan suatu bilangan sama saja artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya.
1) Pengurangan 5 – 3
a) Menggunakan mistar hitung
Pengurangan dengan mistar hitung bisa berarti juga memotong. Untuk 5-3, maka dari 5 satuan, akan dipotong sebanyak 3 satuan.
Pasangkan bilangan 5 (pada mistar bawah) dengan pengurangnya yaitu 3 (pada mistar atas). Lalu lihat bilangan 0 pada mistar hitung atas, ternyata bersesuaian dengan bilangan 2 pada mistar hitung bawah. Sehingga 5 – 3 = 2.
3 Gambar 2.22 Pengurangan 5-3 5 3 2 1 0 -1 -2 -3 5 4 3 2 1 0 -1 2
b) Menggunakan garis bilangan
Pengurangan 5 - 3 diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kanan dari 0 (dikurangi berarti mundur, melangkah berlawanan arah dengan bilangan pengurangnya). Bilangan pengurangnya merupakan bilangan bulat positif. Karena berlawanan arah, maka melangkah 3 satuan ke kiri. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu 2.
Gambar 2.23 Pengurangan 5-3 Jadi, 5 – 3 = 2
Akan dibandingkan dengan 5 + (-3)
Gambar 2.24 Penjumlahan 5+(-3) Jadi, 5+(-3) = 2
c) Menggunakan keping
Ambil 5 keping bermuatan positif dan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.25 Menyatakan bilangan 5
Lakukan proses pengurangan dengan mengambil 3 buah keping bermuatan positif yang ada di dalam kotak tersebut.
Gambar 2.26 Menyatakan hasil pengurangan 5-3 = 2
Setelah 3 keping diambil, maka keping yang tersisa adalah 2 buah. Sehingga, 5 – 3 = 2
2) Pengurangan -5 – 3
a) Menggunakan mistar hitung
Untuk pengurangan, pasangkan bilangan -5 (pada mistar bawah) dengan pengurangnya yaitu 3 (pada mistar atas). Lalu lihat bilangan 0 pada mistar hitung atas, ternyata bersesuaian dengan bilangan -8 pada mistar hitung bawah. Sehingga -5 – 3 = -8.
Gambar 2.27 Pengurangan -5-3
b) Menggunakan garis bilangan
Pengurangan -5 – 3 diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kiri dari 0 (dikurangi berarti mundur, berlawanan arah dengan bilangan pengurangnya). Bilangan pengurangnya 3 yaitu bilangan bulat positif. Karena berlawanan arah, maka melangkah 3 satuan ke kiri. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu -8.
Gambar 2.28 Pengurangan -5-3 Jadi, -5 – 3 = -8
Akan dibandingkan dengan -5 + (-3)
Gambar 2.29 Penjumlahan -5+(-3) -8 -5 3 9 8 7 6 0 4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 5 3 2 1
Jadi, -5+(-3) = -8
Sehingga -5 - 3 = -5+(-3) = -8
c) Menggunakan keping
Ambil 5 keping bertanda negatif dan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.30 Menyatakan bilangan -5
Lakukan pengurangan dengan mengambil 3 keping bermuatan positif. Karena keping yang bermuatan positif tidak ada, maka kita akan mengingat kembali sifat bilangan bulat yaitu suatu bilangan jika ditambah nol hasilnya tidak berubah.
Maka ambil 3 pasang keping bermuatan positif dan negatif dan masukkan ke dalam kotak. Terdapat 8 keping bermuatan negatif dan 3 keping bermuatan positif. Sehingga dapat dilakukan proses pengurangan.
Gambar 2.31 Pengurangan -5 - 3
Kemudian ambil 3 keping bermuatan positif. Setelah diambil 3 keping bermuatan positif, diperoleh keping yang tersisa di dalam kotak adalah 8 keping bermuatan negatif. Sehingga, -5 – 3 = -8
Tambahkan pasangan keping bernilai 0
-3
5
8
Gambar 2.32 Menyatakan hasil pengurangan -5 – 3 = -8
3) Pengurangan 5-(-3)
a) Menggunakan mistar hitung
Untuk pengurangan, pasangkan bilangan 5 (pada mistar bawah) dengan pengurangnya yaitu -3 (pada mistar atas). Lalu lihat bilangan 0 pada mistar hitung atas, ternyata bersesuaian dengan bilangan 8 pada mistar hitung bawah. Sehingga 5 – (-3) = 8.
Gambar 2.33 Pengurangan 5-(-3)
b) Menggunakan garis bilangan
Pengurangan 5–(-3) diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kanan dari 0 (dikurangi berarti mundur, berlawanan arah dengan bilangan pengurangnya). Bilangan pengurangnya -3 yaitu bilangan bulat negatif. Karena berlawanan arah, maka melangkah 3 satuan ke kanan. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu 8.
-9 -8 7 6 8 5 4 3 2 1 0 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
Gambar 2.34 Pengurangan 5-(-3) Jadi, 5 –(-3) = 8
Akan dibandingkan dengan 5 + 3
Gambar 2.35 Penjumlahan 5+3 Jadi, 5+ 3 =8
Sehingga 5 –(-3) = 5+3 = 8
c) Menggunakan keping
Ambil 5 keping bermuatan positif dan letakkan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.36 Menyatakan bilangan 5
Lakukan proses pengurangan dengan mengambil 3 buah keping bermuatan negatif. Tetapi di dalam kotak ternyata hanya terdapat 5 buah keping bermuatan positif. Seperti pada contoh sebelumnya, kita akan mengingat kembali sifat bilangan bulat yaitu suatu bilangan bila ditambah dengan nol maka hasilnya tidak berubah. Kita ambil 3 pasang keping bermuatan positif dan negatif kemudian masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.37 Pengurangan 5-(-3)
Sekarang ambil 3 buah keping bermuatan negatif yang berada di dalam kotak tersebut. Setelah ketiga keping bermuatan negatif diambil, maka keping yang tersisa di dalam kotak adalah 8 buah keping bermuatan positif. Sehingga, 5 – (-3) = 8
Gambar 2.38 Menyatakan hasil pengurangan 5-(-3) = 8
4) Pengurangan -5-(-3)
a) Menggunakan mistar hitung
Untuk pengurangan, pasangkan bilangan -5 (pada mistar bawah) dengan pengurangnya yaitu -3 (pada mistar atas). Lalu lihat bilangan 0 pada mistar hitung atas, ternyata bersesuaian dengan bilangan -2 pada mistar hitung bawah. Sehingga -5 – (-3) = -2.
Gambar 2.39 Pengurangan -5-(-3) -5 -3 2 3 0 1 -2 -3 -4 -1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -2 Tambahkan pasangan keping bernilai 0
b) Menggunakan Garis Bilangan
Pengurangan -5 – (-3) diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kiri dari 0 (dikurangi berarti mundur, berlawanan arah dengan bilangan pengurangnya). Bilangan pengurangnya -3 yaitu bilangan bulat negatif. Karena berlawanan arah, maka melangkah 3 satuan ke kanan. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu -2.
Gambar 2.40 Pengurangan -5-(-3) Jadi, -5 –(-3) = -2
Akan dibandingkan dengan -5 + 3
Gambar 2.41 Penjumlahan -5+3 Jadi, -5+ 3 = -2
c) Menggunakan Keping
Ambil 5 keping bermuatan negatif dan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.42 Menyatakan bilangan -5
Lakukan proses pengurangan dengan mengambil 3 buah keping bermuatan negatif. Akan dihitung bola yang tersisa di dalam kotak. Dari proses pengurangan tersebut, didapatkan 2 buah keping bermuatan negatif yang masih ada di dalam kotak.
Gambar 2.43 Menyatakan hasil pengurangan -5- (-3) = -2 Maka, -5 – (-3) = -2
d. Sifat-sifat pengurangan 1) Sifat tertutup
Jika a, b anggota himpunan bilangan bulat, maka hasil dari a – b merupakan anggota himpunan bilangan bulat.
Contoh:
1. 6 – (-8) = 14 (6 dan -8 adalah bilangan bulat. 14 juga bilangan bulat)
2. -10 – (-3) = -7 (-10 dan -3 adalah bilangan bulat. -7 juga bilangan bulat)
Karena hasil dari pengurangan bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat, maka bilangan bulat bersifat tertutup terhadap operasi pengurangan.
2) Sifat komutatif
Akan kita buktikan apakah hasil pengurangan bilangan bulat akan sama jika bilangan pertama dikurangi dengan bilangan kedua dengan jika bilangan kedua dikurangi dengan bilangan pertama?
a. Ambil dua bilangan bulat sembarang, misalnya -8 dan -5. Apakah -8 - (-5)= -5 – (-8)?
-8 – (-5)= -3 sedangkan -5 – (-8)= 3 Jadi -8 - (-5) ≠ -5 – (-8)
b. Ambil sembarang bilangan bulat, misalnya -9 dan 4. Apakah -9 - 4= 4 – (-9)?
-9 – 4= -13 sedangkan 4-(-9)= 13 Jadi -9 - 4 ≠ 4 – (-9)
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:
Jika a dan b anggota bilangan bulat sembarang, maka tidak berlaku hubungan a-b ≠ b-a.Jadi, pada pengurangan bilangan bulat tidak berlaku sifat komutatif
3) Sifat asosiatif
1. Ambil bilangan bulat sembarang, misalnya 7, 8, dan 4 Apakah 7 – (8 – 4) = (7 – 8) – 4 ?
Sedangkan,
(7 – 8) – 4 = -1 – 4 = -5
Dari perhitungan di atas tampak bahwa 7–(8–4)≠(7 –8) – 4 2. Ambil tiga bilangan bulat sembarang, misalnya 6, -5, dan 2
Apakah {6 – (-5)} – 2 = 6 – {-5-2}? {6 – (-5)} – 2 = 11 – 2 = 9
Sedangkan,
6 – (-5 – 2) = 6 – (-7) = 13
Dari perhitungan di atas tampak bahwa: {6–(-5)}–2≠6–{-5–2}
Maka dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:
Jika a, b dan c anggota bilangan bulat sembarang, maka terdapat hubungan (a – b) - c ≠ a – (b – c). Sehingga, pada pengurangan bilangan bulat tidak berlaku sifat assosiatif.