STRUKTUR MEDAN GALOIS
3.1. Perluasan Medan
Sudah diketahui bahwa polinomial x2 − 2 tidak mempunyai akar dalam Q. Tetapi x2− 2 mempunyai akar dalam R. Demikian pula contoh klasik lainnya, yaitu polinomial x2+ 1 tidak mempunyai akar dalam R tetapi mempunyai akar dalam C. Padahal sudah diketahui bahwa Q ⊂ R ⊂ C, yang berarti bahwa Q submedan dari R dan C, kemudian R submedan dari C. Maka dalam hal ini R adalah perluasan dari Q, kemudian C adalah perluasan dari Q dan R. Jadi x2− 2 tidak mempunyai akar dalam Q tetapi mempunyai akar dalam perluasannya, yaitu R dan C. Demikian pula x2 + 1 tidak mempunyai akar dalam R tetapi mempunyai akar dalam perluasannya, yaitu C.
Definisi 3.1.1.
Medan E disebut perluasan dari medan F jika dan hanya jika E memuat submedan yang isomorfis dengan F.
Definisi di atas bersifat lebih umum, dalam arti F submedan dari E merupakan kejadian khusus E perluasan dari F sebab F ≅ F. Pada bab terdahulu telah dibuktikan bahwa medan berkarakteristik prima p memuat submedan yang isomorfis dengan Zp, sedangkan medan berkarakteristik 0 memuat submedan yang isomorfis dengan Q. Jadi medan berkarakteristik p adalah perluasan dari Zp, dan medan berkarakteristik 0 adalah perluasan dari Q.
dapat dimasukkan (embedded) ke dalam E, atau submedan dari E tersebut diidentikkan sebagai F. Dengan perkataan lain, dapat diasumsikan F submedan dari E. Jadi untuk selanjutnya dapat diasumsikan Zp submedan prima dari medan berkarakteristik prima p, dan Q submedan prima dari medan berkarakteristik 0. Juga dalam Teorema 2.6.14 dapat diasumsikan F submedan dari medan F[x] I di mana submedan N = {I + a : a ∈ F} dalam F[x] I diidentikkan sebagai F. Perhatikan juga bahwa F perluasan dari dirinya sendiri sebab F submedan dari F.
Misalkan medan E adalah perluasan dari medan F dan α ∈ E. Maka terdapat homomorfisma evaluasi θα : F[x] → E yang didefinisikan dengan aturan θα(f(x)) = f(α). Jika f(x) = g(x) h(x), maka f(α) =θα(f(x)) =θα(g(x) h(x)) =θα(g(x)) θα(h(x)) = g(α) h(α). Dengan demikian f(α) = 0 jika dan hanya jika g(α) = 0 atau h(α) = 0 (sebab E medan, tidak memuat pembagi nol). Jadi α ∈ E adalah akar dari f(x) jika dan hanya jika α adalah akar dari g(x) atau h(x).
Perlu diingatkan kembali bahwa setiap polinomial takkonstan f(x) merupakan polinomial taktereduksi atau faktorisasi atas polinomial-polinomial taktereduksi. Ini berarti dalam setiap faktorisasi dari f(x), terdapat sekurang-kurangnya satu faktor dari f(x) yang merupakan polinomial taktereduksi. Keterangan-keterangan di atas kiranya
dapat menjelaskan teorema di bawah ini.
Teorema 3.1.1 (Teorema Kronecker).
Jika F medan dan f(x) ∈ F[x] polinomial takkonstan, maka terdapat medan E yang memuat F dan suatu akar dari f(x).
BUKTI.
Misalkan f(x) = p(x) q(x) dengan p(x) taktereduksi atas F. Menurut Teorema 2.6.14, ))
( ( ] [x p x
F = E medan yang memuat F. Misalkan I = (p(x)). Akan dibuktikan terdapat
α = I + x ∈ E sehingga p(α) = 0. Misalkan p(x) = a0 + a1x + … + anxn, ai ∈ F. Homomorfisma evaluasi θα : F[x] → E memberikan
θα(p(x)) = p(α) = (I + a0) + (I + a1)α+ … + (I + an)αn = (I + a0) + (I + a1) (I + x) + … + (I + an) (I + x)n = (I + a0) + (I + a1x) + … + (I + anxn) = I + (a0 + a1x + … + anxn) = I + p(x) = I.
Karena I = I + 0 adalah elemen identitas dalam E, maka α∈ E akar dari p(x). Ini berarti
α adalah akar dari f(x). Jadi medan E memuat F dan suatu akar dari f(x). ■
Teorema di atas mengatakan bahwa setiap medan mempunyai perluasan dan
setiap polinomial takkonstan mempunyai akar dalam suatu medan. Dari kedua pernyataan tersebut, pemahaman tentang perluasan medan dikaitkan dengan akar dari suatu polinomial. Jadi seperti yang sudah disampaikan di awal bab, medan C dipahami sebagai perluasan dari medan R yang memuat akar dari x2+ 1.
Pada Teorema 2.6.5 sudah dibuktikan bahwa polinomial p(x) dalam F[x] yang berderajat n, mempunyai paling banyak n akar dalam medan F. Jelas bahwa p(x) juga mempunyai paling banyak n akar dalam perluasan dari F. Polinomial x3 − x2 + x − 1 mempunyai satu akar dalam R yaitu 1, tetapi tiga akar dalam C yaitu −i, 1, i.
tiga akar dalam Q termasuk akar berulang dari −2 (untuk menentukan akar-akar suatu polinomial digunakan Teorema Faktor). Jadi −2 akar berulang 2, dan 3 akar berulang 1 dari x3+ x2− 8x− 12, sehingga x3+ x2− 8x − 12 mempunyai tiga akar dalam R dan C.
Definisi 3.1.2.
Misalkan medan E perluasan dari medan F. Elemen a ∈ E disebut akar berulang m ≥ 1 dari f(x) ∈ F[x] jika dan hanya jika f(x) = (x − a)mg(x) untuk suatu g(x) ∈ E[x] dengan g(a) ≠ 0.
Tampak bahwa Definisi 3.1.2 di atas diturunkan dari Teorema Faktor. Di sini juga berarti b ∈ F adalah akar berulang m dari f(x) ∈ F[x] untuk E = F. Jadi Definisi 3.1.2 bersifat lebih umum, dalam arti berlaku untuk perluasan dari F. Dan pernyataan g(a) ≠ 0 pada definisi di atas ekivalen dengan (x − a)m+1 bukan faktor dari f(x).
Definisi 3.1.3.
Misalkan medan E perluasan dari medan F. Polinomial f(x) ∈ F[x] dikatakan membelah dalam E[x] (atau membelah atas E) jika dan hanya jika f(x) dapat difaktorkan menjadi polinomial-polinomial linear dalam E[x].
Teorema 3.1.2.
Jika f(x) ∈ F[x] berderajat n ≥ 1, maka terdapat medan E yang memuat medan F sedemikian sehingga f(x) membelah atas E.
BUKTI.
Dibuktikan dengan Induksi Matematis.
Pangkal Untuk n = 1, maka f(x) linear dan E = F. Langkah Diasumsikan teorema benar untuk n = k − 1.
Akan dibuktikan teorema benar untuk n = k.
Jika f(x) ∈ F[x] berderajat k, maka dari Teorema Kronecker, terdapat medan E1 yang memuat F dan suatu akar dari f(x), katakanlah a1. Jadi dalam E1[x],
f(x) = (x − a1) g(x) untuk suatu g(x) ∈ E1[x] (Teorema Faktor). Maka g(x) berderajat k − 1, sehingga menurut asumsi di atas terdapat medan E yang memuat E1 sedemikian sehingga g(x) membelah atas E. Dengan demikian g(x) dapat difaktorkan menjadi polinomial-polinomial linear dalam E[x]. Ini
berarti f(x) adalah perkalian polinomial-polinomial linear dalam E[x]. Jadi f(x) membelah atas E.
Terbukti terdapat medan E yang memuat medan F sedemikian sehingga f(x) membelah
atas E, untuk ∀n ≥ 1. ■
Perhatikan bahwa jika f(x) dalam F[x] membelah atas medan perluasan dari F (misalkan saja E), maka E memuat semua akar dari f(x) termasuk akar-akar berulang, juga benar untuk kebalikannya (Teorema Faktor). Medan E yang demikian itu disebut medan pembelah (splitting field) dari f(x) atas medan F. Dan Teorema 3.1.2 di atas
membuktikan bahwa medan pembelah selalu ada untuk setiap polinomial. Contohnya, C adalah medan pembelah dari polinomial x2+ 1 ∈ R[x] (karena x2+ 1 = (x + i) (x − i) di mana (x + i), (x − i) ∈ C[x]).
polinomial f(x) ∈ F[x]. Dari bukti Teorema Kronecker, medan Q[x] (x2−2) memuat suatu akar dari polinomial taktereduksi x2− 2 ∈Q[x]. Karena x2− 2 berderajat 2, maka x2− 2 membelah atas [ ] ( 2−2)
x x
Q . Dengan cara yang sama seperti pada Contoh 2.6.4, medan Q[x] (x2−2) adalah medan K ={a + b 2 : a, b ∈ Q}⊂ R ⊂ C.
Definisi 3.1.4.
Medan perluasan terkecil E dari medan F yang memuat semua akar dari f(x) ∈ F[x] disebut medan pembelah dari polinomial f(x).
Definisi di atas menunjukkan bahwa medan pembelah dari polinomial f(x) ∈F[x] adalah irisan semua medan yang memuat F dan semua akar dari f(x).
Lebih lanjut, setiap duamedan pembelah yang ditentukan oleh suatu polinomial saling isomorfis. Dengan perkataan lain, hanya ada satu medan pembelah dari suatu polinomial. Medan pembelah dari polinomial x2 + 1 ∈ R[x] dan anggota-anggotanya berbentuk koset adalah R[x] (x2+1). Dan pada Contoh 2.6.4 telah ditunjukkan bahwa
) 1 ( ] [x x2+
R ≅ C. Akan tetapi, untuk pembuktian secara umum ketunggalan medan pembelah dari suatu polinomial, dalam tulisan ini tidak diberikan karena pembuktiannya menggunakan Teorema Perluasan Isomorfisma (ini merupakan bagian permulaan dari teori Galois).
Perlu diingatkan bahwa definisi medan pembelah dari suatu polinomial f(x) ∈ F[x] tergantung pada medan F yang didefinisikan. Untuk menjelaskan maksud tersebut, akan dikonstruksi suatu medan. Idenya berdasarkan pada F[x], yaitu himpunan semua
polinomial dalam x atas F. Telah diketahui bahwa F[x] bukan medan melainkan daerah integral yang memuat F dan x. Untuk hal tersebut, gelanggang faktor yang memegang peranan penting dan homomorfisma evaluasi dapat digunakan secara bersama-sama.
Misalkan medan E adalah perluasan dari medan F dan α ∈ E. Maka terdapat homomorfisma evaluasi θα : F[x] → E dengan aturan θα(f(x)) = f(α) untuk ∀f(x) ∈ F[x]. Dan Im(θα) = {f(α) ∈ E : f(α) = θα(f(x)), f(x) ∈ F[x]} daerah integral dalam E sebab E tidak mempunyai pembagi nol. Maka menurut Teorema Isomorfisma, Im(θα) ≅ F[x] I di mana I = Ker(θα) ideal dalam F[x]. Perhatikan bahwa α adalah akar dari ∀f(x) ∈I sebab I = {f(x) ∈ F[x] : θα(f(x)) = f(α) = 0}. Karena setiap ideal dalam F[x] adalah ideal utama (Teorema 2.6.6), maka I = (p(x)) untuk suatu polinomial p(x) ∈ F[x]. Karena Im(θα) daerah integral, maka F[x] (p(x)) juga daerah integral. Akan tetapi ini berlaku hanya jika p(x) = 0 (sebab F[x] (0) ≅ F[x]) atau p(x) taktereduksi (Teorema 2.6.14).
Jadi jika p(x) = 0, maka Im(θα) adalah daerah integral yang isomorfis dengan F[x]. Dan menurut Teorema Medan Hasil Bagi Daerah Integral, E memuat dengan tunggal submedan K = {g(α) h(α) : g(α), h(α) ∈ Im(θα), h(α) ≠ 0}. Medan K ini isomorfis dengan medan semua fungsi rasional F(x) = {g(x) h(x) : g(x), h(x) ∈ F[x], h(x) ≠ 0} dan K medan terkecil yang memuat F dan α.
Sedangkan jika p(x) taktereduksi, maka Im(θα) merupakan medan yang isomorfis dengan F[x] (p(x)). Karena F[x] (p(x)) adalah medan terkecil yang memuat F dan α di mana α adalah akar dari p(x), maka Im(θα) medan terkecil yang memuat F dan α.
Untuk lebih mudahnya (juga dalam kedua kasus p(x) di atas), medan terkecil yang memuat F dan α dinotasikan dengan F(α), yang tertuang dalam definisi di bawah ini.
Jika E perluasan dari medan F dan α∈ E, maka F(α) disebut submedan terkecil dari E yang memuat F dan α.
Contoh 3.1.1.
Misalkan F = R, E = C dan α= i. Karena i merupakan akar dari polinomial taktereduksi x2+ 1 ∈ R[x], maka homomorfisma evaluasi θi : R[x] → C memberikan R(i) = Im(θi) = {θi(k(x)) ∈ C : k(x) ∈ R[x]}. Maka R(i) = C sebab setiap elemen dalam R(i) berbentuk a + bi =θi(a + bx) untuk a, b ∈ R.
Definisi 3.1.6.
Misalkan medan E perluasan dari medan F dan a ∈ E. Elemen a disebut elemen aljabar
atas F jika dan hanya jika f(a) = 0 untuk suatu polinomial monik f(x) ∈ F[x].
Contoh 3.1.2.
Bilangan i ∈ C adalah elemen aljabar atas Q dan R sebab i adalah akar dari x2 + 1. Bilangan real 2 adalah elemen aljabar atas Q sebab 2 adalah akar dari x2 − 2. Tetapi bilangan real e dan π bukan elemen aljabar atas Q sebab e dan π bukan akar dari
setiap polinomial takkonstan f(x) ∈ Q[x] (pembuktiannya tidak diberikan di sini). Elemen-elemen demikian (yang bukan elemen aljabar) disebut elemen transendental.
Misalkan p(x) ∈ F[x] polinomial taktereduksi dan α ∈ E adalah akar dari p(x). Maka jelas α adalah akar dari setiap polinomial takkonstan g(x) ∈ F[x] di mana g(x)
merupakan hasil perkalian p(x) dengan polinomial lainnya. Sebagai contoh, bilangan kompleks i adalah akar dari polinomial taktereduksi x2+ 1 ∈ R[x], maka i juga adalah akar dari polinomial-polinomial (x2+ 1) (x + 3), (x2 + 1) (x3− 7x2 + 5), (x2 + 1) h(x). Kemudian untuk suatu r ∈ R, maka r (x2+ 1) adalah polinomial berderajat minimal dari semua polinomial takkonstan atas R yang mempunyai i sebagai akar. Tetapi hanya ada satu polinomial monik berderajat 2 dalam R[x] yang mempunyai i sebagai akar, yaitu polinomial x2+ 1.
Lema 3.1.3.
Misalkan E adalah medan perluasan dari medan F dan p(x) ∈ F[x] polinomial monik taktereduksi berderajat d yang mempunyai α∈ E sebagai akar.
(i) Jika f(x) ∈ F[x] mempunyai α sebagai akar, maka d ≤ der(f(x)).
(ii) Polinomial monik berderajat d dalam F[x] yang mempunyai α sebagai akar hanyalah p(x).
BUKTI.
(i) Misalkan I = {f(x) ∈ F[x] : f(α) = 0}. Jelas I ideal dalam F[x] sebab terdapat homomorfisma evaluasi θα : F[x] → E di mana Ker(θα) = I ideal dalam F[x]. Jika f(x) ∈ I, maka (f(x), p(x)) = k(x) ∈ I sebab k(x) = f(x) r(x) + p(x) s(x) (Teorema 2.6.7). Karena p(x) polinomial monik taktereduksi, maka polinomial monik yang membagi p(x) hanyalah 1F dan p(x). Tetapi 1F ∉ I, maka haruslah k(x) = p(x), sehingga p(x) f(x).
akar. Maka p(x) − m(x) ∈ I, sehingga p(x) − m(x) mempunyai α sebagai akar. Andaikan p(x) − m(x) ≠ 0. Berarti der(p(x) − m(x)) < d, kontradiksi dengan (i). Dengan demikian haruslah p(x) − m(x) = 0, yaitu p(x) = m(x). ■
Proposisi penting di bawah ini merangkum situasi-situasi di atas.
Proposisi 3.1.4.
Jika E medan perluasan dari medan F dan α∈ E elemen aljabar atas F, maka
(i) terdapat polinomial monik taktereduksi p(x) ∈ F[x] yang mempunyai α sebagai akar,
(ii) jika f(x) ∈ F[x] mempunyai α sebagai akar, maka p(x) membagi f(x),
(iii) satu-satunya polinomial monik berderajat minimal dalam F[x] yang mempunyai α sebagai akar adalah p(x),
(iv) F[x] (p(x)) ≅ F(α).
BUKTI.
(i) Jika E perluasan dari F dan α∈ E, maka θα : F[x] → E merupakan homomorfisma evaluasi. Karena α adalah elemen aljabar atas F, maka Ker(θα) ≠ {0}. Dan karena setiap ideal dalam F[x] adalah ideal utama, maka Ker(θα) = (p(x)) untuk suatu polinomial monik p(x) ∈ F[x]. Dari Teorema Isomorfisma, F[x] (p(x)) ≅ Im(θα). Karena Im(θα) daerah integral, maka F[x] (p(x)) juga daerah integral. Menurut Teorema 2.5.7, (p(x)) ideal prima. Dari bukti Teorema 2.6.9, p(x) taktereduksi.
Karena p(x) ∈ (p(x)) = Ker(θα), maka p(α) = 0. Jadi p(x) adalah polinomial monik taktereduksi yang mempunyai α sebagai akar.
(ii) Dari bukti Lema 3.1.3. (iii) Lema 3.1.3.
(iv) Karena α adalah akar dari p(x), maka Im(θα) adalah medan terkecil yang memuat F dan α, yaitu Im(θα) = F(α), sehingga F[x] (p(x)) ≅ F(α). ■
Ketunggalan polinomial monik p(x) pada Proposisi 3.1.4 disebut polinomial taktereduksi untuk α atas F (atau polinomial berderajat minimal untuk α atas F). Karena 2 ∈ R adalah elemen aljabar atas Q, maka polinomial monik taktereduksi untuk 2 atas Q adalah x2− 2. Tetapi polinomial monik taktereduksi dalam R[x] untuk 2 adalah x − 2 sebab x − 2 berderajat minimal dan x − 2 membagi x2 − 2. Polinomial monik taktereduksi dalam R[x] untuk 1 + i adalah x2− 2x + 2.
Proposisi 3.1.5.
Misalkan medan E perluasan dari medan F. Jika α ∈ E adalah elemen aljabar atas F dengan p(x) ∈ F[x] polinomial taktereduksi untuk α berderajat n, maka setiap β ∈ F(α) dapat diekspresikan dengan tunggal dalam bentuk β= b0 + b1α+ … + bn−1αn−1 di mana bi∈ F.
BUKTI.
Homomorfisma evaluasi θα : F[x] → E memberikan Im(θα) = {f(α) ∈ E : f(α) =θα(f(x)) untuk suatu f(x) ∈ F[x]}. Diketahui α adalah elemen aljabar atas F dengan p(x) ∈F[x]
(Proposisi 3.1.4). Perhatikan bahwa setiap elemen dalam F(α) berbentuk polinomial dalam α dengan koefisien-koefisien dalam F. Kemudian dari Teorema 2.6.15, maka setiap koset dalam F[x] (p(x)) dapat diekspresikan dengan tunggal dalam bentuk (p(x)) + s(x) dengan der(s(x)) < n. Ini berarti setiap koset dalam F[x] (p(x)) dapatlah direpresentasikan dengan tunggal dalam bentuk polinomial s(x) berderajat < n kecuali untuk koset (p(x)) + p(x). Jadi setiap elemen dalam F(α) dapat diekspresikan dengan tunggal dalam bentuk polinomial s(α) berderajat < n kecuali untuk p(α) sebab p(α) = 0. Jadi setiap β ∈ F(α) dapat diekspresikan dengan tunggal dalam bentuk β = b0 + b1α+
… + bn−1αn−1 di mana bi∈ F. ■
Hasil-hasil yang sudah didapat dikaitkan sebagai berikut, dalam Contoh 2.6.4 ditunjukkan bahwa R[x] (x2+1) ≅ C. Dalam Contoh 3.1.1 ditunjukkan R(i) = C. Dan Proposisi 3.1.4 membuktikan R(i) ≅ R[x] (x2+1). Kemudian dengan Proposisi 3.1.5, elemen-elemen dalam R(i) lebih mudah ditentukan, yaitu R(i) = {a + bi : a, b ∈ R}. Dengan demikian sekarang dengan mudah dapat ditentukan medan pembelah dari polinomial taktereduksi x2 − 2 ∈ Q[x] yang isomorfis dengan medan Q[x] (x2−2), yaitu medan Q( 2 ) = {a + b 2 : a, b ∈ Q} (ini jika dibandingkan dengan cara yang sama seperti pada Contoh 2.6.4, yaitu dengan menunjukkan Q[x] (x2−2) isomorfis dengan K = {a + b 2 : a, b ∈ Q}).
Dengan demikian, medan semua bilangan kompleks yang sudah kita kenal dengan C = {a + bi : a, b ∈ R} dikonstruksi dari R dengan menggunakan Proposisi 3.1.4 dan
Proposisi 3.1.5 (juga berpegang prinsip pada Teorema Kronecker). Penggunaan huruf i (berpautan dengan kata imaginary) merupakan suatu tradisi untuk menyatakan akar dari x2+ 1, yaitu i2+ 1 = 0 (yang kemudian didefinisikan i2=−1).
Jika α∈ F, maka jelas F medan terkecil yang memuat F dan α. Proposisi 3.1.4 dan Proposisi 3.1.5 juga dapat menunjukkannya. Jika α∈ F, maka polinomial monik taktereduksi dalam F[x] untuk α adalah polinomial linear x − α, sehingga medan terkecil yang memuat F dan α adalah F(α) = {b : b ∈ F} = F. Ini juga berarti F(α) = F adalah medan pembelah dari x −α.
Misalkan g(x) ∈ F[x] polinomial taktereduksi berderajat k dan α1, α2, …, αk∈ E (perluasan dari medan F) adalah akar-akar dari g(x). Dari Proposisi 3.1.4, F[x] (g(x)) isomorfis dengan F(α1), F(α2), …, F(αk), sehingga F(α1) ≅ F(α2) ≅ … ≅ F(αk). Jadi
)) ( ( ] [x g x
F memuat semua akar dari g(x) atau F[x] (g(x)) adalah medan pembelah dari polinomial taktereduksi g(x) ∈ F[x]. Ini berarti bahwa jika α∈ E adalah akar dari polinomial taktereduksi g(x) ∈ F[x], maka F(α) adalah medan pembelah dari g(x), yaitu medan terkecil yang memuat F dan semua akar dari g(x).
Sebelumnya sudah disinggung bahwa medan pembelah dari suatu polinomial tergantung pada medan yang didefinisikan. Medan pembelah dari x2+ 1 ∈ R[x] adalah R(i) = C, tetapi jika x2+ 1 ∈ Q[x], maka medan pembelahnya Q(i) ={a + bi : a, b ∈ Q} (submedan dari C). Artinya, medan terkecil yang memuat Q dan semua akar dari x2+ 1 adalah Q(i).
Semua contoh medan pembelah di atas dari polinomial taktereduksi, padahal menurut Teorema 3.1.2, medan pembelah selalu ada untuk setiap polinomial. Berikut ini diberikan contoh-contoh medan pembelah dari polinomial tereduksi.
Akan ditentukan medan pembelah dari x3− 1 ∈ Q[x].
Karena 1 ∈ Q akar dari x3− 1 ∈ Q[x], maka x3− 1 tereduksi dalam Q[x], yaitu (x − 1) faktor dari x3− 1. Dengan pembagian yang panjang, didapat x3− 1 = (x − 1) (x2+ x + 1). Dan x2+ x + 1 tidak mempunyai akar dalam Q, sehingga x2+ x + 1 taktereduksi atas Q (Teorema 2.6.8). Jadi Q[x] (x2+x+1) medan pembelah dari x2+ x + 1 ∈ Q[x]. Karena 1 ∈ Q ⊂ Q[x] (x2+x+1), maka Q[x] (x2+x+1) medan pembelah dari x3− 1 ∈ Q[x]. Kemudian Proposisi 3.1.4 dan Proposisi 3.1.5 digunakan untuk menentukan medan yang isomorfis dengan Q[x] (x2+x+1). Dengan menggunakan rumus kuadrat yang sudah dikenal, maka w = (−1+i 3) 2 ∈ C merupakan akar dari x2 + x + 1. Dengan demikian Q(w) = {a + bw : a, b ∈ Q} medan yang isomorfis dengan Q[x] (x2+x+1). Karena a, b ∈ Q dan w = (−1+i 3) 2, maka medan pembelah dari x3 − 1 ∈ Q[x] adalah {c + di 3 : c, d ∈ Q} = Q(i 3 ) ⊂ C (sebab polinomial monik taktereduksi dalam Q[x] untuk i 3 adalah polinomial berderajat 2, yaitu x2+ 3).
Contoh 3.1.4.
Akan ditentukan medan pembelah dari x4− x2− 2 ∈ Q[x].
Polinomial ini tidak mempunyai akar dalam Q tetapi tereduksi atas Q, yaitu x4− x2− 2
= (x2− 2) (x2+ 1). Dari contoh-contoh di atas, maka Q( 2 ) = {a + b 2 : a, b ∈ Q} medan pembelah dari x2− 2 ∈Q[x], dan Q(i) = {a + bi : a, b ∈ Q} medan pembelah dari x2 + 1 ∈ Q[x]. Tetapi 2 ∉ Q(i) dan i ∉ Q( 2 ), sehingga Q( 2 ) dan Q(i) kedua-duanya bukan medan pembelah dari x4− x2− 2 ∈ Q[x]. Dapat ditunjukkan bahwa
{a + b 2 + ci + di 2 : a, b, c, d ∈ Q} medan pembelah dari x4 − x2 − 2 ∈ Q[x] (pembuktiannya analog dengan Contoh 3.1.5 di bawah).
Pembahasan tentang perluasan medan di atas, yaitu medan pembelah dari suatu polinomial f(x) ∈ F[x] dan submedan terkecil dari medan E yang memuat medan F dan
α∈ E, telah memberikan gambaran tentang medan-medan lainnya selain medan-medan Q, R, dan C yang sudah kita kenal. Medan-medan Q( 2 ) = {a + b 2 : a, b ∈ Q} dan Q(i) = {a + bi : a, b ∈ Q} dapat diperiksa kembali apakah tertutup terhadap operasi penjumlahan, perkalian, dan invers multiplikatif. Jelas kedua medan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Invers multiplikatif dari a + b 2 ≠ 0 ∈ Q( 2 ) adalah (a c) − (b c) 2 di mana c = a2− 2b2. Invers multiplikatif dari a + bi ≠ 0 ∈ Q(i) adalah (a d) − (b d)i di mana d = a2+ b2.
Definisi 3.1.5 dapat digeneralisasi. Misalkan elemen-elemen α1, α2, …, αn ∈ E (medan yang memuat medan F). Maka terdapat medan perluasan terkecil dari F yang memuat {α1, α2, …, αn}, ditulis F(α1, α2, …, αn). Jadi suatu medan dapat dihasilkan dari F dan {α1, α2, …, αn}, yaitu dengan mengoperasikan berulang-ulang penjumlahan, perkalian, invers aditif, invers multiplikatif setiap elemen dari F dan {α1, α2, …, αn}. Kemudian jika α1, α2, …, αn merupakan akar-akar dari suatu polinomial f(x) ∈ F[x], maka F(α1, α2, …, αn) adalah medan pembelah dari f(x).
Contoh 3.1.5.
3 , sepertinya Q( 2 , 3 ) = {a + b 2 + c 3 + d 6 : a, b, c, d ∈ Q}. Tetapi akan digunakan Proposisi 3.1.4 dan Proposisi 3.1.5 untuk menunjukkannya. Perkalian dari 2 dan 3 adalah 6 , sehingga polinomial monik taktereduksi dalam Q[x] untuk 6 adalah x2 − 6. Dengan Proposisi 3.1.5, maka Q( 6 ) = {a + b 6 : a, b ∈ Q}. Tetapi Q( 6 ) tidak memuat 2 dan 3 . Padahal Q( 2 , 3 ) harus memuat 2 dan 3 , sehingga Q( 2 , 3 ) ≠ Q( 6 ). Misalkan α= 2 + 3 , maka α2= 5 + 2 6 ⇔
α2 − 5 = 2 6 ⇔ (α2 − 5)2 = 24 ⇔ α4 − 10α2 + 1 = 0. Ini berarti polinomial monik taktereduksi dalam Q[x] untuk 2 + 3 adalah x4− 10x2+ 1. Dengan Proposisi 3.1.5, maka Q(α) = {e + fα+ gα2+ hα3 : e, f, g, h ∈ Q}. Perhatikan bahwa α3= ( 2 + 3 )3
= (5 + 2 6 ) ( 2 + 3 ) = 11 2 + 9 3 . Maka Q( 2 + 3 ) = {a + b 2 + c 3 + d 6 : a, b, c, d ∈ Q} (memuat 2 dan 3 ). Dengan demikian haruslah Q( 2 , 3 )
= Q( 2 + 3 ). Di sini Q( 2 , 3 ) adalah medan pembelah dari x4− 5x2+ 6 ∈ Q[x] (juga medan pembelah dari x4− 10x2+ 1 ∈ Q[x]). Perhatikan juga bahwa Q( 2 , 3 ) adalah Q( 2 ) ( 3 ) atau Q( 3 ) ( 2 ), yaitu medan terkecil yang memuat medan Q( 2 ) dan 3 , atau medan terkecil yang memuat medan Q( 3 ) dan 2 .
